Задачи диагностики для сложных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

такое разбиение Й множества У0 называется (<у, неминимальным разбиением в графе й.

Данная задача является одной из разновидностей задачи компоновки схемы управляющей системы в конструктивные блоки. Граф (7 в этом случае выступает в качестве модели компонуемой схемы: вершины в Уо сопоставляются элементам схемы, а рёбра в С/о - множествам электрических цепей в схеме, объединяющих пары полюсов соответствующих элементов. Вес такого ребра равен мощности сопоставленного ему множества цепей. Вершинами в У-Уо представляются электрические цепи схемы, объединяющие более двух полюсов (промежуточные узлы связи). Ребро, соединяющее вершину в и вершину в У-Уо, указывает на инцидентность в схеме соответствующих элемента и электрической цепи. Поскольку объём н> конструктивного блока ограничен, а размеры реальных физических элементов ту конечны, то в каждом блоке / при компоновке схемы может быть размещено лишь множество таких элементов, общий объём которых не превышает и>. Отсюда оледует ограничение на в постановке задачи. Кроме того, конструктивные блоки соединяются между собой посредством разъёмов с ограниченным числом ц контактов. Тем самым накладывается ограничение на число ц(К) внешних связей блока /, т.е. связей элементов в блоке » с элементами других блоков. При подсчёте этого числа все проводники, принадлежащие одной и той же электрической цепи, отождествляются с одним проводником, вследствие чего величина д(К/) вычисляется по приведённой выше формуле при У=у. Общее количество конструктивных блоков, по которым распределяются элементы схемы, должно быть наименьшим; отсюда - тре-

бование минимальности числа классов в разбиении к.

Г-интерпретация

Множество УЬУо называется д-совместимым (мнюв-местимым), если 4?^, а, соответственно, м{У)<ж Множество У, являющееся одновременно ^-совместимым и и»-совместимым, называется (д,м>)-совместимым. Пусть Х=У<ъР- множество всех (д, несовместимых подмножеств в А" и Я^Н ДЧ • Тогда решение Г-задачи дня <ХР/> является ^^-минимальным разбиением в графе С

Параметры метода

Каждое (ц, и^-совмесгимое подмножество в УсА' является ^-совместимым подмножеством некоторого и»-совместимого подмножества ОсУ. В связи с этим алгоритм перечисления <р для рассматриваемой задачи предложено представлять как композицию (последовательное выполнение) двух алгоритмов - <р2 и <рЗ. Алгоритм ф2 в любом У^Х перечисляет все максимальные \v-co-вместимые подмножества Q, содержащие вершину у0 наибольшего веса, а алгоритм фЗ для каждого 2 (У) перечисляет все такие его ^-совместимые подмножества, содержащие вершину деК, которые являются объединениями некоторых максимальных плотных подмножеств из Q. Множество АсХ называется плотным, если для любого непустого подмножества СсА имеет место д(С)>д(А). Приводится конкретная реализация алгоритма перечисления. Операция V)/ исключает из 2=ф(К) всякое такое множество ЛеД для которого в 2найдётся множество В^А со свойством д(А)£д(В). Допустимость этой операции доказывается соответствующей теоремой. Граничная функция определяется так же, как в задаче о разбиении множества чисел.

ЛИТЕРАТУРА.

1. Агибалов Г.П. Дискретные автоматы на полурешетках. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1993.227 с.

2. БержК. Теория графов и ее применения. М.: ИЛ, 1962.319 с.

3. Агибалов Г.П., Беляев В.А. Метод сокращенного обхода дерева поиска и его применение в синтезе интегральных схем // Управляю-

щие системы и машины. 1977. № 6. С. 99-103.

4. Агибалов Г.П., Беляев В.А. Технология решения комбинаторно-логических задач методом сокращенного обхода дерева поиска. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1981.125 с.

5. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир, 1978. 432 с.

6. A.M. Geoffrion, R.E. Marsten. Integer programming: a framework and state-of-the-art survey // Management Science. 1972. Vol. 18. № 9.

7. Рейнгольд Э., Нивергелът Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика. М.: Мир, 1980. 476 с.

