CC BY
60
УДК 378+372.016:51
Попов Николай Иванович
Кандидат физико-математических наук, доцент, проректор по научной работе и инновационной деятельности ФГБОУ ВПО «Марийский государственный университет», popovnikolay@yandex.ru, Йошкар-Ола
ЗАДАЧНЫЙ ПОДХОД В ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ПОДГОТОВКЕ МАТЕМАТИКОВ
Аннотация. В статье рассматривается проблема профессиональной подготовки математиков в контексте использования задачного подхода при изучении курса математического анализа. Ключевые слова: математическая задача, профессиональная подготовка математиков.
Popov Nikolay Ivanovich
Doctor of mathematics, assistant professor, pro-rector on scientific work at Mari State University, popovnikolay@yandex.ru, Yoshkar-Ola
THE TASK APPROACH ON PROFESSIONAL PREPARATION OF MATHEMATICIANS
Abstract: In article the problem of professional preparation mathematicians is use context the task approach is considered at studying of the course mathematical analysis.
Keywords: mathematical problem, professional preparation of mathematicians.
Процесс формирования профессиональных компетенций у математиков обусловливает их подготовку к деятельности, связанной либо с поиском решения поставленных задач, либо с поиском доказательства конкретных теорем. Понятие «задача» является одним из фундаментальных понятий математики и методики ее преподавания. Впервые методика решения задач в достаточно общем виде была разработана Д. Пойа и опубликована в известной работе «Как решать задачу» [6]. Проблеме логико-психологического анализа задач в научно-методической литературе посвящено немало работ [1; 5; 12].
На основе анализа исследований различных авторов можно отметить, что задача есть модель ситуации, важным элементом которой является субъект, осознавший затруднение в своей деятельности. Следовательно, возникновение любой задачи связано с деятельностью субъекта. По мнению Л. М. Фридмана, различия между понятиями «задача» и «проблемная ситуация» объясняются тем, что проблемная ситуация существует в действительности, а задача является абстрактной моделью реальной ситуации, изложенной на каком-либо языке, и
поэтому проблемная ситуация всегда более содержательна, чем задача, которая отражает лишь некоторые ее стороны. Причем для каждой проблемной ситуации существует одна или несколько задач, которые могут отличаться друг от друга как совокупностью представленных в них свойств ситуации, так и языком, на которых они выражены.
Ю. М. Колягин утверждает, что проблемная ситуация порождает задачу не сама по себе, а при активном участии субъекта, который усматривает в некоторой ситуации проблемный характер [5]. Особенно широко пользуются термином «задача» при характеристике процессов мышления. Для психологов, занимающихся проблемами создания искусственного интеллекта, характерен подход, согласно которому каждое задание представляет собой логически организованную (со стороны его внутренней структуры) ситуацию, в которой субъекту необходимо установить определенную последовательность операций, составляющих его решение.
На основе вышесказанного, можно сделать вывод о том, что представления о задаче зависят от области знания, которую она отражает. Мы придерживаемся точек зрения
работ [2; 5; 10; 11] и понимаем под задачей определенную ситуацию субъект-объектной категории, которую нужно разрешить с учетом условий, указанных в ней.
Одним из основных средств формирования математических компетенций у студентов классического университета являются математические задачи. По уровню сложности их можно разделить на задания по формированию фундаментальных знаний и на их закрепление, задания на формирование исследовательских умений и на развитие творческого мышления. Таким образом, под учебной математической задачей следует понимать некоторую цель математической деятельности, поставленную перед студентами вуза в виде учебного задания. Решая задачи подобного рода, студенты овладевают не только необходимыми на данном этапе образовательного процесса знаниями, умениями, навыками и алгоритмами, но и развивают свои личностные качества. Одна и та же математическая задача может служить достижению нескольких конкретных учебных целей и, следовательно, быть компонентом нескольких учебных заданий. В то же время та или иная конкретная учебная цель может быть достигнута несколькими предметными задачами.
