Научная статья на тему 'Задачи коллективного потребления с иерархией приоритетов: метод ритмокаскадов'

Задачи коллективного потребления с иерархией приоритетов: метод ритмокаскадов Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
82
35
Поделиться

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Буданов Владимир Григорьевич

Предлагается подход детерминированных стратегий потребления в иерархических системах. Рассмотрены проблемы оптимизации стратегий, обсуждаются автомодельные распределения и ритмокаскадный оптимум.

PROBLEMS OF JOINT CONSUMPTION WITH THE PRIORITY HIERARCHY. THE RHYTHM-CASCADE METHOD

The consumption problem in the hierarchic systems with deterministic strategies has been studied. Several approaches of consumptions have been proposed. The efficiency study of the proposed methods as well as cases of automodel distributions and rhythm-cascade optimum are discussed

Текст научной работы на тему «Задачи коллективного потребления с иерархией приоритетов: метод ритмокаскадов»

2006

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Прикладная математика. Информатика

№ 105

УДК 519. 872

ЗАДАЧИ КОЛЛЕКТИВНОГО ПОТРЕБЛЕНИЯ С ИЕРАРХИЕЙ ПРИОРИТЕТОВ: МЕТОД РИТМОКАСКАДОВ

В. Г. БУДАНОВ

Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л.

Предлагается подход детерминированных стратегий потребления в иерархических системах. Рассмотрены проблемы оптимизации стратегий, обсуждаются автомодельные распределения и ритмокаскадный оптимум.

Введение

Задачи потребления с иерархией доступа к ресурсу широко распространены в экономике, теориях массового обслуживания, биоценозах и техноценозах. Они возникают, например, при обработке информации с иерархией приоритетов доступа потребителей к серверу или источнику информации [1] и т.д. В работе рассмотрены общая постановка задачи и проблема ее оптимизации в случае разных детерминированных стратегий поведения, а так же ситуации автомодельных распределений и их ритмокаскадного оптимума.

Рассмотрим задачу потребления ресурса из общего источника несколькими потребителями, находящимися в отношении строгого приоритета, иерархии доступа к ресурсу. Пронумеруем потребителей по приоритету доступа, начиная с безусловного приоритета у первого потребителя с номером п = 1. Будем говорить, что п-му потребителю взаимно однозначно соответствует п-й иерархический уровень системы, на котором задана его стробоскопическая функция потребления ¥п (V), т.е. функция, принимающая в каждый момент времени X значение 0 - не потребляет

(пассивен), или 1 - потребляет (активен) . Это последовательность прямоугольных импульсов переменной длины и скважности, но единичной амплитуды. Иерархичность означает, что п-й уровень может быть активирован лишь в окнах доступа, т.е. в моменты, когда все старшие, вышележащие уровни пассивны: Ет (V) = 0, при 1 < т < п . Итак, система потребления задается

семейством функций потребления { Еп (V) }или временной пирамидой потребления, обладающей указанными иерархическими свойствами. Введем функцию интегрального потребления

1(0 = ¿^,(0 < 1, (1)

п=1

которая максимизируется, то есть становится единичной функцией лишь при непрерывном использовании ресурса: в любой момент времени V найдется уровень т с функцией потребления. Гт (V) Ф 0 . Введем также критерий эффективности использования ресурса - долю времени его потребления за некоторый период Т на отрезке (а, а + Т)

а+Т ¥

1(а, Т) = 1/Т {£ т < 1 . (2)

а п=1

Аналогично вводится функция эффективности протекания (перкаляции ресурса на конкретный уровень) - доля времени потребления за Т период этим уровнем:

а+Т

1п(а,Т) = 1/Т /Г,(V)<*< 1

а

1. Стратегии потребления, постановка задачи

Рассмотрим теперь несколько типичных стратегий потребления, для этого введем понятие собственной функции потребления /п (V) для п-го потребителя, т.е. функции его потребления в отсутствии других потребителей. Не теряя общности, будем полагать, что /п (V) = 0 при V < 0 . Стратегии отличаются принципами выбора собственных функций, их взаимных корреляций, способами учета коллектива потребителей. Будем называть стратегией потребления набор собственных функций потребления и условия их синхронизации. В общем случае прямая задача потребления имеет вид: дана стратегия потребления, требуется найти семейство функций потребления или пирамиду потребления. Возможна и обратная задача - нахождение стратегии, реализующей данную пирамиду потребления. Фактически, стратегии - это правила локального поведения участников, а пирамида ( *т (V) функции потребления) - это интегральный результат их согласованного взаимодействия. Ниже мы рассматриваем только прямые задачи.