8. Ершов А.П. Введение в теоретическое программирование. М.: Наука, 1977. 288 с.

9. Закревский А.Д. Алгоритмы синтеза дискретных автоматов. М.: Наука, 1971. 512 с.

Статья представлена кафедрой защиты информации и криптографии факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 1 марта 2000 г.

УДК 519.7

В.А. Бузанов

ЗАДАЧИ ДИАГНОСТИКИ ДЛЯ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 98-01-00288

Предлагается способ применения специальных интервальных операций при вычислениях в задачах диагностики, если объект диагностики задан простейшей композицией произвольных функций - сложной функцией. Предполагается, что функции-компоненты композиции заданы их интервальными формами.

Для упрощения вычислений ранее [1] были ПустьX = Xt х...хX, х...хХ№ - декартово про-

предложены специальные интервальные операции roBefleHHe произвольных множеств*,. Элементы

для решения основных задач диагностики. При этом ,, _

„„„„ „„ м множества X называются векторами или наборами,

имелось в виду следующее. r г

Элементы множества X = Хх х...хХ1 х.,.хХ„, где X,, /=1,2,....и, - множества всех подмножеств множеств X, соответственно, называются интервалами. Пусть АеХ,, М..... и, и X? = Х) и {Л},

/=1,..., п. Элементы множестваXА = Хх х...хХя называются Л-векторами. Элементы множества Хк = Хх х...хХя , где X,А, г=1,..., п - множества

всех подмножеств множеств X*, ¿=1.....п соответственно называются Л-интервалами. Символ А в терминах А-вектор и А-интервал разрешается опускать, если это не вызывает недоразумений. Пусть интервалы е, и представлены как е = ех...£г..ея и и = и1....иг..мя,

где е„ и,е = \,...,п. Определена покомпонентная операция «+» над любыми интервалами ей и как е + и = (в, + и,)...(е, + и,)...(е„ +и„),

где

е+и ={е,Л*А}им" еслиЛее-> I е"

если Л г е,.

Определена также операция «-» (в некотором смысле обратная операции «+») следующим образом: для пары интервалов и = и1...и,..мпи у= у,...у(...у„, и - V = (и, - V,)...{и, - V,)...(«„ - у„) , где покомпо-

\и, и {Л}, если и. п у, * 0, нентно, щ - у4 = . ^ . . .еСлй . ± 0/ . .

Операция «+» введена для отображения действия неисправности на аргумент функции, операция «-» введена для вычисления интервалов неисправностей.

Множество I/ = {и,.....ип...,ир} интервалов называется интервальным покрытием множества 2 с X,

если и И< = 2. Интервальной формой функции

/:2-*У,2^Х называется <р:С/->У,С/£X -такое отображение интервального покрытия (/= = {и,,..., и,,..., ир} множества 2 в У, что для каждого у из области значений функции / выполняется

ФГ'Су) = /"'Су) . гДе /"'00 _ полный прообраз у

по отображению/ ф7'(у) - элементы полного прообраза у по отображению (р; объединение произведено по всем элементам этого прообраза.

Приведенные выше интервальные операции предлагается применять при решении основных задач диагностики. Показано [1], как такие средства могут применяться для решения прямой и обратной задач диагностики, если объект диагностики задан интервальной формой произвольной функции. Однако не всякий объект диагностики можно считать таковым, поэтому ниже обсуждается один из способов применения данного аппарата к объектам диагностики, заданным простейшей композицией произвольных функций - сложной функцией.

Другие определения и факты (кроме общеизвестных) можно найти в [1]. Кванторы и логические связки в тексте употребляются в их содержательном смысле 98

как соответствующие сокращения выражений естественного языка. В бесскобочных выражениях старшими считаются операции «+», «-», затем по старшинству идут теоретико-множественные операции и отношения. В обозначениях элементы множеств и одноэлементные множества, как правило, не отличаются.

1. Модель объекта диагностики

Если множество значений функции fl содержится в множестве определения функции /|+1, (т.е. / : 2, У, с 2М /' = 1,...,и -1), то функция, определяемая равенством

(/„/„-,.../,ХоО = /„(/„-1(.../,(а)...)) = сх/,Л-/„,

ае2ь называется (л-1)-кратной композицией функций или сложной функцией.

