CC BY
44
Задачи компьютерного конструирования наполненных полимерных композиций
Б-A. Люкшин, П-A. Люкшин, Н.Ю. Матолыгина
Институт физики прочности и материаловедения СО PAH, Томск, 634021, Россия
Aнaлизируются сходства и отличия процедур оптимального проектирования систем и процедур, предлагаемых для компьютерного конструирования материалов. Обсуждается проблема формулировки требований к деформационно-прочностным характеристикам конкретных материалов. Показано, что решение задач конструирования материалов в общем случае является неединственным, что, в свою очередь, удобно с точки зрения практической реализуемости. Приведены примеры конструирования полимерной дисперсно-наполненной композиции с двумя заданными макрохарактеристиками.
Problems of computer-aided design of filled polymer composites
B.A. Lyukshin, P.A. Lyukshin, and N.Yu. Matolygina
In the paper similarities and differences of procedures of system optimal planning for computer-aided design of materials are analysed. The problem of requirement formulation to deformation-strength properties of certain materials is discussed. It is shown that the task of material design, in the general case, has non-unique solution, that is usefull for practical realisation. Examples of the design of a polymer particle-filled composition with two specified macrocharacteristics are proposed.
1. Введение
Проблемам оптимального и рационального проектирования конструкций и их элементов посвящено достаточно большое число работ, в качестве примера можно привести [1-5]. Систематические исследования, посвященные проектированию материалов с заданными или экстремальными свойствами, практически отсутствуют. В работе авторов [6] приведен пример компьютерного конструирования наполненной полимерной композиции, когда в качестве заданной характеристики принимается единственный показатель — модуль упругости материала.
В большинстве работ (например, [7-10]), посвященных численному моделированию поведения представительного объема материала при внешних силовых и тепловых воздействиях, анализу подвергаются материалы самого различного строения и состава — полимеры с дисперсными включениями, металлы и их сплавы, уголь, металлокерамика и т.д. Помимо получения детального распределения параметров напряженно-деформированного состояния в представительном объеме после проведения ряда расчетов с последовательно растущей нагрузкой это позволяет построить кривую «напряжение - деформация» для представительного объема
в целом. Тем самым параметры, характеризующие структуру материала (фазовый состав, взаимное расположение фаз в представительном объеме или внутренняя геометрия, наличие, размеры и свойства меж-фазных слоев и т.д.) увязываются со свойствами материала на макроуровне.
Эти задачи часто называют задачами моделирования, а подход, связывающий структуру материала с его макрохарактеристиками, получил ряд названий — структурный, мультимасштабный, микро- или мезоме-ханический и т.д.
В практическом отношении интерес представляет решение обратной задачи — определение внутреннего строения или структуры материала с заданными макрохарактеристиками.
Число управляющих параметров при этом обычно достаточно велико. Так, для дисперсно-наполненной полимерной композиции — материала, состоящего всего из двух фаз, — такими параметрами являются объемное или массовое соотношение фаз, их взаимное расположение (внутренняя геометрия), дисперсность наполнителя, характеристики межфазного взаимодействия, свойства межфазных слоев и т.д. Для полимеров и композиций на основе полимеров к управляющим парамет-
© Люкшин БА., Люкшин ПА., Матолыгина Н.Ю., 2004
рам, определяющим свойства материала, нужно отнести характеристики режимов формования — давление, температуру, скорость охлаждения и т.д.
В этих условиях прямой перебор всех возможных сочетаний управляющих параметров становится невозможным. При любом таком сочетании для построения кривой «напряжение - деформация» необходимо провести целый ряд расчетов, а проведение каждого расчета связано со значительными вычислительными затратами.
Ниже рассматривается один из возможных подходов к решению обратной задачи компьютерного конструирования дисперсно-наполненной полимерной композиции.
2. Компьютерное конструирование материала как двухуровневый процесс
При решении любой практической задачи компьютерного конструирования материала возникает, по меньшей мере, два вопроса [6]: 1) что нужно создать, т.е. каким комплексом свойств должен обладать вновь получаемый материал; 2) как создать, т.е. каковы значения структурных и технологических параметров, придающих материалу этот комплекс свойств.