По мнению Г. И. Саранцева, примеры и упражнения следует группировать по методам их решения: задания на геометрические преобразования, задания на векторы и т.д. В зависимости от числа объектов, имеющихся в условии, и связей между ними задачи делятся на простые и сложные, кроме того, выделяются теоретические и практические, нестандартные и стандартные задачи. Поскольку некоторые классификации относительны, так как они не удовлетворяют логическим требованиям, предъявляемым к классификации объектов, поэтому правильнее было бы говорить об объединении заданий и упражнений в группы (типологии задач) [11].
Технология обучения студентов решению математических задач [3; 4; 7; 8], а также исследование математических моделей профессиональных задач должны осуществляться поэтапно, чтобы задания были поняты обучаемыми, а их выполнение было осмысленным. На первом этапе необходимо использовать задачи, направленные на фор-
мирование умений и навыков их решения на алгоритмическом уровне и умения формулировать их на операционном уровне. На втором этапе необходимо использовать задачи, нацеленные на формирование умений их решения на эвристическом уровне и умения формулировать их на технологическом уровне. На третьем этапе необходимо использовать задания, ориентированные на формирование умений решать прикладные и практические задачи на творческом уровне и умения формулировать их на обобщенном уровне.
Отметим, что в методике преподавания математики, как правило, непосредственно при решении конкретных задач используются следующие этапы (см., напр., [8]):
1) анализ текста задачи;
2) поиск способа и составление плана решения;
3) осуществление составленного плана;
4) анализ полученного решения.
Однако, как показывает практика, процесс
выполнения задания не обязательно включает в себя все указанные этапы. Но все же, следует иметь в виду, что выделенные этапы служат той ориентировочной основой, опираясь на которую преподаватель управляет действиями обучаемых по формированию способов решения рассматриваемых задач.
Задачный подход в профессиональной подготовке математиков в классическом университете сочетается с синергетическим. Синергетический подход - это ситуация пробуждения возможностей, т.е. сил и способностей студента, инициирование его на один из собственных путей решения задачи. При этом знания не просто накапливаются,
а, накапливаясь, стимулируют развитие индивидуальных способностей человека.
Применение интегрального исчисления к вопросам математической физики и механики часто удобнее проводить в векторной форме. Рассмотрим задачи, в которых используются некоторые основные понятия векторного анализа. Например, мы считаем целесообразным с учетом знаний, усвоенных студентами-математиками при изучении тем «Кратные интегралы», «Поверхностные интегралы» и раздела «Элементы теории поля» [9], рекомендовать им в качестве самостоятельного задания составление математических моделей проблемных си-
Сибирский педагогический журнал ♦ № 3 / 2012
61
туации, связанных с вычислениями потока векторного поля по формуле Остроградского и циркуляции векторного поля по формуле Стокса. Рассмотрим подробнее методические аспекты решения таких задач, требующих специальных знаний, анализа условии и, в конечном счете, способствующих формированию у студентов математических компетенций.
Постановка задачи 1. Найти поток векторного поля:
а = P( х, у, г)/ + Q( х, у, г) у + R( х, у,
через замкнутую поверхность X (нормаль внешняя).
План решения. Поток векторного поля через замкнутую поверхность X в направлении внешней нормали можно вычислить по формуле Остроградского:
ГТ=Я[Л‘уй іікііуік,
Зададим область О неравенствами. Поверхность ^, ограничивающая область О, состоит их трех частей и может быть записана в виде:
1 и
пг1'+/54
Из приведенных условий находим систему неравенств, определяющих область:
\(х,у,z): х2 + у2 < 4,|
I 0 < 2 < 1 |
о =
Форма области О такова, что удобно перейти к цилиндрическим координатам:
х = рСОЇф, у = р$ЇПф, г = г.
Следовательно, имеем:
(Р,ф, г): 0 <Ф< 2п, |
0 < р< 2, 0 < г < 1]
О =
(1)
где О - область, ограниченная поверхностью ^, и
, _ дP дО дR
шу а =-------1-----1---
дх ду д2
- дивергенция векторного поля а . Вычислим дивергенцию а и зададим область О неравенствами.