1.1. Стратегии независимых потребителей (слепые стратегии)

«Я уже стоял в очереди, у меня и номерок на руке записан» - потребитель многократно приходит в очередь, когда ему удобно, и пропускает вперед всех старших потребителей, т.е. с меньшими, чем у него номерами, не взирая на изменения в составе очереди, после чего потребляет сам. Стратегия называется «слепой» потому, что потребитель пытается следовать собственной функции потребления, словно он один, но очередь ее корректирует. При этом реальные функции потребления легко находятся:

) = №);

* (V) = (1 - /1 (V ))/2 (V) = (1 - *1 (V ))/ (V);

*3 (V) = (1 - *1 (V) - *2 (V))/3 (V) = (1 - /1 (V)- /2 (V) + /1 (V)/2 (V))/3 (V); (4)

п-1

*п ( О = (1 -1 (0)/„ (0.

к=1

Поскольку для любой стробоскопической функции со значениями 0 или 1: /к ( V) = /к (V), то при совпадении нескольких собственных функций потребления реальные функции потребления обнуляются у всех, кроме старшего среди них уровня. Такие стратегии обычно возникают стихийно, либо при невозможности изменить собственную функцию потребления. При этом боль-

шую часть времени можно провести в пустом ожидании и эффективность реального потребления уровня по сравнению с ожидаемой эффективностью, т.е. для собственной функции, может быть существенно ниже.

1.2. Адаптивные стратегии синхронизации (стратегии по предварительной записи)

В этих стратегиях собственные функции последующих уровней строятся с учетом функций потребления предыдущих уровней так, что совпадают с фрагментами реальных функций потребления. Тогда не происходит потерь времени при простаивании в очереди и ожидаемая эффективность в окне доступа, получающаяся заменой Гп (V) на /п (V) в (3), совпадает с эффективностью реальной. Для этого следует собственную функцию п-го уровня всякий раз строить только в окнах доступа этого уровня. Это рефлексивные стратегии потребления «по предварительной записи» или «по расписанию». Приоритет заполнения окна доступа получает тот, кто раньше записывается, потенциально выбирая ресурс, после чего сокращенное окно доступа предоставляется для записи следующему потребителю. Фактически, акция «записи» - это имитация реального процесса потребления. При этом потребитель знает все свои окна доступа и адаптирует свое потребление, синхронизируя запуск возможности потребления с началом, а его

завершение с окончанием каждого окна доступа. Очередь в записи и есть очередь в иерархии, при этом строя собственную функцию вы просматриваете (выспрашиваете) все окна доступа. Именно так, например, мы покупаем билеты в театр на сезон по предварительной продаже. Это наиболее интеллектуальная, человекомерная стратегия, однако, если отказаться от условия строгой иерархии, то приходим к общей многофакторной ситуации в теории расписаний, которая может быть несравненно сложнее описанной выше.

1.3. Каскадные стратегии (стратегии условного рефлекса)

Это упрощенные адаптивные стратегии синхронизации, в которых каждый потребитель строит собственную функцию, разворачивая в очередном окне доступа всякий раз одну и ту же, свойственную только ему, эталонную функцию gn (I), строго равную 0 на полуоси [-го, 0]. Это комбинация слепого (поскольку у каждого потребителя лишь одна эталонная функция) и адаптивного методов, сдвигающих эталонную функцию и синхронизирующих ее с началом окна доступа. Роль собственной функции в очередном к-м окне доступа (1.к, I* к ) играет эталонная функция, отсюда и термин «каскадные», т.к. многократно перезапускается одна и та же эталонная программа потребления. Повторяющееся поведение при доступе к ресурсу напоминает рефлекторное поведение живого существа при повторяющемся стимуле - начале доступа к ресурсу. Реальная или полная собственная функция потребления п-го уровня получается как сумма

сдвинутых эталонных функций, заданных в окнах доступа ^п1,I* 1),...^п к,I* к).... этого уровня:

р1(1)=gl(t);

(<) = I (1 в -1*п,к )^п (I + 1п.к ) . (5)

к=1

где в (1) - обычная ступенчатая функция Хэвисайда.

