Решение задач оптимального управления системами с сосредоточенными параметрами с помощью принципа максимума Понтрягина Текст научной статьи по специальности «Математика»

05.13.18

УДК 517.977.52, 004.942

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМАМИ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ С ПОМОЩЬЮ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА

© 2018

Юлия Олеговна Савельева, аспирант

Самарский государственный технический университет, Самара (Россия)

Аннотация

Ведение: данная статья посвящена вопросу применения принципа максимума в теории оптимальных систем. Осуществляется формальная постановка задачи оптимального управления. Работа содержит реализацию рассматриваемого примера в программной среде MATLAB. Дается обзор математической теории управления системами с сосредоточенными параметрами.

Материалы и методы: основными методами исследования являются математический анализ и компьютерное моделирование, математические программные пакеты (MATLAB, PTC Mathcad, ANSYS, Ansoft и др.). Результаты: представлен алгоритм решения ЗОУ с помощью ПМП, представляющий собой совокупность нескольких этапов, среди которых: определение исходных данных, составление функции Н, определение характера управляющих воздействий, определение значений функций. Установлено, что с помощью начальных (н. у.) и конечных (к. у.) условий можно выбрать знак первого интервала управления, только если все производные x(t) в начальный и конечный моменты времени равны нулю, то: 1) при нулевых н. у.: если х(£к) > 0 управление начинается с положительного интервала, если х(£к) < 0, первый интервал управления отрицательный; 2) с не нулевыми н. у.: если x(tx) — x(to) >0, управление начинается с положительного интервала, если x(tx) — x(ío) < 0, первый интервал управления отрицательный.

Обсуждение: рассмотрен пример решения задачи ССП, по результатам которого был составлен скипт в среде MATLAB с графическим изображением решения.

Заключение: для обеспечения простоты понимания метода, на конкретном примере был показан алгоритм решения, а также математическая реализация в среде MATLAB с выводом графика зависимости оптимальной фазовой траектории от соответствующего управления.

Ключевые слова: вариационное исчисление, минимизация функционала, объект управления, оптимальное управление, принцип максимума, система с сосредоточенными параметрами, условие трансверсальности, функция Понтрягина, MATLAB.

Для цитирования: Савельева Ю. О. Решение задач оптимального управления системами с сосредоточенными параметрами с помощью принципа максимума Понтрягина // Вестник НГИЭИ. 2018. № 11 (90). С.77-86.

SOLVING THE PROBLEMS OF OPTIMAL CONTROL OF LUMPED-PARAMETER SYSTEM BY MEANS OF THE PRINCIPLE OF MAXIMUM PONTRYAGIN

© 2018

Julia Olegovna SaveVeva, the post-graduate student

Samara state technical university, Samara (Russia)

Abstract

Introduction: this article is devoted to the application of the maximum principle in the theory of optimal systems. The formal formulation of the optimal control problem is carried out. The work contains the implementation of the considered example in the MATLAB software environment. A review of the mathematical theory of control of systems with concentrated parameters is given.

Materials and methods: the main research methods are mathematical analysis and computer modeling, mathematical software packages (MATLAB, PTC Mathcad, ANSYS, Ansoft, etc.).

Results: the algorithm of the decision of the BLD using the PMP, which is a combination of several stages, including: determination of baseline data, preparation of function H, determining the nature of control actions, the determination of the values of the functions. It is established that with the help of initial (n. u.) and final (K. U.) you can select the

sign of the first control interval only if all derivatives of x (t) at the start and end times are zero, then: 1) at zero N. .: if [x(t] K)>0 begins with a positive interval if [x(t] K)<0 the first interval of the negative control; 2) with non-zero n.: if [x(t] K)- [x(t] _0)>0 begins with a positive interval if [x(t] K)- [x(t] _0)< 0 the first interval of the negative control.

Discussion: an example of solving the problem of SSP, the results of which was compiled in the environment of script MATLAB with a graphical image of the solution.

Conclusion: to ensure the simplicity of understanding of the method, the solution algorithm and mathematical implementation in MATLAB with the output of the graph of the optimal phase path dependence on the corresponding control were shown on a specific example.

Key words: variation calculus, the minimization of the functional, object control, optimal control, maximum principle, system with concentrated parameters, the condition of transversality, the Pontryagin function, MATLAB.

