Задача термоупругости для шара Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика деформируемого твердого тела Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (4), с. 1466-1467

УДК 539.3

ЗАДАЧА ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ ШАРА © 2011 г. Н.Г. Гурьянов, О.Н. Тюленева

Казанский федеральный университет Nikolai.Gurjyanov@ksu.ru

Поступила в редакцию 15.06.2011

В сферической системе координат строится точное решение несимметричной линейной задачи термоупругости для полого шара. Рассмотрены деформация сферического резервуара, заполненного жидкостью, в заданном температурном поле и деформация жестко защемленного по основанию купола.

Ключевые слова: температура, деформация, линейная теория упругости, точное решение, резервуар, купол.

Система разрешающих уравнений относительно температуры Т, перемещений (и, V, w) и объемного расширения 0 при отсутствии массовых сил может быть записана следующим образом

ДТ = 0,

де=о,

(k 2 д 2 ^ Р дР Р2

W +

+

Л--

1

д2

--[9-2(1 + и)атТ ]--9 = 0,

(1 - 2и) др р

1

Л

22 v р sin ау

(и ± V) ± 2ctga д(и + V) +

+

д

р2 sin а др

1 д V 2

да sin а др

У

W+

+

1

-[9- 2(1 + и)атТ ]I = 0.

1

д

(

Р

д

Л

др I др

+

1 д ( . д

--1 sin а— | +

sin а да I да

+

1

д

2

22 sin а др

9=

Р

дw ди 1 дv

р--+ 2w +---+ uctgа +---

др да sin а др

уравнение относительно 0, получаем T (а,Р, р) =

(1)

= £ £[BLP" + B2mnp~{n+1)]Pnm(cos а)cos(mP),

m=0 n=m

9(а, P, p) =

TO TO

= £ £[Cmn Pn + C2mnP~(n+1)]Pnm(cosа)cos(mP).

m=0 n=m m n

Здесь Pm (cos а) - присоединенная функция Ле-

жандра (Pm (cos а) = 0 при m > n), (cos а) = = Pn (cos а) - полиномы Лежандра, Blmn, B^n, Clmn, Cmn - постоянные интегрирования.

Далее строится решение третьего уравнения системы (1):

1

3 и-1

w(a,р,р) = -— £ £ |С!р

m=0n=m 1

+

(1 - 2и)р

Здесь и - коэффициент Пуассона, аТ - коэффициент линейного расширения материала, Д — оператор Лапласа:

+ с 4 p-(n+2) + nLmn 2(1 2u)Cmn pn+1 + +С mnP + 2(2n + 3) P +

+

(n+1)Lmn +2(1-2u)CmLp-n I Pm (cosа^Р).

2(2n -1)

Представляя перемещение вдоль меридиана и и вдоль параллели V в виде рядов 1 ^

и(а, р, р) = -—— £ит соБ(тР), 1 - 2и

m=0

(2)

Решение системы уравнений (1) должно удовлетворять условию

1

о--+ 2w +

да

V(a , Р, Р) = £Vm sin(mPX

1 - 2и m=

из последних двух уравнений определяем

(3)

um + Vm

что следует из [1].

Интегрируя уравнение теплопроводности и

gm n=m

то

= gmn tg

d

а d

m

sin а

Pm (cos а) =

Pm (cos a)ctg'

а

TO TO

2

2

p

2

2

nm

Задача терма/упругости для шара

1467

um vm ^ emn

d m — +-

sin a

m a d

;mn Ctg m -—

2 da

Pm (cos a

a

Pnm (cos a)tg 2

причем

mn

= С5 Dn + С6 D-( n+1) +

mn

1 /т3

+ - Cm nP n

mn n -1

n + 1

С4 P-(n+2) +

mn

+

. n+1

(n + 3) Llmn + 2(1 - 2u)cm; 2(n + 1)(2n + 3)

(n -2)L2mn - 2(1 - 2u)cmn p-n --p ,

2 n(2 n - 1)

коэффициенты emn отличаются от gmn знаками первых двух слагаемых, v0 = 0,

LL = Cmn - 2(1 + ^0^,

L2m

= ^n - 2(1 + u)aTB2mn.

Из условия (3) следует, что СО = С0О = 0, =

=С = 0.

После определения из закона Гука напряжений выполняются краевые условия на внешней р = Я и внутренней р = г поверхностях шара. Для этого заданные на этих поверхностях функции разлагаются в двойные ряды по шаровым функциям, как это проделано в работе [1]. Постоянные интегрирования В1тп , Втп позволяют выполнить различные условия теплового взаимодействия шара с внешней средой. Статические, кинематические, а также некоторые смешанные условия на граничных поверхностях выполняются с помощью постоянных

2

mn mn mn mn mn mn

Сходимость рядов для случая осесимметрич-ной деформации шара доказывается с помощью признака Абеля.

Рассмотрены следующие частные задачи.

Задача о деформировании заполненного жидкостью сферического резервуара, внутренняя поверхность которого термоизолирована. Внешняя поверхность, нагреваемая косыми солнечными лучами, жестко закреплена по параллели a = a0, силы реакции опоры направлены к центру шара, их величина меняется вдоль параллели.

Рассмотрен случай деформирования такого же резервуара под прямыми солнечными лучами — деформация симметрична относительно оси, соединяющей полюса шара, т.е. не меняется вдоль параллели. Резервуар опирается на полосу шириной h, силы реакции направлены к центру шара и не зависят от координаты a.

Исследуется осесимметричная деформация купола, представляющего собой верхнюю половину шара, основание которого лежит на жесткой горизонтальной плите. Внутренняя поверхность купола термоизолирована, внешняя поверхность нагревается по закону T(a, R) = t/2(1 + + cos a), t — температура вершины купола. Основание купола не может отрываться от плиты, но допустимо свободное проскальзывание вдоль нее.

Список литературы

1. Гурьянов Н.Г., Тюленева О.Н. Краевые задачи теории упругости для шара и цилиндра. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2008. 207 с.

nm

nm

1

THERMOELASTICITY PROBLEM FOR A SPHERE

N.G. Gurjyanov, O.N. Tyuleneva

The exact solution of the asymmetrical linear thermoelasticity problem is constructed in the spherical coordinates system. Deformation of a spherical tank, filled with a liquid in the temperature field, and deformation of the dome rigidly jammed on the basis have been considered.

Keywords: temperature, deformation, linear theory of elasticity, analytical solution , tank, dome.