Задача распределения ресурсов в организационной системе с учетом коррупции и ее приложения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519

ЗАДАЧА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ В ОРГАНИЗАЦИОННОЙ СИСТЕМЕ С УЧЕТОМ КОРРУПЦИИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

© 2007 г. Г.А. Угольницкий, О.И. Горбанева

In the article two-level resources allocation model is described. The case of having of own goals both by the Center and by the Subordinates is considered. The ability of corruption mechanism on distributed resource value is taken into account. Two types of this mechanism are considered. For all coalitions the characteristic function values and cooperative effects are found. The vector Shepley and proportional vector components are found. The solution of the river water quality control problem is described. The algorithms proposed were realized as the program complex.

Введение

Рыночная экономика предъявляет высокие требования к использованию ресурсов хозяйствующих субъектов. Мобилизация резервов, оптимальное распределение ресурсов являются основными и обязательными условиями для стабилизации экономики. Понимание этого факта привело к повышению интереса к задачам оценки и оптимального распределения ресурсов [1], о чем свидетельствуют публикации теоретической и практической направленности, связанные с этой проблемой и относящиеся к различным областям экономики и иерархическим звеньям управления.

С другой стороны, действия субъектов рынка всегда связаны с риском и конфликтом интересов. Поэтому задачи оптимизации распределения ресурсов следует рассматривать с теоретико-игровых позиций.

Но, как известно, нормальной деятельности экономических систем препятствует коррупция - общий термин, обозначающий корыстное использование своего положения в обществе в личных целях[2].

Условное уравнение коррупции может быть таким [2]: коррупция = монополия + свобода действий -подотчетность. Монополия бюрократа на нужную для фирмы услугу и одновременно отсутствие контроля над бюрократом приводят к незаконной сделке.

В настоящее время активно обсуждается вопрос, наносит ли коррупция ущерб всему обществу или она может приносить ему пользу. Сначала преобладала точка зрения «традиционалистов», считающих, что коррупция отрицательно влияет на экономику. Затем «ревизионисты» стали утверждать, что коррупция часто ведет к повышению эффективности распределения ресурсов, нарушенной в результате государственного регулирования.

В данной статье задача распределения ресурсов в иерархических системах управления решается нахождением равновесия по Штакельбергу при наличии двух механизмов коррупции, связанных с распределением ресурсов и контролем над их использованием. Введение фактора коррупции заключается в том, что Ведомый отдает некоторую долю полученного ресурса в качестве взятки Ведущему. Цель взятки для Ведомого - получение различных льгот от Ведущего.

Рассматривается отсутствие коррупции при распределении ресурсов при помощи аппарата кооперативных игр. В этом случае найдены доходы и кооперативные эффекты всех коалиций, вычислены векторы Шепли и пропорционального распределения [3].

Решена экологическая задача управления качеством речной воды в иерархической двухуровневой системе управления как игра в нормальной форме. В

качестве решения подразумевается равновесие по Штакельбергу.

Моделирование распределения ресурсов как игры в нормальной форме

Рассматривается двухуровневая древовидная модель управления, состоящая из одного Центра и n Подчиненных ему подразделений. Центр имеет некоторое количество ресурсов R=1, которое необходимо распределить между Подчиненными. Не исключено, что Центр оставляет часть ресурсов на собственные цели и Подчиненные в свою очередь могут распределить доставшееся им количество ресурсов как на общесистемные, так и на свои частные цели. И Центр, и Подчиненные стремятся максимизировать свои целевые функции от использования ресурсов J0 и J, i=1,..., n соответственно.

В целевую функцию Центра включаются средства, полученные от использования ресурсов Подчиненными в общих целях, средства, полученные от использования оставшихся ресурсов в своих собственных интересах и полученные от Подчиненных в качестве взятки.

Целевая функция Подчиненного состоит из дохода от его деятельности, направленной на общесистемные и на свои частные цели. Так как Подчиненный направляет на общие цели только часть средств, Центр имеет право установить контроль над использованием ресурсов Подчиненным, т.е. может задать минимальную долю ресурсов, которую Подчиненный должен потратить на общесистемные цели [3].

Математическая модель выглядит следующим образом:

a) Задача Центра:

Jo = Hf 1- ir(bi) 1 + igi(ur) + ibr (bi) ^max,

V i=1 ) i=1 i=1

0 < qi (bi) < 1, 0 < r (bi) < 1, itr (bi) < 1; (1)

i=i

b) Задача Подчиненного:

J = hi((1 - bi - ui)r) + gr (uiri) ^ max ,

qi (b) < ui < 1, b + ui < 1, 0 < b < 1, i = 1,...,n . (2)

Здесь bi - доля выделенного ресурса, возвращаемая i-м Подчиненным Центру в качестве взятки (от r); r(b) - доля ресурса, выделяемая i-му Подчиненному Центром (от R); ut - доля выделенного ресурса, используемая i-м Подчиненным для решения общесистемных задач; qi(bi) - нижняя граница значений u, контролируемая Центром (от r); g(uf) - выигрыш системы от деятельности i-го Подчиненного;

И((1-и-Ь)г) - выигрыш г-го субъекта от его частной деятельности; Н11 -2 г, (Ь,) I - выигрыш Центра

от нецелевого использования ресурсов.

Задачи (1), (2) - игра двух лиц в нормальной форме. Стратегия Центра - распределение ресурсов г, и назначение контроля над использованием ч,. Стратегиями Подчиненных являются следующие величины: доля ресурса и,, выделенного Центром, используемая на общесистемные цели, и доля ресурсов Ь,, возвращаемая Центру в качестве взятки. Центр имеет право первого хода. В качестве решения игры ищется равновесие по Штакельбергу. То есть Центр, используя право первого хода и предвидя реакцию Подчиненного на свое решение, максимизирует величину своего выигрыша.

Рассматриваются следующие механизмы коррупции [2]: 1) г, =г(Ь) - коррупция при выделении ресурсов; 2) =д/Ь) - при контроле выполнения общесистемных требований. И q-, и г-коррупция рассматриваются в двух случаях: «мягкой» коррупции (попустительство) и «жесткой» (вымогательство).

В данной работе рассматриваются степенные производственные функции дохода.

Используются следующие виды параметризаций: Н(х) = у0Х, 0<р<1; \(х) = у1хв, 0<в< 1; g1 (х) = агхв, 0 < в < 1, где уо, уь а, - доля технических потерь; функция контроля Центром использования ресурсов 1-м Подчиненным от количества взятки q1(Ь1):

Ч, (Ь,) = Ч10 (отсутствие коррупции при контроле выполнения общесистемных требований);

Ч. (Ь.) = ч, 0 (1 - Ь1) (случай попустительства, Чо - начальный уровень контроля над использованием ресурсов при отсутствии взятки, который уменьшается с увеличением размера предложенной взятки до нуля); функция доли ресурса, выделяемой 1-му Подчиненному Центром, от уровня взятки г1(Ь1); г, (Ь,) = г10 (отсутствие коррупции при распределении ресурсов); (к - 1)Ь,

г1 (Ь,) = г10 +--(случаи попустительства, г10 -

п

начальная доля ресурсов, выделенная Подчиненному при отсутствии взятки, которая увеличивается с увеличением размера предложенной взятки); г, (Ь,) = —

п

(случай вымогательства, начальная доля ресурсов, выделенных Подчиненному, равна нулю).

Распределение ресурсов при отсутствии коррупции

Найдем равновесие по Штакельбергу в следующей игре:

Задача Центра:

Jо = Sa(u,r,)ß+Yo| 1 r I ^max

i=1

i=1

ß

0 < < 1,0 < г, < 1, 2 г, < 1, 1=1

задача Подчиненного:

= а (ulгl)в + Г, ([1 -и]г,)в ^ тах,

Ч, < и, < 1, ,=1,^,п-Ее решение: и, = 1, Ьi = 0 , ч,= 1,

г ' г 1 1

* а 1-я r = —

* _ Yo1-ß

1 ' '0 " n

Sa 1-ß + Yo1-a Sa 1-ß+Yo1-ß

i=1 i=1

* J_

Ji (ri) = а 1-ß-

1

n _L _L Sa 1-ß +Yo1-ß i=1

ß

1

1

Jo(r) = | Sa 1-ß +Yo1-ß

i =1

1-ß

Распределение ресурсов при вымогательстве

Найдем равновесие, по Штакельбергу, в следующей игре.

Задача Центра:

ЛЬ, Iе п (иЬ Iе ЛЬ,2

=1 n

Jo = Yo| 1 -s- I +Sa| — I + S---► max

i=1 V n

i=1 n

Ь п Ь 0 < ч, < 1, 0 < 1, 2—< 1-

п ,=1 п

задача Подчиненного:

Ji = аг

игьг

ß

+ Yi

(1 - щ -Ьг )Ьг

ß

^ тах,

п

Чг < и, < 1, Ь, + и, < 1, , = 1,^,п-

В случае отсутствия коррупции по поводу величины контроля над использованием ресурсов задача аналитически неразрешима, а в случае введения механизма коррупции (попустительства) ч, (Ь,) = ч, 0(1 - Ь,) на величину контроля над использованием ресурсов

решение задачи имеет вид: ч,0=1. г, = —,

2п

т = аг т = f 1 Ji =(4n)ß ' Jo =Yo 12

+ S

i=1

а

4n

4n

Здесь Центр не оставляет Подчиненным возможности использовать ресурсы на свои частные цели, так как все ресурсы, не направленные на общесистемные цели, Центр забирает себе в качестве взятки.

Распределение ресурсов при попустительстве

Данная задача является обобщением двух предыдущих: если оптимальная стратегия Подчиненного по величине взятки Ь,=0, то задача сводится к задаче с отсутствием механизма коррупции. Если оптимальная стратегия Центра по начальному распределению ресурсов г,0=0 при к=2, то задача сводится к задаче распределения ресурсов при вымогательстве. То есть попустительство по распределению ресурсов сводится при г,0=0 к вымогательству.

Поскольку данная постановка включает в себя 2 предыдущие, то она должна дать более полное решение задачи распределения ресурсов, расширив множество стратегий участников. Основная трудность здесь в том, что эта задача в общем случае аналитически неразрешима. Ранее выделены два частных слу-

г=1

ß

ß

1

1

чая, которые аналитически разрешимы, а для общего решения разработан программный комплекс, позволяющий найти приближенное решение.

Найдем равновесие, по Штакельбергу, в следующей игре.

Задача Центра:

n k — 1 п

J о = Yo| 1 -Z r,o--Z ь,

i =1 n !=1

ß

+ I«i I Ui

(k - 1)b

0 < q< 1, 0 < r, о +

ß n

+ Z b

i=1

(k -1)b,

(k - 1)b,

^ max

< 1,

< 1-

¿i П о + ^

i=1\ n

задача Подчиненного:

(

J, =

m,

ri 0 +

(k - 1)bi

\ß

+ Yi1 (1 - m, - b,)

r о +

(k - 1)bi

^ max,

, 1 nri0

ь, =---

1 nri0 u, =—

В двухуровневой иерархической системе управления возможны следующие основные типы коалиций:

1) вертикальная - коалиция Центра и Подчиненного;

2) горизонтальная - двух или нескольких Подчиненных; 3) комплексная кооперация - коалиция Центра с несколькими Подчиненными.

Для задачи (1), (2) ищутся вектор Шепли и вектор

пропорционального распределения x, = v(N)

v(i) Z v(i) '

ieN

i e N . Доказано, что если v(i) > 0 , то x, является

¿v(i) ' г

ieN

дележом. Для каждой коалиции вычисляется кооперативный эффект, т.е. величина Дк = v(K) - Zv(i).

ieK

Выигрыш каждой коалиции находится по формуле: v( K) = max min J к (mk , Mn \ к), где

uk eUk uN\KeRN\K (uk )

JK (UK , UNK ) = Z Ji (u o, u1,-, un ) и

ieK

RN\к = Arg max JN\K (MK , MN\K )•

uN \ K eUN \ K

Итак, имеется следующая игра:

Чг < Щ < ^ Ь + щ < ^

В случае отсутствия механизма коррупции на величину контроля над использованием ресурсов задача аналитически неразрешима, а при наличии данного вида коррупции оптимальная стратегия Центра аналитически не вычисляется, оптимальная стратегия Подчиненного вычисляется по формулам

J о =Za (u,r,) ß + Yo | 1-Z r, I ^ max

i=1

i =1

ß

Го к -1

Г; = — +- .

2 2(к-1)' ' 2 2(к-1)' г 2 2п

Заметим, что Центр здесь не оставляет Подчиненным возможности использовать ресурсы на свои частные цели, так как все ресурсы, не направленные на общесистемные цели, Центр забирает себе в качестве взятки.

Доказано, что как при наличии, так и при отсутствии частного интереса у Подчиненного количество ресурсов, рекомендуемое возвращать Центру в качестве взятки, одинаково. То есть отсутствие или наличие частного интереса на размер взятки не влияет. А вот оставшиеся средства (минус взятка) распределяются Подчиненным в зависимости от того, имеются или нет частные интересы и каковы производственные мощности Подчиненного.

Здесь коррупция влияет не столько на размер взятки, сколько на то, что Центр лишает Подчиненного возможности использовать ресурсы в своих целях.

Кооперативно-игровое моделирование распределения ресурсов

Наряду с иерархическими отношениями руководства-подчинения в экономической системе управления возможны и целесообразны кооперативные отношения, интегрирующие различные элементы системы на основе горизонтальных и вертикальных связей [3]. Интегративные отношения в экономической системе целесообразно моделировать с помощью аппарата теории кооперативных игр.

0 < q, < 1, 0 < r, < 1, Z ri < 1, i=1

Jr = аг (u,r, У+г, (t1 -m ]ri У ^ max, qi < ui <^

i=l,... ,n.

Вычислим значения характеристической функции всех возможных коалиций.

Очевидно, что v(0) = J0 = | ¿а, 1-ß + y0 1-ß

1 1

1-ß

v(i) = Ji =

a 1-ß

n _L _L ¿a, 1-ß +Yo1-ß

i =1

при следующих стратегиях Центра и Подчинен-

i-ß

ных: qi=1, m,=1, r, =- .

1 7 n ---1

Z 1-ßa +Yo1-ß i=1

В случае K=LcM (горизонтальная кооперация) 1

Za 1-ß

v(L) = --e--ß .

n _L _L ^P

Za 1-ß + Yo 1-ß

i=1

Za 1-ß

Если L=M, то v(M) = - i=1

n _1_ _L Za, 1-ß + Yo 1-ß I

\ß '

Для K={0}u{i} (вертикальная кооперация) v({0} u{i}) =

+

n

n

+

n

ß

n

1=1

ß

s 1-ßj0~+'-ßpa+1-ß[yy+l-ßfy~ )1

j *i

1-ß

rj =- 1

1 1 —ß

S aj 1-ß+(2ai)1-ß + Yi ß+Yo1-ß j *i

1

j * i,

ri =■

(2а, +Yi1-ß

1L — _L

1-ß + Yi1-ß + Yobß

2а} 1-е +(2а,)

] ^

Эффект от создания коалиции

а * = [2+1"в20Т+^ +

V1

1-ß

-| sai 1-ß + Yo1-ß

v i = 1

1-ß

а, 1-ß

n J_

Sai 1-ß +Yo1-ß i=1

/'gL

IgL

при q, \igL = Ui \igL = 1 ri \igL = _

1-ß

Sa, 1-ß + Sf(2ai )1-ß + Yi 1-ß l + Yo1-ß

i'gL ieiV у

qi \/gL = ui \/gL =

1-ßha

r, \gl =

1-ß2a7 +

1 1 (2а, )l-ß + Yi 1-ß

Sai 1-ß + Sf(2ai )1-ß + Y/' 1-ß ] + Yo1-ß

igL igL\ )

Д k =

Эффект от создания коалиции:

Sai 1-ß + sl (2аг )1-ß +Yi 1-ß I +Yo1-ß

igL /gLV

f n _L _L -l S^а, 1-ß + Yo1-ß

1-ß

1

Sa 1-ß

igL

n 1 1

sai 1-ß + Yo 1-ß /=1

ß

v( N) =

f f 1 1 ^ _l V-ß

1-ß

s

i=1 V v

1-ß 1-ß (2а,) +Y,

+ Yo

при qг = u, = -

1-ßsa~

1-ß2ar+^

1 1

r = (2а,) +Y,

' f 1 1 ] J_ '

1-ß

S

i =1

1-ß 1-ß Ca) +Y,

+ Yo

Эффект от создания коалиции:

( ( 1 1 Л 1 У-в

Д N =

S

i =1 V v

и \1-ß 1-ß (2а,) + Yi

1-ß

+ Yo у )

Пусть К={0}иЬ (комплексная кооперация). По аналогии с предыдущим случаем

у({0} и Ь}) = (3)

2а, 1-Р + 2| (2а )1-в +Г, 1-Р I + 70 1-Р

f _L _L

n 1-ß 1-ß

sai + Yo i=1

V )

n 1-ß

sa, i=1

( в

п 1-р 1-р

2а, +70 ,=1

V У

Условия, при которых функция у(Ь) - характеристическая:

( 1 I J-

Sa

IgL

1-ß

21-ß (1 -ß) - 2 + ß

для любого К={0}иЬ. Вычислим вектор Шепли.

Фo =-

~ y-ßY+S (1-ß2a7+i-fY,

n +1V v i=1v v v

1-ß

+ Sy (1 -ß) > o

,'gL

1-ß

n -1 2(n +1)

1-ßy+s 1-ß071 +

i=1

1-ß

+ sy(s) s г1-fy0 + s 1-a + s(1-(+^y)

s=2 VK v igK IgK )

1-ßßa +

|K|=s-1

ф =-.

1 2

+ SY(s) S

s=2 VK

|K|=s-1 1gK

1-ß

ßy+s

i =1

+ s 1-ß[at +s(1-f2aг+^-ßy)

1-ß

igK ieK

Здесь аналогично предыдущему случаю Центр в качестве производственных мощностей, входящих с ним в одну коалицию Подчиненных, принимает удвоенные величины плюс фактическую величину мощности при нецелевом использовании ресурсов, за счет чего повышает долю ресурсов, выделенных данным Подчиненным.

Пусть К=К Тогда из (3) получаем

1-Y + s + sfe+

ЫК\{1} шК\{1}

1= 1, п.

Вектор Шепли является дележом, но в общем случае он С-ядру не принадлежит.

Вектор пропорционального распределения:

= fS 1-ßY+(1-f2a7+1-ßY7)'

1-ß S l-ßa+ i=1_

2S 1-ß07+1-ßYo

ß

ß

ß

ß

x

o

1-в

1-в как Центра, так и Подчиненных.

. Здесь введены следующие условные обозначения

[4]: V - ставка налога (константа); са(у) - функция затрат Центра на очистку речных вод; ср(р) - функция То есть больше половины выигрыша коалиции затрат Подчиненного на очистку речных вод; Е(Ф) -

„ — {1-<Y+ Е ((

2Е1-ва+1 г=1

i=1

Центр забирает себе.

производственная функция; щ—и^—Уж - прибыль от реализации единицы произведенной продукции; -функция штрафа Подчиненного за загрязнение воды (константа); м - объем сброса загрязняющих веществ Была исследована следующая задача, которая до очистки; м>(\-р) - объем сброса загрязняющих

веществ после очистки; м , , м - пределы наруше-З адача 1. Бош выб°р Подчшкшшго р, удовлетво- ний (считаются известными).

Динамическая модель описана.Рассматривается и статическая модель при следующих дополнительных ограничениях [4, 5]:

а) нарушение качества воды не должно превосходить предельное 0 < м, (1 - р,) < у~3, где м~3 - постоянная,

б) суммарное нарушение качества воды не должно превышать некоторой заданной величины

Исследование задачи управления качеством речной воды

исследована следующа включает в себя три подзадачи [4].

Задача 1. Если выбор Подчине ряет условию 0 < м, (1 - р,) < , то

•0 = }Са(у) + /(ф,)Щ --)

у?> = }((1 -v)^(Ф,)(щ - щ, -) -

0

- щСр (р) -(1 (1 - р1 тах

0 < р1 < 1 - е.

То есть в этом случае свою оптимизационную задачу решает только Подчиненный, так как от выбора

Е W (1 - Р )/Q < Qmax . i=1

Статическая задача решается при следующих до-

Центра здесь ничего не зависит. Выигрыш Центра пущениях: функция затрат Центра на отистку речных

вод Са(у) линейна: Са (у) = с у, где у = £ ^ (1 - ), а

зависит от выбора Подчиненного.

Задача 2. Если выбор Подчиненного р, удовлетворяет условию м < м>, (1 - pi) < т~2 , то

J 0 =|

- Cfl (y) + V Е f(Фi )(u, - uss - V^ ) +

1=1

+ Е KchSi ((1 - pi)- w1)

j=1

dt ^ max.

Kch

у« = }((1 - уЩф, )Щ, - и, - V,) - м?Ср (р) - (1 - к)*,*»

0

- КсА (((1- р) - ^ тах ,

0 < р1 < 1 -е, 0 < Кск < К ск тах .

В этом случае свои оптимизационные задачи ре шают и Центр, и Подчиненный, так как от выбора ется следующим образом:

функция затрат Подчиненного на очистку речных вод

cp(p) имеет следующий вид: c (p) = Dp .

1 - p

В случае, когда невозможно аналитическое решение, задача решается методом перебора.

В результате решения статической задачи 1

p = 1 г^

-получено: p, =1 - J(1——)^, причем данная критическая точка является точкой максимума. Здесь важно условие, чтобы D < (1 - v)s,. Если это условие не выполняется, то p, = 0.

В этом случае выигрыш Подчиненного определя-

y(0) = (1 -V)F(Ф,)(u, -uss -v^) + w,D-2w^D(1 -v)s, .

Центра Кск зависят выигрыши как Центра, так и Подчиненных.

Задача 3. Если выбор Подчиненного р, удовлетво- мальная стратегия Подчиненного вычисляется и ряет условию м, (1 - р,) > м2, то

Задача 2 в общем случае неразрешима, но опти-ьная страт

равна p. = 1 -

J0 = Л - ca (y) + V Е ДФ, )(u, - uss - V^) +

D

Kchsi

. Разумеется, важно, чтобы

j=1

+ Е Kchsi (w2 - w1) + Е Kcasi (wi (1 - pi ) - w2 )

j=1 j=1

4

dt ^ max

y(2) = J((1 -V)F(Ф, )(u, -uss - Vss) -

-wiCp(p) - (1 -V)si>?1 -

- Kchs, (w~2 - >^1 )-Kcas, (w, (1 - p, ) - w~2))dt ^ max .

Б < КскА\. Если это условие не выполняется, то р, = 0. Естественно, чем больше Кск, тем больше степень очистки. Выигрыш Подчиненного определяется следующим образом:

у(1) = (1 -у)Р(Ф, )(и, - и•• - V,, ) + -

- - (1 + Кск,г;~\.

Задача 3 в общем случае неразрешима, но оптимальная стратегия Подчиненного вычисляется и

0 < K < K

" — ca — ca max

0 < pt < 1 0 < Kch < Kch max >

В этом случае аналогично предыдущему свои оп-

равна pi = 1 -

D

Kcas,

. Здесь важно, чтобы D < Kcas,.

тимизационные задачи решают и Центр, и Подчинен- Если это условие не выполняется, то р, = 0. Естест-ный, так как от выбора Центра Кса зависят выигрыши венно, чем больше Кса, тем больше степень очистки.

X

i=1

Выигрыш Подчиненного определяется следующим образом:

у(2) = (1 (Ф, )(и, - иИ -) + -

- са- (1 + Кса*г;~2 - КсН (2 - Щ ).

Величина второго штрафа аналитически не вычисляется, а величина первого штрафа Кск = Ксктах . Это можно объяснить введенным предположением, что уровень очистки Подчиненного р, уже точно удовлетворяет условию w1 (1 - pi) > , следовательно, штраф за первое нарушение ему придется заплатить в любом размере, а для Центра выгодно задать максимальную величину штрафа.

Динамическая задача аналитически в общем случае не разрешима. Для ее решения был составлен программный комплекс. Задача решалась методом перебора. Рассматривались следующие условия [4, 5]:

а) нарушение качества воды не должно превосходить предельное 0 < wi (1 - р,) < >~3, где >~3 - постоянная;

б) суммарное нарушение качества воды не должно превышать некоторой заданной величины

т-1

2 W(1 - р( )/Q < бтах;

г=0

в) экологическое ограничение: 0 < с(г) < стах , где с находится из дифференциального уравнения

— = 11с + 12с3 + (1 - р^/3, где 0 < 3 < 1, с(0)=с0 .

а

Осуществлена программная реализация задачи распределения ресурсов управления качеством речной воды в двухуровневых иерархических древовидных системах управления, с помощью которой вычисляются оптимальные стратегии и выигрыши участников иерархической системы в задачах распределения ресурсов и управления качеством речной воды. Также вычисляются выигрыши участников системы при заданных стратегиях участников.

Литература

1. Прилуцкий М.Х., Картомин А.Г. // Электронный журн. «Исследовано в России». 2003. С. 444-452.

2. Рыбасов Е.А., Угольницкий Г.А. // Компьютерное моделирование. Экология. Вып. 2 / Под ред. Г.А. Уголь-ницкого. М., 2004. С. 46-65.

3. Агиева М.Т., Мальсагов Г.А., Угольницкий Г.А. Моделирование иерархической структуры управления образованием. Ростов н/Д, 2003.

4. Усов А.Б. // Компьютерное моделирование. Экология. Вып. 2 / Под ред. Г.А. Угольницкого. М., 2004. С. 136-158.

5. Левин М.И., Цирик М.Л. // Экономика и математические методы. 1998. Т. 34. Вып. 3.

Ростовский государственный университет

10 апреля 2006 г