Стробоскопическая функция возможности доступа Рп (I) на п-м уровне очевидно равна:

п-1

Рп (I) = 1 - !Рк (I),

к=1

тогда начальные и конечные точки окон доступа легко находятся как точки положительных и отрицательных значений сингулярной функции, равной производной по времени от Рп (I) . Действительно, т.к. последняя образована суммой констант и тэтта-функций, то ее производная будет суммой обобщенных дельта-функций в граничных точках окон доступа. Иными словами:

а,р„ (I) = -а, I (I) = I [¿(г - <п,к) -в(г -1п пк)]. (6)

т=1 к=1

Тем самым, рекуррентно находятся граничные точки окон доступа, и семейство функций потребления { Еп(I) }, заданных на полуоси (0, ¥), итерационно определяется из совместной системы уравнений (5) и (6).

Эти задачи характерны в системах типа пищевых и потребительских пирамид в биоценозах и макроэкономике.

1.4. Однородные каскадные стратегии (стратегии «делай как все»)

Это еще более простые, однородные стратегии, представляющие собой каскадные стратегии с общей для всех потребителей эталонной функцией g(I) = gn (I), п = 1,2,3,.... Решение задачи по-прежнему находится рекуррентно из системы (5),(6).

Покажем, что при этом возникает частично автомодельное, самоподобное поведение в системе функций потребления. Поясним, что имеется в виду. При однородной стратегии окна доступа любого уровня заполняются подобным образом. Максимально продолжительное окно доступа, возникающее к любому фиксированному моменту времени Т, возможно только у первого иерархического уровня с функцией потребления р (I) = g(I) . Оно просто равно интервалу (0, Т) . К этому моменту Т в системе выстроится иерархическая пирамида потребления - семейство функций { ¥п (I) }, 0< I < Т , п = 1,2,3,.... Если на некотором т-м уровне возникает окно доступа

( т, т + Т), то в нем выстраивается пирамида потребления { Рп+т (I) }, т < I < т + Т, п = 1,2,3,..., Рт (I) = g(I) . Самоподобие означает , что во всех окнах доступа за равное время выстраиваются изоморфные пирамиды, точнее семейства функций совпадают при следующем диагональном преобразовании, т.е. одновременном сдвиге по шкале времени и по ряду иерархических уровней:

Рп 0) = ^т-^ + t), при 0< | < Т , п = 1,2Д... (7)

В таком случае, при наличии бесконечного числа иерархических уровней, а так же зон пассивности эталонной функции g(l) сколь угодно большой продолжительности, мы получаем, точнее «выращиваем» за бесконечное время самоподобный фрактальный объект полную пирамиду потребления. Это означает, что в окне доступа величины Т для любого уровня этот и нижележащие уровни воспроизводят программу развития всей системы за время Т, которая уже состоялась и развивалась раньше на старших уровнях от момента старта системы =0. Система как бы вспоминает «молодость» с момента рождения. Замечательно, что можно использовать произвольные стробоскопические эталонные функций g(l), в том числе с неограниченно растущими окнами пассивности (но не так быстро растущими окнами активности) и даже со случайным распределением длин окон активности и пассивности. Понятно, что в обоих последних случаях когда-нибудь возникнет пассивное окно, большее наперед заданной величины, и фрактал реализуется на бесконечном числе уровней. Если же эталонная функция имеет пассивные ступени, не превышающие некоторого времени, то и фрагменты повтора не смогут быть больше этого времени, а предфрактал развивается на конечном числе уровней, и система способна вспомнить лишь свое «далекое детство», не старше максимальной паузы доступа. В каждом таком окне на подчиненных уровнях воспроизводится копия развития всей пирамиды потребления от момента ее основания до момента, равного величине окна. Очевидно, что только при наличии в системе окон сколь угодно большой длины пирамида обладает свойством строгой автомодельности. Отметим, что мы ограничились эталонными функциями с окнами, не стремящимися к нулю.