For citation: Savel eva Ju. O. Solving the problems of optimal control of lumped-parameter system by means of the principle of maximum Pontryagin // Bulletin NGIEI. 2018. № 11 (90). P. 77-86.

Введение

Идеи оптимального управления находят отражение в теоретических и практических задачах. На сегодняшний день системы управления применяются в различных сферах, от простейших систем управления механизмами и параметрами оборудования до управления технологическими процессами и производствами.

Основные методы, используемые при решении задач оптимального управления (ЗОУ): вариационное исчисление, принцип максимума Понтря-гина (ПМП), динамическое программирование Беллмана, описаны в трудах Л. С. Понтрягина, В. Г. Болтянского, Р. Беллмана, А. Мейера.

ЗОУ любыми динамическими объектами управления (ОУ) может быть сформулирована как поиск такого управления, которое осуществляет допустимый перевод объекта из начального состояния в желаемое конечное и обеспечивает экстремальное значение критериям оптимальности в виде функционала.

Поиск экстремума функционала относится к теории вариационного исчисления, решающий вклад в которую внесли Л. Эйлер и Ж. Лагранж, К. Т. В. Вейерштрасс, А. М. Лежандр, К. Г. Я. Якоби.

Системы с сосредоточенными параметрами (ССП), иначе сосредоточенные системы описываются классической теорией автоматического управления. Основы теоретических исследований и практических разработок в области систем с распределенными параметрами (СРП) были заложены трудами А. Г. Бутковского [2], А. А. Фельдбаума [19], А. И. Егорова [6], Э. Я. Рапопорта [17; 18]. Ю. В. Егоровым установлена возможность применения ПМП на случай описания поведения объекта бесконечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ) [7; 8; 9].

Материалы и методы

Построение оптимальных систем управления требует использования мощного математического аппарата, математических программных пакетов (MATLAB, PTC Mathcad, ANSYS, Ansoft и др.). Необходим учет особенностей методов определения оптимальных алгоритмов управляющих воздействий. Данная статья имеет цель систематически изложить теоретические основы построения моделей объекта с сосредоточенными параметрами и применения ПМП в ЗОУ, возможности реализации в программной среде MATLAB.

В зависимости от типа и физической природы выходных параметров ОУ, системы управления делятся на ССП и СРП.

Состояние сосредоточенных систем диагностируется поведением определенного числа функций одной переменной времени t:

Q(t) = (Q1 (t), Q2 (0.....Quit)), (1)

т. е. состояние ССП зависит только от времени, при этом пространственная протяженность объекта не влияет на его характеристики. Математическая модель ССП описывается системами обыкновенных

ДУ.

На практике любой реальный ОУ имеет геометрические размеры, поэтому функция, характеризующая его состояние, зависит как от времени, так и от пространственных координат Q (х, у, z, t) , и описывается он с помощью ДУ в частных производных, интегральных и интегро-дифферен-циальных уравнений. Управляющие системы для этих объектов называют СРП. Задачи управления СРП обладают большей специфичностью и сложностью осуществления в отличие от ССП, однако, с допустимой погрешностью, зачастую можно пренебречь зависимостью от пространственных координат и отнести ОУ к типу ССП [17, с. 5].

Любая система управления может быть представлена в виде соединения управляющего устройства УУ и объекта управления ОУ (рис. 1). На УУ поступают внешние команды, которые осуществляют его запуск или перенастройку. В качестве входных сигналов ОУ выступает:

• управляющее воздействие, представленное вектором и = (и1; из,..., ип), с возможными ограничениями типа и! < и^из < из,... ,ип < ип;

• вектор возмущения г = (г^, ¿2,..., гп).

Выходной сигнал ОУ - вектор х =

(х1, Х2,...,хп), составляющие которого могут быть также ограничены, (например Х! < Х^, х2 < Х2, ... ,хп < Хп) характеризует состояние ОУ.

Рис. 1. Общий вид структурной

схемы системы управления Fig. 1. General view of the block diagram of the control system

Цель управления, определяющаяся функционалом (чаще всего он обозначается как I или J) -нахождение алгоритма управления, позволяющего функционалу иметь экстремальное значение, относится к задаче вариационного исчисления:

I = I[х(t), ü (t), z(t)] ^ extremum. (2) Под экстремумом понимают минимальное или максимальное значение, при этом минимизация функционала эквивалентна его максимизации:

max (/) = -min(-I).

