Математические модели и алгоритмы решения задач оптимального раскроя полосы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.8:62

СОШКИН Роман Владимирович, преподаватель кафедры прикладной математики и кибернетики Петрозаводского государственного университета. Автор 10 публикаций

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО РАСКРОЯ ПОЛОСЫ

В статье рассмотрены методы решения задачи раскроя гофрополотна с набором дополнительных ограничений, включая условие ограниченности количества раскроев в оптимальном плане. Эффективность описанных в данной статье методов подтверждается опытом использования их в составе программных комплексов, реализованных на ряде предприятиях ЦБП России и Украины.

Гофротара, раскрой, оптимизация, количество базисных переменных

Российский рынок гофротары является одним из самых динамичных и конкурентных рынков упаковки в России. Ежегодные темпы роста этого рынка составляют 10-12%. Одну из основных задач, возникающих при производстве упаковки, составляет раскрой гофрополотна. Оптимизация планов раскроя - комбинаторная задача, которая должна решаться с использованием вычислительной техники, поскольку автоматизация планирования раскроев практически всегда обеспечивает значительный экономический эффект за счет сокращения неизбежных отходов и формирования более технологичных планов.

Содержание задачи раскроя [1-3] составляет поиск наиболее выгодного способа размещения заготовок определенного набора деталей (предметов раскроя) на кусках материала (объектах раскроя).

Конкретизация задачи раскроя, построение математической модели и выбор метода решения связаны с уточнением понятий: объектов раскроя, предметов раскроя, группы движений,

определяющей размещение предметов на объектах, схемы построения возможных (допустимых) способов размещения, цели задачи -критерии эффективности при выборе способа размещения, а также ряда дополнительных требований к решению задачи.

Основное содержание прикладной задачи раскроя обычно дополнено рядом условий, включая требования:

• комплектности предметов, т.е. пропорциональности объемов их производства с поправкой на имеющиеся запасы;

• комплектности расходования объектов раскроя;

• массовости производства, суть которого альтернатива: не выкраивать предметы данного вида или выкраивать их количество, не меньшее установленной нижней границы;

• соблюдения определенных границ доли потерь материала;

• условий последовательной реализации процесса раскроя, примерами которых могут служить гильотинные резы или определенные тре-

бования к очередности выкраивания и форме остатка материала после каждого шага;

• ограничение на допустимое количество раскроев в оптимальном плане.

Дополнительные условия по-разному влияют на вид математической модели, сложность алгоритма и трудоемкость решения задачи раскроя. В некоторых случаях количество вариантов планов раскроя сокращается, и задача становится проще, иногда, существенно не меняя алгоритм, его удается приспособить для решения модифицированной задачи. Однако чаще дополнительные ограничения усложняют решение.

Постановка задачи раскроя гофропо-лотна. При производстве изделий из гофрокартона предметами раскроя являются прямоугольники заданных размеров, а объектом раскроя - полотно-полоса, длину которой можно считать бесконечной. Задачу планирования раскроя гофрополотна определим следующим образом. Задано множество заготовок М с заданными размерами и требуемыми границами выпуска Ъ. и В - минимально и максимально допустимые объемы (м2). Необходимо раскроить как можно больше заготовок, используя раскрои с наименьшим средним процентом потерь и учитывая ряд технологических ограничений. Обозначим N - множество возможных раскроев для гофроагрегата. На основании минимальной необходимой загрузки и максимальной возможной скорости работы для гофроагрегата введем ограничения на объемы выпуска d и D (м2).

При перенастройке гофроагрегата на новый раскрой некоторая часть гофрополотна идет в отходы, так как агрегат не останавливается, поэтому выпуск раскроев небольших по объему не экономичен (потери связанные с переходом на новый раскрой будут больше, чем выгода, получаемая при его выпуске). Поэтому введем параметр min V - минимальный допустимый объем раскроя для выпуска.

Обозначим х. - планируемая выработка гофрополотна (м^) в соответствии с раскроем jGN. Решением задачи является список раскроев jGN с указанием объема реализации х. каждого из них.

Каждому раскрою соответствует процент потерь д. и нормативы выработки заготовок А, (количество м2 заготовок і є М при раскрое квадратного метра гофрополотна по схеме

ло.

Целевая функция задачи определяется суммарными потерями материала:

(1)

Основные условия задачи ограничивают объемы производства заготовок:

jeN

(2)

Их дополняют условия массовости объема выработки раскроя:

х, є OY[minV,<x), j є N,

(3)

раскрой либо не используется в оптимальном плане (х. = 0), либо он включен в план и объем его выработки не менее тіпУ.

