Задача управления движение вязкой несжимаемой жидкости по системе трубопроводов Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 532.542

Сорокина Наталья Владимировна,

ассистент

ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ПО СИСТЕМЕ ТРУБОПРОВОДОВ

Россия, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский политехничекий университет Петра Великого, sorokinaspbpu@gmail.com

Аннотация. В данной работе приводится решение обратной задачи гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости, движущейся по трубе круглого сечения без свободной поверхности. При заданном расходе жидкости на одном из выходов трубопроводной системы определяется необходимое давление на входе в неё. Проводится численное моделирование изменения скорости жидкости в трубопроводной системе при заданном законе изменения давления на входе в систему.

Ключевые слова: управление, несжимаемая жидкость, трубопроводная система, давление, расход жидкости.

Natalia V. Sorokina,

Assistant

A PROBLEM OF CONTROL OF THE VISCOUS INCOMPRESSIBLE LIQUID MOTION THROUGH A PIPELINE SYSTEM

Russia, Saint-Petersburg, Peter the Great Saint-Petersburg Polytechnic University, sorokinaspbpu@ gmail.com

Abstract. In this paper a solution of the inverse problem of the hydrodynamics of a viscous incompressible liquid moving through a pipe of the circular cross-section without free surface is presented. For the given mass flow at one of the pipeline system outlets the necessary pressure at its inlet is determined. A numerical simulation of the change of the liquid velocity for the given principle of inlet pressure change is performed.

Key words: control, incompressible liquid, pipeline system, pressure, liquid mass

flow.

Задача управления потоками жидкости в трубопроводных сетях является актуальной проблемой разных отраслей промышленности и народного хозяйства, от тепловых сетей в городах до нефтегазовых трубопроводных сетей. Исследователями изучаются вопросы потокораспреде-ления в больших гидравлических сетях [4-6], управления переходом от ламинарного течения газа к турбулентному [3], расчётом гидродинамических систем с распределёнными параметрами [1] и т.п.

Не менее важными и интересными являются «обратные» задачи, касающиеся построения такого управления потоком жидкости в трубо-

проводе, которое позволяет получить требуемый конечный результат, связанный с желаемой структурой и характеристиками потока.

1. Постановка задачи

Рассмотрим трубопроводную систему, состоящую из главной трубы и двух ответвлений (рис.1). Считаем, что на входе главной трубы действует давление насоса рр, на двух выходах действуют заданные

давления р1 и р2.

Рис.1. Схема трубопроводной сети

Будем считать течение ламинарным. Модель, описывающая ламинарное изотермическое течение вязкой несжимаемой жидкости по трубе круглого сечения получена из уравнений Навье-Стокса [2, 8]. Эта модель предполагает напорное течение жидкости, т.е. поперечное сечение трубы заполнено жидкостью целиком и свободных поверхностей нет. Примем, что расход жидкости в главной трубе распределяется между двумя ответвлениями так, чтобы течение в этих трубах так же было напорным. Значит, можем записать

й=й+02, (1)

где йт - расход главной трубы, й - расход первого ответвления, й2 -расход второго ответвления. Расход жидкости в трубе круглого сечения вычисляется по формуле [2]

й (2)

8т I

где т - динамическая вязкость жидкости, К - радиус трубы, I - длина трубы, Ар - разность давлений в конце и начале трубы. Таким образом, видно, что расход главной трубы йт можно регулировать, изменяя давление на входе или на выходе (или и там, и там). В свою очередь, с изменением величины йт будут изменяться и й1 и й2 .

Поставим задачу следующим образом: определить, каким должно быть давление рр, чтобы обеспечить расход й1 при заданных р1, р2 и

й2 (все последующие выкладки применимы и в том случае, если заменить й на й2).

2. Решение

Перепишем формулу (1) с учётом (2) и разницы давлений для трёх рассматриваемых труб (индекс т относится к главной трубе, 1 - к первому ответвлению, 2 -ко второму):

ж Рп Рр г,4 _ п Г2 т

--Кт = й1

или

8т 1т

Рп - Рр К4

Ж Р2 - Рп

8 т к 2,

8т

р

О; +

Р2 - Рп 4

-

Выразим из последнего соотношения давление насоса:

8т1т

а+Рп

-тК^ + К12 Р2 К21т

12 К

12 К

(3)

Исключим из этого уравнения давление в узле Рп, выразив его через расход первой трубы:

а^ К4,

8т -

8т1у

жК;4

й + Р1.

Подставим это соотношение в (3):

Рр

8т

ж

1т 1 ¡1 (гтК + Кк)

к

т__|_

4

¡2 к к;

I К 4

О; + ( Р; - Р2 ) + Рг-

(4)

2т

Значение давления, которое выражается формулой (4), - это то давление, которое должен поддерживать насос, расположенный в начале трубопроводной системы, чтобы обеспечить расход й1. Как видно, давление зависит от других известных параметров системы, таких как диаметры труб, их длины, вязкость жидкости и давления на концах системы.

3. Численное моделирование

Важным аспектом управления течением в рассматриваемой системе является сохранение ламинарности потока. Как известно, течение вязких несжимаемых жидкостей является ламинарным, если число Рей-нольдса Яе не превышает 2300 [2]. Для вычисления числа Рейнольдса необходимо знать скорость жидкости в трубе, следовательно, будем проводить моделирование распределения скоростей в рассматриваемой трубопроводной системе.