(3)

I = Jt; /с (x (О, u(t), t) dt ;

Форма, в которой может быть задан критерий оптимальности:

1. Интегральный функционал:

(4)

1) задача оптимального быстродействия (минимум времени процесса), если ^ = 1;

2) задача на максимум точности при:

• ^ = №00 - Qзаданное О )2 - среднеквадратичная погрешность;

• ^ = | ^ О - Qзаданное ) | - точность абсолютного отклонения;

3) минимум расхода энергии, если ^ = и(Ц или ^ = |и (£)|2;

4) минимум взвешенной суммы указанных показателей.

2. Терминальный функционал - задача Майе-

ра:

i = Ф(х (Со) , Х(СК)). (5)

3. Смешанный функционал - задача Больца:

/ = /о(* (0," (0, № + ф (X ( ¿о) , х (О ) . (6)

Функционалы функциям ставят в соответствие числа. Например, функционал i (/) = /(1) возвращает для функции f ее значение в 1. Линейная часть приращения функционала - вариация функционала Я (аналог дифференциала функции). Чтобы функционал имел экстремум, его вариация должна принимать значение, равное нулю; функции, на которых ¿И = 0 называют экстремалями.

Классическое вариационное исчисление используется только в отсутствие ограничений, где управление относится к классу непрерывных функций, т. е. вариации функционалов непрерывны и линейны. На практике эти условия чаще всего не соблюдаются, требуется принимать во внимание пределы управления и/или фазовые ограничения; управляющие воздействия могут быть кусочно-непрерывными (например, релейное управление), координаты ОУ также могут претерпевать разрывы. Эти особенности учитываются в ПМП.

Результаты

Решение ЗОУ с помощью ПМП в общем виде можно представить совокупностью нескольких этапов:

Этап 1. Определяются исходные данные:

1. Математическая модель ОУ. Например, ОУ описывается системой N обыкновенных ДУ относительно фазовых переменных хп, п = 1 , Ы:

= /п(^ъ^ .■■, хы; ^ .■■, иг, 0,

(7)

dt

п = 1 , N. N > 1.

2. Критерий оптимальности.

3. Фазовые ограничения и ограничения на управления, требования к желаемому состоянию ОУ.

Требования к начальному х ( tо) и конечному х (£к) состоянию ОУ представляются в виде условий принадлежности соответствующим множествам фазового пространства:

*(^о) е^о, х(^) 6^1. (8)

Если требования к х (¿о) и/или х (£к) не предъявляются, то 5о и/или 51 совпадают со всем N-мерным пространством Ем фазовых координат, т. е. Бо = и/или = - рассматривается задача со свободным концом траектории.

Задача с подвижным концом траектории: требования к начальному и/или конечному состояниям объекта предъявляются в виде принадлежности их определенным подмножествам, областям Ем (подмножество не совпадает с Ем, но содержит бесконечное число допустимых состояний объекта), 50 и/или 5! задаются в форме совокупности к < N — 1 пересекающихся поверхностей:

в]-(х) = 0,}= Тк, (9)

где д} (х) - функции фазовых координат.

Будем иметь, например: БТ = {х 6 ЕN: д} (хх) = 0,} = Тк,к <N — 1}. (10) Если необходимо, чтобы состояние объекта в конечный момент времени было таким же, как заданное рассматривается ЗОУ с фиксированным концом. Например, если задается только х( = хо, ЗОУ с закрепленным левым концом траектории, но в то же время со свободным правым концом траектории.

Итак, объект управления может быть описан следующей системой уравнений:

-х = Гт(х(Ь),и(Ь), 0, te[tо, Ьк], (11)

1 = ftк fo(x,u, t)dt

min u

(12)

x(to) = Xo, (13)

u(t) e U, (14)

te [to, tK]. (15)

Этап 2. Составляется функция H. Условие, которому удовлетворяет решение ЗОУ (оптимальное управление u*(t) и оптимальная фазовая траектория x*(t) ), может быть представлено ПМП [2, с. 52-53].

Функция Понтрягина (функция Гамильтона, гамильтониан):

H(x, u, Фо, Ф1, t) = Т%=0 Фn (t)fn (xX, u, t), (16) где фо (t) = const (если задача на минимализацию функционала, обычно принимают равной -1, фп (t), n = 1,N, - функции сопряженной системы (сопряженные переменные).

