ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСОМ ТЕПЛОТЫ ПО СЛОЖНОСТРУКТУРИРОВАННЫМ МЕХАНИЧЕСКИМ КОНСТРУКЦИЯМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929.4

ГРНТИ 27.41.19

ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСОМ ТЕПЛОТЫ

ПО СЛОЖНОСТРУКТУРИРОВАННЫМ МЕХАНИЧЕСКИМ

КОНСТРУКЦИЯМ

В.В. ПРОВОТОРОВ, доктор физико-математических наук, доцент

ВУНЦВВС «ВВА имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж)

А.В. ИВАНОВ, кандидат технических наук, доцент

ВУНЦ ВВС «ВВА имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж)

О.Р. КОРЧАГИНА, кандидат технических наук

ВУНЦ ВВС «ВВА имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж)

А.В. ХОРВАТ, кандидат технических наук

ВУНЦ ВВС «ВВА имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж)

Рассмотрен частный случай управления переносом теплоты по мачте антенной конструкции, содержащий общий подход для постановок и решений иных типов задач управления процессами переноса сплошных сред. Для эллиптического оператора краевой задачи построено множество собственных значений и им соответствующая совокупность собственных функций, которые однозначно определяют количественные характеристики теплового потока (для краткости изложения представляемого исследования не учитываются тепловые перетоки по поддерживающим растяжкам в силу их достаточно малого влияния на динамику тепловых потоков в теле мачты). Исследование носит конструктивный характер, содержит алгоритм построения искомого оптимального управления и может быть использовано при решении более общих оптимизационных задач для объектов со сложной реологической структурой образующих их материалов. Использованный подход и полученные при этом результаты без особого труда распространяются на изучение прямых и обратных задач многомерных сетеподобных областей.

Ключевые слова: сложносочлененные конструкции, перенос теплоты, задача управления, разрешимость, построение управлений.

Введение. Каркасы современных промышленных объектов, устройств иных сооружений (в целях облегчения массы) представляют собой сложносочлененные объемные конструкции, фрагментами которых являются линейные детали - одномерные континуумы (балки, стержни, консоли и пр.). При математическом описании тепловых процессов, возникающих в таких сложноструктурированных конструкциях, в высшей степени удобно использовать геометрический граф, топологическая структура которого достаточно точно отвечает структуре этих конструкций [1, 2]. Тепловые процессы в линейных фрагментах конструкций (т.е. ребрах графа) осуществляются в соответствии с классическими законами теплопередачи по линейным носителям, тепловые явления в местах сочленения линейных фрагментов подчинены условиям, которые определяются конструктивной схемой таковых мест [3]. Таким образом, математические модели тепловых процессов, имеющих место в сложносочлененных носителях (конструкциях), обладают общим свойством: в основе своей они используют формализмы граничных задач для эволюционных дифференциальных уравнений, в большинстве своем являющихся уравнениями с распределенными параметрами, пространственная переменная которых изменяется на ограниченном геометрическом графе [3]. В предлагаемом исследовании объектом, подлежащим анализу, является математическая модель процесса переноса тепла в сложносочлененной металлической конструкции, каковым является, к примеру, мачтовая антенная система, используемая в аэродромном хозяйстве любого назначения. Первая часть

работы (раздел 2) посвящена анализу теплового процесса в произвольном сложносочлененном носителе теплоты, во второй части (раздел 3) рассмотрен частный случай управления переносом тепла по мачте антенной конструкции. Для удобства изложения при описании тепловых процессов не учитываются тепловые перетоки по поддерживающим растяжкам в силу их достаточно малого влияния на тепловые потоки, осуществляемые по телу мачты. Раздел 1 имеет описательный характер, включающий в себя основные понятия и необходимые обозначения.