Вероятно, благодаря однородным каскадным стратегиям потребления в природе и обществе широко распространены предфрактальные или частично фрактальные структуры и временные ряды, а так же автомодельные законы развития.

Введем еще несколько определений. Время I от момента начала строительства 0 полной пирамиды (время в функции g(l) для первого уровня) можно назвать календарным временем или просто текущим моментом. Введем понятие физического возраста уровня, он равен интервалу времени от момента первого доступа к ресурсу этого уровня до текущего момента. Для каждого уровня в случае однородных каскадных стратегий возникает естественное понятие собственного возраста уровня. Оно равно размеру максимального завершенного окна доступа на этом

уровне (завершенность означает, что непосредственно перед закрытием окна доступа уровень потреблял ресурс) на данный момент времени I, в нем и реализуется наиболее полное подобие раннего этапа развития полной пирамиды. Можно еще сказать, что это максимальное время, которое прожил уровень без оглядки на старшие уровни, т.е. следуя эталонной функции. Собственный возраст совпадает с физическим возрастом только для первого уровня. Собственный возраст есть ступенчатая функция времени: либо монотонно растущая, либо константа, причем для каждого уровня с течением времени I растет по-разному с разным темпом.

2. Проблема оптимизации однородных каскадных стратегий

Обратимся теперь к критерию эффективности потребления (1). Потребуем от стратегии выполнения условия непрерывности потребления, постоянной востребованности ресурса, т.е. условие I(I) = 1 для любых I. Будем как и ранее отмечать моменты начала окна доступа буквой без звездочки, а конец окна доступа буквой со звездочкой. Для этого вспомним, что окна пассивности эталонной функции g(l) на данном уровне являются окнами доступа для следующего уровня, в которых, в свою очередь, развиваются сдвинутые эталонные функции. Не ограничивая общности, рассмотрим заполнение произвольного окна пассивности на первом уровне. В силу самоподобия этот результат для функции g(l) будет справедлив для любых уровней. Тогда п-е окно пассивности на первом уровне, соответственно окно доступа для второго уровня может быть заполнено, покрыто без пересечений окнами доступа разных уровней, в том числе и второго.

п

* Х""' * /~» * /г»\

,п - ,п = Ь тЬ , где 10 = 0 Ь = аи ,п = |п+1 - ап+1 , (8)

г=1

где тг- - любые целые положительные числа, здесь указано, что эталонная функция g(l) первый

раз потребляет ресурс с момента 0 до момента а1 , два окна доступа на втором уровне разделе-

ны интервалом потребления ап+1.

Поскольку окна принадлежат разным уровням, то в системе будет как минимум

п

N = Ь т г- - уровней.

I = 1

Перепишем это характеристическое уравнение на эталонную функцию в виде рекурренции:

п

|п+1 = ,п + Ь + ап+1. (9)

г=1

Фактически стратегия или выбор эталонной функции теперь задается в терминах выбора коэффициентов в сумме, которые так же могут зависеть от п. В общем случае это очень сложные интегральные стратегии, описывающие немарковские процессы с глубокой памятью, но мы попробуем наработать интуицию на простых примерах и убедимся в неожиданно контринтуитивном поведении системы, иллюстрирующем управленческий казус - «хотели как лучше, а получилось как всегда».

Рассмотрим частные случаи. Далее для простоты полагаем, что все окна потребления в эталонной функции одинаковы и равны первому окну потребления а1 .

2.1. Коэффициенты в сумме (9) не зависят от номера окна п, т.е. все окна заполняются подобным образом - стратегия «Забота о самых маленьких».

Пусть для простоты все коэффициенты в сумме равны 0, кроме 1=1.Решением уравнения (9) оказывается обычная геометрическая прогрессия.

|п+1 = ,п + а(т1 + ^

эталонная функция g(l) периодическая - гребенка, при этом в системе задействовано ровно т1 уровней, которые находятся в циклической очереди-карусели, потребление длительностью а и пауза а(т1) у всех уровней одинаковы. В итоге уравниловка, все стали «маленькими».