Принцип максимума. Если u*(t) и x*(t) - решение (11-15) на минимум функционала (12), то существуют такие не равные одновременно нулю константа фо(t) ^ 0 и решение 4>*(t) = ($\(t),$*2(t) ...ф*N(t)) сопряженной системы, при u(t) = u*(t) и x(t) = x*(t), что в каждый момент времени t e [to, tK], кроме точек разрыва u*(t), функция H(u) = H(x*,u,^*Q,ф*, t) переменной функции переменной u достигает максимума на допустимом множестве (14) при u = u*:

maeUH(x*(t),u(t),ro,r(t), t) =

= H(x*(t),u*(t),r o,r(t), t). (17)

Функция Н может представлять собой полную энергию системы или мощность (вводится с помощью управления), которая должна оставаться постоянной и максимальной в процессе управления, ф1 - импульсы, задающие движение, т. е. в ОУ необходимо вводить количество энергии, обеспечивающее экстремум функционалу и заданный закон движения [13, с. 28].

Не всякое управление, отвечающее требованиям ПМП, является оптимальным. Однако ПМП для ОУ (7) с линейными относительно фазовых переменных функциями /п(х,и, Ь),п = 1,1^1 и в задачах с выпуклой функцией /о(х,и, Ь) в (12) - необходимое и достаточное условие оптимальности [18, с. 33].

Этап 3. Определяется характер управляющих воздействий.

(18)

dH

4~=o, j = 1,2.....г.

ди^

Если равенство уравнения (1 7), определяющее управление, не выполняется при ф(Ь) Ф 0, то максимум Н достигается на границе допустимой области управления:

и*(0 = итах51дпМ1(0, (19)

где М() = Тт=тФ*(£)£п.(Ъ)) - множители при и}; з1дпМ1(Ь) - операция смены знака, т. е. используется знак (положительный или отрицательный) конкретного значения М1 ( Ь):

(+1

signMi (t) = j_1

+ 1 приМ1(t) > o

(20)

приМг( £) < 0' при этом управление носит релейный характер.

Величина Н имеет максимум, при оптимальном управлениии(£) = и*(0, следовательно, в любой момент времени необходимо иметь и*(0, при котором функция Н максимальна [16, с. 25-26]; также необходимо выполнение условия трансверсальности (рис. 2): так, например, если задан 5т , принцип максимума может быть дополнен конструктивными условиями для вектора ф*(Ьк), ф*(Ьк) должен быть ортогонален в точке х*(Ьк) гиперплоскости Т, касательной к многообразию 5т :

,h*(t ) _ Ук .. d9](x*(tt) Ф (tк) = =ovj-~x-,

(21)

где ь}, } = 1, к - заранее неизвестные весовые коэффициенты.

Условия трансверсальности, для задачи: 1) со свободным концом траектории у*п(1к) = 0, п = ТЙ;

1, N;

(21).

2) с фиксированным концом у* (tE) = un ,n =

3) с подвижным концом - уравнения типа

Рис. 2. Иллюстрация условий трансверсальности [19, с. 40] Fig. 2. Illustration of transversality conditions

Для задачи со свободным временем дополнительно вводится соотношение:

H(x*(tK), u*(tK), V*(tK), Vo, tK ) = 0. (22)

Это специальное условие трансверсальности, означающее равенство нулю функции Понтрягина в конце процесса оптимальной длительности.

Этап 4. Определяются значения функций pi (t), x*(t). Находится функция u*(t).

В уравнении (19), в частности, u*(t) = Umax signai (t) необходимо знать, сколько корней имеет функция pi (t), т. е. сколько раз функция pi (t) меняет знак. Моменты смены знака, когда функция pi (t) проходит через ноль - моменты переключения.

Составляется сопряженная система ДУ:

dp = _дН_ i = Uj

dt dx¡' ' '

или при другой форме записи:

№ = _[dIo^o+ dh-ip1 + ... ]

1 dt dx 0Y0 dx0 J

iddr=•••]

(23)

(24)

А. А. Фельдбаум в 1953 доказал теорему об п-интервалах, указывающую на форму оптимального процесса не анализируя функции р; (£): если ОУ описывается линейным дифференциальным уравнением п-го порядка с постоянными коэффициентами и корни его характеристического уравнения вещественные отрицательные или нулевые, то для оптимального управления необходимо и достаточно п-интервалов максимального значения управления

U

а знаки на интервалах должны чередоваться

(п-1) раз. Однако, с помощью данной теоремы нельзя вычислить длительности интервалов и моменты переключения.

