CC BY
8Задачи устойчивости для стержней и пластин
Д.т.н., научный руководитель проекта И.Д. Евзеров,
ООО «ПРАЙМ КАД»
Аннотация. Рассмотрены задачи устойчивости для стержней и пластин. Используются вариационные формулировки задачи устойчивости. Исследуется положительная определенность функционала потенциальной энергии. Выполнен переход от трехмерной задачи устойчивости к соответствующим задачам для стержней и пластин.
Использованы представления перемещений по сечению стержня и толщине пластины для геометрически нелинейных задач. Эти представления получены из предположений о равенстве нулю деформаций в плоскости сечения стержня или по толщине пластины. Вычислены вторые вариации нелинейных деформаций. Выполнено интегрирование по сечению стержня и толщине пластины. Применены известные формулы для усилий и уравнения равновесия. Получены функционалы устойчивости для стержней и пластин.
Проведено сравнение с известными ранее результатами. Приведено решение тестовой задачи для центрально сжатого консольного стержня с сечением Пи, которая моделировалась пластинами.
Ключевые слова: задачи устойчивости; стержни и пластины; вариационные формулировки
Введение
Исследование устойчивости конструкций является одним из основных этапов расчета. Особого внимания требуют стержневые и пластинчатые элементы. Уравнения для стержней и пластин получают из трехмерной задачи, используя представления перемещений по сечению стержня и толщине пластины. Применяются гипотезы плоских сечений для стержней [1, 2], прямых нормалей для пластин и оболочек [3, 4], методы разложения по малому параметру [5-8] и другие асимптотические методы [9, 10, 11]. В работах [12-15] исследуется устойчивость стержней переменного сечения. В работах [16, 17] приведены многочисленные примеры ошибок, возникающих при расчетах устойчивости.
Целью работы является построение представлений перемещений по сечению стержня и толщине пластины, обеспечивающих равенство соответствующих элементов нелинейного тензора деформаций нулю, переход от трехмерной задачи устойчивости к соответствующим задачам для стержней и пластин и вычисление функционалов.
Обозначения
О - область, занимаемая конструкцией; х = (,х2,х3) - вектор независимых переменных;
и (х) -вектор - функция перемещений, и = (и1,и2,из);
и-вектор - функция перемещений стержня или пластины, и = (и1, и 2, и3);
а -вектор - функция поворотов стержня или пластины, а = (а1,а2,а3);
/ - правая ^сть / = (/ъ /2, /з) ;
А,I - сечение и длина стержня, 5 - толщина пластины;
с12 - вторая вариация;
С7у, ец(и) - напряжения и нелинейные деформации.
Предполагается суммирование по повторяющимся индексам.
Для стержней штрихом обозначаем дифференцирование по х1.
Трехмерная задача устойчивости
При решении задачи устойчивости недеформированной схемы в линеаризованной постановке исследуется [18, 19] положительная определенность функционала:
a(U) + b(U) + f (U), где a(u) - функционал работы внутренних сил линейной задачи;
f (U) — J fd2Utdx; (1)
Q
b(U) = \a4d2e4 (U)dx; (2)
Q
е г] (и) = (диi / дх} + ди] / дхг + ди к / дхг ди к / дх}) / 2 . (3)
В работе [20] показано, что слагаемые <уи (ди^ / дxi )2 в формуле (2) малы по сравнению с соответствующими величинами, входящими в а(и), поэтому в дальнейшем они не учитываются.
Представление перемещений по сечению стержня и преобразование функционалов
Предполагаем, что:
1) сечение остается плоским;
2) деформации в плоскости сечения равны нулю, е22(и) = е33(и) = е23(и) = 0;
3) линейные по иг, и 2, и3,аг слагаемые - такие же, как в геометрически линейном случае.
Из 1) следует, что
иД х) = и + Х2 В + хъС1. (4)
Из 2) следует, что
B2 + (1+b2)2 + b32 = i, c? + cf + (i + c3)2 = i, BlCl + (1 + Bf)Cf + Вз(1 + Сз) = 0.