Не трудно показать, что и для случая, когда в сумме отлично от нуля фиксированное число первых слагаемых, то эталонная функция так же выходит на режим арифметической прогрессии с конечным числом уровней в пирамиде. В этих примерах нет точной автомодельности, хотя в первом есть периодичность, число уровней конечно и собственный возраст уровней не увеличивается, за исключением первого.

Стратегия «Всем понемногу»: все уровни участвуют в сумме в равной мере с единичным весом.

п

|п+1 = 1п + Ь Ь + а . (10)

г=1

Решение задачи приводится к следующей рекурренции:

|п+1 = 3|п — |п-1,

что получается простым вычитанием уравнения (10) из его следующей итерации. На этом примере видно, что g(l) быстро растущая эталонная функция, выполняется точное условие автомодельности, но никакого равенства ни по потокам ресурсов, ни по собственным возрастам не возникает, мотив сеет иллюзии. Нетрудно видеть, что асимптотически отношение последующих моментов открытия окон доступа имеет две ветви решений |п+1/ 1п = (1 ±Ф±1), где Ф = 1,618...- золотое сечение.

Общая рекурренция в случае независимости от п. Приведем более обозримый результат для формулы (9), который, как и выше, получается вычитанием этого уравнения из его следующей итерации, при этом мы по-прежнему будем считать, что коэффициенты в сумме не зависят от номера окна:

|п+1 = (2 + тп )|п - |п-1 + ап+1 - ап . (11)

Таким образом, эффективная память системы оказалась лишь в два шага, хотя изначально могло показаться, что она имеет все п шагов. Тем не менее, и этот результат выводит нас за рамки марковских временных процессов.

2.2. Коэффициенты в сумме (9) могут зависеть от номера окна п.

В этой ситуации можно, например, обнулять или изменять коэффициенты, которые были получены при заполнении предыдущих окон. Рассмотрим несколько важных случаев.

Стратегия «след в след, отставание на к шагов». Это стратегия, в которой п-е окно доступа точно покрывается периодом развития эталонной функции до (п-к)-го окна. Тогда в сумме формулы (9) все члены равны 0, кроме одного: тп-к = 1. Итак, рекурренция принимает вид:

|п+1 = ,п + |п-к + а .

Асимптотически при больших п это уравнение переходит в уравнение обобщенных рядов Фибоначчи |п+1 = ,п + |п-к, [10] которые при к=1 описывают классические ряды Фибоначчи и Люка, на которых мы здесь не будем акцентировать внимание. При граничном значении к=0 мы приходим к особо важному для нас случаю так называемой ритмокаскадной стратегии.

3. Ритмокаскадная стратегия или стратегия «возлюби ближнего»

Ближний - это ближайший снизу, т.е. ближайший подчиненный уровень, заботиться о вышележащих старших уровнях бессмысленно. Это означает, стратегия требует в каждом окне максимально возможной реализации потребления ближнего, т.е. ему предоставляется максимальное

окно потребления, после чего старший уровень сразу закрывает окно доступа, чтобы его не использовали более низкие уровни. Обратим внимание - это локальная забота только о ближнем! С другой стороны, это стратегия след в след при минимальном отставании, т.е. при к=0.

Эту стратегию реализует только один выбор в (9) - единственный отличный от нуля коэффициент с максимальным номером тп = 1. Окончательно получаем простейшее уравнение

|п+1 = 2|п + а , (12)

его решения имеют вид

,п = (2п - 1)а, I* = (2п+1 - 2)а, (13)

(|1 = а,|2 = 3а,|3 = 7а,|4 = 15,|5 = 31,|6 = 63,|7 = 127 ....), и полностью определяют эталонную функцию:

&) = Ь.в(< - ‘"„Жп - I )• (14)

п=0

Легко видеть, что расстояние между двумя последовательными началами окон доступа удваивается при сдвиге по п на единицу, а последующее окно доступа вмещает всю предыдущую

функцию, т.е. нижележащий уровень в следующем окне может реализовать все, что реализовал старший уровень в предыдущем. При этом быстрорастущий собственный возраст соседних уровней даже сравнивается в моменты завершения окон.

Легко так же посчитать эффективность протекания ресурса на каждый уровень за период от старта строительства пирамиды до начала любого окна доступа (0, 1п ) по формуле (3) . Для к-го уровня она оказывается равной

1к (0, 1п ) = Ск (2п -1)-1 . (15)

Обратите внимание, эффективность биномиально распределена по уровням, и максимальная эффективность потребления в окне (0, 1п ) приходится не на первый уровень, а на уровни вблизи к=п/2.