С помощью начальных условий (н. у.) и конечных условий (к. у.) можно выбрать знак первого интервала управления, только если все производные

x(t) в начальный и конечный моменты времени равны нулю:

1) при нулевых н. у.: если х(1к) > 0, управление начинается с положительного интервала, если х(^) < 0 первый интервал управления отрицательный.

2) с не нулевыми н. у.: если х(1к) — х(^) >0, управление начинается с положительного интервала, если х(1к) — х(^) < 0, первый интервал управления отрицательный.

Обсуждение

Пример решения задачи ССП.

Задан ОУ в виде следующего уравнения: 1

х = - (ки — х) . (25)

Состояние ОУ характеризуется н. у. и к. у.:

х(£0) = х(0) = а. (26)

х(1к) = Ъ. (27)

Управляющее воздействие имеет ограничение:

lui < U

(28)

Необходимо минимизировать функционал:

] = Jtfc xdt ^ min

(29)

Введем дополнительную переменную Х0 :

х0 = xdt, (30)

Х0 = х. (31)

Рассмотрим систему уравнений (31) и (25):

dx0

dt

= X

| dx 1 » \

т" = ( ки _ x)

ydt Ту у

Функция Понтрягина имеет вид: 1

H = xp0 + ^ (ки _ x)pi,

(32)

(33)

где xp0 не влияет на максимизацию H, т. к. функционал не включает в себя (в явном виде) и, следовательно, это слагаемое можно не включать в выражение для нахождения H.

Нужно определить необходимое управление и*. Максимум функции Понтрягина по управлению, на которое не наложены ограничения, можно найти по необходимым и достаточным условиям.

(34)

Условие удовлетворяется при pi ( t ) = 0, но из формулировки принципа максимума необходимо существование ненулевой функции pi ( t ). В данной конкретной задаче управление ограничено, значение u следует брать на границах, т. е. при pi(t) > 0u = Umax , при pi(t) < 0u = _Umax . Это можно записать в виде закон управления релейного типа:

и*(0 = Umax signipi (t), (35)

где

dH=Tpi® = 0

signpi( 0 = j+

+ i при pi ( t) > 0 i при pi ( t) < 0.

(36)

С помощью системы уравнений вида

дН дх<

определим функции ф^:

-Фт .

Л '

-Ф0 . Л '

-Ф0+-

-х0

Ф0+-

-¡Т(ки—х))

-х0

'-ФТ

= 0

-1Т(ки—х))

-х

'-Фт

= —[ф0 — Тф1 ] =Тф1 —ф0 Ф0 = —С±,

= Тф1 + С1, —I тг 1 Т -Фт_ фт , СтТ

^ т т ,

-фт _ фТ+СТТ

—г = т ,

-фт _

фТ+СТТ = т , 1п(фт + СтТ) =^+С

т

(37)

, (38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

фт + СТт = еГ+С ,

£

фт + СТт = етеС .

Примем Ф0 равной «-1»:

Ф0 = —1, (47)

£

Фт = —т + С2ет . (48)

Из уравнений объекта найдем значение фазо-

вой траектории

—х Т » \

—г тК

т-х

= —Ь .

(ки—х)

—Т 1п(ки — х) = Ь .

ки

х = (Сет

х(Ь) = ки — Сет - фазовая траектория Из начального условия:

х(0) = ки — Се

0

С = ки

а.

х(ь) = ки — (ки — а)е т = ки(т — ет^)

ае т .

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

(55)

В данной задаче функция фт(Ь) способна изменять знак не больше одного раза, а управление и*(Ь) представлено функцией с интервалами в количестве не больше двух (рис. 3).