Актуальность. Работа посвящена актуальному на сегодняшний день разделу современной теории переноса сплошных сред по сетеподобным носителям - рассматривается математическая модель процесса распространения теплоты по сетевому теплоносителю, каковым в приложениях являются различного типа промышленные сложносочлененные конструкции: металлические каркасы промышленных строений, балки, стержни, консоли и пр.; к таковым же относятся и антенные конструкции мачтового и сетчатого типов, используемые в аэродромном оснащении военного и гражданского характера. Первопричиной появления такого типа исследований явились достаточно часто возникающие «взрывные» тепловые эффекты, приводящие к деформации конструкций, а зачастую, частичному, либо полному разрушению этих конструкций. Основная сложность математического моделирования сетеподобного теплового процесса заключается в корректном (адекватном) использовании математических формализмов при описании тепловых явлений в местах ветвления линейных фрагментов конструкции - в работе осуществлен подход и указаны методы, способствующие преодолению указанной проблемы.

1. Необходимые обозначения, основные понятия. Следуя работам [1, 3], введем обозначения: 3 - ориентированный граф, ребра у его являются отрезками одинаковой длины и сочленены между собой своими концами; места сочленения % называются узлами. Число ребер ограничено, а следовательно, ограничено и число узлов.

На графе 3 задается функция /(х) как отображение /: 3 ^ R (здесь и везде ниже Я - евклидово одномерное простраство), интеграл от / (х) на графе 3 понимается как сумма

вида |/(x)dx = ^ |/(x)dx (суммирование осуществляется по всем ребрам у с 3 ).

3 у у

В дальнейшем будут рассматриваться дифференциальные уравнения и им соответствующие краевые и начально-краевые задачи с пространственной переменной х, изменяющейся на графе 3 . Обозначим через Ьп некоторое дифференциальное выражение, действующее на функцию п(х) , если эта функция одной переменной х е 3, или действующее на функцию п(х,г), если эта функция двух переменных х, г е3х[0,Т], 0 <Т<го. Под дифференциальным уравнением относительно функции п(х) (или п(х,г)) понимается соотношение

Ьи(х) = /(х), х е3 (Ьи(х,г) = /(х,г), х,г е3х(0,Т))

(1)

вместе с соотношениями

¡м(х)

= 0 (Ци(х,г) =0),

(2)

где ¡п - некоторый функционал, действующий на функцию и в каждом узле %е3 (вид

функционала ¡^и зависит от узла %); соотношения (2) называют в литературе условиями

согласования [3]. Если к дифференциальному уравнению (т.е. к соотношениям (1) и (2)) добавить соотношения

и и9з = 0

(3)

где через д3 обозначена граница (т.е. множество граничных узлов) графа 3, тогда получим краевую задачу (1)-(3) для обыкновенного дифференциального уравнения (1), (2) и функции и(х) . Добавление к соотношениям (1)-(3) условия

и I=с = ио(х)

(4)

задает начально-краевую задачу (1)-(4) для дифференциального уравнения с частными производными (1), (2) и функции и(х, г) . При этом соотношения (3) и (4) называются краевым и начальным условиями для функции и (х) и и( х, г), соответственно.

2. Начально-краевая задача, однозначная разрешимость. Далее рассматривается математическая модель распространения теплоты по теплоносителю, интерпретируемому как простейший граф Г (цепочка отрезков, последовательно соединенных между собой - частный случай произвольного графа 3 ).

Пусть функция О(х^) переменных х, Т (0<х<£, 0<Т <Т) описывает изменение значений температурного поля в полосе 0 <х<£, 0 <Т <Т изменения своих переменных и удовлетворяет уравнению переноса теплоты

с) с2

—<2( х, г) = — <( х, г) - д( х)<( х, г),

дл дх

(5)

при х, Ге (0,£)х(0,Т), исключая множества х = к — , ^ е (0 ,Т), к = \,т-\\ точек в

[ т

д

которых < (х, г) и —<( х, г) удовлетворяют условиям согласования:

дх

< х, г) = <( х, г)

х=к—+0 х=к—0 их

(3 (3

-<х,г) ^ -—<(х,г) = ак(х,г)

=к—+0 дх '

х=к--0

х=к—

(6)

для к = 1, т -1. Условия (6) определяют закономерность перетока температурного поля в местах сочленения фрагментов теплового носителя (в приложении к антенной конструкции - в местах сочленения фрагментов мачты антенны).

Замечание 1. Условия согласования (6) в точках множества

(л", 1): х = к —, / е (0,'/'), к = \,т-\ \ могут быть заменены на: т

<(х, г) = <(х, г) <(х, г) <(х, г) = Ск <(х, г) , (7)

х=к—н0 х=к--0 ох х=к—н0 х=к--0 (уг х=к—

если в точках этого множества наличествуют сосредоточенные теплоемкости Ск.

