Задача восстановления распределения вероятностей радиусов случайных окружностей по заданному распределению вероятностей их хорд Текст научной статьи по специальности «Математика»

MS С 60D05

ЗАДАЧА ВОССТАНОВЛЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

РАДИУСОВ СЛУЧАЙНЫХ ОКРУЖНОСТЕЙ ПО ЗАДАННОМУ РАСПРЕДЕЛЕНИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИХ ХОРД

*Ю.П. Вирченко, **О.Л. Шпилинская

* Белгородский государственный университет,

ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: virch@bsu.edu.ru

**

пр. Ленина, 60, Харьков, 61001, Украина

Аннотация. В работе решается задача о восстановлении распределения радиусов случайных кругов, случайно расположенных на плоскости, основанному на заданном распределении вероятностей их хорд, которые отсекаются параллельными друг другу и эквидистантно расположенными на плоскости прямыми.

Ключевые слова: геометрические вероятности, случайные окружности, распределение вероятностей.

1. Введение. Будем рассматривать следующую задачу, постановку которой можно понимать как некоторое усиление классической задачи Бюффопа в стохастической геометрии (см., например, |1|) и которая состоит в вычислении вероятности пересечения одной из параллельных друг другу, эквидистантно расположенных с расстоянием 2й, й Е К на этой плоскости прямых спрямляемым фиксированным (с точностью до его перемещения) плоским контуром при его случайном размещении па плоскости. В пашем случае, контур представляет собой окружность. Усиление же задачи состоит в том, что окружность уже не будет фиксированной но размеру, а, наоборот, каждая ее реализация определяется случайным радиусом £ > 0 с абсолютно непрерывным законом распределения, определяемым плотностью Д(х), х > 0. Ввиду симметричности относительно вращений, случайное расположение окружности на плоскости, в отличие от классической задачи Бюффопа, полностью характеризуется одним случайным параметром — ее центром. Это обстоятельство сразу же, несмотря на случайность геометрии контура, упрощает задачу Бюффопа в классической постановке. Так, если считать, что центры окружностей представляют собой, как и в задаче Бюффопа, однородное случайное пуассоновское точечное поле, то вероятность пересечения Р, очевидным образом, определяется этой плотностью посредством следующей формулы

а

Р = — ! х1^х)с1х .

0

При этом здесь и далее считается, что почти наверное имеет место неравенство £ < то есть Д (х) = 0 при х > й

В самом деле, если п — случайная координата центра окружности по направлению, перпендикулярному семейству прямых па плоскости, отсчитываемая от ближайшей к пей прямой, то, по указанному выше предположению о распределении центров случайных окружностей, плотность распределения кп(у), \у\ < й этой величины имеет вид

= вы = Г' у~° (1)

2й 10, у < 0 .

Условная же вероятность того, что окружность пересечет эту ближайшую прямую при условии п = у равна

а

Рг{£> \у\} = У /(х)йх. \у\

Тогда

а а а а

Р=— Рг{£ > \y\jdy =— (1у Мх)(1х = - х^{х)(1х.

-а -а \у\ о

Таким образом, в рассматриваемой постановке, задача о пересечении случайной окружности имеет очень простое решение. Более интересная, как с математической точки зрения, так и с точки зрения приложений, задача состоит в нахождении распределения вероятностей, плотность которого мы обозначим д^(х), 0 < х < случайной величины которая является длиной отрезка — хорды случайной окружности, отсекаемого па прямой окружностью при ее пересечении окружностью. Очевидно, что значение случайной величины ( следующим образом определяется значениями случайных величин £ и >].

( = (2)

Тогда вычисление плотности д^ (х) на основе заданной плотности / (х) уже представляет собой более сложную задачу, решение которой дается в следующем раздело.

С прикладной же точки зрения представляет интерес как раз обратная задача (которую можно рассматривать как задачу стереологии) — восстановление плотности / (х) по заданной плотности д^ (х), решению которой посвящено настоящее сообщение. Это решение позволяет но определяемой экспериментально иод микроскопом статистике длин хорд восстанавливать распределение вероятностей радиусов сферических нор, образующихся в оптически полупрозрачных средах.

2. Вычисление плотности д^.

Теорема 1. Плотности распределения / (и) н д^(г) связаны соотношением

*(--) = ¿Г ,А("¥" • (3)

4<г ■>*/* - [~/2)2

□ Выразим плотность распределения д^ (г) случайной вели чины в предположении. что закон распределения хорд также является абсолютно-непрерывным но мере Лебега. Заметим, что плотность распределения Д (х) случайной вели чины £ может быть представлена формулой

Д (х) = (6(х - £)>с,

где угловыми скобками обозначено усреднение но распределению вероятностей случайной величины Тогда условная плотность распределения вероятности случайного события {С < л} = {2\/£2 — у2 < 2} при условии, что ц = у иредставима в виде (ё^ — 2\/£2 — у2))%, и поэтому, интегрируя но у с плотностью безусловную плот-

ность д^(г) запишем в следующей форме

а

Ш = ^ /<Ф - Ъу/ё^Ш ~ \у\))е*у • (4)

-а

Полученное представление удобно тем, что можно воспользоваться известным правилом преобразования ¿-функции, зависящей от сложного аргумента а(£) = л —2\/£2 — у'2. А именно,

г/))

= |«-({.(.-,»))! '

где = \/(~/2)2 + у2 - едииствениый положительный корень уравнения а(£) = 0.