Получение ответа на вопрос, какой набор свойств материала является наилучшим для конкретного изделия или класса изделий, не такое простое дело, как может показаться на первый взгляд. Эта сложность связана со следующими обстоятельствами. Для материалов конструкционного назначения требования к материалу формулируются обычно в виде задания комплекса деформационно-прочностных характеристик. В тех случаях, когда материал выполняет некоторые специфические функции, как, например, в узлах трения, защитных покрытиях, уплотнениях и т.д., такие требования формулируются в виде некоторых соотношений, содержащих эмпирические коэффициенты [11]. В подавляющем большинстве случаев эти коэффициенты также зависят от деформационно-прочностных (физико-механических) характеристик материала. Проектирование материала «с заданными свойствами» имеет смысл только применительно к конкретному изделию или классу изделий. Анализ напряженно-деформированного состояния изделия в условиях эксплуатации проводится методами теории упругости и пластичности. После проведения такого анализа можно сформулировать требования к деформационно-прочностным характеристикам материала. Но после соответствующего изменения свойств материала анализ напряженно-деформированного состояния необходимо проводить снова, так как в задачах теории упругости и пластичности свойства материала входят в так называемые уравнения связи (определяющие уравнения, физические соотношения). Изменение свойств материала меняет и распределения перемеще-
ний, деформаций и напряжений в изделии. Новый анализ напряженно-деформированного состояния может изменить требуемый комплекс свойств и т.д. Таким образом, решение задачи определения наилучшего набора свойств неизбежно становится итерационным процессом. Исключение могут составить относительно редкие случаи, когда элементы конструкций работают как статически определимые системы.
При решении конкретных задач набор требований к материалу, так или иначе, считается определенным, и далее эта проблема детально не обсуждается.
3. Прочностная оптимизация и компьютерное конструирование материалов: сходства и отличия
Задачу компьютерного конструирования материалов можно сформулировать в виде, традиционном для задач оптимизации. Достаточно, приняв в качестве функции цели величину отклонения точки, характеризующей свойства материала в пространстве соответствующих переменных или в пространстве состояний, от заданного положения, потребовать минимизации этой функции. Сходство задач оптимизации свойств и задач компьютерного конструирования материалов заключается еще и в том, что в обоих случаях в качестве управляющих величин выступают одни и те же переменные, характеризующие структуру, межфазное взаимодействие элементов, параметры технологических процессов, влияющих на свойства материала. Наконец, в качестве содержательной функции цели в задачах оптимизации и в задачах компьютерного конструирования могут выступать одни и те же характеристики материалов или их сочетания.
В то же время, между задачами оптимального проектирования и компьютерного конструирования материалов имеются и существенные отличия.
В задачах оптимизации отыскивается экстремальное значение функции цели и решением является точка, отвечающая локальному или глобальному экстремуму. Одной из сложных проблем оптимального проектирования является анализ характера экстремума.
В случае, когда отыскивается не экстремальное, а заданное значение функции цели, решение либо не существует, либо становится неединственным. В последнем случае решение представляет в пространстве состояний не точку, отвечающую экстремуму, а линию уровня на соответствующей поверхности, отражающей зависимость функции цели от значений управляющих параметров.
Более того, если требуется получить не заданное значение функции цели, а попасть в некоторый интервал значений, то на поверхности будет уже не линия уровня, а кольцо, заключенное между линиями уровня, ограничивающими этот интервал (рис. 1). Этому кольцу отвечает на плоскости (гиперплоскости) управляющих пара-
Рис. 1. Поверхности уровня для функций целей F, кольца ДР, Др на поверхности и проекции колец на плоскость управляющих
параметров XY
метров набор их сочетаний, проекция кольца на плоскость, тоже кольцо. С практической точки зрения это означает следующее.
Во-первых, поскольку одни и те же значения функции цели достижимы с помощью различных сочетаний управляющих параметров, возникает возможность выбора наиболее приемлемого варианта с рецептурной и технологической точек зрения.
Во-вторых, появляется возможность вывода на заданный уровень второй характеристики материала за счет варьирования управляющих параметров в пределах полученного на соответствующей плоскости кольца. В общем случае можно полностью повторить процедуру вывода второго параметра на заданный уровень, и тогда пересечение первого и второго колец на плоскости управляющих параметров определяет их сочетания, дающие заданные значения обеих характеристик. Можно воспользоваться и тем обстоятельством, что поиск первой характеристики сильно уменьшает область варьирования управляющих параметров, и тогда вторую характеристику можно получить с применением метода сканирования этой области.
В-третьих, нужные сочетания управляющих параметров находятся внутри области, определяемой пересечением колец. Этими сочетаниями, формально равноправными, обеспечивается вывод макрохарактеристик материала в заранее заданные интервалы. Но при реализации вариантов, для которых на плоскости управляющих параметров точка находится внутри области близко к ее границе, любое случайное возмущение параметра может вывести эту точку за границу области. Устойчивость технологического процесса по отношению к случайным возмущениям будет тем больше, чем больше размер области и чем дальше точка, отвечающая
выбранному для реализации варианту, от границы области.
