Задача просачивания и надежность однородных структур Текст научной статьи по специальности «Математика»

функции реализовались в интервале [20: 23], априорная интервальная оценка целевой функции, получаемая по формуле (1), есть [20: 27], решение является паретоопти-мальным, вероятность оптимальности слабого решения х1 равна 0.455 (т.е 910/2000). Графический результат работы программы показан на рис. 1.

Таким образом, в рассмотренном примере в качестве окончательного оптимального решения целесообразно принять решение х^ имеющее наибольшую вероятность оптимальности при независимом изменении параметров задачи.

я

Щ 10 V Св

Е

= 8

4

Рисунок 1 - Разбиение множества Q параметров задачи из рассматриваемого примера на множества Qo, Ql, Q2 , Qз, соответствующие слабым решениям х0, х 1, х2, хЗ

Заметим, что действительные вероятности оптимальности решений имеют следующие значения: Р( Qo )=0.333,

Р( Q1 )=0.444, Р( Q2 )=0.127, Р( Q3 )=0.095, что подтверждает обоснованность применения имитационного моделирования при решении рассматриваемой задачи.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Вощинин А.П., Сотиров Г.Р. Оптимизация в условиях неопределенности. - Изд-во МЭИ (СССР); "Техника" (НРБ), 1989. - 224 с.

2. Kozina G.L., Perepelitsa V.A. Spanning Trees Problem: Solvability and Computational Complexity // Interval Computations, 1.- 1994. - P.42 - 50.

3. Козина Г.Л., Семений Т.В. Выбор оптимальных маршрутов при неопределенном размещении объектов // Вюник Запор1зького державного ушверситету, 2001. - №1. - С. 40-44.

4. Yaman H. Karasan O.E. Mustafa O.P. Minimum Spanning The Problem with Interval Data, Bilkent University, Department of Industrial Engineering, Techical Report 9909, July, 1999.

5. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления: Пер. с англ. Г.Е. Минца, А.Г. Яковлева / Под ред. Ю.В. Матиясевича. - М.: Мир, 1987. - 356 с.

6. Хэфилд Р., Кирби Л. и др. Искусство программирования на С. Фундаментальные алгоритмы, структуры данных и примеры приложений. - К.:"ДиаСофт", 2001. - 736 с.

6 S 10 12 14 16 Интервальный вес ребра (fl. I)

Удк 004.9:681.32

ЗАДАЧА ПРОСАЧИВАНИЯ И НАДЕЖНОСТЬ ОДНОРОДНЫХ СТРУКТУР

Н.В.Лаходынова

Предлагаются оригинальные результаты, касающиеся теории просачивания, полученные при исследовании надежности однородных структур вычислительных систем.

Original results about percolation theory, achieved during the researching of safety of homogenous calculation structures, are proposed.

ВВЕДЕНИЕ

Теория просачивания исследует феномен просачивания (жидкости, газа, электричества, информации) в широком классе периодических графов. Основной вопрос теории просачивания: при каких минимальных вероятностях p - исправного узла и r -исправной связи в бесконечной однородной структуре данного типа существует бесконечный исправный кластер? Эти величины называются критическими.

Теория просачивания находит успешное применение в различных дисциплинах: физике, химии, биологии и теории вычислительных систем. В частности, в работах [1] ее результаты применялись для оценки пределов надежности однородных вычислительных структур и

систем (ОВС). Наши результаты о пределах надежности ОВС с точки зрения теории просачивания увидели свет в 1987-89 гг. Вскоре такие же публикации появились и в зарубежной литературе. Так в [2] ставится задача оценки предельных возможностей сетей связи параллельных ЭВМ, оцениваются величины кластеров и вероятности попадания узлов в главный кластер для различных периодических графов. Систематическое изложение теории просачивания и библиографию можно найти в [3]. В связи с тем, что теория просачивания в приложении к ОВС дает содержательные результаты, представляют интерес величины критических вероятностей для различных структур. Кроме содержательных результатов, касающихся однородных структур, попутно были разработаны новые методы определения порогов просачивания для практически важных конечных структур. Наряду с классической задачей просачивания исследовалась также смешанная задача и просачивание в структурах с согласием [6].

