ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА НА ТЕМУ "ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ЛИНЕЙКИ" Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА НА ТЕМУ «ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ЛИНЕЙКИ»

Аннотация

В данной статье представлен комплекс задач для элективного курса «Задачи на построение с помощью линейки». В современной школе широкое распространение получили элективные курсы. Они дают возможность освоения таких разделов элементарной математики, которые слабо или вообще не представлены в программе. Здесь приводится набор задач с решениями, указаниями и подсказками. Приведённого материала вполне достаточно для проведения полноценного занятия по данной теме. Цель работы - познакомить читателя с методами решения задач на построение с использованием одной линейки. Содержание статьи полезно учителям и школьникам.

Ключевые слова

построение на плоскости, замечательное свойство трапеции, теорема Фалеса

АВТОР

Безверхний Николай Владимирович,

кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва nbezv@mail.ru

Грибов Александр Фёдорович,

кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва a lexandr-gribov@li st .ш

Введение

Решение задачи на построение, как известно, должно состоять из трёх частей [1]. Первая - сам алгоритм построения. Вторая - исследование, в ходе которого необходимо выяснить, когда решение существует, сколько решений имеет задача. Третья - анализ, в ходе которого доказывают равенство построенной фигуры и заданной в условии задачи. В этой работе мы опустили две последних части, уделив внимание наиболее интересной - первой. Кроме того, читателю предоставляется возможность самостоятельно ознакомиться с правилами работы с линейкой при решении задач на построение и сравнить их с правилами, использующими циркуль и линейку.

Задачи и методы решения

В теории геометрических построений «инструментами» являются специально сформулированные соглашения. Если для некоторого множества точек эти условия выполнены, то точки множества считаются построенными. Таким образом, средства построения - абстракции, а сами построения - логические операции, ссылки на те или иные аксиомы и их следствия.

При решении задачи на построение с помощью линейки единственным «инструментом» является следующее правило: для любых двух данных точек можно считать известной и построенной проходящую через них прямую. Так и говорят: проведём прямую через две заданные точки [2], [3]. В статье разбираются вспомогательные подзадачи или «инструменты», позволяющие выполнять более сложные построения. Их можно использовать как составляющие этапы решения более сложных задач, что и продемонстрировано ниже. Приступим к решению задач.

Задача № 1.

Условие. На плоскости нарисована окружность, в которой проведен диаметр. Как с помощью линейки провести через точку, не лежащую на окружности и на прямой, содержащей диаметр, перпендикуляр к данному диаметру?

Подсказка. Воспользуйтесь тем, что в треугольнике три высоты пересекаются в одной точке.

Решение. Обозначим концы диаметра через A и B, а заданную точку - через М. Пусть С и D - точки пересечения прямых AM и BM с окружностью. Поскольку углы ACB и ADB вписаны в окружность и опираются на диаметр, они равны 900. Это означает, что AD и BC - высоты треугольника ABC. Построим точку пересечения H этих прямых. H - точка пересечения высот треугольника ABC.

Поскольку три высоты треугольника пересекаются в одной точке, прямая MH -высота треугольника ABC, т.е. прямая MH и является прямой, которую требовалось построить (рис.1). На рисунке 2 рассмотрен второй случай, когда перпендикуляр к диаметру не пересекает окружность. Если же прямая MB имеет единственную общую точку с окружностью, то она является касательной и автоматически перпендикулярна рассматриваемому диаметру.

Задача № 2. (Замечательное свойство трапеции.)

Условие. Даны две параллельные прямые / и /1. С помощью линейки разделите пополам данный отрезок АВ прямой /.

Подсказка. Примените замечательное свойство трапеции.

Решение. Возьмём точку М так, чтобы точки М и А лежали по разные стороны от прямой /1. Пусть отрезки МА и МВ пересекают прямую /1 в точках А1 и В1. Обозначим через Р точку пересечения диагоналей АВ1 и ВА1 трапеции АА1В1В. Тогда прямая МР делит отрезок АВ пополам (замечательное свойство трапеции) (рис. 3).

Рис.3

Задача № 3. (Диаметр, основные свойства.)

Условие. Дана окружность и две неравные параллельные хорды. Используя только линейку, разделите эти хорды пополам.

Подсказка. Пусть АВ и СО — данные хорды, прямые АО и ВС пересекаются в точке М, а прямые АС и ВО — в точке N. Докажите, что прямая МЫ делит каждую из данных хорд пополам.

Решение. Пусть АВ и СО — данные хорды; прямые АО и ВС пересекаются в точке М, а прямые АС и ВО — в точке N.

Перовое решение получаем, используя предыдущую задачу и замечательное свойство трапеции.

Рассмотрим другой подход. Докажем, что диаметр окружности, перпендикулярный к хордам АВ, Сй, проходит через точки М и N.