Из 3) следует, что
(5)
В1 = -и2 + Ь1, С = -и3 + с1, В3 = а1 + Ь3, С2 = -а1 + с2, В2 = Ь2, С3 = с3. (6)
Подставив (6) в формулу (5) и приравняв нулю квадратичные слагаемые, получим:
'22 '22 ' ' 2Ь2 + (и2)2 + а{ = 0 , 2с3 + (и3)2 + а{ = 0, с2 + Ь3 + и2и3 = 0. (7)
Приравняв нулю кубичные слагаемые, получим:
I I II
- 2щЬ + 2аЬ = 0 , - 2щс^ - 2ас = 0, - иЬ - и2с^ + а (с3 - Ь2 ) = 0 . (8)
Из (4)-(8) следует представление перемещений по сечению:
U (х) = u - x2a3 + x3a2 + (х2аха2 + x3axa3) / 2
»1 Л2^з i ^3^2 1 ЛГГ3,
U2(x) — u2 -x3a1 -x2(a12 + a32)/2 + x3a2a U3 (x) = u3 + x2a1 + x2a2a3 /2 - x3 (a12 + a2 где использованы обозначения — U3 — af, Uf — a3, функции ut,аг- зависят только от x1.
Введем стандартные обозначения для внутренних сил и моментов и внешних моментов [1]:
N ;
A
Mx =|(x2oX3 - x3aX2)dA , M2 = Jx3&xxdA , M3 =-Jx2&xxdA ;
A A A
m2 = Jx3 fxdA , m3 = -Jx2 fxdA .
AA
Предполагаем,что
Jx2f2dA = Jx3f3dA = J(x3f2 +x2f3)dA = 0 .
AAA
Справедливы уравнения равновесия [1]:
M2. - N3 = -m2 , M3 + N2 = -m3. (10)
Из (1), (9) получим:
f (U) = J(m2axa3 -m3aja2)dxl /2 .
i
Дифференцируя формулу (9) с учетом равенств - u3 = a2, u2 = a3, получим:
d2exx(U) = [(a3 -x3ax )2 + (-a2 + x2ax )2 + x2(axa2) + x3(axa3) ]/2;
d2eX2(U) = [-x3(a2 a3 -a3 a2) -axa2\/2; (11)
d2ex3(U) = [x2(a2 a3 -a3 a2) -axa3]/2. Интегрируя по сечению и пользуясь уравнениями (10), получим:
b(U) + f (U) = J[Nx(a2 +a2) - 2(M2ax) a3 + 2(M3ax)a2 +Mx(a2 a3 -a3 a2) +
i , (12)
(Nxr2 + M2132 -M3123)af + 2m2axa3 - 2m3axa2 + (M2axa3) - (M3axa2)]dxx /2
где r2 = (I2 +13)/A ;
I2 = J x^dA ;
A
I3 = J xl dA ;
A
132 = J x3( x 22 + / 12 ;
I 23 = J x 2 ( x 22 + x 32 )dA / I 3 .
Первое слагаемое в (12) - изгиб от сжатия, четвертое - изгиб от кручения, пятое - кручение от сжатия, остальные - кручение от изгиба.
Функционал (12) отличается от приведенного, например, в работе [21] наличием последних четырех слагаемых, которые обусловлены квадратичными по поворотам слагаемыми в (9).
Последние два слагаемых получены другим методом в работе [20].
Второе слагаемое следует вводить в (12) только для тонкостенных стержней, когда
и
функционал а(и) работы внутренних сил содержит под интегралом слагаемое Е1ю(ах )2.
Для тонкостенных стержней полагаем [22, 23, 24]: а2 = -и3 + х°а- , а2 = и2 + х°а! ,
0 0
х2 , х3 - координаты центра кручения.
Представление перемещений для пластин и преобразование функционалов
Используется аналогичное (9) представление перемещений по толщине [25]:
их (х) = их + х3а2 + х3аха3 / 2;
и2(х) = и2 - х3ах + х3а2а3/2; (13)
2 2
и3(х) = и3 -х3(а- +а2 )/2 ; функции ui,а1 зависят только от хх,х2.
