Задачи оптимального и жесткого управления решениями одного класса нестационарных уравнений соболевского типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО И ЖЕСТКОГО

УПРАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЯМИ ОДНОГО КЛАССА НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

М, А. Сагадеева

Введение

Пусть X, ф и Я — гильбертовы пространства. На интервале 5 С М при ¿о € 5 рассмотрим задачу Шоуолтера — Сидорова [1]

Ь(х(г0) - Х,)=0 (1)

для уравнения соболевского типа [2-6]

ы{г) = ыгх(г) + /(г) + Би(г), (2)

здесь Ь, Ыг € (Х;Ф) (т. е. операторы линейны и непрерывны) при каждом £ € 5 Б € ££(Я;ф), а вектор-функции и : [О,Т) ^ Я, / : [О, Т) ^ ф подлежат дальнейшему определению. Введем в рассмотрение функционал качества

(3)

где а € (0,1], д = ОД, [to,T] С 3- Здесь Я и Z — гильбертовы пространства, Nq € (Я) — самосопряженные и положительно определенные операторы, zd = zd(t, u) — плановое наблюдение из некоторого гильбертова пространства наблюдений Z, et z — Cx, C € Jf(X3). Результаты исследования задачи оптимального управления

J{v)= min J{u), а € (0,1) (4)

u eUg

© 2013 Сагадеева M. А.

и задачи жесткого управления

J(v) = min J(u), а = 1 (5)

u£Ug

для системы леоитьевского типа — конечномерного аналога уравнения соболевского типа —

LX(t) = Mx(t) + f (t) + Bu(t)

с начальным условием Шоуолтера — Сидорова (1) представлены в [7]. Здесь Ud — некоторое выпуклое компактное подмножество допустимых управлений в пространстве управлений U.

Несмотря на схожесть постановок задачи оптимального и жесткого управления системой, эти задачи несут разную смысловую нагрузку. При оптимальном управлении учитывается величина управляющего воздействия приведения системы в нужное состояние, а при жестком управлении эта величина не учитывается, т. е. при жестком управлении надо привести систему в нужное состояние, невзирая на затраченные для этого усилия.

Оптимальное управление решениями задачи Коши для линейных стационарных (при Mt = M) уравнений соболевского типа (2) впервые изучалось в [8]. В [9,10] рассмотрена задача оптимального управления решениями начально-конечных задач для линейных стационарных уравнений соболевского типа первого и второго порядков соответственно. Задаче оптимального управления решениями полулинейных стационарных уравнений соболевского типа посвящена монография [11].

Кроме того оптимальное управление для нестационарных уравнений соболевского типа рассматривается в [12], где зависимость от вре-M

данной работе в рамках теории уравнений соболевского типа [5] ставится задача оптимального и жесткого управления для уравнения с оператор-функцией Mt (впервые такое уравнение рассматривается в [13]).

Отметим также, что в настоящее время методами оптимального управления активно исследуются задачи о восстановлении динамически искаженных сигналов — задачи оптимального измерения [14].

В разд. 1 приведены необходимые сведения из теории нестационарных уравнений соболевского типа [13,15]. В разд. 2 строится сильное решение задачи Шоуолтера — Сидорова для нестационарного уравнения, а затем в разд. 3 доказывается существование и единственность решения задачи оптимального управления решениями такого уравнения.

Список литературы не претендует на полноту и отражает лишь личные пристрастия автора.

1. Относительно спектрально ограниченная оператор-функция

Доказательства утверждений, приведенных в этом разделе, можно найти в [13] (см. также [15]).

Пусть X и ф — банаховы пространства, 3 — промежуток в М, Ь € ^(X; ф), М € &(X; ф) для ВСех Ь € 3.

Следуя терминологии, используемой в [5], множества рь(Мг) = {р € С : {рЬ - Мг)— € 2(ф;Х)} и аь(Мг) = С \ рь(Мг) будем на-ЬЬ

оператор-функции Мг.

Очевидно, что если кег Ь П кег Мг ф {0} при некотором Ь € 3, то рН Мг) = 0.

Лемма 1 [5]. Пусть Ь € ^(X; ф), Мг € ^(X; ф) для Ь € 3■ Тогда Ь-резольвентное множество рь(Мг) оператора Мг открыто, а Ь-спектр сть(Мг) оператора Мг замкнут.

При Ь € 3 оператор-функции (рЬ - Мг)—, Мг) = (рЬ - Мг)— Ь и Ь^(Мг) = Ь(рЬ — Мг)— комплексного перемеппого р € С с областью определения рь(Мг) будем называть соответственно Ь-резольвентой, правой и левой Ь-резольвентами оператора Мг.