Фт = —т + С 2 ет При I = 1перфт = 0, тогда:

т + С2е т =0

^пер гр

е~ = Т

С2

(56)

(57)

т

¿пер = т\П>(£-)

(59)

(60)

х(Ь) = ки — Сет ;

1) интервал времени £ (0,1пер)

С = ки — а; (61)

2) в момент времени ^ = £ пер вводим новое

время

~ —т

х^ = кЫтах — Се~; (62)

3) в момент времени = пер = 0

( -=0 ) = = пер

к и

^ 1пер

Се т = ки„

С, (63) (64)

С = 2китах + Се т ;

4) в момент времени

х(т) = китах — [2китах + Се~^]е~; (65)

5) в конечный момент времени £ = Ькт =

1пер

—

. к ^пер | _ ЬЦ

( к ) китах

^ — ^пер

2китах +

—ск+ ^ пер

е т = Ь,

к и

к и —

тах

^ 1пер

2китах + Се~Т~ т

¿пер = тп(£)

т

—тыщС^)

е т = Ь

(66) (67)

к и

2китах + Се т

т

2китах + Се—Ы$С2

—Ск+т ЫЩ^)

= Ь, (68)

—1к I )

е т е с2 = Ь, (69)

т

2китах + Се^2 ЫЩ^)

е V = (китах —Ь)ет ,(70)

2китахе "С2 +С = (китах —Ь)ет, (80) т *

МЩт)

С2 =

МЩт)

С2 =

2ки

тах

Т

2ки„

[(китах —Ь)ет—С], (81) Ьк. ~

[(китах —Ь)ет—С, (82)

т __

С2 = 2кит

т

к итах

2 кт и

1к

Ь)ет — С\ ,

С =

С2 ^

[(китаХ —Ь)е т —С]

2 кт итах

[(китах —Ь)е т —(китах —а)]

С =

2 кт и

к и

ет —Т )+а—Ье т )]

(83)

(84)

(85)

(86)

—

х

—

— +

т

—

к

а

Рис. 3. Вид функций t) и и*( О Fig. 3. Type of functions pi( t) and u*( t)

Скипт в среде MATLAB

% задание начальных значений для объекта вида dx0/dt=x; dx/dt=(ku-x)/T;

% минимизация функционала I=int(xdt) от 0

до tk;

T=10; k=5; u=l; a=2; b=1;

tk=50; %конечный момент времени h=0.1; %шаг по времени Umax=2; t=0:h:tk; %решение

C2=(2*k*T* Umax)/(k* Umax*(exp(tk/T) -1)+a-b*exp(tk/T));

tper=T*log(T/C2); C1=k*u-a;

C11=2*k*Umax+C1*exp(-tper/T); %фазовая траектория до момента переключения

for i=1:round(tper)/h-1 x(i)=k*u-C 1*exp(-t(i)/T);

end

%фазовая траектория в момент переключения

x(round(tper)/h)=k*Umax-C 11;

%вычисление количества значений тау

N=tk*10+1 -(round(tper)/h);

%Заполнение значениями тау

tau(1)=h;

fori=2:N

tau(i)=tau(i-1)+h; end

%фазовая траектория после момента переключения

fori=1:N

x(round(tper)/h+i)=k*Umax-C 11*exp(-tau(i)/T); end

%вычисление пси и оптимального управления

fori=1:tk*10+1

psi 1 (i)=-

T+((2 *k*T*Umax)/(k*Umax*(exp(tk/T) -1)+a-b*exp(tk/T)))*exp(t(i)/T);

uopt(i)=Umax*sign(psi 1(i)); end

plot(t,x,t,uopt)

Рис. 4. Решение примера (25-29) Fig. 4. The sample solution (25-29)

Заключение

Несмотря на то, что ПМП - необходимое условие оптимальности, он весьма близок к достаточным условиям. В данной работе рассматривался вариант применения ПМП к задачам управления ССП. Для обеспечения простоты понимания метода на конкретном примере был показан алгоритм решения, а также математическая реализация в среде МаАаЬ с выводом графика зависимости оптималь-

ной фазовой траектории от соответствующего управления. Четкое представление особенностей применения ПМП к ССП позволит в дальнейшем работать с более сложными в реализации СРП, так как условия оптимальности часто формулируются и в виде соответствующих обобщений принципа максимума для СРП, в определенных задачах возможно даже непосредственное применение принципа максимума в ЗОУ СРП.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Борзенков А. В. Дифференциальные уравнения в частных производных. МА^АВ : конспект лекций для студ. всех спец. БГУИР днев. формы обуч. Минск : БГУИР, 2009. 120 с.

2. Бутковский А. Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М. : Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1965. 474 с.

3. Бушуев А. Ю. Введение в оптимальное управление. Электронное учебное издание. М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014. 30 с.