Определим поток по формуле (1) с использованием тройного интеграла.
Пример 1. Найти поток векторного поля
а = (дгу 4- _у~ + г)/ + (згг + у^)] + (л:' +
через замкнутую поверхность 2 , являющуюся полной поверхностью цилиндра х2 + у2 = 4, 2 = 0, 2 = 1 (нормаль внешняя).
Решение. 1. Вычислим дивергенцию векторного поля а :
, . д(ху+И + г) д(г’г+ут)
ап? а - —;— ---------+---------- — -I-
2. Вычислим поток по формуле (1) с использованием тройного интеграла:
■ .'V / .
о
Переходя к цилиндрическим координатам, получаем:
П = рірсоз(р + рз\тр+ г)іір -
ед. потока.
Ярким примером, демонстрирующим ту глубину знаний, умений и навыков, которыми должен обладать студент-математик в результате изучения раздела математического анализа «Элементы теории поля», является задание, связанное с вычислением циркуляции векторного поля.
Постановка задачи 2. Найти модуль циркуляции векторного поля
Р = P( х, у, г)/ + Q( х, у, г) у + R( х, у, z)k
вдоль замкнутого контура:
(х,у,г): р(х,у,г) = 01
Р>( х, у, г) = 0|
L =
План решения. Циркуляция А векторного поля F = {Р, О, К] по замкнутому кусочно-гладкому контуру L, расположенному в области Б, в которой функции Р(х,у,г), О(х, у, 2), К(х, у, 2) имеют непрерывные частные производные, равна потоку ротора этого векторного поля через любую кусочно-гладкую поверхность 2, натянутую на контур L и расположенную внутри области Б, то есть справедлива формула Стокса:
А = | (тогР, п0)Ы&. (2)
X
Предполагается, что ориентация единичных нормалей: п0 = {соб«,собв, соб^] к поверхности 2 согласована с ориентацией контура L так, чтобы из конца каждой нормали обход контура в выбранном направлении выглядел как обход против движения часовой стрелки.
1. Возможны два противоположных направления обхода L. Циркуляция при этих обоих обходах отличается только знаком. Поскольку требуется найти только модуль циркуляции, выбираем направление обхода произвольно, а в ответе запишем абсолютную величину результата.
2. Выберем поверхность 2, натянутую на контур L, и определяем нормали п0 к поверхности 2 .
3. Находим:
I ] к
д д д
дх ду д2
Р О К
rot F =
С CR
ду
CQ
л
Cz
i +
+
CP CR & 1 j +
(
CQ
Cx
CP_
Cy
\
L =
(x,y,z): x2 + y2 + z2 = 9 |
x2 + y2 = 4 (z > 0)J
2 =
x2 + y2 < 4
З. Находим:
rot F =
i j k
д д д
Cx Cy dz
y 1 — x —z
=— 2 k.
Вычислим скалярное произведение (rot F, no).
4. Применим формулу Стокса (2) и вычислим поверхностный интеграл.
Пример 2. Найти модуль циркуляции векторного поля F = yi + (1 — x) j — zk вдоль замкнутого контура:
Решение. 1. В данном случае L - окружность х2 + у2 = 4, лежащая в плоскости 2 = д/5 . Выбираем направление обхода контура L против часовой^стрелки, если смотреть из конца вектора к .
2. В нашем случае.
(х, у, 2): 2 = л/5 |
Согласно выбранной ориентации контура, нормаль п0 к X одна и та же в каждой точке и равна k .
следовательно (rot F, n 0) = -2.
4. По формуле (2) имеем:
A = J - 2da = -2 J dxdy = -8п,
Z x2 + y2 <4
т.е. |A| = 8n.
Методическая ценность выполнения заданий подобного рода заключается, прежде всего, в том, что у студентов не только формируется устойчивый интерес к математическим знаниям, но и потребность их реального применения на практике. Выполнение аналогичных заданий стимулирует студентов-математиков к активной образовательной деятельности, в ходе которой они постепенно приобщаются к научно-исследовательской работе.