Этот же закон (12), (13), (14) максимальной скорости протекания ресурса на нижележащий уровень был получен автором в 1996 году из совершенно других соображений в эволюционных задачах динамики развития сложных нелинейных систем, назван методом ритмокаскадов в [2-4]. Подчеркнем только, что дерево ритмокаскадов и является полной пирамидой потребления, с той разницей, что на нем указаны лишь начальные точки окон доступа. Основные постулаты:

1. «Принцип максимума темпа роста ритмокаскадов»- сразу по завершении очередного периода происходит бифуркация его удвоения (увеличения или уменьшения вдвое), так последовательно образуется временной (прямой или обратный) ритмокаскад. То есть прямой или обратный каскад Фейгенбаума , в котором точки бифуркации синхронизованы с концами периодов. Это действительно самый быстрый каскад Фейгенбаума, при котором еще имеет смысл говорить об октавном принципе. Обычно же предполагают адиабатическую зависимость внешних параметров от времени, когда между ближайшими точками бифуркации совершается много колебаний с одним периодом.

Отметим также возможность иной информационно-структурной интерпретации принципа. Множество всех подмножеств любой системы из N элементов содержит 2м подмножеств. Тогда, постулируя постоянство скорости обработки информации в системе (одно подмножество в единицу времени), получаем принцип максимального роста как закон удвоения периода обработки информации при увеличении объема системы на 1 элемент.

Последовательное добавление элементов и ассоциируется с чередой структурных перестроек, как скачков информационного объема обработки при расширении системы.

2. «Принцип иерархической синхронизации ритмокаскадов» - в момент бифуркации в некотором ритмокаскаде все параллельно развивающиеся в системе младшие ритмокаскады (т.е.

имеющие в данный момент меньший период) обрываются и стартуют - синхронизируются вновь от точки бифуркации по старшинству. Таким образом, младшие ритмокаскады «живут» и свободно развиваются в промежутках между моментами бифуркаций старших, «рождаясь» и «умирая» в эти моменты.

3.«Принцип фрактальности масштабной полноты ритмокаскадов» - в системе одновременно существуют все ритмокаскады, не противоречащие постулатам 2 и 3. Тогда дерево ритмокаскадов является фракталом, реализующим нелинейную природу времени самоорганизации. В реально проявленной системе реализуются далеко не все ритмокаскады, т.к. могут существовать дополнительные принципы запрета и ограничения - пространственно-временное окно существования системы, материальные условия, случайные внешние факторы и т.д. В таком наиболее жестком варианте, выполнение этих принципов тем точнее, чем выше организация системы, чем больше число ее иерархических уровней и совершеннее механизмы памяти и наследования. Поэтому в первую очередь речь идет о живых системах и организмах.

Приведем общую формулу для дерева ритмокаскадов, порождаемых одним ритмом, в случае только прямых ритмокаскадов Фейгенбаума . Здесь аргументы - есть номера соответствующих бифуркаций в различных поколениях ритмокаскадов (на различных иерархических уровнях), а сама левая часть задает моменты бифуркаций при данной конфигурации бифуркаций на разных уровнях.

Т(п,,...,,,т) = 70 2(2"‘ -1)

пк ~п1,,,пт

п, >п, >п, >, .. ,>пт

причем существенно правило упорядоченности аргументов согласно правой части, которое и есть правило запрета на нарушение заполнения дерева ритмокаскадов. Развернутая на рисунках структура возникающего временного ряда имеет самоподобный фрактальный характер. Задать фрактал аналитически, как привило, очень сложно, если не невозможно, его проще вырастить, фрактал это процесс; поэтому и приведенная формула дает послойные горизонтальные срезы фрактала при фиксации всех аргументов кроме одного в левой части.

4. Свойства дерева ритмокаскадов

Приведем явный вид дерева ритмокаскадов до девяти бифуркаций в первом поколении:

0 0 0 1 0 2 1 2 0 3 2 3 1 3 2 3 0

1. 0 1 3 7 15 31 63

2. \/\ /\ 10 /\ 22 /\ 38 46 /\

3. 2 \/ \/\ / \/\ /\ / \/\ /\ /\ 53 / \/\

4. 5 9 \/ \/ \/\ / \/ \/\ / \/\ /\ /

5. 12 20 \/ 36 \/ \/ \/\ /

6. 27 43 51 \/

7. 58

0 4 3 4 2 4 3 4 1 4 3 4 2 4 3 4 0

1 .___________63_________________________________________________________________________________________________127_________

2. /\ 78 94 /\

3. \/\ /\ /\ /\ 109 / \/\

4. \/ \/\ / \/\ /\ / \/\ /\ /\ / \/

5. \/ \/ \/\ / \/ \/\ / \/\ /\ /

6. 75 \/ \/ \/ \/\ /

7. 90 106 \/

8. 121

Кризис старшего "0" -го порядка включает в себя несколько младших кризисов:

3 6 5 6 4 6 5 6 0 7 6 7 5 7 6 7 4

1 .__________________________________________________ 511_____

2. /\

3. / \/\

4 . 476

6. \/\ /\ /\ /|

7. | \/ \/\ /| \/\ /\ / |

8. | \/ | \/ \/\ / |

9. | 488 | \/ |

10. | | 503 |

| область | полуволна |

Замедления | кризиса

ритма середина

вход

526 542

/\ /\ /\

/ \/ \/\ / \/\ /\ /

.\/...........\/....\/\../ средний уровень

523 |\/

| область | 53 8

| ускорения |

| ритма выход

кризис главного порядка- нулевого

503—511 ------ быстрая фаза кризиса с амплитуда- А = 8

491 - 523 --- вход и выход из кризисной фазы

475 - 537 ---- вход и выход пред- и посткризисных фаз.

Здесь по горизонтали отложено время в единицах основного периода ритма-водителя, а по вертикали даны номера структурных иерархических уровней системы, последовательно прорабатываемые ритмокаскадами с тем же номером поколения. Числа в самой верхней строке указывают порядок соответствующих кризисов. Легко заметить, что ни на одном уровне не существует сколь угодно долгого периодического процесса, всегда он рано или поздно обрывается, а затем возрождается вновь, хотя на первом уровне не существует ни одного периода! Например, на втором уровне период 2 непрерывно повторяется не более 4 раз, период 4 не более 5 раз, а на 3 уровне не более 12 раз ..., после чего ритм исчезает на некоторое время. Именно такое фрактальное поведение с перебоями ритма ближе к биоритмам живых систем, а вовсе не бесконечные синусоиды циклистики. Обратим так же внимание, что, если на некотором участке уровень касается ритмокаскадной кривой сверху, то на нем происходит ускорение ритма по закону удвоения, если же снизу, то замедление ритма по тому же закону. То есть в системе почти всегда сосуществуют уровни с противоположно направленными стрелами времени, что можно интерпретировать как одновременное присутствие эволюции для одних уровней и инволюции для других.

Но реальная система имеет конечное число иерархических уровней, именно поэтому дерево ритмокаскадов не может расти бесконечно долго. Система завершает свое развитие, вычерпав структурный потенциал - это и есть ее предельно возможное время жизни. По завершении полного цикла жизни он видимо может повторяться многократно по законам объемлющей системы, например, линейный ритм с периодом, равным времени жизни системы. Поэтому время жизни системы может быть периодом ритма водителя для большей системы и т.д. Следующим специфическим свойством дерева ритмокаскадов является наличие зон трансформаций-кризисов или структурных резонансов - резких структурных перестроек системы от низших к высшим уровням. Максимальные трансформации предшествуют точкам последовательного удвоения основного периода. Этой бурной, быстрой фазе предшествует «полуволна» вхождения в кризис и симметричная «полуволна» выхода из кризиса относительно среднего уровня между минимальным и максимальным уровнями, само вхождение предваряется эффектом замедления (в геометрической прогрессии со знаменателем-2) колебаний, касающихся среднего уровня. Предкризисное замедление характерных ритмов перед точкой бифуркации отвечает хорошо известной теореме в теории катастроф Рене Тома. На рисунке это показано на примере кризиса 503-511. Мы видим, что кризисы устроены самоподобно фрактальным образом, и все области кризиса старшего порядка, исключая зону быстрого роста, образованы перекрывающимися кризисами младших порядков. Подробный анализ закономерностей распределения кризисов дерева ритмокаскадов приведен в [4,7]. Автомодельность, фрактальность нашего временного ряда объясняется функциональным самоподобием итераций его построения. Кривая дерева ритмокаска-дов между двумя бифуркациями на первом уровне получается опусканием на один уровень кривой всего предшествующего первой бифуркации дерева ритмокаскадов, выросшего от момента его старта. Спектральный анализ таких фрактальных рядов дает степенной закон убывания с частотой, типа фликкер шума, что очень часто наблюдается в сложных системах.