В дальнейшем будут использоваться тождества, справедливые при фиксированном Ь € 3 и любых р, А € рь(М):

(А - р)(АЬ - Мг)— Ь(рЬ - Мг)— = (рЬ - Мг)— - (АЬ - Мг)—, Ь(рЬ - Мг)— Мг = Мг(рЬ - М)— Ь.

Лемма 2. Пусть Ь € &(Х; ф), Ыг € %(Х;ф) для Ь € 5. Тогда

Ь-резольвента, правая н левая Ь-резольвепты оператора Ыг апалнтпч-

Определение 1. Оператор-функция Ыг называется спектрально ограниченной относительно оператора Ь (или просто (Ь, а)-ограниченной), если

За4 € С (5; М+)Уг € 5 тах{|м| : м € аь(Ы^} < аг < + ж.

В силу равенств (6) справедлива

Теорема 1. Пусть оператор-функция Ыг € С(5; ^?(Х;ф)) сильно дифференцируема по Ь € 5 п (Ь, а)-ограничена. Тогда оператор-функция (мЬ — Ыг)сильно дифференцируема по Ь € 5 при м € Ег = (А € С : |А| >2 аг}.

Пусть оператор-функция Ыг (Ь, а)-ограпичепа, а контур = (м € С : |м| = 2аг}. Рассмотрим интегралы

которые существуют в силу леммы 2. В [5] показано, что при фиксированном Ь € 5 оператор ы Рг : X ^ Хи Qt : ф ^ ф являются проекторами.

Лемма 3. Пусть оператор-функция Ыг € С(5;^?(Х;ф)) сильно дифференцируема по Ь € 5 п (Ь, а)-ограничена. Тогда оператор-функции Рг € С(5; ^?(Х)) п Qt € С(5; ^?(ф)) сильно дифференцируемы по Ь € 5.

Положим Х^ = кегРг, ф? = ке^г, Х\ = 1 тРг, = imQt для всех Ь € 5. Обозначим через и Ыг,к сужение операторов Ь и Ыг па Х4, к = 0,1.

Теорема 2. Пусть оператор-функция Ыг € С(5; ^?(Х;ф)) равномерно непрерывна и сильно дифференцируема по Ь € 5, а также (Ь, а)-ограничена. Тогда

(1) имеет место действие операторов : Хк ^ фк, : Хк ^ фк для всех Ь € 5 к = 0,1;

иы по м в РЬ{ Ыг).

(И) существуют операторы M^1 g Jz? (ф?; X?), t g J, причем, если оператор-фупкция Mt : J ^ Jz? (X ф) сильно дифференцируема, то оператор-функция (I — Qt) g -^f (ф; X?) снлыю дифференцируема not £ а при условии сильной непрерывности оператор-функции -jf.Mt оператор-фупкция (М^ (/ — Qt)) также сильно непрерывна not £ 3;

(iii) существуют операторы Lt^\ g П^ (ф?; X?), t g J, при этом опе-ратор-фупкция L?l Qt g C (J; jT (ф; X?)) сильно непрерывна not g J;

(iv) операторы Mtд g Jf (X?, ф?)> t g J, таковы, что оператор-функция М?дPt g jz? (X, ф?) сильно непрерывна no t g J.

Доказательство следует из равенств (6), теоремы 1 и леммы 3. Подробнее см. в [15].

Замечание 1. Нетрудно показать, что L^1 g C(J;^(ф1; X?)) в предположении ф? = ф1.

При условии (L, ^-ограниченности оператор-функции Mt в условиях теоремы 2 построим операторы Ht = M^ Ltj0 g Jz? (X?) и St = L^ Mtд g Jz? (X?), с помощью которых сформулируем следующее

Определение 2. (L, ст)-ограниченную оператор-функцию Mt будем называть (L, 0)-ограниченной, если Ht = О для всex t g J.

Mt g X ф t g J L,

L Xt L ф t t g J

Доказательство для каждого фиксированного t g J см. в [5].

В дальнейшем будем обозначать kerL = kerPt = X0, kerQt = ф?, imPt = X?, imL = imQt = ф1. Через L0 обозначим сужение оператора L па X0, через Ltji — сужение оператора L па X?, через Mt^, k = 0,1, — Mt X Xt t g J

2. Сильные решения задачи Шоуолтера — Сидорова для нестационарного уравнения соболевского типа

Рассмотрим задачу Шоуолтера — Сидорова (1) для нестационарного однородного уравнения соболевского типа вида

Li(t) = Mtx(t), (7)

где, как и выше, Ь € (X; Ф)> М € ^(X Ф) для всех Ь €

Определение 3. Оператор Х(г,т) = Ь—У(¿)У(т)ЬтдРт назовем эволюционным (разрешающим) оператором уравнения (7), где

У(г) = 1Юг+1 тн + /• • • / . . . . . . Ап (Ф1)

¿о 2 ¿0 ¿0 ¿0

с оператором Тг = МмЬ— € .^(ф1)).