Представление уравнения (5) в совокупности с условиями согласования (6) (или (7)) можно интерпретировать как уравнение (5), (6) (или (5), (7)) на простейшем графе (см. соотношения (1), (2) раздела 1). Для определенности далее рассматривается уравнение (5), (6).

Введем математическую модель процесса переноса теплоты, используя уравнение (5), (6) с изменяющейся на графе пространственной переменной, дополненное начальным и

граничными условиями. Через Г обозначим ограниченный граф, где ук (к = 1, т) и (к = 0, т) — ребра и узлы, соответственно. Ориентация и параметризация всех ребер устанавливается естественной топологией отрезков на числовой оси: ребру ук соответствует отрезок

[(к -1).^/ т, М / т] (к = 1, т), каждому узлу соответствует число Ы / т (к = 1, т -1), граничным узлам - соответствуют числа 0, <!.

Исходя из сказанного, Q(х,г), (х,г) еГх(0,Т) определяется совокупностью уравнений

5

52

—Q(х, г= — Q(х, г- д(х)Гк Q(х, гу (к = 1, т),

'Ук

(8)

определяемой уравнением (5) и условиями согласования:

00,0 , =00, о , ,

т т

^ Q( х, г) , Q( х, г) , = аД( х, г) , :

ох Х=к-Г}'к ОХ х=к-г}'к+\ х=к-'ук+1

(9)

в узлах ¿;к (к = 1, т — 1) , определяемыми условиями (6).

Замечание 2. В силу замечания 1 условия (6) могут заменяться на:

, =£?(*, О , ,

х=к—Еук х=к—Еук]

т т

^ Q( х, г) , Q(x, г) г = Ск Q(x, г) , ,

ох х=к~гук ОХ х=к~г7к+1 ot х=к~г7к+1

для всех к = 1, т-1.

Построение математической модели процесса переноса теплоты по теплоносителю, состоящему из т секций завершается присоединем к (8), (9) начального

^ х, г )г=0 = Р( х)

(10)

и краевых условий:

д

X, г)х =0Ёу - X, г)х =0еу = Мг),

д

—Q(x, г) х=е/ + HQ(x, г)=е/ = у(г),

(IX

(11)

(функции д(х), р(х), ¡л(г), у(г) и постоянные ак (к = 1, т -1), к, Н, заданы). Анализ

математической модели (8)—(11) (начально-краевой задачи (8)—(11)) является основной целью исследования.

Теорема 1. Если функции д(х), р(х) и ц(г), v(í) непрерывны по переменным х, Т (О < х < 0 </<'/'), то начально-краевая задача (8)-(11) имеет единственное решение.

Доказательство. Введем множества непрерывных и кусочно-дифференцируемых функций, определенных на графе Г [4, с. 24]: С(3) - множество непрерывных функций; С[3] - множество кусочно-непрерывных функций (отсутствует непрерывность функций в

узлах Е,к (к = 1,т-1)); С\3], С2[3] - множество один раз либо дважды дифференцируемых

функций на ук (к = \,т) за исключением точек к£ /т (к = 0, т).

На графе Г на множестве С (Г) С2 [Г] рассмотрим спектральную задачу, порождаемую начально-краевой задачей (8)—(11):

-УГк + Ф)гкУгк = *>УГк (к = 1,т),

(12)

у\к£/2\к+1 -у'(к£/2)Гк=у(к£/2)Гк

(13)

или

и краевыми условиями:

-у\к£ / 2)Гк+1 + у\Ы / 2\к = Яу(к£ / 2)Гк

уЩУ1 -ку{ 0)Г1 = 0, у\£)]т +Ну(£)Гт = 0.

(14)

Спектральный параметр X и функция у (х) е С (Г) С 2[Г] определяются при решении краевой задачи (13)—(14) [4, с. 48]: множество параметров \Хп} и множество собственных функций {Уп(х)}п> 1 удовлетворяют задаче (13)—(14) при каждом фиксированном п = 1,2,...; множество собственных функций {уп (х)}п> 1 служит базисом для отыскания решения задачи (8)—(11):

ад

<х,г) = Ёб(г)Уп(х), <(г) = <(х,г)уп(х)dx.

