ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИСТОЧНИКА В ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ УРАВНЕНИИ С СИНГУЛЯРНЫМ ВОЗМУЩЕНИЕМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 15. ВЫЧИСЛ. МАТЕМ. И КИВЕРН. 2024. .V 3. С. 17 24 Ьошоповоу СошргЛа^опа! Matllematics аш! CyЬorllotics Лоигпа!

УДК 519.633.2

Д. С. Андрианов1

ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИСТОЧНИКА В ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ УРАВНЕНИИ С СИНГУЛЯРНЫМ ВОЗМУЩЕНИЕМ

Рассматриваются обратные задачи для гиперболического уравнения с сингулярным возмущением. в которых неизвестной является функция, входящая в источник. Доказывается существование решения обратных задач, разрабатываются числеппые методы их решения и приводятся результаты вычислительных экспериментов, иллюстрирующие их эффективность.

Ключевые слова: обратная задача, гиперболическое уравнение, сингулярное возмущение. БО!: 10.55959/М8и/0137 0782 15 2024 47 3 17 24

1. Введение. Одно из направлений в теории обратных задач представляет собой исследование обратных задач для сингулярно возмущенных уравнений математической физики. Метод приближенного решения обратных задач, основанный на замене исходного дифференциального уравнения сингулярно возмущенным, был предложен в [1| и назван методом квазиобращения. Он в дальнейшем получил развитие в [2 5] и ряде других работ. Обратные задачи для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений исследовались в [6 9]. В работах [10, 11] были предложены методы решения обратных задач, использующие разложение решения исходного уравнения но малому параметру.

Рассмотрим следующую задачу Коши для гиперболических) уравнения с сингулярным возмущением:

е2ии + щ = а2пхх + / (х)д(Ь), -та < х < +та, 0 ^ Ь ^ Т, (1)

п(х, 0) = 0, пг(х, 0) = 0, -та < х < +та, (2)

где /(х) € С2(-та; +та), д(Ь) € С[0;Т], а > 0 е — положительный малый параметр, е < 1.

Эта задача представляет собой гиперболическое возмущение задачи Коши для уравнения теплопроводности.

г

Введя функцию у(х,Ь) = и(х,Ь)е"21; получим следующую задачу Коши для у(х,Ь): угг(х, Ь) = Л2ухх(х, Ь) + с2у(х, Ь) + q(x, Ь), —та < х < +та, 0 ^ Ь ^ Т, у(х, 0) = 0, уг(х, Ь) = 0, —та < х < +та,

где Л2 = 02, с2 = q(x,t) = /(х)д(Ь)ееЬ.

Используя формулу из [12, с. 269] для решения этой задачи, получим, что решение задачи Коши (1), (2) имеет вид

t х+§(г-т)

п(х,Ь) = 2Ы / /(^)д(т)е-^7М ¿V(Ь — т)2 — 002(х — *)2) ^т, ^

о х-§(г-т) ^ '

где 1о(х) — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка (см. [13, 14]).

1 Факультет ВМК МГУ, асп., е-шаП: just.daiiiel990gmail.com

Сформулируем обратную задачу 1. Пусть в задаче Коши (1),(2) число a = 1, заданы функция f (x) и малый параметр е, а функция g(t) неизвестна. Требуется определить функцию g(t), если задана дополнительная информация о решении задачи Коши:

u(0,t) = p(t), 0 < t < T, (4)

где p(t) — заданная функция.

a=1

f (x) и малый параметр е, а функция g(t) неизвестна. Требуется определить функцию g(t), если задана дополнительная информация о решении задачи Коши:

ux(0,i)= q(t), 0 < t < T, (5)

где q(t) — заданная функция.

2. Исследование обратной задачи 1. Дадим определение решения обратной задачи 1. Так как решение задачи Коши (1), (2) зависит от функции g(t), то будем обозначать его далее u(x,t; g).

Определение 1. Функция g(t) называется решением обратной задачи 1, если g(t) € C[0;T] и u(x,t; g) удовлетворяет (1), (2), (4).

Сформулируем теорему о существовании решения обратной задачи 1.