Таблица 1 - Критические вероятности просачивания для различных решеток

Рамерность Решетка Степень узла Критические вероятности

По узлам По связям

2 Ш 3 0,70 0,65

2 К 4 0,59 0,50

2 Т 6 0,50 0,35

2 К* 8 0,41 0,25

3 алмаз 4 0,43 0,39

3 куб 6 0,31 0,25

3 центрированный куб 8 0,25 0,18

3 гранецентрированный куб 10 0,20 0,12

1. КЛАССИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ПРОСАЧИВАНИЯ

Содержание основной задачи просачивания состоит в поиске области просачивания, точнее, такой функции /(р,г), что при /(р,г) < 0 исправный кластер отсутствует, а при /(р,г) > 0 - существует. Результатов, относящихся к этой задаче, крайне мало. Для многих целей достаточно остановиться на частных задачах, которые были поставлены Хаммерсли [4] еще в 1957 году: просачивание по узлам, когда р < 1 и г =1, и просачивание по связям, когда р = 1, а г < 1. Вторая задача сводится к первой, поэтому мы будем проводить исследование структурной надежности, считая связи абсолютно надежными. Во многих последующих выкладках термин "узел" может быть заменен термином "связь", а символр - символом г.

Основной результат теории просачивания можно содержательно сформулировать следующим образом.

Основное утверждение

Для всякого периодического графа С, вложенного в Я2, существует критическая вероятность рн, такая, что если р< рн, то бесконечный исправный кластер существует в С с вероятностью 0, и если р >рн, то с вероятностью 1 в С существует, и притом единственный, бесконечный исправный кластер.

Пусть Ш, К, Т и К* - шестиугольная, квадратная, треугольная (квадратная с одной диагональю) и квадратная сопряженная (с двумя диагоналями) решетки. Для сравнения рассмотрим также кристаллические решетки: алмаз, кубическая, центр альнокубическая и гранецентрированная кубическая. Критические вероятности для них приведены в табл. 1.

Заметим, что большинство известных значений критических вероятностей определены приблизительно. Точные значения некоторых из этих величин приведены в итоговой монографии [3]. Это следующие критические вероятности:

рн = гн( К) = 1/ 2, гн(Т) = 28т(л/18) = 0, 347,

гн(Ш) = 1-2зт(к/8) = 0, 653.

Из приведенных точных значений только одно относится к задаче узлов, хотя для исследования ОВС интересны все результаты теории просачивания.

Далее мы намерены предложить два метода, позволяющие уточнить и/или быстро получить оценки критической вероятности просачивания в задаче узлов. С этой целью формализуем задачи просачивания по узлам и связям.

Пусть С - периодический граф на плоскости. В задаче узлов каждый узел считается черным с вероятностью р и белым с вероятностью 1 - р. Все связи черные. Требуется найти критическую вероятность

рн (С) = Ш {р: 9 (р) > 0},

где 9 (р) - вероятность того, что узел является частью бесконечного связного подмножества черных узлов -черного кластера.

В задаче связей узлы считаются черными с вероятностью 1, связи черные с вероятностью г, белые с вероятностью 1-г, и критическая вероятность просачивания по связям есть

гн (С) = Ш {г: 9 (г) > 0},

где 9 (г) - вероятность того, что некоторый узел есть часть бесконечного черного кластера.

Рассмотрим плоский граф 0(Х,¥), в каждом узле которого задана случайная величина ^ е А {0, 1} . Будем

говорить, что узел I черный, если ^ = 0 , и белый, если

^ = 1 . Пусть У = АХ . Элементы множества У -конфигурации на С, так что можно рассматривать вероятностное пространство ( У, Г, Р^) , где Е - О -алгебра на У, а Рр - вероятностная мера на Е, такая, что

Рр(= 0) = р и Рр( = 1) = 1 - р.

Точно так же можно определить вероятностное пространство ( и, Ф, Рг) для задачи связей, считая, что ^ задано для каждой связи графа С, и - множество конфигураций связей, Ф - О -алгебра на и, Рг -вероятностная мера на Ф, и Рг(^ = 0 )=г, Рг(^ = 1 )=1-г.

В дальнейшем Се {К,Ш,Т} и, если потребуется конкретизировать тип решетки, будем писать У(К), и(Т) и тому подобное.

1.1. Метод моделирующей решетки

Рассмотрим задачу узлов на решетке К. По заданной решетке К построим моделирующую решетку Т', как показано на Рис.1. Связь решетки Т' соответствует двум узлам решетки К. Будем считать связь черной, если соответствующие ей узлы черные, в противном случае связь считается белой. Таким образом установлено соответствие между У(К) и и(Т') - множеством конфигураций узлов исходной решетки и множеством конфигураций связей моделирующей решетки. Будем считать, что вероятностная мера Рр на Б(К) индуцирует

вероятностную меру Рр на Ф(Т') так, что рг' = рр . По

построению каждому черному кластеру в решетке К соответствует черный кластер в решетке Т', просачиванию в К - просачивание в Т\ При этом г(Т') = р2(К) и р(Т')=г(К) = 1

[рн(К)]2 = гн(Г).