Квадратичные по поворотам слагаемые в (13) обеспечивают равенство е33(и) = 0 . Введем стандартные обозначения для внутренних сил и моментов и внешних моментов [3]:
Ягр = -\^гРах3 , МрЧ = -{х3^РЧ^х3 ,
3 3
т 2 — ^ х3 I1 ёх^, — ^ х^ I2 ^х^.
3 3
Интегралы берутся по толщине пластины. Справедливы уравнения равновесия [3]:
дМ- р / дхр - N31 =-т2, дМ2р / дхр - N32 = т-. (14)
Из (1) и (13) получим
I(и) = |(т2аха3 - тха2а3)ёхх6х2 /2.
□
Дифференцируя (13) с учетом равенств ди3 / дх2 = ах, ди3 / дхх = -а2, получим:
ё 2еп(и) = [(ди2/дх1 - х3да-/дху)2 +а2 + х3д(а-а3)/дх-]/2; ё2е22(и) = [(ди1 /дх2 + х3да2 /дх2)2 +а12 + х3д(а2а3)/дх2]/2 ;
ё е-2(и) = [(ди- / дх- + х3да2 / дх-)(ди- / дх2 + х3да2 / дх2) + (ди2 / дх- - х3да- / дх-)-(ди2 /дх2 - х3да- /дх2) + а-а2 + х3(д(а-а3) /дх2 + д(а2а3)/дх-)]/2
ё2е-3(и) = -ахди2 /дхх + аха3 /2;
ё2е23 (и) = а2дих / дх2 + а2а3 / 2 . Интегрируя по толщине и пользуясь (14), получим:
(15)
b(U) + f (U) = J[Npqdu3 /дхрdu3/dxq + Nn(du2/dxx)2 + N2,(dujдх2)2 +
Nl2(dux /дххдих /дх2 + du2 /дххди2 /дх2) + (16)
2д(Ыхрах)/дхрdu2/дхх - 2d(M2ра2)/дхрdux /дх2 + 2(т2аха3 - тха2а3) - d(M ара3)/дхч\ёхх&х2 /2
Последнюю сумму можно преобразовать к интегралу по границе. Первая сумма в (16) -изгиб от сжатия, три последние - влияние изгиба. Слагаемые, содержащие а3, следует вводить в
(16) только в том случае, когда функционал а(и) работы внутренних сил содержит под интегралом слагаемое [26]:
05(аъ - (ди2/ дхх -дих/дх2)/2)2. (17)
При использовании метода разложения по малому параметру (толщине) в работах [7, 8] слагаемые
Ыхх(ди2 /дхх)2 + Ы22(дих /дх2)2 + Ых2(дих /дххдих /дх2 + ди2 /дххди2 /дх2) (18)
приняты малыми. Однако они также существенны. Например, задачи устойчивости центрально сжатых стержней с сечениями - Пи, двутавр, Зет и т. д. - можно моделировать и пластинами. Если в (16) не учитывать слагаемые (18), критическая сила увеличивается на 30-50%. Наиболее характерный пример - стальной консольный стержень с сечением Пи, высота стенок - 96 мм, ширина нижних полок -23 мм, ширина верхней полки - 56 мм, толщина стенок и полок - 4 мм. Аналитическое решение приведено в работе [27]. При моделировании пластинами с учетом (18) первая критическая сила равна 5.77 т. Близкие результаты получены при моделировании стержнями и трехмерными элементами. При моделировании пластинами без учета (18) первая критическая сила равна 9.11 т.
Представленные результаты внедрены в программном комплексе ЛИРА10, который широко применяется для расчета строительных конструкций. В работе [28] приведены решения тестовых задач устойчивости, полученные в ПК ЛИРА10, и сравнение с аналитическими решениями.
Выводы
1. Получены представления перемещений по сечению стержня и толщине пластины для геометрически нелинейных задач.
