Моделирование распределения ресурсов как игры в нормальной форме Текст научной статьи по специальности «Математика»

случае не решается. Для задачи в случае отсутствия коррупции вычислены значения характеристической функции выигрыша каждой коалиции.

2. Выведены условия, при которых функция v(L) является характеристической (см. (2)).

3. Найдены компоненты вектора Шепли и пропорционального распределения. Доказано, что для Центра создавать коалицию выгодно, а для Подчиненных не всегда.

4. Найдены кооперативные эффекты для всех возможных коалиций.

Литература

1. Агиева М.Т., Мальсагов Г.А., Угольницкий Г.А. Моделирование иерархической структуры управления образованием. Ростов н/Д, 2003.

2. Рыбасов Е.А., Угольницкий Г.А. // Компьютерное моделирование. Экология. Вып. 2 / Под ред. Г.А. Угольницкого. М., 2004. С. 46-65.

Ростовский государственный университет 30 ноября 2005 г.

УДК 519.6

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ КАК ИГРЫ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ

© 2006 г. О.И. Горбачева

In the article two-level resources allocation model is described. The case of having of own goals both by the Center and by the Subordinates is considered.

The ability of corruption mechanism on distributed resource value is taken into account. Two types of this mechanism are considered.

The algorithms proposed were realized as the program complex.

Введение

В данной статье рассматривается двухуровневая древовидная система управления, состоящая из одного Центра и n Подчиненных ему подразделений. Центр имеет некоторое количество ресурсов (без ограничения общности R = 1), которое необходимо распределить между Подчиненными. Не исключено, что Центр оставляет часть ресурсов на собственные цели, и что Подчиненные, в свою очередь, могут распределить доставшееся им количество ресурсов как на общесистемные цели, так и на свои частные. Учтена возможность влияния Подчиненными на количество распределенных им ресурсов при помощи механизма коррупции.

В целевую функцию Центра включаются выигрыши от использования ресурсов Подчиненными в общих целях, его выигрыша от использования оставшихся ресурсов в своих собственных интересах и средств, полученных от Подчиненных в качестве взятки.

Целевая функция Подчиненного состоит из дохода от его деятельности, направленной на общесистемные цели, и от деятельности, направленной на свои частные цели. Так как Подчиненный направляет на общие цели только часть средств, Центр имеет право установить контроль над использованием ресурсов Подчиненным, а именно может задать минимальную долю ресурсов, которую Подчиненный должен потратить на общесистемные цели.

Математическая модель

Математическая модель выглядит следующим образом: а) Задача Центра:

Jo = HI 1 - Е r (b) 1 + Е gi (ur) + E br (b) ^ max

(1)

o < qt (bi) < 1, o < r (bi) < 1, E r (bi) < 1.

i=1

(2)

б) Задача Подчиненного:

Ji = ^ ((!- ь - Щ) Г )+ gi (щг 1) ^ тах

(Ь) < щ < 1, Ь + щ < 1, 0 < Ь < 1, 1 = 1,...,п, где Ь1 - доля выделенного ресурса, возвращаемая 1-м Подчиненным Центру в качестве взятки (от г1); г1(Ь1) - доля ресурса, выделяемая 1-му Подчиненному Центром (от Я); и1 - доля выделенного ресурса, используемая /-м Подчиненным для решения общесистемных задач; qi(bi) - нижняя граница значений и1, контролируемая Центром (от г1); gi(uf1) - выигрыш системы от деятельности 1-го Подчиненного; ^((1 - и1 - Ь1)г1) - выигрыш 1-го субъекта от его деятельности; Н11 - Е Г (Ь1) I - выигрыш Центра от нецелево-

го использования ресурсов.

Задачи (1), (2) - игра 2 лиц. Стратегиями Центра являются распределение ресурсов г1 и назначение контроля над использованием ресурсов qi. Стратегиями Подчиненных являются решения, указывающие какую долю ресурса и, выделенного им Центром, использовать на общесистемные цели, и какую долю ресурсов вернуть Центру в качестве взятки. Центр имеет право первого хода. В данной статье ищется равновесие в игре по Штакельбергу.

Рассматривается механизм коррупции г1 = г(Ь) на выделение ресурсов.

Варианты параметризации

В работе участвуют следующие виды параметризаций: функция выигрыша Центра Н(х) от нецелевого использования ресурсов Н(х) = у0хв, 0 < в < 1, где у0 - доля технических потерь; функция выигрыша 1-го Подчиненного hi(x) от нецелевого использования ресурсов hi(х) = уХ, 0 < в < 1, где % - доля технических потерь; функция выигрыша системы от действий 1-го Подчиненного gi(xi) gi(х) = аХ , 0 < в < 1, где а1 - доля техни-

n

i=1

ческих потерь; функция доли ресурса, выделяемой i-му Подчиненному Центром, от уровня взятки r,—): r,—) = ri0 (отсутствие коррупции),

гг (b,) = ri0 + ——(случай попустительства), гг (—) = — (случай вымо-n n

гательства).

Распределение ресурсов при отсутствии коррупции (ri(bi) = ri0) Задача Центра выглядит следующим образом:

Jq = £ «г (т )в + Yq f 1 -Ьг 1 ^ max, (3)

i=1 V i=1 J

0 < q,■ < 1, (4)

0 < r, < 1, < 1. (5)

i=1

Задача Подчиненного:

J, = «г (U,r, Y + Yi ([1 - «г ]Г, f ^ max (6)

qг < uг < 1, i = 1,...,n. (7)

Решив задачу Подчиненного (6), (7), получим

i }

uг = max <! —-==, qi >, откуда видно, что 0 < ut < 1, причем величи-

+ß

1-ßla

на —__v ' < 1.

i-ßa+ß

Решим задачу Центра (3)-(5), используя полученную информацию о Подчиненных.

Задача Центра сводится к следующей:

- , в г - У Г '-а X

J0 = ха(игП) +/оI1 -Xп I = Ха 1-я^ 1-яГ-

г =1 V г=1 ) ге1 у ва' + вУг

+ X а (ЧгП ) + Го Г'- X Г 1 ^ тах;

Ш V г=1 )

0 < qi < 1, 0 < г, < 1, £ rг = 1.

i=1

Так как J0 - функция, возрастающая по q,, то все q, = 1, а следовательно и все = 1. Поэтому задача свелась к следующей:

n в f n Y n

Jq = £ a,rf + Yq1 1 -£ r, I ^ max, 0 < r, < 1, £ r, < 1. i=1 V i=1 J i=1

Ее решение: r = -

а,

1

1-ß

n — —

¿=1

-; доля Центра: r0 =-

Yo

1

1-в

+Yo1-e

выигрыш г-го Подчиненного: J, (r") = а/ в

1

С _L _L

E a/^+Yo^ i=1

; общий

выигрыш Центра: Jo(r ) =

С j_ _

E a^+Yo^ i=1

y-e

Распределение ресурсов при вымогательстве | ri (bi) = —

Задача Центра:

n ь n сu b n b2 Jo = Yo | 1 - E-H + Ea, \-nL\ + E-^ ^ max

=1 n J ¿=1 V n

bi n bг

o < q, < 1, o < 1, E — < 1.

n ¿=1 n

Задача Подчиненного:

:u,b, С(1 -u, -b,)b Ji =a| — | +y г г

^ max,

(8)

(9)

n J V n

q., <ui <1, bi + ui <1, г =1,n-

Решив задачу Подчиненного (9), (7) методом Лагранжа, получим кри

, 1

тическую точку bi = —, ui =

2 1 2 (+1-вГ)

Следовательно, u. = max

2 (+^

o < u, < 1/2.

q N

Решим задачу Центра (4)-(8). Она сводится к

Jo = Yo

С г,* ,

1 -E°- - Ef

iVI n iei 2n

+ E

iel

1-в

4n (+в)

4n

i=1

+E

iel

аг

f u*\в и *2

n

V J

^ max, o < qt < 1

и решается только численными методами.

При введении механизма коррупции (попустительства) qi(b1) = = qi0(1 - Ь1) на величину контроля над использованием ресурсов получим,

1-ва

2 (1+

что первоначальная стратегия Подчиненного uг =

q,o ' V а.

удовлетворяет условию qio (1 - bi) = — < ui < 1, если qio < < j

; b = 1/2

1-e

1-в

Следовательно, u, = max

2(+в)2

\в

Решив задачу Центра, получим r = —; J. =—; Jo = Yo 111 +

г 2n г (4n)e o o V 2 J

+E

1 \в 1

а 4n J + 4n

Здесь Центр не оставляет Подчиненным возможности использовать ресурсы на свои частные цели, так как все ресурсы, не пошедшие на общесистемные цели, Центр забирает себе в качестве взятки.

(к - I

Распределение ресурсов при попустительстве | ri (bi) = ri0 +

Задача Центра:

n k - 1 n n

Jo = Yo I 1 -E r o--E bi \ + E аг I ui

i=1 n i=1 J i=1

в

ro +

(k - щ

+E b

¿=1

ro +

(k - 1)b

^ max,

(k - 1)b

o < q, < 1, o < r,o + ^-^ < 1, E|ro +

¿=1

(k - 1)b

(1o)

Задача Подчиненного:

Ji = а u

ro +

(k - 1)b

в

+ yY (1 - u - bi)

ro +

(k - 1)b

< 1.

^ max,

(11)

q, < ui <1, bi + ui <1, г =1, •••, n-

¿=1

Решив задачу Подчиненного (4)—( 11) методом Лагранжа, получим кри-

1 пк0 у а (1 пк0 ) тическую точку ь =---——; и = -.—==2-;=г! — +--— I, откуда

2 2(к -1)' г + Ь^)) 2 2(к -1)1

1

видно, что а < —.

г 2

С [ (л пгг0 ^

Следовательно, и■ = шах^^—¡=?-¡=*1 1 +--—

' ' {2( + ^)) к -1 ,

Задача Центра (4)-(10) решается только численными методами. При введении механизма коррупции (попустительства) = дю(1 - Ь,) на величину контроля над использованием ресурсов получим, что перво-

П Ь 1 пг'0 ^уа

начальная стратегия Подчиненного Ь =---——; и■ = -,—==2-у

! 2 2(к -1) г (^а +^

( 1 ПК I

х I —I---— | удовлетворяет условию д,0(1 - Ь,) < ui < 1, если

^ 2 2(к-1))

qi0 < 1 —v п . Следовательно

1 в а, +1 в

ut = max

1 пг10 1 пг10 к 0 к -1 _

я,0 = 1; и■ = —+---—; а =---——; г =—+--. Заметим, что

г 2 2(к-1) г 2 2(к -1) г 2 2п

Центр здесь не оставляет Подчиненным возможности использовать ресурсы на свои частные цели, так как все ресурсы, не пошедшие на общесистемные цели, Центр забирает себе в качестве взятки.

Заключение

Описана задача распределения ресурсов в двухуровневых иерархических древовидных системах управления как игра нескольких лиц. Искалось равновесие по Штакельбергу.

1. Рассмотрены три постановки задачи: без введения механизма кор -рупции и с двумя видами коррупции на количество ресурсов, выделенных Центром Подчиненному, - вымогательства и попустительства. В первом и втором случаях задача решена аналитически. В третьем - сводится к оптимизационной нелинейной задаче, которая решается только численными методами.

2. Доказано, что как при наличии, так и при отсутствии частного интереса у Подчиненного количество ресурсов, рекомендуемое возвратить

Центру в качестве взятки, одинаково. То есть отсутствие или наличие частного интереса на размер взятки не влияет. А вот оставшиеся средства (минус взятка) распределяются Подчиненным в зависимости от того, имеются ли у него частные интересы и каковы его производственные мощности.

3. Рассмотрен и другой вид коррупции - на величину контроля Центром за использованием ресурсов в общесистемных целях. Причем коррупция влияет не столько на размер взятки, сколько на то, что Центр лишает Подчиненного возможности использовать ресурсы в своих целях.

Литература

1. Агиева М.Т., Мальсагов Г.А., Угольницкий Г.А. Моделирование иерархической структуры управления образованием. Ростов н/Д, 2003.

2. Рыбасов Е.А., Угольницкий Г.А. // Компьютерное моделирование. Экология. Вып. 2 / Под ред. Г.А. Угольницкого. М., 2004.

Ростовский государственный университет 28 ноября 2005 г.

Светлой памяти Владимира Михайловича Кузнецова посвящается

УДК 622.236

ОБ ОДНОЙ СХЕМЕ РАСЧЕТА ДЕЙСТВИЯ ВЕРТИКАЛЬНОГО ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ЗАРЯДА ВЫБРОСА

© 2006 г. Р.З. Камалян, С.Р. Камалян

A problem about action of vertical cylindrical charge of rejection is examined with the use

of hydro impulsive model of rejection.

Исследованию действия вертикальных цилиндрических (скважинных) зарядов выброса посвящен ряд публикаций, среди которых, на наш взгляд, наиболее серьезными являются работы [1-4]. Первая из них посвящена теоретическому расчету массы заряда, остальные - экспериментально обосновывают факторы, характеризующие эффективность действия вертикальных цилиндрических зарядов выброса.

Используя импульсную гидродинамическую модель, рассмотрим расчетную схему (рисунок) действия взрыва вертикального цилиндрического заряда [5].

Пусть расстояние от свободной поверхности до верхней части заряда равно h1, а глубина скважины - h2. Действие заряда моделируется линией источников. Обозначим через m интенсивность источника, рассчитанную на единицу длины заряда. Далее дополнительно предположим, что разрушение среды происходит в каждой точке при достижении в ней критического значения максимальной скорости деформации сдвига nmax [6]. Для пространственного источника-стока в точке на оси скважины потенциал скорости выражается так [7]