Так как

4 у-

\АЫ=,у))\ = -У/Ш2 + У2,

то из (4) имеем

а а

= ^ I ¿у 15 ^ - 2]/(х/2)2 - у2) /?(я)0 (я - |у|) йх = -а о

а а

г

~Ас1 „ 00

5 (х - +

¿у I в(х- у)^(х)---¿X

У(г/2)2 + У2

\/(^/2)2 + у2

Вводя замену переменной интегрирования и = ^(~/2)2 + у2 получаем следующее вы-

дс(г)

ражение

а

z Г и)с1и

Ы ~

¿2 \А<2 -

где мы воспользовались тем, что с1и = (у/и)с1у, у = \Д/2 — (~/2)2 и Д(м) = 0 при и > й, □

Обратная задача. В практических приложениях возникают задачи, когда но измеренной, посредством обработки статистики длин хорд, плотности д^ их распределения вероятностей, в описанной во введении постановке статистического эксперимента, требуется восстановить плотность распределения вероятности диаметров случайных кругов, однородно разбрасываемых на плоскости, то есть восстановить плотность Д [2, 3]. Очевидно, исходя из утверждения доказанной теоремы, что дня решения такой задачи необходимо решить интегральное уравнение, которое получается из (3), соли считать, в этом соотношении функцию д^ заданной, а Д искомой. При этом мы получаем интегральное уравнение Вольтерра первого рода, которое легко сводится к классическому интегральному уравнению Абеля (см., например, |4|) и поэтому решается явно в терминах квадратур. Приведем процедуру построения этого решения. С этой цепью, введем функцию д(г) так, что д(г/2) = д^(г), Тогда

а

г [ Д(и)йи = 7П 1

2 с1] У^З5 '

X

Положим л2 = ик и2 = V и введем функции = ¡^{у)/у/у, С(гу) = д(и>)/у/ъи. Тогда эти функции связаны интегральным соотношением

а2

1 [ Г (у) ¿у

^(«0 = — / ---(5)

4а ^ у/ь — т

Ш

которое, как раз, является интегральным уравнением тина уравнения Абеля относительно функции ^ и, по этой причине, решается явно с помощью стандартного аналитического приема.

Проинтегрируем обе части полученное уравнения по г с интегрирующим множителем (т — ¿)-1/2

Г*2 _ Г* (1и> Г* Р{у)(1У ^

Ь у/и1 - I М у/IV - I ]и, у/у - IV '

Изменим порядок интегрирования в правой части. В результате, получим выражение

^ г чи, = ^

^ л/т — и ш уь — т Л Л — ¿)(ь — т) Л

Таким образом, поело интегрирования уравнение принимает вид

Га2 п Гп, ,, _

I (7)

Дифференцируя по ¿, получим искомое решение исходного уравнения

7Г (М

Переходя в этом выражении к исходным переменным t => v и функциям ft(\/v) = F(y/v)y/v и g(y/w) = а затем w = z2, v = и2, находим

Окончательное выражение, позволяющее но известному распределению хорд восстановить распределение вероятностей радиусов случайных кругов на плоскости дается следующей формулой в виде интегрального преобразования плотности д^,

Сформулируем полученный результат в виде теоремы.

Теорема 2. Если д^(г) - плотность распределения вероятностей хорд кругов случайного радиуса, с вероятностью 1 не превосходящего й Е К, то распределение вероятностей радиусов этих кругов является абсолютио-пепрерывным по мере Лебега и его плотность распределения Д (у) определяется формулой (9).

1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей - М: УРСС, 2005.-448 с.

2. Поджидаев В.Ф., Тапько Я.А., Связь между функцией распределения хорд по размерам и диаметров сечений еферолитов / / BieniiK ехщноукранеького нацкжального уншверен-тету iM. В.Даля.-2012.-8(179).-С.198-204.

3. Архангельский С.И., Бородихин В.М. Связь между распределениями диаметров сферических частиц и хорд их случайных сечений /7 Сибирский журнал индустриальной математики.-2002.-У, 3(11).-С.27-34.

4. Краснов М.Л. Интегральные уравнения.- М.: Наука, 1975.-304 с.

RECONSTRUCTION OF PROBABILITY DISTRIBUTION OF RANDOM CIRCLES RADII BASED ON PROBABILITY DISTRIBUTION OF THEIR CHORDS

Yu.P. Virchenko, O.L. Shpilinskaya

Belgorod State University, Studericheskaja St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail: virch@bsu.edu.ru Institute for Single Crystals of NANU, Lenin Av., 60, Kharkiv, 61001, Ukraine

Abstract. It is solved the problem of reconstruction of random circles radii probability distribution which are randomly placed on plane. It is based on the given probability distribution of chords which are cut off by straight lines being parallel to each other and placed equidistant on the plane.

Key words: geometric probabilities, random circles, probability distribution.

2d

(9)

2u

Литература