На объемы выработки гофроагрегатом требования накладывают следующее ограничение:

Xj < D

N

(4)

Для решения задачи (1)-(4) успешно используются методы исследования операций и математического программирования. Можно предложить следующие алгоритмы поиска оптимального ответа:

1) Полный перебор возможных раскроев с использованием «жадных» алгоритмов.

На первом шаге выбираются раскрои, состоящие из одной заготовки, которую можно несколькими полосами поместить по ширине гофрополотна так, чтобы обрезаемая кромка находилась в установленных границах. Далее перебираются все раскрои, состоящие из двух разных по ширине заготовок, при этом заготовки, которые были выбраны на первом шаге, не учитываются. Каждой заготовке соответствует не менее, чем одна полоса на гофрополотне, причем суммарная ширина этих полос должна соответствовать границам по обрезаемой кром-

ке. Раскрои из двух заготовок, удовлетворяющие технологическим ограничениям, сортируются по возрастанию процента потерь, после чего из этого списка последовательно выбираются раскрои для обеспечения максимально возможного выпуска изделий. Основным преимуществом данного метода является простота реализации. К недостаткам можно отнести ограниченный набор раскроев, который содержит лишь малую часть технологически возможных, и, как следствие, неполное соответствие полученного решения реальной производственной ситуации.

2) Предварительное построение возможных раскроев и выбор плана с использованием линейной оптимизации.

На первом шаге строятся все технологически возможные раскрои, которые заносятся в симплексную таблицу. Для построения возможных раскроев используются алгоритмы полного перебора. На следующем шаге используются алгоритмы линейной оптимизации для выбора оптимального набора раскроев. В отличие от первого метода, полученное решение обычно полностью соответствует требованиям технолога и реализуется без корректировки. Основным недостатком данного метода является необходимость построения полной таблицы всех возможных раскроев, так как уже при нескольких десятках заказов количество раскроев может быть очень велико, что затрудняет их хранение и негативно сказывается на времени вычислений.

3) Динамическое формирование требуемых раскроев при выборе плана с использованием линейной оптимизации.

В этом алгоритме для решения поставленной задачи используется модифицированный симплексный метод и метод генерации столбцов. Множество переменных, которые при поиске оптимального плана входят в состав базисных, - малая часть теоретически возможных планов раскроя, остальные хранятся и пересчитываются напрасно. Этот недостаток устраняется применением метода генерации столбцов. На каждой итерации симплексного метода решается вспомогательная задача ли-

нейного раскроя для поиска нового водимого в базис столбца. Использование барьеров при оценке стоимости раскроя позволяет отсечь множество раскроев, невыгодных на данном шаге. Решение вспомогательной задачи либо подтверждает оптимальность текущего плана, либо указывает раскрой, использование которого «улучшает» его. Столбцы симплексной таблицы рассчитываются не перед началом решения задачи, а по мере надобности, в процессе решения основной задачи линейного программирования (ЛП).

Задача с ограниченным количеством итоговых раскроев

В процессе внедрения систем, направленных на решение задач оптимального раскроя гофропо-лотна, часто возникают другие ограничения, которые выходят за рамки класса задач линейного программирования. К примеру, операция перенастройки оборудования может быть довольно трудоемкой и длительной, поэтому возникает потребность в ограничении количества планируемых раскроев. При этом сокращение количества перенастроек оборудования нередко позволяет уменьшить количество отходов за счет снижения потерь при переналадке, несмотря на использование менее эффективных схем раскроя.

Для учета ограничения на количество раскроев в оптимальном плане (не более К) необходимо добавить следующее условие:

Z siSn(Xj) < К. jsN ^

Указанное ограничение приводит к новой задаче, которую назовем задачей линейного программирования с ограниченным количеством базисных переменных (задача ЛП с ОКБП).

Рассмотрим произвольную задачу ЛП Р типа задачи формирования оптимального плана раскроев с множеством М= 1..т ограничений, N = 1..п переменных, матрицей А (т*п) ограничений и векторами b > 0, с > 0, х соответствующей размерности

Р : сх ^ min; Ах > Ь; х > 0. (6)

Следуя содержанию задачи, коэффициенты матрицы А > 0, следовательно, можно ограничиться случаем b > 0 для каждого i е М. Будем также считать, что ограничения задачи (6) совместны, х* - ее оптимальное решение, а z* = сх*. Сделаем еще одно важное предположение. Чтобы избежать оговорок, будем считать, что матрица ограничений этой задачи имеет полный ранг. Каноническая форма этой задачи такова:

сх + 0 у ^ min; Ах - Еу = Ъ; х,у > 0. (7)

Множество переменных задачи (6) составляет N" = N + М, базисных переменных N' с N", где |^' | = т. Среди переменных множества присутствуют как переменные основной задачи Nx с N (основные базисные столбцы), так и орты N с М (дополнительные базисные столбцы), = N ' + N В силу предпо-

ложения о невырожденности всех базисных решений задачи x[N'], y[N ']> 0 для любого базисного множества N'. Важная особенность

- целевая функция рассматриваемой задачи обязательно ограничена (снизу).