2. Выполнен переход от вариационной постановки трехмерной задачи устойчивости к соответствующим задачам для стержней и пластин.
Литература
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1987. 246 с.
2. Сливкер В.И. Строительная механика. Вариационные основы. М.: АСВ, 2005. 708 с.
3. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. 383 с.
4. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. М.: Судпромгиз, 1962. 344 с.
5. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976. 475 с.
6. Гольденвейзер А.Л. Алгоритмы асимптотического построения линейной двумерной теории тонких оболочек и принцип Сен-Венана // Прикладная математика и механика. 1994. Т. 58. Вып. 6. С. 96-108.
7. Сьярле Ф., Рабье П. Уравнения Кармана. М.: Мир, 1983. 172 с.
8. Ciarlet P.G. Mathematical elasticity. Theory of plates. Amsterdam: Elsevier, 1997. 497 p.
9. Назаров С.А. Асимптотический анализ тонких пластин и стержней. Новосибирск: Научная книга, 2002. 406 с.
10. Bauer S.M., Filippov S.V., Smirnov A.L., Tovstich P.E. Asymptotic methods in mechanics with application to thin plates and shells // Asymptotic Methods in Mechanics & Lecture Notes. 1993. Vol. 3. Pp. 3-141.
11. Miara B. Justification of the asymptotic analysis of elastic plates // Applicable Analysis. 1989. Vol. 31. Pp. 291-307.
12. Cywinski Z. Formänderungsgrössenverfahren mittig gedrückter dünnwandiger Stäbe mit einfach- und doppeltsymmetrischen offen Querschnitten // Stahlbau. 2005. No. 12. Pp. 916-924.
13. Co§kun S.B. Analysis of tilt-buckling of Euler columns with varying flexural stiffness using homotopy
perturbation method // Mathematical Modeling and Analysis. 2010. Vol. 15. No. 3. Pp. 275-286.
14. He J.-H. Recent development of the homotopy perturbation method // Topological Methods in Nonlinear Analysis. 2008. Vol. 31. No. 2. Pp. 205-209.
15. Atey M.T. Determination of critical buckling loads for variable stiffness Euler columns using homotopy perturbation method // International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation. 2009. Vol. 10. No. 2. Pp. 199-206.
16. Перельмутер А.В., Сливкер В.И. Некоторые ошибки в постановке и решении задач устойчивости равновесия конструкций // Труды международной научно-технической конференции «Вычислительная механика деформируемого твердого тела». Т.2. М., 2006. С. 316-323.
17. Perelmuter A.V., Slivker V.I. On an Error of Mysterious Nature that happens in Software when Analyzing Mechanical Systems for Buckling // Proceedings of the 15th Nordic Seminar on Computer Mechanics. Aalborg, Denmark. 18-19 October. Denmark: Aalborg University, 2002. Pp. 229-232.
18. Болотин В.В. О вариационных принципах теории упругой устойчивости // Проблемы механики твердого деформируемого тела. Л.: Судостроение, 1973. С. 83-88.
19. Болотин В.В. О понятии устойчивости в строительной механике // Проблемы устойчивости в строительной механике. М.: Стройиздат, 1965. С. 6-27.
20. Перельмутер А.В., Сливкер В.И. Устойчивость равновесия конструкций и родственные проблемы. М.: СКАД СОФТ, 2009. 704 с.
21. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987. 542 с.
22. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни (прочность, устойчивость, колебания). М.: Госстройиздат, 1940. 276 с.
23. Лалин В.В., Рыбаков В.А., Морозов С.А. Исследование конечных элементов для расчета тонкостенных стержней // Инженерно-строительный журнал. 2012. №1(27). С. 53-73.
24. Anwer Ali B., Saad S., Osman M., Ahmad Y. Finite Element Analysis of Cold-formed Steel Connections // International Journal of Engineering (IJE). 2011. Vol. 5. No.2. Pp. 55-61.
25. Городецкий А.С., Евзеров И.Д. Компьютерные модели конструкций. Киев: Факт, 2007. 393 с.