4. Ванько В. И., Ермошина О. В., Кувыркин Г. Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление : учеб. для вузов / Под ред. В. С.Зарубина, А. П. Крищенко. 3-е изд., исправл. М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. 488 с.

5. Воронов А. А., Ким Д. П., Лохин В. М. и др. Теория автоматического управления : Учеб. для вузов по спец. «Автоматика и телемеханика». В 2-х ч. Ч. II. Теория нелинейных и специальных систем автоматического управления / Под ред. А. А. Воронова. 2-е изд., перераб. и доп. М. : Высш. шк., 1986. 504 с.

6. Егоров А. И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. Серия «Теоретические основы технической кибернетики». М. : Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1978. 463 с.

7. ЕгоровЮ. В. Об оптимальном управлении в банаховом пространстве // УМН, 1963. Том 18. Выпуск 4 (112). С. 211-213.

8. Егоров Ю. В. Необходимые условия оптимальности управления в банаховых пространствах // Матем. сб., 1964, Том 64 (106), Номер 1. С. 79-101.

9. Егоров Ю. В. Оптимальное управление в банаховом пространстве // Докл. АН СССР, 1963. Том 150. Номер 2. С. 241-244.

10. Зеликин М. И. Оптимальное управление и вариационное исчисление. Изд. 2-е, испр. и доп. М. : Еди-ториал УРСС, 2004. 160 с.

11. Лыков А. В. Теория теплопроводности : Учебное пособие. М. : Высшая школа, 1967. 600 с.

12. Мышкис А. Д. Прикладная математика для инженеров. Специальные курсы. 3-е изд., доп. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2007. 688 с.

13. Олейников В. А., Зотов Н. С., Пришвин А. М., Соловьев Н. В. Сборник задач и примеров по теории автоматического управления. М. : Высшая школа, 1969. 200 с.

14. Павлова А. В. Математические основы теории систем. Конспект лекций по курсу «Математические основы теории систем»: в 2 ч. Минск : БГУИР. 144 с.

15. Певзнер Л. Д. Практикум по теории автоматического управления : Учеб. пособие. М. : Высш. шк., 2006. 590 с.

16. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. 4-е изд. М. : «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1983. 392 с.

17. Рапопорт Э. Я. Анализ и синтез систем автоматического управления с распределенными параметрами : Учеб. пособие. М. : Высш. шк, 2005. 292 с.

18. Рапопорт Э. Я. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами : Учеб. пособие. М. : Высш. шк, 2009. 677 с.

19. Фельдбаум А. А., Бутковский А. Г. Методы теории автоматического управления. М. : Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1971. 744 с.

Дата поступления статьи в редакцию 11.09.2018, принята к публикации 18.10.2018.

Информация об авторе: Савельева Юлия Олеговна, аспирант

Адрес: Самарский государственный технический университет, Россия, Самара, 443000, ул. Малогвардейская, д. 244

E-mail: [email protected] Spin-код: 7827-5616

Автор прочитал и одобрил окончательный вариант рукописи.

REFERENCES

1. Borzenkov A. V. Differencial'nye uravneniya v chastnyh proizvodnyh. MATLAB [Partial differential equations. MATLAB], konspekt lekcij dlya stud. vsekh spec. BGUIR dnev. formy obuch. Minsk : BGUIR, 2009. 120 p.

2. Butkovskij A. G. Teoriya optimal'nogo upravleniya sistemami s raspredelennymi parametrami [Theory of optimal control of distributed parameter systems], Moscow: Glavnaya redakciya fiziko-matematicheskoj literatury publ. «Nauka», 1965. 474 p.

3. Bushuev A. Yu. Vvedenie v optimal'noe upravlenie [Introduction to optimal control], Ehlektronnoe ucheb-noe izdanie. Moscow: Publ. MGTU im. N. Eh. Baumana, 2014. 30 p.

4. Van'ko V. I., Ermoshina O. V., Kuvyrkin G. N. Variacionnoe ischislenie i optimal'noe upravlenie [Calculus of variations and optimal control], ucheb. dlya vuzov. In V. S. Zarubina, A. P. Krishchenko (ed.), 3-th publ., Moscow: Publ. MGTU im. N. Eh. Baumana, 2006. 488 p.