Цель данного исследования - поиск оптимального плана (х*,у*) этой задачи с дополнительным условием

| NJ | < к < т, (8)

которому соответствует оптимальное значение целевой функции z*. Полученную задачу обозначим Рк. Задачу (6) или (7) будем называть базовой по отношению к данной задаче ОКБП, число к - рангом базиса задачи. Следует оговорить некоторую условность в названии класса рассматриваемых задач: ранг матрицы определяет лишь \NJ - количество основных столбцов матрицы ограничений, общее количество базисных переменных (основных столбцов NJ 1S.N'), разумеется, всегда составляет т.

Отметим, что если \Nx,\ < к, то решение Р совпадает с решением Р. Сложности возникают в случае > к.

Отметим некоторые особенности рассматриваемой задачи.

• В основе рассматриваемой задачи понятие базисного плана задачи ЛП, что фактически исключает возможность ее решения без использования средств линейной алгебры и линейного программирования. С другой стороны, исследование базисных решений этой задачи привносит в ее содержание элемент дискретности (количество базисных множеств не превосходит 2П), который удобно использовать для организации алгоритмов частичного перебора.

• Для любой задачи ЛП (6) или (7) имеется целое к0 такое, что рассматриваемая задача имеет допустимое решение только для к > к0. Таким образом, необходимо рассматривать подмножества Nx, с N, для которых к0< |7V,| < к, что принципиально противоречит концепции независимого множества матроида. В связи с этим необходима определенная, представленная далее корректировка условий этой задачи.

• Оптимальное значение целевой функции решения задачи с ОКБП является компромиссом между качеством решения базовой задачи ЛП и рангом задачи. С этой точки зрения, рассматриваемая задача является двухцелевой с противоречивыми функциями цели. Ограничение количества основных столбцов практически неизбежно приводит к снижению возможностей выбора плана и тем самым к увеличению числа дополнительных переменных у, векторная природа которых приводит к появлению целой серии задач оптимизации с различными критериями эффективности и дополнительными ограничениями.

Теорема 1. Задача Р разрешима при к > к0, где кд - оптимальное значение целевой функции в задаче о покрытии:

Р : kg - Е Xj ^ min,

jeN

Z Bijxj - ^ 1 e M’

jeN

Xj e {0,1}, j e N,

где Bij = sign(Aij).

Для доказательства теоремы отметим, что если х* - оптимальное решение задачи Р’, то

Дк* - допустимое решение задачи (6), базисное множество которой составляет |^| = к0 элементов, а Р = тах{Ь.\ /е М}.

Изучение следующих свойств приводит к исследованию однородных матроидов множеств.

Условие допустимости непосредственно указывает на матроидную структуру совокупности рассматриваемых множеств, а желание получить эффективный алгоритм решения (или хотя бы оценки решения задачи) является основанием для рассмотрения соответствующего матроида множеств. Введем такие матроиды.

Обозначим М' = ( Д/ ) однородный мат-роид ранга &, множество элементов которого Ы, а семейство независимых множеств J=( Ае2К \ \А\<к ) определяетдопустимые множества Ых. Множество баз В данного матроида составляют ^-элементные подмножества Ы, множество циклов - к+1 -элементные подмножества.

Введем также двойственный матроид по отношению к рассматриваемому М" = ( N. А' ) с семейством независимых множеств J = ( А& 2К | \А\ > к ). Независимые множества двойственного матроида (кроме баз) соответствуют недопустимым решениям задачи.

Множество баз каждого из этих матроидов составляют ^-элементные подмножества N. Матроидная структура накладывается на множество допустимых решений задачи (7) с дополнительным условием (8).

Для некоторого к рассматриваемая задача может не иметь допустимого решения. Чтобы избавиться от этой проблемы, расширим множество столбцов задачи вектором 6, которому сопоставим искусственную переменную ж Теперь задача

Сж + сх + 0у ^ тіп; Ьж + Ах - Еу = Ь; ж,X,7 > О, I Ы'\< к

І є М}

(9)

обязательно имеет решение для каждого к. В случае выбора достаточно большого весового коэффициента О данная и исходная задачи эквивалентны. Оценку величины О дает следующая теорема.