Таким образом, основные отличия в процедурах отыскания оптимального и заданного значений характеристик материалов заключаются в том, что в первом случае отыскивается точка локального или глобального экстремума функции цели, во втором — область заданных значений этой же функции, что в общем случае приводит к неоднозначности решения. В задачах оптимизации вывод на экстремальное значение наиболее эффективно делается с помощью методов, обеспечивающих движение по направлению максимального градиента поверхности отклика. В задачах компьютерного конструирования такое движение имеет смысл только до выхода на заданный уровень на поверхности отклика. Далее направление движения меняется так, чтобы оставаться на линии уровня, т.е. перпендикулярно направлению предыдущего движения.
Это означает, что при компьютерном конструировании материала необходимо полностью строить поверхность, отражающую зависимость первой из функций целей от управляющих параметров. Затем в пределах полученного кольца строится поверхность для второй из заданных функций целей. При наличии пересечения колец для третьей из функций целей в этой области нужно строить третью поверхность и т.д.
4. Технология и примеры компьютерного конструирования материалов с полимерной матрицей
Свойства материалов определяются их фазовым составом и условиями взаимодействия фаз. Полимерные материалы наиболее пригодны для моделирования в том отношении, что значения управляющих параметров —
Ф, %
Рис. 2. Интервалы значений управляющих параметров — среднего радиуса включений г и степени наполнения ф — определяющие задание значения модуля упругости Е и предельной деформации при растяжении 8 для композиции
степень наполнения (соотношение фаз в материале), свойства фаз, их геометрия относительно просто контролируются, а получаемые результаты легко можно проверить экспериментально.
Далее в качестве управляющих параметров рассматриваются деформационно-прочностные свойства компонент и их концентрация, протяженность и свойства межфазных слоев.
В качестве функций целей, заданных значений макрохарактеристики материала, используются модуль упругости и предельная деформация материала при растяжении (рис. 2). В заданных интервалах изменения управляющих параметров возможные значения функций цели находятся внутри области ABCD. Чтобы задача имела решение, необходимо, чтобы в область ABCD попадали интервалы значений обеих функций целей. Для модуля упругости этот интервал лежит в пределах от 7 до 8 МПа, для предельной деформации — от 75 до 90 %. Поэтому область возможных значений сокраща-
ется для степени наполнения в пределах от 18 до 22 % при неизменных интервалах варьирования для остальных управляющих параметров.
На этом примере показано, что для двух заданных характеристик материала предложенный подход позволяет получить конкретные рекомендации по выбору наиболее приемлемого варианта рецептуры материала, обеспечивающей заданные макрохарактеристики, с относительно небольшими затратами вычислительных ресурсов.
Литература
1. Арман Ж.-Л.П. Приложение теории оптимального управления системами с распределенными параметрами к задачам оптимизации конструкций. - М.: Мир, 1977. - 142 с.
2. Хог Э., Арора Я. Прикладное оптимальное проектирование: меха-
нические системы и конструкции. - М.: Мир, 1983. - 478 с.
3. Баничук Н.В., Кобелев В.В., Рикардс Р.Б. Оптимизация элементов конструкций из композиционных материалов. - М.: Машиностроение, 1984. - 224 с.
4. Барашков В.Н., Люкшин Б.А. Алгоритм прочностного проектирования осесимметричных упругопластических конструкций с использованием вариационно-разностного метода // Прикладные проблемы прочности и пластичности. - Вып. 39. - Горький: Изд-во ун-та, 1988. - С. 91-97.
5. БочкаревВ.В., Крысъко В.А. Оптимальное проектирование пластин
и оболочек с учетом физической нелинейности // Прикладная механика. - 1982. - Т. 18. - № 7. - С. 52-57.
6. Люкшин Б.А., Люкшин П.А., Матолыгина Н.Ю. Двухэтапный про-
цесс компьютерного конструирования наполненной полимерной композиции // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 4. - С. 71-77.
7. Люкшин Б.А., Люкшин П.А., Матолыгина Н.Ю. Влияние геометрии
включений в полимерной композиции на вид кривой «напряжение - деформация» // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2001. - Т. 7. - № 3. - С. 277-287.
8. Люкшин Б.А., Люкшин П.А. Влияние свойств межфазного слоя на напряженно-деформированное состояние полимерного композита в окрестности включения // Механика композиционных материалов и конструкций. - 1998. - Т. 4. - № 2. - С. 56-68.
9. Анисимов И.И., Десятых В.И., Люкшин Б.А., Люкшин П.А. Формирование прочностных характеристик наполненных полимерных систем на мезоуровне // Механика композиционных материалов и конструкций. - 1998. - Т. 4. - № 4. - С. 74-92.
10. Ашихмин В.Н., Трусов П.В. Прямое моделирование упругопластического поведения поликристаллов на мезоуровне // Физ. мезомех. - 2002. - Т. 5. - № 3. - С. 37-51.
11. Богатин О.Б., Моров В.А., Черский И.Н. Основы расчета полимерных узлов трения. - Новосибирск: Наука, 1983. - 214 с.