[рн(ш)]2 = г^ю.

Рисунок 1 - Моделирование просачивания по узлам в решетке К просачиванием по связям в Т

При критическом просачивании в Т' имеет место критическое просачивание в К, и при этом

Рисунок 2 - Моделирование просачивания по узлам в решетке Ш просачиванием по связям в решетке К

Заметим, что по построению величины гн(Т') и гн(К') существуют, поскольку существуют рн(К) и рн(Ш). Однако, в отличие от классических задач просачивания, вероятность окраски связей на моделирующих решетках зависит от окраски соседей. Так, если бы связи решетки Т' на Рис.2 окрашивались независимо, то, согласно выражению (1), вероятность черной окраски связи всегда была бы р2. Но на самом деле, если на решетке Т' одна из связей (например, горизонтальная) черная, то четыре соседних будут черными уже с вероятностью р, а не р2. Аналогично, черный узел в решетке Ш влияет на окраску двух связей моделирующей решетки К'.

Гипотеза моделирования:

гн(Т') = гн(Т) и гн(К') = гн(К).

Непосредственное следствие этой гипотезы:

рн(К)=[28ш(п /18)]1/2=0,589... = 0,59 - известно из эксперимента;

рн(Ш) = 2-1/2=0,707 = 0,7 - известно из эксперимента.

Найденные значения хорошо согласуются с экспериментами.

Введем в рассмотрение решетку К*. Известно [3], что рн(К) + рн(К*) = 1.

Отсюда и из гипотезы моделирования немедленно следует:

рн(К*) = 1 - [2б1п(п /18)]1/2= 0,411... = 0,41.

И вообще, рассматривая совокупность вышеприведенных значений критических вероятностей для решеток Ш, К, Т и К*, можно записать следующую эмпирическую формулу

(1)

[рНШ]2 = гн(к+Т)

(3)

Аналогичным образом можно построить (см. Рис.2.) моделирующую решетку К' для решетки Ш. Рассуждая таким же образом имеем

(2)

где к - число ближайших соседей одного узла. Отсюда немедленно следует:

гН(К*')=[рН(Т)]2=(1/2)2=1/4=0,25 - известно из эксперимента.

Указанное наблюдение говорит о возможном существовании некоторого моделирующего соответствия между решетками Т и К*. Это соответствие, к сожалению, пока не найдено.

1.2. Метод второй производной

Метод второй производной позволяет определить критические вероятности для любых структур. Пусть N -число элементов процессорной матрицы. Матрицу можно рассматривать как часть бесконечного периодического графа. Перефразируем основное утверждение теории просачивания для структурного коэффициента готовности РШ,р) процессорной матрицы - вероятности просачивания информации от входных полюсов квадратной матрицы к выходным.

Утверждение 4

Функция Р^,р) при N ^ ж приближается к ступенчатой со скачком от 0 до 1 в окрестности критической вероятности рн - порогу просачивания для соответствующего периодического графа.

Очевидное утверждение, лежащее в основе метода второй производной гласит.

Утверждение 5

Точка перегиба функции РШ,р) при N ^ ж стремится к порогу просачивания для соответствующего периодического графа.

Функция РШ,р) - полином ^той степени относительно

Р.

РШ,р) = X1 = С рЧ1- р^ -

где СI - число конфигураций с просачиванием, в которых i элементов исправно (черные), а N-1 элементов неисправно (белые). Определение точного аналитического выражения для РШ,р) сводится к подсчету коэффициентов С,.

Для небольших N вычисления проводятся на ЭВМ полным перебором всех конфигураций и проверкой их на просачиваемость. Подсчет коэффициентов Сг прост. В начале С^ = 0 для всех i. Если конфигурация содержит 1 исправных элементов и просачиваема, то Сг увеличивается на единицу. Зная коэффициенты Сг легко получить аналитические выражения для первой и второй производных РШ,р).

Р^р) = X г = C/[гp/-1(1-p)N-/-(N-г)p/(1-p)N-/-1], Р^р) = X г = ^ а, рг -1(1-р^-1, РПШ,р)=X i=l.NAi[(i-1)pi-2(1-p)N-i-(N-i)pi-1(1-p)N-i-1],

РпШ,р) = X 1 = 1.^ В р -1(1-р)ш,

где: а, = Сг (N - i + 1)СИ,

В,= (i -1) А,- - (N - i + 1) Ам.