Теорема 1. Пусть f(x) € C^-го, p(t) € C2[0,T], f(0) = 0 и p(0) = p'(0) = 0. Тогда g( t)

g( t)

x=0

t 1(t-T)

p(t) = ^ / / f (Og(r)e-^/0 ((t - T)2 - е2£2) d£dr. (6)

0 -1 (t-T)

Продифференцировав равенство (6) и использовав свойства и рекуррентные формулы (см. [14]) для модифицированных функций Бееселя

/v-l(x) - /v+l(x) = 2V/v(x), /v-l(x) + /v+l(x) = 2/V(x), /V(x) + V/v(x) = /v-l(x),

xx

ПОЛУЧИМ

t

p"(t) = g(t) - ^ + /g(r)e-^ (t - r - 4е2) [f (i(t - r)) + f (-i(t - r)

0

dr+

t

1 f -t-T

+2ез Jg(r)e" 0

t 1(t-T)

f'(i<t - r0 - f'(-7« - r))

dr+

+ 7^5 / f f (Og(r)e-^ (1 - t r

16е5 У J Jvsyyv ' V 2е2

0 -1 (t-T)

1

M (t - r)2 - е2^2 -

о ( (t - rr - е

d£dr+

e

-/2 (¿V(t - r)2 - е2^2)

/2 (¿V(t - r)2 - е2^2) (t-T) V(t - r)2 - е2^2)'

1 Г :V) t-T M (t - r)2 - е2^2

J f (^)g(r)e-^ (t - r)2—^-rf d^dr. (7)

Таким образом, если функция д(£) является решением обратной задачи 1, то она удовлетворяет интегральному уравнению Вольтерра второго рода

t

g(t) = r(t) + J Ki(i,r)g(r)dr, 0 < t < T,

(8)

, e2 .... p'(t) C r(t) = f(0)P + 2f(0) и ядром

Ki(t,T ) = -

1

16e4f(0)

г«2 (t - т - 4e2)

f 7(t - т) + f

- e(t - т)

2ef(0)

e 2e2

f'(г<' - то - f'(- 1<t-то;

1(t-T)

16e3f(0)

J f (^)e-^ (l - ¿j V(t - т)2 - e2^2) -

-I2 (^ V(t - т)2 - e2e2)

-1 (t-T)

-

(t-T )

32e7f(0)

t-т .

f (C)e-^ (t - т)

-1 (t-T)

M(t - т)2 -

V^ - т)2 - e2^2)2

где г(^) € С[0,Т], а ^(¿,т) непрерывно при 0 ^ т ^ I ^ Т.

Справедливо и обратное. При заданных функциях /(ж) и р(£) уравнение (8) однозначно определяет функцию д(£) € С[0, Т]. Интегрируя уравнение (8) два раза и используя условия теоремы, получим, что д(£) удовлетворяет уравнению (6). Определив с д(£) решение задачи Коши (1), (2) и(ж, ¿; д) по формуле (3) и использовав уравнение (6), получим, что д(£) является решением обратной задачи 1 и теорема 1 доказана.

Численный метод решения обратной задачи 1 основан на реализации итерационного метода

t

gn+i(t) = r(t) + J Ki(t, т)дп(т)dт.

Численный метод был программно реализован на языке Python.

Предложенный численный метод решения обратной задачи 1 был использован для исследования сходимости решений этой обратной задачи к решению обратной задачи для уравнения теплопроводности. Схема вычислительного эксперимента состояла в следующем. Задавалась функция g(t). С ней решалась задача Коши

vt = a2vxx + f (x)g(t), < x < 0 ^ t ^ T,

v(x, 0) = 0, < x <

и вычислялась функция p(t) = v(0,t). Далее с этой функцией решались обратные задачи 1 при разных убывающих e и определялись их решения g£(t), которые затем сравнивались с исходной

g(t).

На рис. 1 показаны результаты расчетов для заданных f (x) = x + 1, g(t) = -1 2sht, a = 1 T = 1 для обратной задачи 1 при e = 1, 0.5, 0.1.

1

t—т

1

1

\

\

-— g(t)

g2o(t),£ = i 920(f). £ = 0.5 ---g2O{t),£-0.1 \

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

t

Рис. 1

Из графика на рис. 1 видно, что при уменьшении параметра t2, приближенная функция решения обратной задачи для гиперболического уравнения g£(t) почти совпадает с точным решением обратной задачи для параболического уравнения g(t), так как уменьшается разница между их значениями. Аналогичные результаты были получены и для других вариантов функции f(x) и

g(t)•

3. Исследование обратной задачи 2. Дадим определение решения обратной задачи 2.

