Задача управления судовыми автоматизированными системами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62.50 Е. Г. Барщевский,

канд. техн. наук, профессор, СПГУВК

ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ СУДОВЫМИ АВТОМАТИЗИРОВАННЫМИ

СИСТЕМАМИ

TASK OF SHIP AUTOMATED SYSTEMS MANAGEMENT

В статье рассматривается задача управления применительно к судовым автоматизированным системам. Рассмотрены задачи Больца, Лагранжа, Майера. Рассмотрена задача управления как задача управления в бесконечномерном функциональном пространстве.

The paper considers the problem of control in relation to the ship’s automated systems. We consider the problem of Bolza, Lagrange, Mayer. The problem of control as the control problem in infinite-dimensional function space is considered

Ключевые слова: управление, судовые системы, задача управления.

Key words: management, marine systems, the control problem.

ОБЩЕМ случае задачей управления называется задача распределения ограниченных ресурсов для достижения комплекса конкурирующих целей на протяжении некоторого промежутка времени. При формальной постановке задачи управления используются понятия: «время», «фазовые координаты», «управляющие параметры», «уравнения движения», «конечные моменты времени» и «целевой функционал» [1].

Пусть имеется некоторая система S. Исследуем поведение системы на отрезке времени от ^ до Состояние системы в любой момент времени I, где I < t < t1, определяется вектором фазовых координат. Вектор фазовых координат можно интерпретировать как точку в «-мерном евклидовом пространстве Е". В задаче управления каждая фазовая координата является непрерывной функцией времени. Поэтому фазовая траектория

х(0=(х(0е Еп/( ) представляет собой непрерывную векторную функцию времени. С геометрической точки зрения фазовая траектория является кривой в пространстве Е". Началом этой кривой является фиксированная точка а окончанием — конечное состояние Х(^) = Х1, которое или задано, или требуется определить. Например, самолет в воздухе имеет шесть фазовых координат: три

пространственные (х, у, г) и три — составляющие скорости (V V, V ).

Вектор, который требуется определить в каждый момент времени t из интервала [^, ^], характеризуется выбором г вещественных чисел и(), н2(0, ..., п(£), называемых управляющими параметрами. Вектор V () = (и(). н2(0, ..., ы()), составленный из управляющих параметров, можно интерпретировать как точку в г-мерном евклидовом пространстве

Е". Функция [/(Г) =(?/(0 е Ег/^^) называется управлением или траекторией управления. В задаче управления каждый управляющий параметр является кусочно-непрерывной функцией времени. С геометрической точки зрения управление представляет собой некоторую кривую в Е". Эта кривая непрерывна всюду, кроме конечного числа точек, в которых она может иметь разрывы первого рода. Предполагается, что возможные значения управляющих параметров удовлетворяют некоторым ограничениям. Эти ограничения состоят в том, что вектор и(0 не должен выходить за пределы некоторой фиксированной ^ 109 области & е Ег, и(0 е & для ^ < t < Обычно предполагается, что область & выпукла, компактна и инвариантна во времени.

Управление и^) называется допустимым, если оно представляет собой кусоч-

Выпуск 1

m

110^

но-непрерывную вектор-функцию времени, значение которой в любой момент времени из интервала [t0, t1] принадлежит области &. Множество управлений V — это множество всех допустимых управлений.

Фазовая траектория определяется уравнениями движения — системой дифференциальных уравнений, в которых скорость изменения каждой координаты представлена в виде функции от фазовых координат, управляющих параметров и времени

11х(V)

dt

= /((лг(0,^(0Л

(1)

где X(t) = (Xj(0, x2(t), xjt), U(t) = (u1(f), u2(t), wr(t)), i = 1, 2, ..., n.

Функции /i(...) считаются непрерывно дифференцируемыми. Если уравнения (1) не зависят в явном виде от t, то они называются автономными.

Фиксированные начальные значения фазовых координат являются граничными условиями для уравнений движения (1). Если они заданы и задано U(t), то существует единственная фазовая траектория X(t). Эту траекторию можно найти интегрированием дифференциальных уравнений (1) при заданных начальных условиях X(t0) = X Фазовая траектория, найденная в результате решения уравнений движения при данном начальном состоянии с использованием допустимого управления, называется допустимой, а любая лежащая на ней точка, которую можно достичь за конечное время, — достижимой. Конечный момент времени t1 определяется из условия (X(t), t) е T, при t = t1, где T — заданное

j-n+1

подмножество в E , называемое конечной поверхностью. Важными частными случаями задачи управления являются задачи с фиксированным временем, в котором конечный момент времени t1 задан в явной форме как параметр задачи, в которой X(t1) задан в явной форме как вектор параметров задачи.

