Задача оптимального управления подвижными источниками для уравнений теплопроводности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977

ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПОДВИЖНЫМИ ИСТОЧНИКАМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

© 2012 г. Р.А. Теймуров

Теймуров Рафиг Агаджан оглы - доцент, кафедра мате- Teymurov Rafig Aghajan - Associate Professor, Department матики и методики ее преподавания, Сумгаитский фили- of Mathematics and Methods of its Teaching, Sumgait лал Азербайджанского института учителей. 16-й квар- Branch of Azerbaijan Teachers Institute, 16th Kvartal, 38 a, тал, 38 а, г. Сумгаит, AZ 5000, Азербайджан, е-mail: Sumgait, AZ 5000, Azerbaijan, е-mail: rafiqt@mail.ru. rafiqt@mail.ru.

Исследуется задача оптимального управления подвижными источниками для процессов, описываемых уравнением теплопроводности. Для рассмотренной ниже задачи оптимального управления доказана теорема существования и единственности решения. Найдены достаточные условия дифференцируемости по Фреше критерия качества и получено выражение для его градиента. Получены необходимые условия оптимальности в виде точечного и интегрального принципов максимума.

Ключевые слова: подвижные источники, редуцированная задача, необходимые условия оптимальности, принцип максимума, интегральное тождество.

A problem on optimal control of moving sources processes described by a parabolic type equation is investigated in the paper. A theorem on existence and uniqueness of the solution is solved for the optimal control problem. Sufficients conditions of Frechet differentiability of quality test and an expression for its gradient are obtained, necessary conditions of optimality in the form of point wise and integral maximum principles are established for an optimal control problem.

Keywords: moving sources, reduced problem, necessary conditions of optimality, maximum principles, integral identity.

Несмотря на прикладную важность задач с управлениями подвижными источниками, они мало изучены [1, 2]. Для некоторых классов линейных и нелинейных краевых задач, в которых участвуют импульсные функции, исследованы вопросы существования и единственности обобщенного решения. В [2] эти вопросы рассмотрены при условии, что управлением являются только интенсивности неподвижных источников.

В данной работе рассматривается задача оптимального управления подвижными источниками для уравнений теплопроводности при начальных и граничных условиях.

Положим О = {(х,0:0 < х < 1,0 < t < Т}; О1={(х,т): 0 < х < 1, 0 <т< 1}. В дальнейшем понадобятся функциональные пространства У210 (О), 1,0 (О), и(О), которые введены, например, в [3].

Рассмотрим управляемый процесс, состояние которого определяется функцией u(x,t), удовлетворяющей уравнению

и, = а2u*x + ЁPk(t)^(x-sk(t)), (x,t) efi ,

(1)

< 3l,32 >H = J[p'(t)p2(t) + s\t)s2(t)]dt

и нормой

+ У 2 ) , где 3k = (Pk, sk ), k = 1, 2.

= ^ (<3,3> н) = Л/ (| Положим

V = {>,$) е Н : 0 < р < А ,0 < 5 < В < I,' = 1"} (3)

I

3 (3) = | [и(х, Т) - у(х)]2 дх + (4)

0

" Г Т Т

+IГ«1 [ Рк ) - Рк (0]2 Я + «21К (0 - Р С)]2 Л

к=1 I 0 0

где А > 0, В > 0, ' = 1, п - заданные числа; 3 = (р(/), s(t)) е Н ; «,а2 > 0, «+«> 0 - заданные параметры; у(х) е Е2 (0,I), о = (^5(t),р(t)) е Н,

Р(0 = (Р1 (О, Р2 (t),...,Рп (О) е Ц (0, Т), 5(0 = = (5 72 (t), (t)) е Ьп2 (0, Т)) - заданные функции.

Требуется найти такое управление 3 = (р(,), s(t)) из множества V и функцию u(x,t), чтобы функционал (4) принимал наименьшее возможное значение при ограничениях (1), (2).

Определение. Задачу о нахождении функции и(х, 0 = и(х, ^3) из условий (1), (2) при заданном управлении 3еУ назовем редуцированной. Под решением редуцированной задачи (1), (2), соответствующей управлению 3 = (р(0, 5(0) е У, понимается функция

u(x, t) е V2 '' гральному

(ü), где u = u(x,t) удовлетворяет инте-тождеству

I T

J J[—u^t + a2ux]dxdt =

0 0

I n T

= J p(x)rç( x,0)dx +ËJ Pk (t'Ms'k (t), t)dt

0 k=1 0

о

71,1/

с граничными и начальными условиями

и(0,t) = 0, и(1,t) = 0, 0 < t < Т, и(х,о) = <р(х), 0 < х < I, (2)

где а, 1,Т > 0 - заданные числа; <(х) е Е2 (0,1) -

заданная функция; £(•) - функция Дирака;

р(0 = (р1 (t), р2 (t),...,Рп (t)) е Ц (0, Т), s(t) =

= (5 (0, «2 (t),...,«и (t)) е Е" (0, Т) - управляющие функции.