Лемма 4. Эволюционный оператор Х(Ь, т) обладает следующими фундаментальными свойствами:

(1)Х(М) = Р4; (и )Х(М)Х(*,т) = Х(*,т); (Ш)Х(*,т)Ь = [Х(тД)Ы

(iv) ^(X < ^ехр (/ ||TJ*(y) ds) (т < t).

Определение 4. Вектор-функцию x G И (X) = {x G L(X : x G L (X} называется сильным, решением уравнения (2), если она почти всюду па 3 обращает его в тождество. Сильное решение x = x(t) уравнения (2) называется сильным, решением задачи Шоуолтера — Сидорова (1), (2), если оно удовлетворяет (1).

С помощью эволюционного оператора можно задать решение задачи Шоуолтера — Сидорова (1), (7) в виде x(t) = X(t,tQ)xQ.

Теорема 4. Пусть оператор-функция Mt G Y)) сильно

дифференцируема not G 3 н (L, 0)-ограничена. Тогда для любых щ G X н f G И (ф) существует единственное сильное решение x G И (X) задачи Шоуолтера— Сидорова (1) для уравнения Lx(t) = Mtx(t)+f(t), имеющее вид

t

x(t) = X(t,t0)x0 + J X{t,T)L-l QTf{T)dT — M- (I — Qt) f(t).

t

Доказательство. Подействуем проектором (I—Qt) па уравнение Lx(t) = Mtx(t) + f{t), получим

(I — Qt) Lx{t) = {I — Qt) Mtx(t) + (I — Qt) f(t),

l(i—Pt) т = Mt,{ i—д) (i — Qt)/(t),

o = (I — p?) Xt) + m?7o (i — Qt) /(t). Как и прежде, обозначим x0(t) = (I — Pt)Xt), тогда

X0(t) = — M- (I — Qt) /(t).

Вновь сделаем замену LXt) = y(t) G ф1 для всех t G J и получим

(LXt)) = y(t) = M?Xt) + /(t) = Mtx0(t) + MtPtX^ /(t) = MtX—M-(I — Q?)/(t)) + MtPtX^ /(t)

= MtPtX^ Qt/(t) = MtL^i y(t) + Qt/(t).

LXt MXt / t

виде системы двух уравнений

y(t) = Tty(t) + Qt/(t), (8)

0 = + (I — Qt) /(t) (9)

ф X соответственно. Для любого xo G X получим Lx0 = yo G ф1, и задача Шоуолтера — Сидорова L(Xto) — жо) = 0 примет вид y (to) —yo = 0. Тогда решение уравнения (8) согласно [16, с. 138-153] имеет вид

t

y(t) = У( t)y -1 (t0)y0 + У У( t)y -1 (t)Qt /(т)йт.

t

В силу приведенных выше рассуждений справедливы равенства PtXt) = L- y(t) и yo = Lt(bi Pto Xo, а следовательно,

t

PtXt) = L-i Y(t)Y-1 (t0)Lt0ilPt0x0 + J L-Y(t)Y-1(t)Qt/(t) dT,

t

HX

X t — Mt- I — Q t / t G H X теоремы 2(ii) разрешает уравнение (9), откуда в силу определения 4 следует утверждение теоремы.

3. Оптимальное и жесткое управления решениями задачи Шоуолтера — Сидорова для нестационарного уравнения

Выделим в пространстве И1 (Я) замкнутое выпуклое подмножество Hg (Я) = Uad — множество допустимых управлений.

Определение 5. Вектор-функцию« е И|(Я) назовем оптимальным (жестким) управлением решениями задачи (1), (2), если

J(v) = min J(u), а е (0, 1) (а = 1),

ueHi, (U)

где пары (x,u) е X х Ид (Я) удовлетворяют (1), (2).

В силу теоремы 4 при любых x0 е X, f е И1 (ф) и u е И1 (Я) существует единственное сильное решение x е И(X) задачи (1), (2), имеющее вид

t

x{t) = X(t,t0)x0 + j X{t,s)L-\Qs(f(s) + Bu(s))ds t

- M-(I - Qt)(f(t) + Bu(t)). (10)

Зафиксируем x0 е X, f е И (ф) и рассмотрим (10) как отображение D : u ^ x(u).