(15)

Дальнейшие действия носят технический характер. Дифференцируя бп(г) по г и

д

учитывая соотношения (8), (9), получим соотношение, содержащее выражение —<( х, г) под

дг

знаком интеграла. Вычисление последних по частям приводит к следующим соотношениям (п = 1,2,...)

к—

т д2

<(г) = Ё \ б(х,г) -9(х)б(х,г))Упп

А-=1 , / С*"

Ук

(к-1)-т

т д

= Ё (^ <( х, г) Уп (х) - б( х, г) у: (х))

к=1 дх

к — т

(к-1)-

к— т т

АЁ 1 0(х^)уп(х¥хгк-

ук

к=\ / (А-1)-

п=0

Используя начальные (10) и граничные (11) условия, а также соотношения (12)—(14), приходим к уравнениям относительно ^) ( п > 0 )

а «)=-щ, (*)+ц),

(16)

где гп (^) определяются соотношениями

г„ (0 = £ ад о уя (£) - П(£, 0 /„ (£)) - (А 0(0, о Уя (0) - 0(0, о уя (0))п =

= у(0у„(0гт -МОуЛО)^,

начальные условия для (16) формируются в соответствии с разложением функции <( х)

ад

<(х) = £<РпУп (х). <п = <(х)Уп (х) .

Таким образом, функции Qn (^) для уравнения (16) представляются в виде

„ , ч \ —х и—г)г (г) .

() = п +\е Л

а функция Q(х, t) для задачи (8)—(11) принимает вид

х, t)=К Хп*Уп (х)

'Ь,-Яп О—г)2п (г)

'ёгуп(х), х, tеГх[0,Т].

п=0

п=0 о

Теорема доказана полностью.

Дальнейшее исследование конструктивно и содержит алгоритм построения искомого решения, что может быть использовано при решении конкретных эволюционных задач при изучении объектов со сложной структурой образующих их материалов, а именно при анализе задач управления сетеподобными процессами.

3. Управление нагревом стержневой механической конструкции. Для представления математической модели (8)—(11) в большей степени приближенной к реальным объектам (при этом учитываются обозначения, принятые в работе [4, с. 12]) несколько изменим вид уравнения (8), начальные (10) и краевые (11) условия, а также заменим пространственную переменную х на Е, . Для (¿г,О е [0,^]х[0,Г] получим начально-краевую задачу:

^ t) = £ * t)),

(17)

Га (£)А Q (£ t)'

Г

ьЕ=-+о '

V

д

V

а (£)-Q (£ t)

= а0 2-' -

(18)

б (£0) = бо (£),

д

£ (г) = 0

(19)

(20)

(теплоизолированность объекта с торца £ = 0 ),

-(*(£)-§ 0 (£, г)] = Н (г)-0 (£, г)

(21)

(последнее соотношение означает, что при Е,= £ поток тепла пропорционален разности внешней температуры и температуры объекта с торца Е, = £, коэффициент пропорциональности равен р). Функция а(^)>0, <^е[0 ,£] в соотношениях (17), (18) - коэффициент теплопроводности объекта, число а характеризует уровень скачка температурных потоков, 0о (£) - известное значение температуры объекта в начальный момент времени.

Представленное выше в разделе 2 описание графа Г остается прежним, только число фрагментов теплового носителя равно двум, что соответствует реальным объектам.

Задача управления системой (17)-(21) состоит в определении такого внешнего влияния Н (г), г > 0, на систему и временнного значения Т, чтобы 0 (£, Т) = <1 (£) с заданной

функцией (£).

Для анализа задачи управления будет использовано множество собственных значений {/ }п> 1 (см. доказательство теоремы 1, для исходных данных системы (17)-(21) числа /п

положительные) и множество (£)} собственных функций.

Как и в разделе 2, функция < (£, г) представима в виде ряда Фурье по базису (£)} :

г) = ^Апип (г)фп (£),

(22)

п=0

Аи (г) =—¡ба,г)^ (#)^, ®п = ¡2 (#).

ап Г Г

Это приводит к соотношениям

А-"- (г=т. ')^ (£) d¡

(см. аналогичные действия для получения соотношений (16)).