Пару функций 3 = (р(,), 5(0) будем называть управлением. Для краткости обозначим Н = Ьп2 (0,Т) х Е" (0,Т) - гильбертово пространство пар 3 = (р(0, ,у(,)) со скалярным произведением

для У^ = 1(х,t) е ^2м(О) и 1(х,Т) = 0.

Из [4, 5] следует, что при каждом фиксированном 3еУ редуцированная задача (1), (2) имеет единственное решение из У210 (О). Пусть выполнены условия, принятые при постановке задачи (1) - (4). Тогда задача (1) - (4) имеет хотя бы одно решение. Следует отметить, что задача (1) - (4) при « = 0,

] = 1,2 некорректна в классическом смысле [6]. Однако имеет место

Теорема 1. Существует плотное подмножество K пространства Н такое, что для любого о е К при « > 0 , г = 1,2, задача (1) - (4) имеет единственное решение.

Доказательства теорем даны в приложении. Пусть ^ = \у(х,0 - решение из У2'°(О) сопряженной задачи

,2,

(5)

+ а = ^ 0 еО > ^(0,0 = 0, \у(1,0 = 0, 0 < t < Т,

^(х, Т) = 2[и(х, Т) - у(х)], 0 < х < I, где и(х, Т) - значение при t = Т решения редуцированной задачи (1) - (4).

Интегрируя по частям выражение

а2^хх)И\(х,t)dО = 0 , получим, что функция

^ = \у(х, t) удовлетворяет интегральному тождеству

1Т I

Л[¥11, + а2УхП\х]dкdt =2/[и(х,Т) -у(х)\п1(х,Т)дх (6)

0 0 0 о

для У1= 1 (х, 0 е Ж211 (О) и 1 (х,0) = 0.

Сопряженная задача (5) является смешанной задачей для линейного параболического уравнения. Поэтому из фактов, установленных для задачи (1), (2), следует, что

k=1

H

ü

для каждого заданного 3 = (p(t), s(t)) е V задача (5) имеет единственное решение из V210 (Q.) [2, 3].

Функцию H (t, щ, 3) = {w(sk (t), t) pk (t) +

k =1

+ ax\_Pk(t) -Pk(t)f +a2[Sk (t) - ~ (t)f } назовем функцией Гамильтона-Понтрягина задачи (1) - (4).

Теорема 2. Если щ(х,t) - решение сопряженной задачи (5), то функционал (4) дифференцируем по Фреше на множестве V , и для его градиента справедливо соотношение

' dJ(3) cJ(3)-CH

dp ds J ^ dp ds

J \3) = I

(7)

где

ен

8H_

ер

(

ен ен ен

ePi ' еР2 '"'ерп

\

ен es

( ен ен ен л

ея„

— = -Y(sk (t), t) - 2a1 [pk (t) - pk (t)], k = 2, п,

еРк

ен

êSv

= -¥, (Sk (t), t)Pk (t) - 2a2 {sk (t) - pk (t)), k = 2, п.

ностьI

IMI^«) < A3н,

где Cj > 0 - некоторая постоянная.

Умножим обе части уравнения (10) на г = г (х, ^ и

проинтегрируем по частям полученное равенство. Тогда

I т

Ц [Ди г + а2 Дих гх \ixdt =

0 0

п т

= I\[рк +Дрк )г(?к +Д*к, *) - Рк)(^к, ф. (13)

к =10

Пусть ^, ^ е [0, Т] такие, что Ц < ^ . В тождестве

(13) положим г(х,о = \Ди(хV , ¡¡¡0^^ п и

применяя формулы конечных приращений для функции Ди(як(¡) ,¡) в виде Ди(рк + Дзк,¡) = Ди(як,¡) + +Дих (5к, ¡) -Д£к, 5к = ,зк + вДзк, в е [0,1], получим уравнение энергетического баланса для задачи (10), (11):

{w^x €2(оЛ t=2 +

t=t2 . г,2

a 2||Aux (x, t)||

t=t2 —

Ь2(П,Я t=t2

Теорема 3. Пусть выполнены все условия теоремы 2, им * (х, t), у* (х, ¡) - соответственно решения задачи (1)-(3) и (5) при 3 = 3* е V. Тогда для оптимальности управления 3* необходимо выполнение условия

Н(¡,у'(х, 0,3'^)) = тах Н(¡,у\х, ¡),3), У(х, ¡) е а (8)

3е¥

Теорема 4. Для оптимальности управления 3* = (р*(¡), я'^)) е V необходимо выполнение условия

< 3'($Х3-$ >н = (9)

= И\У*(Ч(¡),¡) + 2о1 {р*(¡) -~(¡)%рк(¡) -р*^))+

к=10

+ У* (** (¡), ¡)р* (¡) + 2а2 (¡) - ~ ^Ж^к (¡) - ** (0)Ь > 0,

V3еV, где у*(х,t) является решением сопряженной задачи (5) при 3 = 3* = (р* ^), 5* (¡)).