26. Wilson E.L., Ibragimbegovich J. Thick shell and solid elements with independent rotation fields // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1991. Vol. 31. Pp. 1393-1414.
27. Биргер И.А., Пановко Я.Г. Прочность. Устойчивость. Колебания. М.: Машиностроение, 1968. Т. 3. 567 с.
28. Евзеров И.Д., Гераймович Ю.Д., Лазнюк М.В., Марченко Д.В. Численное решение задач устойчивости и сильного изгиба // Труды четвертой международной научно-технической конференции «Теория и практика расчета зданий и элементов конструкций. Аналитические и численные методы». М.: МГСУ, 2011. С. 155-166.
Исаак Данилович Евзеров, Киев, Украина Тел. моб.: +38(050)3302498; эл. почта: ide@lira.com.ua
© Евзеров И.Д., 2014
doi: 10.5862/MCE.45.2
The Stability Problems for Bars and Plates
I.D. levzerov
LLC PRAYM KAD, Kiev, Ukraine +38(050)3302498; e-mail: ide@lira.com.ua
Key words
stability problems; bars and plates; variation formulations
Abstract
The stability problems for bars and plates are considered. Variation formulations are used for the stability problems. The positive definiteness of the potential energy functional is studied. The transition from the three-dimensional stability problem to the corresponding problems for bars and plates is executed.
Concepts of displacements through the section of bar and plate thickness are used for geometrically nonlinear problems. These concepts are derived from the assumptions of the vanishing of the strain through the cross-section plane of the bar or the thickness of the plate. The second variations of non-linear deformations are calculated. The integration through the cross-section of the bar and plate thickness was made, using known formulas for the efforts and the equilibrium equation. The stability functionals for bars and plates are obtained.
Comparing to the results known before is conducted. A solution to the test problem for the centrally compressed cantilever beam with a cross section of Pi, which was modeled by plates, is given.
References
1. Landau L.D., Lifshits E.M. Teoriya uprugosti [Theory of elasticity].Moscow: Nauka, 1987. 246 p. (rus)
2. Slivker V.I. Stroitelnaya mekhanika. Variatsionnyye osnovy [Structural mechanics. Variational foundation]. Moscow: ASV, 2005. 708 p. (rus)
3. Dyuvo G., Lions Zh.-L. Neravenstva v mekhanike i fizike [Inequalities in mechanics and physics]. Moscow: Nauka, 1980. 383 p. (rus)
4. Novozhilov V.V. Teoriya tonkikh obolochek [Theory of thin shells]. Moscow: Sudpromgiz, 1962. 344 p. (rus)
5. Goldenveyzer A.L. Teoriya uprugikh tonkikh obolochek [Theory of elastic thin shells]. Moscow: Nauka, 1976. 475 p. (rus)
6. Goldenveizer A.L. Prikladnaya Matematika i Mekhanika. 1994. Vol. 58. No. 5. Pp. 96-108. (rus)
7. Syarle F., Rabye P. Uravneniya Karmana [Karman equations]. Moscow: Mir, 1983. 172 p. (rus)
8. Ciarlet P.G. Mathematical elasticity. Theory of plates. Amsterdam: Elsevier, 1997. 497p.
9. Nazarov S.A. Asimptoticheskiy analiz tonkikh plastin i sterzhney [Asymptotic analysis of thin plates and rods]. Novosibirsk: Nauchnaya kniga, 2002. 406 p. (rus)
10. Bauer S.M., Filippov S.V., Smirnov A.L., Tovstich P.E. Asymptotic methods in mechanics with application to thin plates and shells. Asymptotic Methods in Mechanics & Lecture Notes. 1993. Vol. 3. Pp. 3-141.
11. Miara B. Justification of the asymptotic analysis of elastic plates. Applicable Analysis. 1989. Vol. 31. Pp. 291-307.
12. Cywinski Z. Formänderungsgrössenverfahren mittig gedrückter dünnwandiger Stäbe mit einfach- und doppeltsymmetrischen offen Querschnitten. Stahlbau. 2005. No. 12. Pp. 916-924.