Теорема 2. Задача (9) эквивалентна задаче (6) при любом к> к0 в случае

в > в = тах{с ■ I; е Ы} ^ ^

г^М т1П( АУ I АЦ > °-

Зафиксируем подходящее значение О.

Поиск эффективного (в идеале - жадного) алгоритма решения данной задачи означает наличие структуры матроида, связанного с ней. К сожалению, комбинаторная природа задачи не позволяет рассчитывать на эффективные алгоритмы ее решения, поскольку функционал не является аддитивным. Тем не менее матроидная структура позволяет получить достаточно эффективную оценку функционала задачи.

В характеристике алгоритма важнейшую роль играет так называемый пробный план -базисное множество, которое характеризует состояние алгоритма и задает определенное подмножество решений задачи. С любым независимым множеством логично связать совокупность всех независимых множеств, содержащих его. В рамках исследования все алгоритмы решения задачи Р являются:

• Прямыми или двойственными - в зависимости от матроида, в состав независимых множеств которого входит текущий пробный план.

• Точными или приближенными (более конкретно, переборными или жадными) методами.

Автором предложены следующие алгоритмы решения задач ОКБП:

• Прямые переборные алгоритмы.

- Последовательный анализ независимых множеств (алгоритм А1). Для каждого А&/решить задачу ЛП и выбрать наилучшее решение.

- Последовательный анализ баз матроида (А2). Для каждого А& В решить задачу ЛП и выбрать наилучшее решение.

- Перебор дополнений циклов двойственного матроида (АЗ). Для каждого А е/, \А\ = к-1 решить задачу РА, после чего выполнить единственный шаг симплексного метода, дополнив множество столбцов матрицы ограничений всеми оставшимися раскроями.

Подход, основанный на переборе подмножеств, может использоваться при решении за-

дач очень малой размерности, но абсолютно неприменим при использовании метода генерации столбцов, размерность множества в котором практически неограниченна.

• Прямые приближенные алгоритмы

- Приближенный алгоритм (А4). На предварительном этапе этого алгоритма решением задачи (7) находится базисное решение Ы = Ых* + ^*,ав процессе перебора множество заменяется на существенно меньшее Ы* с N.

- Жадный прямой алгоритм (А5). Формируется начальный план, а затем при решении задачи симплекс-методом, как только вводимый элемент нарушает ограничение по количеству элементов в базисе, происходит остановка.

На практике хороший результат показывает приближенный, не гарантирующий оптимальность полученного плана алгоритм А4, аналогичный А2.

• Двойственные алгоритмы.

Двойственными алгоритмами назовем методы, в которых базисные множества столбцов Ых пробных планов являются независимыми

множествами двойственного однородного мат-роида ранга п-к.

Если при исследовании прямых алгоритмов основой перебора является Ы = 0, то за основу двойственных логично принять Ых = Ы* - оптимальное решение задачи (6) безОКЁП.

- Алгоритм последовательного отсева (Б1). После решения основной задачи, на каждом следующем шаге из базисного множества исключаются элементы с наименьшими оценками до тех пор, пока их количество не станет равным к.

- Метод фронтального перебора (02).

- Начальный шаг субоптимального алгоритма (БЗ).

Эффективность описанных в данной статье методов подтверждается опытом использования их в составе программных комплексов реализованных на ряде предприятиях ЦБП России и Украины. Составленные планы раскроев и производства продукции обеспечивают значительное снижение потерь материала за счет выбора рациональных вариантов раскроя гоф-рополотна и их сочетаний.

Список литературы

1. Воронин А.В., КузнецовВ.А. Прикладные оптимизационные задачи в целлюлозно-бумажной промышленности. Петрозаводск, 2000.

2. Канторович Л.В., Залгаллер В.А. Рациональный раскрой промышленных материалов. Новосибирск, 1972.

3. Кузнецов В.А. Задачи раскроя в целлюлозно-бумажной промышленности. СПб., 2000.

Soshkin Roman MATHEMATICAL MODELS AND ALGORITHMS OF OPTIMAL STRIP CUTTING PROBLEM

The article is devoted to the problem-solving procedures of cutting corrugated board with a set of additional restrictions, including the provision of a limited number of cuts in the optimum plan. Efficiency of the methods described in the given article is proved by their actual use within the program complexes realized at several pulp-and-paper mills of Russia and Ukraine.

Контактная информация: e-mail: soshkin@gmail.com

Рецензент-Андреев П.Д., кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой алгебры и геометрии Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова