CC BY
63
ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ФОРМИРОВАНИЯ ОБЪЕМНО-КАЛЕНДАРНОГО ПЛАНА ЦЕХА ГОФРОПРОИЗВОДСТВА
Бездельников В.А. (ПетрГУ, г. Петрозаводск, РФ)
The problem of corrugated production optimal schedule construction is described in this paper. Several groups of efficiency criteria are formulated, which consider corrugated production features. Several criterions were reviewed, which were formulated as optimal matrix column permutation problem. Dynamic model is defined to determine sequence of corrugation drafts handling.
Многие производственные задачи приводят к многостадийным моделям обсуживающих систем, в которых обслуживание входного потока требований состоит из нескольких стадий - этапов производства, - на каждом из которых требование может быть обработано одним или несколькими приборами. Процесс функционирования подобной обслуживающей системы задается с помощью расписания. Если существует несколько допустимых расписаний, то следует выбрать наилучшее из них [1].
Одним из таких многостадийных производств является производство упаковки из гофрокартона. Принято считать, что формирование плана работы производства картонной упаковки - по меньшей мере, двухэтапный процесс. На первом этапе рассчитываются объемные планы раскроя, реализация которых обеспечивает производство необходимого количества требуемых заготовок с минимально возможными потерями гофрополотна, на втором - график работы оборудования, реализующий выполнение этих планов раскроя с минимальными затратами материальных ресурсов и времени, с учетом требуемых ограничений на совместность и т.д. [2]. Рассмотрим задачи, связанные со вторым этапом, считая, что объемный план уже рассчитан.
В результате показано, что задача поиска оптимального по некоторым критерия расписания сводится к поиску перестановки (р) = ... ,рп), оптимальной по определенному, иногда достаточно сложному критерию, в этой задаче присутствует большое количество самых различных трудно совместимых, иногда и противоречивых условий, которые приходится учитывать при выборе перестановки.
При производстве гофротары последовательность обработки планов раскроев, рассчитанных на этапе объемного планирования, определяет загрузку гофроагрегата и порядок поступления заготовок продукции на промежуточный склад.
Задача объемно-календарного планирования гофропроизводства имеет определенную специфику, которая позволяет разработать более эффективные алгоритмы решения. Это, прежде всего, двухэтапность основных технологических процессов, а именно - раскрой продукции и последующие операции доработки.
Первый этап обработки деталей включает операции раскроя полотна на заготовки. Пусть М - множество заготовок изделий, N - множество раскроев полотна, включенных в объемный план производства. Матрица Атп характеризу-
ет планы раскроев, рассчитанных на этапе объемного планирования, где Ац -объем выработки заготовки вида I в течение времени при использовании раскроя }. Кроме того, предполагается известным вектор Вп планируемых объемов раскроев, указанных в единицах времени работы гофроагрегата.
Перестановками столбцов 5 матрицы Л определяется порядок работы гофроагрегата. На рис. 1 показана кусочно-линейная функция поступления заготовки вида ¿в зависимости от перестановки, определяющей последовательность выполнения раскроев на гофроагрегате.
Таким образом, каждой заготовке / можно поставить в соответсвие монотонно взрастающую функцию Если заготовка не входит в текущий раскрой, то функция будет постоянной. Суммарный объем заготовок, поступающих на промежуточный склад, равен Тф=1
Пусть время, затрачиваемое на обработку заготовок вида ) на дорабатывающем станке, равно с учетом времени переналадки оборудования для производства другого вида изделий условно не зависящего от предшествующей работы.
Объемы и порядок выработки заготовок гофроагрегата частично определяют работу оборудования второй очереди. Действительно, пусть - объем
производства готовых изделий из заготовок. В таком случае < T,rjLl<pf
- неубывающая кусочно-линейная, постоянные участки которой соответствуют простою оборудования или переналадке для доработки другого вида заготовок. Поскольку вид функций определяется перестановкой р и сождержанием матрицы А, задача состоит в поиске перестановки строк матрицы А оптимальной по различным критериям.
Критерии эффективности в задаче поиска расписания составляют следующие три группы: 1. Временные характеристики:
• ранний срок выполнения всех работ;
• частичное или полное соблюдение требуемых сроков выполнения изде-
'1 ф;(0
Рисунок 1- Производство заготовок
лий;
• частичная или полная минимизация сроков выработки изделий — в сумме илипо наибольшей величине;
• минимизация суммарного простоя гофроагрегата;
• минимизация суммарного простоя оборудования второй очереди;
• минимизация суммарного времени переналадки оборудования.
2. Производительность оборудования:
• максимизация производительности гофроагрегата.
• максимизация производительности оборудования второй очереди.
3. Общецеховые ограничения:
• минимизация запаса заготовок в цехе (по наибольшей величине или в сумме);
• минимизация плотности плана;
• минимизация количества остановок гофроагрегата;
• минимизация выхода бракованной продукции.
Исследование каждого из критериев приводит к отдельной комбинаторной задаче в рамках построенной математической модели.
Рассмотрим модель задачи объемно-календарного планирования, учитывающую некоторые из критериев, которые были определены как первоочередные; связывающую этапы раскроя и доработки.
Для увязки объемов выработки на различных этапах при производстве гофротары создан промежуточный склад заготовок, требующих доработки. В качестве первоочередного был поставлен критерий сокращения максимальной загрузки промежуточного склада.
Необходимость переналадки оборудования второй очереди при смене обрабатываемой заготовки приводит к простою оборудования и повышению загрузки склада. Количество переналадок оборудования не меньше |ЛГ|.
Как было сказано, переналадка оборудования для производства нового вида изделий, как правило, не зависит от предшествующей работы. Таким образом, количество переналадок оборудования определяется количеством ненулевых отрезков в строках матрицы А. Оптимальной, в этом отношении, будет сжатая по столбцам матрица. Для этого необходимо найти перестановку р столбцов матрицы А такую, что количество непрерывных отрезков из ненулевых элементов в каждой строке будет минимальным.
Если существует такая перестановка столбцов р, что в каждой строке все ненулевые элементы расположены последовательно (сжатая матрица), то задача поиска перестановки может быть решена за полиномиальное время. Построить такую перестановку, если она есть можно с помощью РРЯ-дерева [3,4].
Однако если матрица не может быть приведена к сжатому виду, необходимо найти матрицу, минимизурующую какой-либо критерий.
Для задачи минимизации переналадок оборудования второй очереди введем функцию тДЛ) вектор-столбца а^ = (а^,..., а^), равную числу последовательностей из нулей между единицами. Аналогичную функцию - т(А) -
можно ввести для всей матрицы. Тогда в этих терминах задача сводится к поиску перестановки Р*, что Р* = argminp РА (далее считаем À = А).
Введем в рассмотрение матрицу Sm+l jn+2, где Sjj = — 1 ,Sjj+1 = 1, а остальные элементы равны 0 и добавим к матрице А нулевой первый и последний столбец. Матрица S представляет собой специальный оператор, который позволяет переформулировать задачу в терминах минимизации нормы матрицы А.
Поскольку для нахождения перестановки важны только ненулевые элементы, то можно определить бинарную матрицу Ашп, где единицы соответствуют ненулевым элементам матрицы А.
Минимизация т(РА) эквивалентна нахождению перестановки строк такой, что норма матрицы SP минимальна и сохраняются позиции дополнительных нулевых строк. Сингулярное разложение прямоугольной матрицы А позволяет переписать норму матрицы А :
То есть, задача минимизации т (РА) сводится к задаче коммивояжера в п-мерном пространстве, где расстояние между векторами х и у определяется в виде dix,у) = \\х - у\\1 [5].
Пусть найдена оптимальная перестановка столбцов матрицы раскроев А. Необходимо распределить заготовки, получаемые в результате раскроев между оборудованием второй очереди. Поскольку переход от одного вида заготовки к другому связан с переналадкой оборудования, то будем считать, что оборудование второй очереди выполняет доработку одного вида заготовки, пока она этот вид заготовки поступает с первого этапа. Рассмотрим далее задачу распределения доработки заготовок исходя из этого предположения.
Для каждой заготовки можно определить момент начала её поступления на склад ак и продолжительность её непрерывного производства tk, к Е К. Необходимо сокращение максимального заполнения промежуточного склада. Если дорабатывающее устройство одно, то можно не вводить в рассмотрение скорость обработки заготовок.
Функция поступления заготовок на склад - кусочно-линейная (рис.2Рис).
М(0
Рисунок 2- График поступления на промежуточный склад
Скорость обработки Рк(Г) зависит от производительности оборудования и обработка не может начаться раньше поступления заготовок на склад (рис.3).
Тогда остаток заготовок в момент составит:
Функция Рк (£) зависит от момента начала обработки отрезка к. Суммарное заполнение склада в каждый момент времени, таким образом, определяется
суммой:
к
Минимизация максимальной загрузки промежуточного склада определяется условием: max И(t) -* min.
Рассмотрим рекуррентное соотношение для вычисления минимума функции Н (t).
Пусть множество S - множество обработанных заготовок из множества К. Будем рассматривать моменты завершения обработки множества заготовок одного вида, поступивших во интервал времени (afc; ак + tk), к е К.
Рассмотрим переходы между состояниями и S2, которые показывают, какие из заготовок множеств заготовок, поступивших в интервалах (afc; ак + tfc), к Е К, были уже обработаны.
Введем рекуррентную функцию:
Рисунок 3- График обработки
g(S и {k}, max(t + ск\ ак) + t
к
min max <
SU {fr}
max fi(j),T £ [t; max(t + ck\ ak)]
T
>
ies
m /¿CO - Fk (t, tstaTt),т E [max(t I ck; ak) ; max(t + ck; ak) + tfc]
start
v
ies
Это рекуррентное соотношение позволяет вычислить оптимальную последовательность выполнения доработки в целях сокращения использования промежуточного склада.
Аналогичную модель можно построить для случая двух дорабатывающих устройств. В этом случае будем рассматривать моменты завершения обработки заготовки на одном из устройств, а функция д будет включать дополнительные параметры для оставшегося времени доработки на первом и втором устройстве:
Литература
1. Танаев В.С., Сотков Ю.Н. Теория расписаний. Многостадийные системы. М.: Наука, 1989. 328 с.
2. Кузнецов В.А. Задачи раскроя в целлюлозно-бумажной промышленности. СПб: Изд-во СПб ЛТА, 2000. 132 с.
3. J. Meidanis and Erasmo G. Munuera. A theory for the consecutive ones property. In Proceedings of WSP'97 - Third South American Workshop on String Processing, pages 194-202, 1996.
4. K. S. Booth, G. S. Lucker: Testing for the consecutive ones property. interval graphs, and graph planarity using PQ-tree algorithms, J. Computer System Science 13 (1976), 335-379.
5. N. Vuokko Consecutive ones property and spectral ordering, Society for Industrial and Applied Mathematics, 2010.