5. Voronov A. A., Kim D. P., Lokhin V. M. i dr. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya : Ucheb. dlya vuzov po spec. «Avtomatika i telemekhanika» [Theory of automatic control: Studies. for universities on specialty «Automation and telemechanics»], In 2 part. Part II. Teoriya nelinejnyh i special'nyh sistem avtomaticheskogo upravleniya, In A. A. Voronova (ed.), 2-st publ. Moscow: Publ. Vyssh. shk., 1986. 504 p.

6. Egorov A. I. Optimal'noe upravlenie teplovymi i diffuzionnymi processami. Seriya «Teoreticheskie osnovy tekhnicheskoj kibernetiki» [Optimal control of thermal and diffusion processes. A series of «Theoretical basis of technical Cybernetics»], Moscow: Glavnaya redakciya fiziko-matematicheskoj literatury izd-va «Nauka», 1978. 463 p.

7. Egorov Yu. V. Ob optimal'nom upravlenii v banahovom prostranstve [On optimal control in Banach space], UMN [UMN], 1963. Vol. 18. No. 4 (112). pp. 211-213.

8. Egorov Yu. V. Neobhodimye usloviya optimal'nosti upravleniya v banahovyh prostranstvah [Necessary conditions for optimal control in Banach spaces], Matem. sb. [Mathematical collection], 1964, Vol. 64 (106), No. 1. pp. 79-101.

9. Egorov Yu. V. Optimal'noe upravlenie v banahovom prostranstve [Optimal control in the Banach space], Dokl. AN SSSR [Report of the USSR], 1963. Vol. 150. No. 2. pp. 241-244.

10. Zelikin M. I. Optimal'noe upravlenie i variacionnoe ischislenie [Optimal control and variational calculus], 2-st publ, Moscow: Publ. Editorial URSS, 2004. 160 p.

11. Lykov A. V. Teoriya teploprovodnosti [Theory of thermal conductivity], Uchebnoe posobie. Moscow: Publ. Vysshaya shkola, 1967. 600 p.

12. Myshkis A. D. Prikladnaya matematika dlya inzhenerov. Special'nye kursy [Applied mathematics for engineers. Special course], 3-th publ., Moscow: Publ. FIZMATLIT, 2007. 688 p.

13. Olejnikov V. A., Zotov N. S., Prishvin A. M., Solov'ev N. V. Sbornik zadach i primerov po teorii avtomati-cheskogo upravleniya [Collection of problems and examples on the theory of automatic control], Moscow: Publ. Vysshaya shkola, 1969. 200 p.

14. Pavlova A. V. Matematicheskie osnovy teorii sistem. Konspekt lekcij po kursu «Matematicheskie osnovy teorii sistem» [Mathematical foundations of the theory of systems. Lecture notes on the course «Mathematical foundations of system theory»], In 2 part. Minsk : Publ. BGUIR. 144 p.

15. Pevzner L. D. Praktikum po teorii avtomaticheskogo upravleniya [Workshop on the theory of automatic control], Ucheb. posobie. Moscow: Vyssh. shk., 2006. 590 p.

16. Pontryagin L. S., Boltyanskij V. G., Gamkrelidze R. V., Mishchenko E. F. Matematicheskaya teoriya op-timal'nyh processov [Mathematical theory of optimal processes], 4-th publ. Moscow: Publ. «Nauka», Glavnaya redakciya fiziko-matematicheskoj literatury, 1983. 392 p.

17. Rapoport Eh. Ya. Analiz i sintez sistem avtomaticheskogo upravleniya s raspredelennymi parametrami [Analysis and synthesis of automatic control systems with distributed parameters], Ucheb. posobie. Moscow: Publ. Vyssh. shk, 2005. 292 p.

18. Rapoport Eh. Ya. Optimal'noe upravlenie sistemami s raspredelennymi parametrami [Optimal control of systems with distributed parameters], Ucheb. posobie. Moscow: Publ. Vyssh. shk, 2009. 677 p.

19. Fel'dbaum A. A., Butkovskij A. G. Metody teorii avtomaticheskogo upravleniya [Methods of the theory of automatic control], Moscow: Glavnaya redakciya fiziko-matematicheskoj literatury izd-va «Nauka», 1971. 744 p.

Submitted 11.09.2018, revised 18.10.2018.

About the author: Julia O. Saveleva, the post-graduate student

Address: Samara state technical university, Samara, Russia, 443000, Malogvardeyskaya Str., 244 E-mail: [email protected] Spin-code: 7827-5616

Author have read and approved the final manuscript.