Скорость жидкости в трубах будем рассчитывать по формуле [7]

I

т

п

я л г я

и (г, г) = \ о (г, X, г ШЩ—\\о (г, X, г - т)/ ,

0 Роо

т2

2£-е я

0(гX г) = X 2, ,

п=1 Я2 (Л^п))

• Л

тт х) • л о

я

о (г г -т)

-т) = v

2^ е

(г-т)

Я2

И=1 я2 (1х(тп))

2 • Л 0

тт х) • ло

У

я

(6)

,(7)

у

где /(т) - функция, описывающая изменение градиента давления со временем.

Зададим следующие параметры: рр = 7 105 Па, р1 = 5 105 Па,

р2 = 5 105 Па, Ят = 0.5 м, Я1 = 0.25 м, Я2 = 0.4 м, 1т = 2000 м, 11 = 500 м, 12 = 1000 м. Для начала рассчитаем стационарное распределение скоростей в рассматриваемой системе, под действием указанных давлений. Следует отметить, что при условии (1) узловое давление будем задаваться следующим соотношением:

Ят рр + Я^а + Я24 Р2

Рп =-

1т

к

+ "

12

(8)

'4 р4 р4

т + + Я2

11 12

Результаты моделирования представлены на рис.2.

Рис. 2. Изменение скорости жидкости в трёх трубах с течением времени при постоянном давлении на входе в систему

На этом рисунке представлены графики скорости на оси труб. Видно, что с незначительными колебаниями скорости сохраняют постоянное значение; числа Рейнольдса для потоков в трёх трубах не превы-

сю

т

шают 2300, что свидетельствует о сохранении ламинарного режима течения.

Теперь зададим желаемое значение расхода первой трубы Q1 = 2.5 м /с. По формуле (4) определяем давление насоса, которое обеспечит указанный расход, и постепенно изменяем давление до данного значения. Результаты моделирования представлены на рис. 3 и 4.

25 -1-1-1-1-1-

20 Е

оЕ 15

10

20

30 1. в

40

50

60

Рис. 3. Изменение скорости жидкости в трёх трубах с изменением давления на входе

в трубопроводную систему

Далее в некоторый момент времени зададим Q1 = 2.5 м3/с, а потом произведём переход к значению Q1 = 2 м3/с.

Рис. 4. Изменение скорости жидкости в трёх трубах с изменением давления на входе

в трубопроводную систему

Заключение

В представленной работе был сделан первый шаг в решении обратной задачи управления течением вязкой несжимаемой жидкости по системе трубопроводов. По заданному расходу на одном из выходов вычисляется необходимое давление на входе и, затем, давление «насоса» постепенно доводится до этого уровня. В дальнейшем предстоит определить оптимальное время, за которое должно изменяться давление.

Список литературы:

1. Автушенко Н.А., Леневский Г.С. Математическое описание движения жидкости в трубопроводе с учетом распределённости параметров // Вестник Могилевско-го государственнго технического университета, 2006, №2 (11)

2. Валландер С.В. Лекции по гидроаэродинамике - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1973, 296 с.

3. ламинарно-турбулентным переходом с помощью диэлектрического барьерного разряда // Учёные записки ЦАГИ, 2011, том 42, №6.

4. Козлов В.Н., Нгуен Д.Х., Фирсов А.Н. Математическое моделирование и оптимизация гидравлических сетей при установившихся режимах транспортировки слабо сжимаемой жидкости. // НТВ СПб ГПУ, сер. «Информатика, телекоммуникации, управление», вып. 4, 2011. - с. 42-46.

5. Логинов К.В., Мызников А.М., Файзуллин Р.Т. Расчёт, оптимизация и управление режимами работы больших гидравлических сетей // Математическое моделирование, 2006, том 18, № 9, С. 92-106.

6. Нгуен Д.Х., Козлов В.Н., Фирсов А.Н. Решение задачи об управлении нестационарной транспортировкой вязкой жидкости по системе трубопроводов. // НТВ СПб ГПУ, сер. «Информатика, телекоммуникации, управление», вып. 6, 2011. - с. 190-194.

7. Сорокина Н., Фирсов А. Задача о движении вязкой несжимаемой жидкости по цилиндрической трубе круглого сечения с нестационарными краевыми условиями. В кн. III international scientific and technical conference "Technics. Technologies. Education. Safety": Proceedings, Vol.2. Велико Тырново, Болгария, 28-29 мая 2015, С.9-10.

8. Sorokina N. Analytical and numerical aspects of the solution of the problem of a viscous weakly compressible liquid mixture motion through the vertical pipe of the circular cross-section // Industry 4.0. - 2018 - Issue 2/2018. - P.66-68.

УДК 517.9

Лэ Ван Хань1, магистрант, Фирсов Андрей Николаевич ,

д-р техн. наук, профессор

ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

УСТОЙЧИВОСТИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПРИ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ВОЗМУЩЕНИИ ЕЁ ЭЛЕМЕНТОВ

Россия, Санкт-Петербург,Санкт-Петербургский политехнический

университет Петра Великого 1 2 levankhanhth@gmail.com; anfirs@yandex.ru

Аннотация. В работе предложен численный алгоритм решения обратной задачи устойчивости динамической системы при многопараметрическом возмущении