Теперь, решив уравнение РПШ,р)=0, мы будем иметь оценку порога просачивания. Рис. 3.(а) и (б) демонстрируют результаты этих вычислений для некоторых решеток. На Рис.3.(а) показано сравнение функций РШ,р) для структур одинакового типа, но разной мощности. На Рис.3. (б) представлены результаты вычислений функции РШ,р) для различных типов структур. Показаны точки перегибов и соответствующие значения порога просачивания рн. Из Рис. 3. видно, что с ростом N функция РШ,р) стремится к ступенчатой и, кроме того, точка перегиба РШ,р) стремится к порогу просачивания рн. Кроме того, видно, что структуры с дальними связями (К4 на Рис.3(а), 1 и 3 на Рис.3(б)) при том же числе соседей узла имеют более низкие пороги просачивания.

Рисунок 3 а - Метод второй производной

Таким образом, корень уравнения РПШ ,р)=0 в интервале (0,1) - оценка порога просачивания, достаточно хорошая уже при N = 16. К сожалению, задача получения коэффициентов полинома РШ,р) имеет временную

сложность Т(Ю > 0(2^, что не позволяет продвинуться достаточно далеко.

Рисунок 3 б - Результаты вычисления функций РШ,р) для различных структур при N=16

2. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ПРОСАЧИВАНИЯ

Смешанная задача просачивания является более адекватной для исследования поведения систем, в которых и узлы и связи могут быть ненадежными. Несмотря на то, что теория просачивания развивается в различных направлениях (направленное просачивание, задачи в которых имеется зависимость между состояниями узлов и связей), смешанная задача остается мало изученной. Моделирование задачи просачивания в более общей постановке позволяет экспериментально определить границу области просачивания Др 1, р2) = 0 для разных типов решеток. На Рис. 4 показаны критические области просачивания для наиболее популярных решеток Ш, К, Т, К*, полученные для матрицы размером 100х100. Каждой решетке соответствует две кривых. Полоса, ограниченная этими кривыми делит координатную плоскость на две непересекающиеся области. Выше полосы просачивание есть с вероятностью близкой к 1, ниже полосы вероятность просачивания близка к нулю. Следует заметить, что на ширину полосы влияет как размер рассматриваемой матрицы, так и количество случайных бросаний в эксперименте. При увеличении количества бросаний (например, начиная с 10) для одной и той же решетки полоса сначала расширяется, а затем стабилизируется. Ширина полосы при 80 и 150 бросаниях практически не меняется. Увеличивая же размеры матрицы при фиксированном количестве бросаний, можно наблюдать другую картину: полоса становится уже. Напрашивается вывод, что чем больше матрица, тем резче переход из состояния просачивания в противоположное.

Рисунок 4 - Области просачивания для решеток K*,T, K, ш

Моделирование различных решеток показало, что в решетках с одинаковым количеством соседей наличие дальних связей в физической структуре снижает требования к надежности, область просачивания становится больше. Таким образом, требование локальности структуры связей накладывает более жесткие ограничения на величины р и г.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Пороги просачивания, важная характеристика надежности однородных структур. Исследование порогов просачивания позволяет определить предельные характеристики надежности как для элементов структуры, так и для связей. Предложенные методы позволяют получить практические оценки для конечных однородных структур вычислительных систем

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Воробьев В.А., Лаходынова Н.В. Пределы надежности однородных структур // Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1989. № 3. С. 110-114.

2. Mc Leod R.D., Schellenberg J.J. Percolation and Anomalous Transport as Tools in Analyzing Parallel Processing Interconnect Network // Journal of Parallel and Distributed Computing. 1990. Vol. 8, № 4 P. 376-387.

3. Кестен X. Теория просачивания для математиков. - М.: Мир, 1986.

4. Hammersley J.M. Percolation processes lower bounds for critical probability // Ann. Math. Statist., V.28. 1957. P. 790795.

5. Воробьев В.А., Лаходынова Н.В. Реконфигурация отказоустойчивой процессорной матрицы на основе сигналов согласия // Автометрия, 1997, № 6.

6. Лаходынова Н. В. Анализ алгоритмов реконфигурации структуры процессорной матрицы на основе сигналов согласия // Радюелектрошка. ¡нформатика. Управлтня. -2001, № 2, - С. 98-102.