13. Co§kun S.B. Analysis of tilt-buckling of Euler columns with varying flexural stiffness using homotopy perturbation method. Mathematical Modeling and Analysis. 2010. Vol. 15. No. 3. Pp. 275-286.
14. He J.-H. Recent development of the homotopy perturbation method. Topological Methods in Nonlinear Analysis. 2008. Vol. 31. No. 2. Pp. 205-209.
15. Atey M.T. Determination of critical buckling loads for variable stiffness Euler columns using homotopy perturbation method. International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation. 2009. Vol. 10. No. 2. Pp. 199-206.
16. Perelmuter A.V., Slivker V.I. Trudy mezhdunarodnoy nauchno-tekhnicheskoy konferentsii «Vychislitelnaya mekhanika deformiruyemogo tverdogo tela» [Proceedings of international scientific and technical conference "Computational mechanics of deformable rigid body]. Vol. 2. Moscow: 2006. Pp. 316-323. (rus)
17. Perelmuter A.V., Slivker V.I. On an error of mysterious nature that happens in software when analyzing mechanikal systems for buckling. Proceedings of the 15th Nordic Seminar on Computational Mechanics. Aalborg, Denmark, 18-19 October. Denmark: Aalborg University, 2002. Pp. 229-232.
18. Bolotin V.V. Problemy mekhaniki tverdogo deformiruemogo tela [Problems of mechanics of deformable rigid body]. Leningrad: Sudostroeniye, 1973. Pp. 83-88. (rus)
19. Bolotin V.V. Problemy ustoychivosti v stroitelnoy mekhanike [Problems of stability in structural mechanics]. Moscow: Stroyizdat, 1965. Pp. 6-27. (rus)
20. Perelmuter A.V., Slivker V.I. Ustoychivost ravnovesiya konstruktsii i rodstvennyye problemy [Stability of structure balance and related problems]. Moscow: SKAD SOFT, 2009. 704 p. (rus)
21. Vasidzu K. Variatsionnye metody v teorii uprugosti i plastichnosti [Variational methods in theory of elasticity and plasticity]. Moscow: Mir, 1987. 542 p. (rus)
22. Vlasov V.Z. Tonkostennyye uprugiye sterzhni (prochnost, ustoychivost, kolebaniya) [Thin-walled elastic rods (strength, stability, vibrations)]. Moscow: Gosstroiyzdat, 1940. 276 p. (rus)
23. Lalin V.V., Rybakov V.A., Morozov S.A. Magazine of Civil Engineering. 2012. No. 1(27). Pp. 53-73. (rus)
24. Bryan Anwer Ali, Sariffuddin Saad, Mohd Osman, Yusof Ahmad. Finite Element Analysis of Cold-formed Steel Connections. International Journal of Engineering (IJE). 2011. Vol. 5. No. 2. Pp. 55-61.
25. Gorodetskii A.S., Evzerov I.D. Kompyuternyye modeli konstruktsii [Computer models of the structure]. Kiev: Fakt, 2007. 393 p. (rus)
26. Wilson E.L., Ibragimbegovich J. Thick shell and solid elements with independent rotation fields. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1991. Vol. 31. Pp.1393-1414.
27. Birger I.A., Panovko Ya.G. Prochnost. Ustoychivost. Kolebaniya [Strength, stability, vibrations]. Moscow: Mashinostroyeniye, 1968. Vol. 3. 567 p. (rus)
28. Evzerov I.D., Geraimovich Yu.D., Laznyuk M.V., Marchenko D.V. Trudy chetvertoy mezhdunarodnoy nauchno-tekhnicheskoy konferentsii «Teoriya i praktika rascheta zdaniy i elementov konstruktsiy. Analiticheskiye i chislennyye metody» [Proceedings of the fourth international scientific and technical conference "Theory and practice of analysis of buildings and structural elements. Analytic and numerical methods]. Moscow: MGSU, 2011. Pp. 155-166. (rus)
Full text of this article in Russian: pp. 6-11