Пусть

Х1=Хпх...хХу1х...х Х1Я1,2шсХ01,1 = 1,...,п.

Вектор е, е ЛГ(Л, где X? = ХЦ х...хХ* х...хХ^, / = 1,..., и, называется аргументной неисправностью функции /¡^¡-уУ,, / = 1 ,...,п (т.е. функции-компоненты сложной функции), если для каждого а е 2, выполняется (е, + а2,. Множество Л-векторов, удовлетворяющих последнему условию, будем обозначать как 2,Л, /з],...,п. Неисправностью сложной функ-.щщ назовем <Кеь ...

Пусть Л - отношение различения на У„. Будем говорить, что вектор а&2> обнаруживает неисправность е = (е,,...,е,,...,е„),е1 е2* ,еели

/я (/я-1 (•••/) (°0 • • ■)№/„ (еп +

+Л-1(е»-. + + /¡(6, +а)...)), или, что то же, Г(а)/?/•"'"'" (а), где обозначено /„(/*-,(••■/.( а)...)) = ^(а), /п(е„ + /я-,(еи.|+...е2 +/,(е, +а)...)) =

=а/,"Л" ■../;• = (а).

Пусть ф, С/, = {и,,,...,},

Ф» : ^я ^я > есть интервальные формы функций /,...../„ соответственно. Для так заданной сложной функции рассмотрим задачу вычисления множества всех неисправностей, обнаруживаемых заданным вектором а е 2Х.

2. Прямая задача

Через а^Л обозначим множество всех у е У„, для которых Р(а)Йу . Пусть ф"1 (а^Л) = {ф,',1 (а^Л),...

(а^Л).....ф^ (а^Л)} - полный прообраз множества о^Д по отображению ф„ и интервалы ф^1 (а/Т?) - элементы этого прообраза. Образуем

декартово произведение ГХ!^ х ф"1 (а^Т?). Нетрудно видеть, что оно есть множество кортежей ви-

да ' игп "о,.....и,-..;,.,. (а^Л)). Для краткости будем обозначать их как и} Л .

Каждому такому и^ ф^ сопоставим №-ку (кортеж)

(«>Ф1(и,АХ-.Фм ("/-.;,.,)»•••

• ■ Ф„-2 ("„-2.7,., ) .Фл-1 ("-и,.,)) • где а е 2Х, и для краткости обозначим как <хфУ| (.

Другими словами,

•••.Ф»-2("Я-2,Л.1Х Ф»-1 ("»-1.Л-, » = «Ф получается из и,,...,.^, если слева к приписать а, справа отбросил, ф~' (а^Л) и заменить

«и,.....Функциями ф„...,ф,.....Фл_, от

,...,«„_|л 1 соответственно. Таким образом, число компонент в и | одно и то же

и между ними возможны покомпонентные операции.

РаСсМтри№ Ьг1ераЦию

«>....7-,ф^'.-афу,

= («.„. «2У1.....иш >■■•> "»-1.7.-1' ф^ (<***))-

-<сх,ф,(м1Л ),...,ф(_, (Иу-.^., Х-Ф.-г^»-^..,).

Ф»-|(«Я-..7„.1)) = (М171 ~а>М272 ),•••,% ~

"Ф/-1 ("/-и,.,

)»—»Ф/у!. ) ~ Фя-1 (Ия-1.7„-| ))• Будем относиться к этому действию как к операции, обозначаемой <1а>, над ил...л , <рй1» т.е. будем считать, ЧТО И7, ..Л-.Ф«7. -аФ7,...7.., =^а>(",,...7„.,Ф«у. )•

Нетрудно видеть, что в результате применения </а> получается некоторый интервал неисправностей. Применением операции с1а> к каждому элементу

множества х ф^'(а^Л) получается некото-

рое множество интервалов неисправностей. Прямая задача в этом случае состоит в том, чтобы, вычисляя возможные неисправности, установить, какие из них обнаруживаются вектором а, и убедиться, что установлены все обнаружимые им неисправности.