Определение 2. Функция g(t) называется решением обратной задачи 2, если g(t) еС[0;Т] и u(x,t]g) удовлетворяет (1), (2), (5).

Сформулируем теорему о существовании решения обратной задачи 2.

Теорема 2. Пусть f{x) € С2(-оо,+оо), q(t) € С2[0,Т], /'(О) ф 0 и q{0) = q'{0) = 0. Тогда существует функция g(t), являющаяся решением обратной задачи 2.

Доказательство. Пусть функция g(t) является решением обратной задачи 2. Продифференцировав уравнение (3) по переменной ж, положив в нем х = 0 и использовав условие (5),

имеем

If - t-T

q(t) = / 5(г)e ^

Я1« - T)) -f (-1« -T)

dr+

t 1(t-T)

+ 8e3

f (C)g(r )e-e

/0 ( 2I2 V(t - т)2 - e2) - /2 (-L v(t - т)2 - ,2e2)

2

dedT.

0 - i (t-

(t-T)

Продифференцировав равенство (9) дважды и использовав свойства и рекуррентные формулы (см. [14]) для модифицированных функций Бесселя

/v-l(x) - /v+l(x) = 2V/v(x), /v-l(x) + /v+l(x) = 2/V(x), /V(x) + V/v(x) = /v-l(x), x x

получим

q"(t) = -¿2q'(t) + ^g(t) - ^^ /g(T)e

t-T " 2s2

f'( 1 (« - T))+ f'(-1 (t - T)

dT+

+ 2^3 g(T )e"

t-T ' 2s2

r,1 (t _ тЛ - f"(-1 (t - T)

dT+

t

t

t

+

16е5

д(т)е (1 - ^

Л 1(* - тА - / (-1(* - т)

¿т+

+

16е6

д(т)е ^ (* - т)

/'( ^ - т))+ /'(-- т)

¿т+

+

256е9

д(т)е (* - т)2

п\ <* - т 0 - / (- \ <*- т)

¿т+

1 (*-т)

+ 7бЬ/ / /(^(т)е-^<1 - 1-Й К-

0 -1 (ь-т)

1

-4М + /Л

1

+

ь 1(ь-т)

+

1

3072еи

/(С)д(т)е-^- т)2

0 -1 (ь-т)

1

М ^(* - т)2 -

+

+

8/^- т)2 - е2е2) /з (- т)2 -

У(* - т)2 - )2

4/^- т)2 - £2^2)

У(* - т)2 - )2

(10)

Таким образом, если функция д(4) является решением обратной задачи 2, то она удовлетворяет интмральному уравнению Вольтерра второхх) рода

ь

д(4) = М*) + / К2(*, т)д(т)^т, 0 < * < Т,

(11)

, ^ ¿У'(*) (*) с = /'(0) + /б) и ядром

К2(*,т) =

4е2/'(0)

е * (1 - '( - т0 + /'(-- тО

16е3/ '(0)

Л * - т (* - т)2

е ^ (1 - +

2е2 16е4

Л 1(* - тА - / (-1(* - т)

2/'(0)

1 (Ь-т)

е 2в2

/"( - т}) - /"(-^ - т)

768е5/ '(0)

/ /(^)е-^* ( 1 - ^ [з/„ (У(* - т)2 - е2*2) -

- Т (Ь-т)

ь

1

ь

1

ь

1

ь

1

1

1

Ь-т

1

-412 (¿V(t - т)2 - £2^2) + /4 (¿V(t - т)2 - £2^2)

1

-(t-r)

£

3072£9f' (0)

f (Oe-^^(t - т)2

— (t-T)

M (t - т)2 - £2e2

2£2

V(t - т)2 - £2^2

+

1

1

8/2 (212 V(t - т)2 - £2^2) /3(212 V(t - т)2 - £2^2) 4/4(^ V(t - т)2 - £2^2) +--;-^—I----

(212 V(t - т)2 - 2^(t - т)2 - £2*2 V(t - т)2 - £2^2)2

где € С[0,Т], а К2(£,т) непрерывно при 0 ^ т ^ I ^ Т.

Справедливо и обратное. При заданных функциях /(ж) и р(£) уравнение (11) однозначно определяет функцию д(£) € С[0,Т]. Интегрируя уравнение (11) два раза и используя условия теоремы, получим что д(£) удовлетворяет уравнению (9). Определив с д(£) решение задачи Коши (1), (2) и(ж, ¿; д) по формуле (3) и использовав уравнение (9), получим, что д(£) является решением обратной задачи 2 и теорема 2 доказана.