Действительно, при симметрии относительно этого диаметра, точка А переходит в точку В, а точка С — в точку О, поэтому прямая АС переходит в прямую ВО. Следовательно, точка N пересечения этих прямых переходит в себя, то есть лежит на оси симметрии. Аналогично для точки М.

Отсюда вытекает следующее построение. Находим точку пересечения М прямых АО и ВС, затем — точку N пересечения прямых АС и ВО. Затем проводим искомую прямую MN.

Задача №4. (Теорема Пифагора (прямая и обратная), правильные многоугольники, вписанный угол).

Условие. На плоскости нарисован правильный шестиугольник, длина стороны которого равна 1. При помощи линейки постройте отрезок, длина которого равна квадратному корню из 7.

Решение. Пусть дан правильный шестиугольник ABCDEF со стороной, равной 1. Легко вычислить, что диагональ АС этого шестиугольника равна ^. Возьмем точку G

пересечения прямых CD и EF. Треугольник DEG - правильный, поэтому отрезок DG имеет длину 1. Если вокруг шестиугольника описать окружность, то угол ACD будет опираться на диаметр AD, следовательно, угол ACD равен 900. Итак, в прямоугольном треугольнике ACG: АС= ^/3 , CG=2, отсюда по теореме Пифагора находим

АО = >/ АС2 + СО2 =у/5+4 .

Задача № 5. (Замечательное свойство трапеции, теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках.)

Условие. Даны две параллельные прямые и отрезок на одной из них. С помощью линейки разделите этот отрезок на три равные части.

Решение. Первый способ. Будем считать известным, как с помощью линейки через данную точку провести прямую, параллельную двум данным прямым (алгоритм построения такой прямой приведён в следующей задаче). Пусть 11 и 12 - данные параллельные прямые, отрезок АВ лежит на прямой 11. Отметим точку М в той полуплоскости относительно прямой 12, которая не содержит точек А и В. Тогда отрезки МА и МВ пересекают прямую 12 в некоторых точках С и й соответственно.

Через точку N пересечения отрезков Ай и ВС проведём прямую М^ Эта прямая пересекает 11 и 12 соответственно в точках Р и Е - серединах оснований АВ и Сй трапеции АСйВ.

Через точку Р пересечения прямых АЕ и ВС проведём прямую, параллельную прямым 11 и 12. Пусть проведённая прямая пересекает отрезки АС, Ай и Вй в точках С, Q и L соответственно.

Поскольку АЕ - медиана треугольника АСй и GQ | | Сй, точка Р - середина GQ. В то же время, отрезки СР и QL равны. Это следует из подобия треугольников CND и PNQ и того, что NE - медиана в треугольнике CND. Значит, СР = PQ = QL. Проведём прямые МР и MQ. Пусть X и У - точки их пересечения с прямой 11. Тогда АХ=ХУ=УВ.

Второй способ. Покажем, как разделить такой отрезок на к равных частей. Будем считать известным, как с помощью линейки разделить пополам отрезок, лежащий на одной из двух данных параллельных прямых - замечательное свойство трапеции.

Тогда для каждого натурального п можно разделить такой отрезок на 2п равных частей. Пусть 11 и 12 - данные параллельные прямые, отрезок АВ лежит на прямой 11. Разделим произвольный отрезок СТ, лежащий на прямой 12 на 2п равных частей, где 2п>к. Пусть й - правый конец к -го из получившихся отрезков, считая от точки С. Тогда отрезок Сй прямой 12 разделён на к равных отрезков. Если прямые АС и Вй пересекаются в точке Н, то прямые, проходящие через эту точку и концы полученных отрезков, делят отрезок АВ на к равных частей. Если окажется, что АС | | Вй, то через полученные точки деления, проведём прямые, параллельные АС и Вй.

Задача № 6. (Замечательное свойство трапеции, теорема Ферма и теорема о пропорциональных отрезках.)

Условие. Даны две параллельные прямые / и /1. С помощью линейки проведите через данную точку М прямую, параллельную прямым / и /1.

Подсказка. Примените замечательное свойство трапеции.

Решение. Пусть сначала точка М и прямая / лежат по разные стороны от прямой /1. Возьмем на прямой / две точки А и В. Пусть А1 и В1 - точки пересечения МА и МВ с прямой /1, Р — точка пересечения диагоналей АВ1 и ВА1 трапеции АА1В1В, К и 0 — точки пересечения прямой МР с А1В1 и АВ соответственно. Если Т — точка пересечения прямых АК и ОВ1, то прямая ТМ — искомая.

Действительно, треугольник КТВ1 подобен треугольнику АТ0, а треугольник А1МК — треугольнику АМ0, причём коэффициент подобия один и тот же, поскольку А1К = КВ1. Следовательно, Щ_Щ_Щ_МК .

т<д ~ л<д ~ лдд ~ мд

Поэтому МТ || КВ1 || /. (рис.4)

Если точка М лежит внутри полосы между прямыми / и /1, то через произвольную точку М1, лежащую вне этой полосы, проведём прямую /2, параллельную прямым /1 и / (указанным выше способом), а затем через точку М проведём прямую, параллельную прямым /1 и /2.