Для успешного усвоения студентами учебного материала по разделу математического анализа «Элементы теории поля» автором был разработан и внедрен в учебный процесс специальности «Прикладная математика и информатика» физико-математического факультета ФГБОУ ВПО «Марийский государственный университет» электронный образовательный ресурс, который был апробирован в естественных условиях образовательного процесса на 2 курсе указанной специальности в 2011 г. Приведем характеристику результатов контрольной работы студентов, прошедших обучение по разделу «Элементы теории поля» с использованием электронного образовательного ресурса (см. табл.).
Для оценки эффективности усвоения знаний по рассматриваемому разделу математического анализа использовался обобщенный показатель, расчет которого производился
по формуле: D = ^^—, где М - суммарное n ■ p
число правильно выполненных заданий, р -число запланированных заданий, n - число студентов.
Отметим, что использование электронного образовательного ресурса
- при изучении раздела «Элементы теории поля»:
- развивает логическое и пространствен-
Сибирский педагогический журнал ♦ № З / 2012
63
Таблица
Тематика заданий контрольной работы по разделу «Элементы теории поля»
2010-2011 учебный год
п Р М ПР D (%)
1. Вычисление потока векторного поля 20 1 18 20 90%
2. Определение работы силового поля 20 1 16 20 80%
3. Циркуляция векторного поля 20 1 17 20 85%
ное мышление;
- обеспечивает оптимальную для каждого конкретного студента последовательность работы, состоящую в изучении алгоритмов, разборе примеров, отработке навыков решения типовых задач, проведении самостоятельных исследований, возможности самоконтроля качества полученных знаний.
Таким образом, как показывает опыт и анализ специальной литературы, с целью более эффективного формирования у студентов классического университета математических компетенций необходимо активно использовать задачный подход, позволяющий на примере учебных заданий развивать у студентов математический стиль мышления. Кроме того, данный подход позволяет сформировать способности решать профессиональные задачи посредством математического моделирования, умения устанавливать связи математических знаний с содержанием изучаемых курсов и дисциплин специальности и направлений подготовки, способность использовать пространственные представления и аналитическое мышление, математическую интуицию, умение самостоятельно ставить математические задачи и поэтапно находить их решения.
Библиографический список
1. Балл Г. А. О психологическом содержании понятия «задача» // Вопросы психологии. -1970. - № 6. - С. 81.
2. Далингер В. А. Методика реализации вну-трипредметных связей при обучении математике: кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1991. - 80 с.
3. Журбенко Л. Н. Дидактическая система гибкой многопрофильной подготовки в технологическом университете: автореф. дис. ... докт. пед. наук. - Казань, 2000. - 45 с.
4. Калинин С. И. Методическая система обучения студентов педвуза дифференциальному и интегральному исчислению функций в контексте фундаментализации образования: автореф. дис. ... д-ра пед. наук. - М., 2009. - 46 с.
5. Колягин Ю. М. Задачи в обучении математике. - М.: Просвещение, 1977. - Ч. 1, 2.
6. Пойа Д. Как решать задачу: пер. с англ. -М.: Учпедгиз, 1959. - 208 с.
7. Попов Н. И. Задачи на составление уравнений: учеб. пособие / под ред. Н. И. Попов, А. Н. Марасанов. - Йошкар-Ола: Марийский государственный университет, 2003. - 109 с.
8. Попов Н. И. Теоретико-методологические основы обучения решению текстовых алгебраических задач // Образование и наука. Известия Уральского отделения Российской академии образования. - 2009. - №3(60). - С. 88-96.
9. Попов Н. И. Элементы теории поля: учеб.-метод. Пособие. - Йошкар-Ола: Марийский государственный университет, 2003. - 23 с.
10. Саранцев Г. И. Методология методики обучения математике. - Саранск, 2001. - 141 с.
11. Саранцев Г. И. Методика обучения математике в средней школе: учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов. - М.: Просвещение, 2002. - 224 с.
12. Фридман Л. М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. - М.: Просвещение, 1977. - 208 с.