В задаче управления требуется найти М траекторию управления, которая минимизирует целевой функционал вида

J = j{u{t)}=} I{X{t),U{t), t)dt + F{X,, О, (2)

h

где слагаемое F (Xj, tl) — функция конечных параметров. Предполагается, что Д...), F(...)

являются непрерывно дифференцируемыми функциями.

Задачу с целевым функционалом вида (2) называют задачей Больца. Если функция конечных параметров равна нулю, то целевой функционал имеет вид

J = J\(J{t)}=,\I{X{t),U{t),t)dt. (3)

Такую задачу называют задачей Лагранжа. Задачу, в которой подынтегральная функция тождественно равна нулю

J = (4)

называют задачей Майера. Все три задачи эквивалентны друг другу.

Таким образом, общая задача управ ле-ния состоит в том, чтобы найти

тахУ = ]7(Х(о, и®, ол+ад.о (5)

при условиях:

х'(0 = /(Х(0,£/(0,0, що є п,

(Х(і),ґ)єТ, при ї = їр (6)

ї0, Х(ї0) = Х0 фиксированы.

Запишем в терминах задачи управления задачу автоматического управления рулем судна. Известно, что судно не может абсолютно точно лежать на заданном курсе. Под воздействием огромного количества факторов оно случайным образом отклоняется от курса в ту или иную сторону. Необходимо разработать устройство, которое автоматически осуществляло бы перекладку руля таким образом, чтобы рыскание было минимально возможным по амплитуде. Фазовой координатой здесь является курс судна.

В задачах такого рода известно желательное состояние объектаX (ї). Целевой функционал в этом случае приобретает вид

J

(7)

где ф(...) — функция, измеряющая отрицательный эффект от различия между фактическим и заданным курсом. В качестве такой функции можно взять квадрат разности заданного и фактического курса ф(Х о(0 - Х(0) = (X °(0)2.

Тогда получим J = \(X\t)-X(t)fdt.

Рассмотрим задачу управления как задачу оптимизации в бесконечномерном функциональном пространстве.

Запишем задачу управления в виде

maxJ = ^I(x,u)dt,

X = /О,и), (9)

и(і) є О,

ї0, ї1, х(ї0) = х0 фиксированы.

Эта задача является автономной (целевой функционал и уравнения движения не зависят явно от времени) задачей Лагранжа (целевой функционал не зависит от конечного состояния) с закрепленным временем (ї1 задано, а х(ї1) произвольно) [2]. Кроме того, задача содержит только один управляющий параметр и только одну фазовую координату.

Интервал времени [ї0, ї1] поделим на N подынтервалов длины А:

N

На границах подынтервалов время измеряется в соответствии с формулой t = t0 + кД,

где 0 < к < N. Пусть состояния и управления замеряются только в эти дискретные моменты времени: хк = х(^ + кД), ик = и(^ + кД).

Рассмотрим задачу математического программирования с N + 1 переменной и0, и1, ..., и1:

N

тахУ^ = ^/(х*,и*)Д, (10)

к=0

хк+1-хк =/0с*,и*)ДД = 0, 1, ..., N - 1, х° = х0,ик е О.

Пределом целевой функции этой задачи при ЛГ->оо,Д->0, Л/Д = (^ -*0) является целевой функционал задачи (9). При этом предельном переходе разностные уравнения задачи (10) превращаются в дифференциальные уравнения задачи (9). Таким образом, задачу управления можно считать задачей статической оптимизации в бесконечномерном функциональном пространстве. Этим пространством является множество всех кусочно-непрерывных вещественных функций и((), определенных на интервале

К 4

Список литературы

1. Шикин Е. В. Математические методы и модели в управлении / Е. В. Шикин, А. Г. Чхарт-вишвили. — М.: Дело, 2002.

2. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация / Р. Штойер. — М.: Радио и связь, 1992.

Выпуск 1