Численный метод решения обратной задачи 2 основан на реализации итерационного метода

t

gn+i(t) = h(t) + J K2(t, т)5п(т)dт.

о

Численный метод был программно реализован на языке Python.

Предложенный численный метод решения обратной задачи 2 был использован для исследования сходимости решений этой обратной задачи к решению обратной задачи для уравнения теплопроводности. Схема вычислительного эксперимента состояла в следующем.

Задавалась функция g(t). С ней решалась задача Коши

vt = a2vxx + f (x)g(t), -та < x < +та, 0 ^ t ^ T,

v(x, 0) = 0, -та < x < +та,

и вычислялась функция д(£) = г>'(0,£). Далее с этой функцией решались обратные задачи 2 при

разных убывающих е и определялись их решения де(£), которые затем сравнивались с исходной $(*)•

На рис. 2 показаны результаты расчетов для заданных /(ж) = ж #(£) = , а = 1 Т = 0.5

для обратной задачи 2 при е = 1, 0.5, 0.15.

— д( 0 g25(t),£ = 1 ...... 925(0, £ = 0.5 --- 925(0, £-0.15 /

/ /

/ / /

/ / /

/ / /

У у'

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

t

Рис. 2.

Из графика на рис. 2 видно, что при уменьшении параметра t2, приближенная функция решения обратной задачи для гиперболического уравнения g£(t) почти совпадает с точным решением обратной задачи для параболического уравнения g(t), так как уменьшается разница между их значениями. Аналогичные результаты были получены и для других вариантов функции f(x) и

g(t)•

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Л а т т е с Р., Л ионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970.

2. Иванов В.К. Задача квазиобращения для уравнения теплопроводности в равномерной метрике // Дифференц. уравн. 1972. 8. № 4. С. 652-658.

3. Самарски й А.А., В а б и щ е в и ч П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: Едиториал УРСС, 2004.

4. Т а б а р и н ц е в а Е.В., М е н и х е с Л.Д., Д р о з и н А.Д. О решении граничной обратной задачи методом квазиобращения // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Математика. Механика. Физика. 2012. № 6. С. 8—13.

5. Денисов A.M., Соловьева С.И. Численное решение обратных задач для гиперболического уравнения с малым параметром при старшей производной // Дифференц. уравн. 2018. 54. № 7. С. 919928.

6. Денисов A.M. Асимптотика решений обратных задач для гиперболического уравнения с малым параметром при старшей производной // ЖВМиМФ. 2013. 53. № 5. С. 744-752.

7. Levashova N. et al. The problem of the non-uniqueness of the solution to the inverse problem of recovering the symmetric states of a bistable medium with data on the position of an autowave front // Symmetry. 2021. 13. N 5. Art. 860.

8. Lukyanenko D.V., Borzunov A.A., Shishlenin M.A. Solving coefficient inverse problems for a nonlinear singularly perturbed equations of the reaction-diffusion-advection type with data on the position of reaction front// Communication in Nonlinear Science Numerical Simulation. 2021. 99. Art. 105824.

9. Lukyanenko D.V., Shishlenin M.A., Vо 1 k о v V.T. Asymptotic analysis of solving an inverse boundary value problem for a nonlinear singularly perturbed time-periodic reaction-diffusion-advection equation // Journal Inverse and 111 Posed Problems. 2019. 27. N 5. P. 745-758.

10. Денисов A.M. Приближенное решение обратных задач для уравнения теплопроводности с сингулярным возмущением // ЖВМиМФ. 2021. 61. № 12. С. 2040-2049.

11. Д е н и с о в А М. Приближенное решение обратной задачи для интегродифференциального уравнения теплопроводности с сингулярным возмущением // ЖВМиМФ. 2023. 63. № 5. С. 795-802.

12. Б уд а к Б.М., Самарский А. А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1956.

13. Тихонов А.Н., Самарски й А.А. Уравнения математической физики. 4-е изд. М.: Наука, 1972.

14. B a t e m a ri H. Higher Transcendental Functions. Vol. 2. N.Y.; Toronto: London: McGraw-Hill Book Company. 1953.

Поступила в редакцию 24.01.24 Одобрена после рецензирования 13.03.24 Принята к публикации 13.03.24