Если точка М лежит внутри полосы между прямыми / и /1, то через произвольную точку М1, лежащую вне этой полосы, проведём прямую /2, параллельную прямым /1 и / (указанным выше способом), а затем через точку М проведём прямую, параллельную прямым /1 и /2.

Рис.4

Задача № 7. (Замечательное свойство трапеции, теорема Фалеса о пропорциональных отрезках, вспомогательные подобные треугольники.)

Условие. Даны две параллельные прямые и отрезок, лежащий на одной из них. Удвойте этот отрезок с помощью линейки.

Решение. Пусть АВ — данный отрезок, а С и О — произвольные точки на второй данной прямой. Согласно предыдущей задаче можно построить точку М — середину отрезка СО. Пусть Р — точка пересечения прямых АМ и ВО, Е — точка пересечения прямых РС и АВ. Докажем, что ВЕ — искомый отрезок. Поскольку треугольники РМС и РАЕ, РМО и РАВ подобны, легко получаем равенство АЕ=АВ.

Задача № 8.

Условие. Докажите, что если на плоскости даны какая-нибудь окружность 5 и ее центр О и прямая /, то с помощью линейки можно:

а) из любой точки провести прямую, параллельную данной прямой, и опустить на данную прямую перпендикуляр;

б) на данной прямой от данной точки отложить отрезок, равный данному отрезку;

в) построить отрезок длиной аЬ/с, где а, Ь, с — длины данных отрезков.

Решение. а) Пусть А — данная точка, / — данная прямая. Рассмотрим сначала случай, когда точка О не лежит на прямой /. Проведем через точку О две произвольные прямые, пересекающие прямую / в точках В и С. Согласно задаче № 1 в треугольнике ОВС можно опустить высоты на стороны ОВ и ОС. Пусть Н — точка их пересечения. Тогда можно провести прямую ОН, которая перпендикулярна /.

Согласно задаче № 1 можно опустить перпендикуляр из точки А на ОН. Это и есть искомая прямая, проходящая через А и параллельная /. Чтобы из А опустить перпендикуляр на /, нужно восставить из О перпендикуляр /' к ОН, используя задачу № 6, а затем из А опустить перпендикуляр на /'. В случае, когда точка О лежит на прямой /, согласно задаче № 1 можно сразу опустить из точки А перпендикуляр на прямую /.

б) Пусть / — данная прямая, А — лежащая на ней данная точка и ВС — данный отрезок. Проведем через точку О прямые ОО и ОЕ, параллельные прямым / и ВС соответственно (О и Е — точки пересечения этих прямых с окружностью 5). Через точку С проведем прямую, параллельную ОВ, до пересечения с прямой ОЕ в точке Р, через Р — прямую, параллельную ЕО, до пересечения с ОО в точке в и, наконец, через в — прямую, параллельную ОА, до пересечения с / в точке Н. Тогда АН = Ов = ОР = ВС, т. е. АН — требуемый отрезок.

в) Возьмем две произвольные прямые, пересекающиеся в точке Р. Отложим на одной из них отрезок РА = а, а на другой — отрезки РВ = Ь и РС = с. Пусть О — точка пересечения прямой РА с прямой, проходящей через В и параллельной АС. Ясно, что отрезок РО = аЬ/с.

Заключение

В работе приведены основные методы решения планиметрических задач на построение с помощью линейки. Приведённый набор задач и идей является базовым материалом, необходимым, а в некоторых случаях и достаточным, для дальнейшего изучения темы, разработки уроков, подготовки к олимпиадам различного уровня.

ССЫЛКИ НА ИСТОЧНИКИ

1. Кокстер Г. Введение в геометрию. М.: Наука, 1966.

2. Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии. Планиметрия. М.: Наука, 1986.

3. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы планиметрии. М.: Наука, 1967

Nikolai V.Bezverkhny,

Candidate of Physical-Mathematical Sciences, Associate Professor, Bauman Moscow State Technical University, Moscow nbezv@mail. ru Alexander F. Gribov,

Candidate of Physical-Mathematical Sciences, Associate Professor, Bauman Moscow State Technical University, Moscow alexandr-gribov@list. ru

Tasks for the elective course on the topic: "Constructions with a ruler"

Abstract. This article presents a set of tasks for the elective course "Constructions with a Ruler". Elective courses are widespread In a modern school. They make it possible to learn such sections of elementary mathematics that are inadequately or not represented at all in the program. Here is a set of tasks with solutions, directions and tips. The material provided is enough to conduct an adequate lesson on this topic. The purpose of the work is to let the reader know the methods of solving construction tasks using only a ruler. The content of the article is useful to teachers and students. Key words: construction on a plane, a remarkable trapezoid property, Thales theorem.