Учитывая скачок производной в точке представим интеграл в правой части

I I

(23) в виде суммы интегралов от 0 до — и от — до £. Вычислим указанные интегралы по частям

д

(23)

д (

(

>- о 2

Учитывая граничные условия (20), (21) для Q(0,, t), а также соотношение (18) для Q (0,, t) и ~~ Q (£, t) получим соотношения:

А,11',,(О+^Ля(0 = -М,п =

откуда в силу Ап = срп (/) вытекает следующая система уравнений:

и

,(t) = ^) + №^), п = 1,2,....

(24)

Начальные условия un (0) для системы (24) формируются, разлагая Q0 = Q(£,0) в ряд

Фурье по {к (£)}п

Qо (а) = ТАи (0 )к (а).

что дает

(0) = ÍQо а)¿х = Uо0, п = 1,2,... .

А™« г

Полученная система (24) формализуется в терминах матричного уравнения:

и ^ ) = Аи ^ ) + Bh ^ ), и (0) = и0,

(25)

где матрица А имеет вид

A = [-д2, , -д2,.. ],

матрицы и(t), Б и и0 представимы в виде:

и ^) = со1 [и ^), и2 ^),...], Б = со1 [1,1,...]Д и0 = со1 [и°, и0,...].

2

п=0

и

Задача управления системой (17)—(21) трансформируется в задачу управления уравнением (25), которое является матричным уравнением: требуется найти h(t), t > 0, и число T так,

чтобы решение U (t) уравнения (25) с начальным условием U (0) = U0 в момент t = T

удовлетворило условию U(T) = U1, где U1 = col^uj,u1 ,...J, здесь числа и\, n = 1,2,...,

определяются соотношениями:

и„

i ад

(T) = -— (?)d? = и1 (n = 1,2,...), Q?) = Y/nun (T)pn (?).

Anan Г n=0

Замечание 3. Следует отметить, что при п ^ ю коэффициенты Ап ^ 0, следовательно,

ад

члены Апип (¿)уп (^ ряда ^Апып ((?) достаточно малы и при больших п вклад их

п=0

незначителен. Поэтому решение и(/) матричного уравнения (25) можно достаточно точно решить приближениями конечномерной системы

Ü(t) = AÜ(t) + Bh(t),Ü(0) = Ü0,

(26)

где

А = diag,,,.., Ü(t) = col[mj (/),/./2 (/),...,um (/)], B = col[\,\,..]mP, Ü0=col\ulu°2,...,ul\,

при переводе ее в состояние иг = со/. К системе (26) применимы классические

методы теории управления [4, с. 78].

Выводы. Исследование посвящено описанию тепловых процессов, возникающих в сложноструктурированных механических конструкциях, математическое описание которых использует топологию геометрического графа, достаточно точно отвечающая структуре этих конструкций. Исследование содержит две основополагающие части. Первая часть работы посвящена анализу теплового процесса в произвольном сложносочлененном носителе теплоты, во второй части рассмотрена оптимизационная задача переноса тепла по мачте антенной конструкции (частный случай, анализ которого легко обобщается). При этом для простоты изложения при описании тепловых процессов не учитываются тепловые перетоки по поддерживающим растяжкам в силу их достаточно малого влияния на тепловые потоки, осуществляемые по телу мачты. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании прямых и обратных задач на многомерных сетеподобных областях [3, 5].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Подвальный С.Л., Провоторов В.В. Оптимизация по стартовым условиям параболической системы с распределенными параметрами на графе // Системы управления и информационные технологии. 2014. № 4 (58). С. 79-74.

2. Провоторов В.В. К вопросу построения граничных управлений в задаче гашения колебаний системы «мачта-растяжки» // Системы управления и информационные технологии. 2008. № 2.2 (32). С. 239-297.

3. Zhabko A.P., Nurtazina K.B., Provotorov V.V. About one approach to solving the inverse problem for parabolic equation // Vestnik of Saint Petersburg University. Applied mathematics. Computer science. Control processes. 2019. vol. 15. iss. 3. P. 322-335. [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2019.303 (дата обращения 15.03.2023).

