CC BY
18
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ЗАДАЧА, СВЯЗАННАЯ С ИЗМЕНЕНИЕМ ФОРМЫ ТЕЛА
1 2 Эфендиева Х.Д. , Рустамова Л.А.
Email: Efendiyeva17119@scientifictext.ru
1Эфендиева Хeджер Джавид - кандидат физико-математических наук, преподаватель; 2Рустамова Ламия Аладдин - кандидат физико-математических наук, преподаватель, кафедра математической экономики, Бакинский государственный университет, г. Баку, Азербайджанская Республика
Аннотация: широкий класс задач практики приводит к изучению изменения формы рассматриваемого объекта или тела относительно времени. Примерами таких задач являются диффузионные процессы, задачи теории упругости, экологические задачи, биологические процессы и т.д.
При исследовании этих задач, как правило, изучаются изменения точек тела относительно времени. Однако часто представляет интерес не изменение точек тела, а изменение его формы. Такое определения изменения области дает возможность исследовать широкий класс таких практических задач, как задачи оптимального управления.
Ключевые слова: опорной функцией, формы тела, минимизации функционала, выпуклая множества, оптимальное управление.
THE TASK WITH RELATED FORM OF CHANGING STRUCTURE
12 Efendiyeva H.D. , Rustamova L.A.
1Efendiyeva Hecer David - Ph.D., Associate Professor, Lecturer; 2Rustamova Lamiya Aladdin - Ph.D., Associate Professor, Lecturer, DEPARTMENT OF MATHEMATICAL ECONOMICS, BAKU STATE UNIVERSITY, BAKU, REPUBLIC OF AZERBAIJAN
Abstract: а wide range of practical tasks leads to the study of changes in the shape of the observed object or body relative to time An example of these tasks can be the diffusion processes, tasks of enlarging or straightening the object clue to the effect of heat, tasks of plasticity theory, ecological tasks, biological processes and etc.
While the researching of these tasks, as a wile, it is studying the changes of the points of a certain object related to time. To study these types of tasks in the work it is defining the change ofform of a certain area in the linear space of a couple of convex sets. This study of changing an area gives an opportunity to make a reseal in a wide range of such practical. Keywords: supporting function, changing structure, minimize functionality, tasks, as of optimal management.
УДК 519.87
В настоящей работе рассматривается задача, связанная с изменением формы тела, где пара областей характеризируют форму тела. Требуется определить внешние силы тела так, чтобы его форма в конечный момент времени была ближе к заранее заданному состоянию.
Широкий класс таких задач является диффузионные процессы, задачи расширения, задачи теории упругости, экологические задачи, задача распространения нефтяного пятна на поверхности моря, биологические процессы и т.д.
Исследование этих задач, как правило, изучаются изменением точек тела относительно времени. Однако, часто представляет интерес не изменение точек тела, а изменение его формы. Это связано с определением скорости изменения области, характеризирующей формы тела. Для решения таких задач определяется скорость изменения формы области и линейном пространстве выпуклых множеств. Изменения области дает возможность исследовать широкий класс практических задач, как задачи оптимального управление. Пусть М совокупность выпуклых замкнутых ограниченных множеств в Я" . Функция
Р (х) = Бир(е, х), х е О (1)
ееО
называется опорной функцией множества О е М, где Р (х) - является непрерывно -выпуклой и положительно однородной ([2]). Формула (1) каждому выпуклому замкнутому ограниченному О е М сопоставляет выпуклую, непрерывную положительно однородную функцию Р (х) верно и обратное; такое
что Р(х) = Р (х) ([2]). Множеств О , совпадает с суб-дифференциалам функции Р(х) в точке 0 е Я" ([2]).
Пусть а = (Д, А), Ь = (В, В) А, В е М, г = 1,2. В - единичный шар, В е - единичная сфера. В [2] показано, что пространство М х М линейное. Скалярное произведение а • Ь в М х М определим следующим образом а • Ь = | Р(х S)q(х)ds.
Sв
Здесь Р (х) = РА1 (х)-РА2(х), q (х) = РВх(х)-РВг(х), Р^ (х),РВ1 (х) -опорное функции множеств А и Д, г = 1,2 - соответственно.