Будем обозначать как Да>(ГТ1|'^' хФп'(о^)) множество всех элементов декартова произведения х (р~'(аГЯ), над каждым элементе»! которого произведена операция ) • Через

обозначим множество всех векторов е, для которых в ДаЖ^Ф»'^™)) найдется интервал

такой, что ее ^а>(м7,...7,.,Фя7,) • Покажем, как, в частности, можно решить трямую задачу диагностики для сложной функции. Имеет место следующее утверждение, опре-

деляющее один (о возможных способов решения прямой задачи-нужновычислил» Ла>х ф~'(а^Я)).

Теорема. Г(а)ЯГе' (а) о

Для доказательства теоремы потребуются следующие утверждения.

Лемма 1. Если /: 2 -> У,2 = Х1,...,Х„, и Ф:[/ -> У,и = {их,...,и,,...,ик} -произвольная интервальная форма функцииа,Ье2, Ь/Я - множество всех у е У, для которых /ф)Яу, множество <р~1(Ь/Я) = = {ф^'(бД).....полный прообраз множества Ь/Я по отображению ф; интервалы Ф~' (Ь/Я) - элементы этого прообраза и е е 2К, то /(¿)Л/(е+а)оЗф-'(АД)б еф-Чй/КХеефГЧбДЬо).

Доказательство

1. (=>):Ввиду теоремы 1 (из '{Г] о различимости двух неисправностей)

Де + а)Я/(е + а) о 3(и,у) е

е /?ф-1 (ееи-а&ее у-а), (положим е = Ь)

ДЬ + а)Я/(е + а) <=> 3(и, V) е е Лф"1 (Ае и-а&ее у-я), (поскольку Ь е2 => Ь + а = Ь) /(Ь)Я/(е+а) о Щи, у) £ Яц>(Ь е и - а & е € V - а), (т.к. Ьеи-а&Ье2^Ьеи)

ДЬ)ЯДе+а)=э 3{u,v)eR(p'\bвu&eвv-a), (т.к. из определения множества Дф~' [1])

(и,у)еЛф"1 &Ьеи^ у еу~1(Ь/Я)), то /(6)Л/(е + а)=> 3(и, у) е Яф"1 (¿> е и & V е бф"'(^Д)&ееу-а), /Ф)Я/(е+а) => Зф("' (ЬД) е

еф-'^ДХвбфГ'^Д)-«)-

2. (<=):Поскольку ы-а + а = и,то

Зф-' (бД) € ф'1 (ЬД)(е е ФГ' №) - а) => => Ф№) = /(¿) & Ф(е+а) = /(е+а) = ф(ф7' ДО) -

- а+а)) = ф(ф("' № ))еЬД=> /№Де+а), что и требовалось доказать.

Лемма 2. Ест/\2-уУ,2с1Х = Ххх...хХ„ и ф:{/->У,(/ = {и.............ия} - произвольная интервальная форма функции/и е е X А, то

Уа б г((/(е+а) е У) о е е Щ, («/ " «))•

Доказательство.

1. Уае2(/(е + а)€У)оУа€2(в + а€2).

Подставив правую часть этой эквивалентности в левую часть <=> утверждения леммы, получим

Va e Z((e+a e Z) о e e (и, - a)).

2. По определению интервальной формы

Va € Z(e+a e Z) о Va 6 Z3m q Z(e+a e и).

Подставив правую часть последнего в результат 1-й подстановки, имеем

Va е Z(3u q Z(e + a e и) о е е {J^ (и, — а)).

3. Подставляя е е (J^ (и, - а) о Va е Z3m, с с Z(e е и, -а), в результат 2-й подстановки, имеем

Va е Z(3k, с Z(e+a е и,) <=> Зи, с Z(ee м, - a)).

4. Ввиду леммы 4 [1] е+аеиоееи-а, и после подстановки правой части последнего утверждения в левую часть результата 3-й подстановки получим

VaeZ(Ew, cZ(ee«, -а)оЗи, cZ(«€u, - а)), что и требовалось доказать.

Приведем доказательство теоремы.