4. Провоторов В.В. Собственные функции краевых задач на графах и приложения. Воронеж: Научная книга, 2008. 247 с.

5. Провоторов В.В. Моделирование колебательных процессов системы «мачта-растяжки» // Системы управления и информационные технологии. 2008. № 1.2 (31). С. 272-277.

REFERENCES

1. Podval'nyj S.L., Provotorov V.V. Optimizaciya po startovym usloviyam parabolicheskoj sistemy s raspredelennymi parametrami na grafe // Sistemy upravleniya i informacionnye tehnologii. 2014. № 4 (58). pp. 79-74.

2. Provotorov V.V. K voprosu postroeniya granichnyh upravlenij v zadache gasheniya kolebanij sistemy «machta-rastyazhki» // Sistemy upravleniya i informacionnye tehnologii. 2008. № 2.2 (32). pp. 239-297.

3. Zhabko A.P., Nurtazina K.B., Provotorov V.V. About one approach to solving the inverse problem for parabolic equation // Vestnik of Saint Petersburg University. Applied mathematics. Computer science. Control processes. 2019. vol. 15. iss. 3. pp. 322-335. ['Elektronnyj resurs]. Rezhim dostupa: https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2019.303 (data obrascheniya 15.03.2023).

4. Provotorov V.V. Sobstvennye funkcii kraevyh zadach na grafah i prilozheniya. Voronezh: Nauchnaya kniga, 2008. 247 p.

5. Provotorov V.V. Modelirovanie kolebatel'nyh processov sistemy «machta-rastyazhki» // Sistemy upravleniya i informacionnye tehnologii. 2008. № 1.2 (31). pp. 272-277.

© Провоторов В.В., Иванов А.В., Корчагина О.Р., Хорват А.В., 2023

Провоторов Вячеслав Васильевич, доктор физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник научно-исследовательского центра (проблем применения, обеспечения и управления авиацией Военно-воздушных сил), Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж), Россия, 394064, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54А, wwprov@mail.ru.

Иванов Алексей Владимирович, кандидат технических наук, доцент, начальник управления научно-исследовательского центра (проблем применения, обеспечения и управления авиацией Военно-воздушных сил), Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж), Россия, 394064, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54А.

Корчагина Олеся Руслановна, кандидат технических наук, старший научный сотрудник научно -исследовательского центра (проблем применения, обеспечения и управления авиацией Военно-воздушных сил), Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж), Россия, 394064, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54А, bal-olesya@mail.ru.

Хорват Алексей Владимирович, кандидат технических наук, заместитель начальника отдела научно -исследовательского центра (проблем применения, обеспечения и управления авиацией Военно-воздушных сил), Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж), Россия, 394064, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54А, alexey-khorvat@yandex.ru.

UDK 517.929.4 GRNTI 27.41.19

the task of controlling the heat transfer by composite

MECHANICAL structures

V.V. PROVOTOROV, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor

MESC AF «N.E. Zhukovsky and Y.A. Gagarin Air Force Academy» (Voronezh)

A.V. IVANOV, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor

MESC AF «N.E. Zhukovsky and Y.A. Gagarin Air Force Academy» (Voronezh)

O.R. KORCHAGINA, Candidate of Technical Sciences

MESC AF «N.E. Zhukovsky and Y.A. Gagarin Air Force Academy» (Voronezh)

A.V. HORVAT, Candidate of Technical Sciences

MESC AF «N.E. Zhukovsky and Y.A. Gagarin Air Force Academy» (Voronezh)

A special case of heat transfer control along the antenna structure mast that represents a general approach to setting and solving other types of continuous media transfer control problems is considered. For the elliptic operator of the boundary value task, a set of eigenvalues and a corresponding set of eigenfunctions are constructed that uniquely determine the quantitative characteristics of the heat flow (for the sake of brevity of the presented study, heat flows along the supporting extensions are not taken into account due to their rather small influence on the dynamics of heat flows in the mast body). The study is constructive, contains the algorithm of constructing the desired optimal control and can be used to solve more general optimization tasks for the objects with a complex rheological structure of their constituent materials. The approach and obtained results can be easily extended to the study of direct and inverse tasks of multidimensional network-like domains.

Keywords: composite structures, heat transfer, control problem, solvability, construction of controls.