Суть метода ритмокаскадов при анализе временных рядов сложных систем сводится к аппроксимации экспериментальной кривой деревом ритмокаскадов (одним или суммой нескольких), причем свободными параметрами являются лишь период ритма водителя и момент старта дерева ритмокаскадов. Приложения метода ритмокаскадов к задачам моделирования временной динамики процессов турбулентности, ближнего космоса, эмбриогенеза животных, социальной истории и рождения гармонии можно найти в работах [4-9]. Вероятно, фрактальное дерево рит-мокаскадов имеет отношение ко многим процессам в природе и обществе, т. к. задает максимальный темп эволюции системы, что, по-видимому, оптимально для многих природных и социальных развивающихся систем . Такие законы роста могли эволюционно закрепляться в конкурентной борьбе за выживание.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Ю. Введение в теорию массового обслуживания. - М.: КомКнига, 2005.

2. Буданов В.Г. Синергетика ритмокаскадов в эволюционирующих системах // Труды юбилейной сессии РАЕН «Леонардо Да Винчи ХХ века. К 100-летию А. Л. Чижевского». - М., 1997.

3. Буданов В.Г. Временная фрактальность в задачах с приоритетами. Ритмокаскады иерархических систем / Проблемы теоретической биофизики: Международная школа. - М.: МГУ, 1998.

4. Буданов В.Г. Метод ритмокаскадов: о фрактальной природе времени эволюционирующих систем. // Синергетика: Труды семинара. Т.2. - М.: МГУ, 1999. С. 36-54.

5. Шатров А.В. Ритмокаскады процесса развития пограничного слоя на вращающейся пластине. // Нелинейный мир: 1У международная конференция. - М.: Прогресс-традиция, 1999.

6. Буданов В.Г. Синергетическая алгебра гармонии. // Синергетическая парадигма; Под ред. Аршинова В.И., Буданова В.Г., Войцеховича В.Э. - М.: Прогресс - традиция, 2000.

7. Буданов В.Г. Ритмокаскады и их роль в космоземных связях. // Стратегия жизни в условиях планетарного экологического кризиса. Т.1. - СПб.: Гуманистика, 2002. С. 207-218.

8. Буданов В.Г. Ритмокаскады в истории.// Математическое моделирование социальной и экономической динамики. Труды международной конференции. - М.: РГСУ, 2004. С. 71-74.

9. Буданов В.Г. Ритмокаскады истории: Россия и будущее цивилизации // Новые методы в социальных нау-

ках; Под ред. В.Г. Федотовой. - М.: ИФ РАН, 2006. С. 308-322.

10. Стахов А.П., Розин Б.Н. Теория формул Бине для Р-рядов Фибоначчи и Люка. //Перспективные инфор-

мационные технологии и интеллектуальные системы. №1(21). 2005. С. 67-82.

PROBLEMS OF JOINT CONSUMPTION WITH THE PRIORITY HIERARCHY.

THE RHYTHM-CASCADE METHOD

Budanov V.G.

The consumption problem in the hierarchic systems with deterministic strategies has been studied. Several approaches of consumptions have been proposed. The efficiency study of the proposed methods as well as cases of automodel distributions and rhythm-cascade optimum are discussed.

Сведения об авторе

Буданов Владимир Григорьевич, 1955 г.р., окончил МГУ (1978), кандидат физико-

математических наук, доцент, старший научный сотрудник Института философии РАН, автор более 80 научных работ, область научных интересов - теоретическая физика, синергетика, философия науки и образования.