1. (=>): По определению интервальной формы и по определениям сложной функции и аргументной неисправности существуют такие интервалы

U\J,....."ft '•■•>UuJ,

что

a/,'1 =/.(*. +а) = Ф,(и1Л), «/," Л'2 =Л(е2+ Ф,(и,Л)) -Фа(«2Л).

<"Л'2 •••/," = /,(*, +Рм(и,-ц,)) = Ф,("Й)>

а/,"//' .../;• = /.(е. +Ф.-,(м.-1Л.1)) = Ф"("»/.)-

Ввиду этого и по определению сложной функции

F(a)flF" '"(а)=> =>/i(ei + °0 eZ2 &...&/„.,(£„., +Фл.2(ия_2у„.1))б eZ„&F(a) Л /„(*„ + Фя_, («,_„._,)) =»

(ввиду леммы 2)

=>3и1л(е,еии1-а)^/е

€ {2,...,и}Зм(У) (е, е uijt -<рм(ммУ)Ч))& F(a) Л/„(ея+ф„ч(И(1.1Л1))=> (поскольку F(a) равно некоторому /„ (6) ) =»31/^(6, еи1Л - а) & V/ е е{2,...,л}3иЛ(е, еи„- -ф/чО^-и,.,))&

&3¿€Z„(/„ (Ь)Л /„(* + Ф„->(и„-и.-,))) => (ввиду леммы 1)

=>3«Ui(e, 6«Ui -а)&

& V/ е {2,...,и}3и„. (е, е - <pw ))& & (aFR) € фй' (aFR)(e„ б (afK) --Фя-i(un-iJ..l))=>ei...e„ е =>

=>ег..ен еи(Аа>(Пм,^ х Ф;'(<хЯг))).

2. (<=):«,...«, €и(А0>(П".>/

=> «I • ■■ ■•1е» € 4»> (";,...}.Ф;1. ) => «1 • • •е б(и,Л -а,ы2Л -Ф,(и1Л),Мзу, ~Ф2(«2Л )»-,«,Л -

).-,ф;'„ io.FR)-фя_,(«„-!))•

Имея в виду определение интервальной формы, вычислим а/,"1//'.../„'*, используя при этом равенство и-а+а=и,

а/.'1 = /(«и, ~а + а) = ф, (и,Л), а/,"//2 =/2(и2Уг -ф1(ииз) + ф|(и1л)) = ф2(м2уз),

а/,"Л'2 -/¿Г' =/„-,(»„-,>„_, "Фя-2 ("„-:,._,) + +Ф„-2 («»-гл., )) = Ф-1 ("»-«Л-,) •

<'//2 •••/,'" =/я(Ф;'.(^)-ф„.1(Ия.и(1_1)+

+ Фя-1 («я-и.->)) = Фя(Фял (<***)) € • Следовательно,

е,...е. еи( Да>*Фя' (а^Л»)

=>а/, /2 .../„

что и требовалось доказать.

Для обратных задач (т.е. вычисления тестов) очевидно существенным будет представление тестов- (некоторых аргументов сложной функции) интервалами, поскольку векторы, решения задачи, должны быть выбраны из множеств большой мощности.

3. К обратной задаче диагностики для сложной функции

Обратную задачу диагностики можно представить как многократное решение прямой, где для уменьшения сложности вычислений при решении аргументы функций представляются интервалами и д ля интервалов вычисляются множества обнаруживаемых неисправностей, затем приемлемым способом сокращаются множества неисправностей и соответственно множества векторов-тестов, но для этого необходимо иметь способ вычисления множеств неисправностей, обнаруживаемых заданным интервалом, так что следующим за установлением приведенной выше теоремы мероприятием в этом отношении можно считать отыскание способа вычислений множества, аналогичного

множеству Да>(ПГ|^' хФ»'(а/"^))-

В заключение заметим, что вышеизложенное имеет целью применение и в теории дискретных автоматов на полурешетках [2], которой оно и было инициировано.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бузанов В.А. Интервальные операции для задач тестовой диагностики //Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика. Томск: Изд-воТом. ун-та. 1999. С. 7-17.

2. Агибалов Г.П. Дискретные автоматы на полурешетках. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1993.227 с.

Статья представлена кафедрой зашиты информации и криптографии факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 29 февраля 2000 г.