Лемма 5. Пусть пространства X, ф н Я гильбертовы. Пусть оператор-функция Mt е C(J;J?(X;Y)) сильно дифференцируема по t е J (L, 0)-ограннчена, а элементы x0 е X, f е И (ф) фиксированы. Тогда отображение D : И1 (Я ^ И1 (X), определенное формулой (10), непрерывно.

Доказательство. В силу того, что B е J?(Я;Ф) и оператор-Mt t

(10), утверждение леммы следует из теорем 2 и 4.

В пространстве И1 (ф) введем скалярное произведение

1 т

[;y,z] =]Г iy)y dt.

q=oi

Теорема 5. Пусть пространства X Y и U гильбертовы. Пусть оператор-функцпя Mt G C(3;J?(XY)) сильно дифференцируема по t G J и (L, 0)-ограничена. Тогда при любых x0 G X f G H (Y) существует единственное оптимальное управление v G Нд(U) задачи (l)-(4).

Доказательство. Пользуясь отображением D из леммы 5, перепишем функционал стоимости (3) в виде

J(u) = - zJh(3) + [n,UL

где ^k) (t) = NkUfc), k G {0,1}. Откуда

J(u) = X«, u) - 2A(u)+ ||zd - Cx(t; О)||H(3)'

где Xм, u) = l|C(x(t; u) — x(t; 0))||H(3) ^ [n, U — билинейная непрерывная коэрцитивная форма на H (U), а

A(u) = — Cx(t;0),C(x(t;u) — x(t;0) ))h (3)

HU

ремы следует из [17, гл. 1].

Аналогично формулируется результат о существовании решения задачи жесткого управления.

X Y U

оператор-функция Mt G C(3;J?(XY)) сильно дифференцируема по t G J н (Ь,0)-ограпнчена. Тогда при любых щ G X и f G H (Y) существует единственное жесткое управление v G Цд(U) задачи (1)-(3), (5)/

ЛИТЕРАТУРА

1. Загребипа С. А. О задаче Шоуолтера — Сидорова // Изв. вузов. Математика. 2007. № 3. С. 22-28.

2. Favini A., Yagi A. Degenerate differential equations in Banach spaces. New York; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 1999.

3. Pvatkov S. G. Operator theory. Nonclassical problems. Utrecht; Boston; Köln; Tokyo: VSP, 2002.

4. Sidorov N., Loginov В., Sinitsyn A., Falaleev M. Lyapunov-Shmidt methods in nonlinear analysis and applications. Dordrecht; Boston; London: Kluwer Acad. Publ., 2002.

5. Sviridvuk G. A., Fedorov V. Е. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators. Utrecht; Boston: VSP, 2003.

6.. Demidenko G. V., Uspenskii S. V. Partial differential equations and systems not solvable with respect to the highest-order derivative. New York; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 2003.

7. Келлер А. В. Об алгоритме решения задач оптимального и жесткого управления // Программные продукты и системы. 20ff. № 3. С. 42.

8. Свиридюк Г. А., Ефремов А. А. Задача оптимального управления для одного класса линейных уравнений типа Соболева // Изв. вузов. Математика. f996. № 12. С. 75-84.

9. Малахова. Н. А., Дыльков А. Г. Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для одной эволюционной модели // Мат. заметки ЯГУ. 2012, Т. 19, № 2. С. 111-127.

10. Замышляева А. А., Цыпленкова О. Н. Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для уравнения Буссинеска — Лява / / Вестн. ЮУрГУ. Сер. Мат. моделирование и программирование. 2012. Т. 264, № 5. С. 13-24.

11. Манакова Н. А. Оптимальное управление решениями полулинейных уравнений соболевского типа. Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2012.

12. Сагадеева М. А., Бадоян А. Д. Оптимальное управление решениями нестационарных уравнений соболевского типа специального вида в относительно сек-ториальном случае // Вестн. МаГУ. Математика. 2013. Вып. 15. С. 68-80.

13. Сагадеева М. А. Исследование устойчивости решений линейных уравнений соболевского типа первого порядка: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Челябинск: ЧелГУ, 2006.

14. Шестаков А. Л., Свиридюк Г. А. Новый подход к измерению динамически искаженных сигналов // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Мат. моделирование и программирование. 2010. Т. 192, № 16. С. 116-120.

15. Сагадеева М. А. Разрешимость нестационарной задачи теории фильтрации // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Мат. моделирование и программирование. 2012. Т. 286, № 27. С. 86-98.

16. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

17. Лионе Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Наука, 1987.

г. Челябинск

27 сентября 2013 г.