Пусть в момент времени ! е [0; Т] область имеет форму О(!). При изменении ? О(!) тоже меняется. Тогда скорость изменения О(!) имеет следующую величину
дРР(<)(х) = 11т РР(<+*)(х)- РР(<)(х) х е £ д! А'тО Д? ' В
Если существуют области V (?), V (?) е М, ! е [0; Т], такие, что
д-Рэ(*)(х) / \ / \
5 = Р (, )(х)- РУ2 (/)(х), то величину О(/)=(^[ (?(?)) е М х М, назовём скоростью изменения области ). Например, ) = Д является шаром с радиусом ?, с центром в начале координат, то Р^(х)> !||х|| ([2]). Тогда О^)=(В, 0). Если О^) есть прямоугольник ) = |(х1, х2): 0: х : 2?, 0: х2: 2? то
О? )=(О(1),0).
Записывая О(!) = (О ( ),0) — (О2 (), 0) и предполагая, что О (?), О (?) е М X М, мы аналогично определим
d (?) = (?) — О (?) е М X М.
Пусть пара областей d(t) = (D (t), D2 (t)) характеризирующая изучаемый объект является решением следующей задачи
d (t ) = a(t )d (t ) + v(t ), t g [0; T ] (2) d (0) = do (3)
где T > 0 заданное число d(о) = (Д (о), D2 (o)) функции a(t), t g [O; T] и d0 g M x M заданы и v(t)g M x M предполагается что, a(t) функция непрерывно по t на [O; T].
Требуется найти v(t)=(V (t),V2 (t))g M X M измеримое по t на [O; T] .Так чтобы в момент времени T d (T ) была ближе к заранее заданному элементу
y = (УУ)gM.
Математически это задача приводится к минимизации функционала
У(v) = |Id(T)- y\L2 ^ min
при условиях (1),(2). Этот функционал можно записать в следующей форме
J (v)= Ц Pd (T )(*) —Py (У )W| X
где
Pd (T )W = PD1 (T )(*) —PD2 (T )W> Py (У )(x)= Py1 (У )(x) Py2 (У )(x).
Здесь рассматривается "возмущенный" функционал следующего вида j(v) = \\d(T)-yfML2 + {НС, ds ^ min (4)
Sb
где а > 0 заданное число.
Пусть множество управлений имеет вид
к = {{ = (V(/), V^))ем хМ, V с V с V, г = 1,2, Vt е [0,Т]} (5)
где V , V е М заданные ограниченные выпуклые области. Известно, что если
(А,Б) = (с,Б), то РА(х)-Рв(х) = Рс(х)-Рв(х) ([2]). Тогда
d(t)=(D1 (t), Б (0) е М X М, уравнение (1) можно написать в эквивалентной форме
= а{1 Р(t)(х)- {)(х), х е ^, (6)
или
-ЩИ = а^^,(х)-Рб2(,,(х)]+ [Рч(,,(х)-Р,2Л,(х)] хе^
Лемма. Для любого заданного { е к задача (2),(3) единственное решение d(t) еМ хМ, t е[0,Т].
Теорема. Пусть {* = (V* (), V ^)) е К дает минимум функционалам (4) при условиях (2), (3). Тогда
g * ■ v* (t)-2V (t)2 = max [g * • v — a||v|2 ] t g[o,T] . (7)
Г 1 ja(T)dT
Здесь g * = —2|d *(T) — yl- в и d * = d *(t) является решением задачи (2), (3) при v = v*(t).
Список литературы /References
1. Дуброва Т.А. Статистические методы прогнозирование в экономике. Учеб. пособие. М. МЭСИ, 2002.
2. Muravey L.A. Unknown boundary problem for elliptik equation, News Moscow State Universitety, 1998. № 3. Р.7-13.
3. ШокинЮ.И. Интегральный анализ. Новосибирск. Наука, 1981.
4. Niftiyev A.A., Efendiyeva H. C. Mathematical modelling for the optimal use of a bounded area, Actual problems of economics, 2011. № 2 (116). Р. 261-270.
5. Vasilyev F.P. Numerical methods of solution of the optimization problems. Moscow. Nauka, 1980. 518 p.
6. Demyanov V.F., Rubinov A.M. Basises of non-smooth analyses and quasidifferential calculas. M.: Nauka, 1990. 420 p.
7. Vladimirov V.S. Equations of mathematical physics. Moscow. "Nauka", 1988. 512 p.