п '2

= 11 [(рк +Дрк )Д5к Дих (5к, ¡) + ДркДи(5к, ¡)]А , (14)

к=1 ¡1

где 5к = 5к +вД'к, ве [0,1].

Применяя неравенство Коши-Буняковского к правой части уравнения (14), получим

2 1

2 N ^ 4

И2 + a21 Aux (x, t)||

t=t2 < \L2(nt^ t=t2 <

<zb p,

WL2(t\,t2)

+ \\APÀL2(2lt,2)\\

"> (Sk , L2(lht2) +

\\ь2(0,1 Я =¡1

+\\ДрЛ12Ш2) )т^21Д?к (4\Дих (5к, ^

0||^(,1,2) ]. (15) Несложно показать, что верны неравенства

\\Ди(5к,¡И2Ш2) < ^Ы^а,, 1К(5к,t)\\Ь2(ЛЛ) <

< Ди , где С2>0, c3>0 - некоторые постоянные.

Но тогда правую часть неравенства (15) можно ограничить сверху

1 7 1 ~

1\\Ди(х, ¡)|и0| ¡2 + а ЧДих ( < СЛ Д3 Ь2(цЛ Ч^а

2 \t2 <

L2(ntЯ t2

(16)

Приложение

Доказательство теоремы 1. Докажем непрерыв-

. функционала 30(3) = \\и(х,Т) -у(х)||^]. Пусть Д3 = (Др, Д5) е V - приращение управления на элементе 3 = (р, з) еV такое, что 3 + Д3 е V. Обозначим Ди = Ди(х, ¡) = и(х, t; 3 + Д3) - и(х, ¡, 3), Д^ = Д^ (¡).

Из (1), (2) следует, что Ди(х,Г) является обобщенным решением краевой задачи

п

+ £[(рк +ДркЖх - (як +Д'к )) - рк8(х - А'к )],(х, t) е а,

к=1

Ди(0, Г) = 0, Ди(1, Г) = 0, ? е [0, Т], (11)

Ди(х,0) = 0, х е[0,1].

Докажем, что для функции Дu(x,t) имеет место оценка

при ^ 0, где c4>0 - некоторая константа.

Как и в [5, с. 166-168], для произвольного tе [0,7] разобьем отрезок [0,/] на конечное число подотрез-ков, на каждом из которых выполняется неравенство (16). Затем, сложив неравенства для каждого подот-

ц2 7 11. ,

резка, получим 2| |Au(x, i)|^(0/)+ a Aux (x, t)

\L2(n)

< c\Fi,0(n), откуда вытекает неравенство (12). Тогда ||Аи||^ 0 при ||A^H ^ 0 . Отсюда и из

. и из тео-

^ 0 при llA3н ^ 0 .

рем^1 о следах [7] ЦАи^,?7 Приращение функционала J0 (3) представимо в виде

J (3 + A3) - J (3) = 2 f [u(x, T) - y(x)]Au(x, T)dx +

+

(12)

L2(0,l) '

||Au( x,T )||

INx,T)\\L2(oj) „-,н

рывность функционала J0 (3).

Отсюда и из того, что

^ 0

0 при ||A3| ^ 0, следует непре-

2

0

Функционал 30 (3) снизу ограничен и в силу доказанного является непрерывным в У . Кроме того, Н -равномерно выпуклое и рефлексивно банахово пространство [8]. Тогда из теоремы Бидо [9] следует существование плотного подмножества К пространства Н такого, что для любого со = (~(,), р(,)) е Н при а,>0,

г = 1, 2 задача (1) - (4) имеет единственное решение.

Теорема доказана.

Доказательство теоремы 2. Рассмотрим приращение функционала А3 = 3 (3 + А3) - 3 (3) =

Т Т 2

= 2/[и(х, Т) - у(х)]Ди(х, Т)дх + /|Аи(х,Т)| дх +

0 0

+ I 12«1 )[рк (t) - Рк (0]ДРк (,)д, + «1 /|Арк|2 л +

к=1 [ 0 0

Т Т ]

+ 2«2/5 (t) -Рк (0]-Д®к (t)dt + «2/К| , (17)

0

2 k\ 0

где «1 = Д/к(5к(t),ОАРк(,)А?к+ о(А?к)J .

Ясно, что Я1 = о(||А3||я). С другой стороны, из оценки (13) следует, что ||Ди(х,Т)|| 0 = .

Подставляя полученные соотношения в (17), имеем

А/ = I (/1 (к) + / 2 (к)) +о(|| АС), где

к =1

Т

/1 (к) = / ¥(5к (t), ,) + 2«1 (рк (t) - ~к (0)]4Рк С,)^, ,

0 Т

/2 (к) = /к (?к с,), Орк с,) + 2«2 (5к с,) - ~ (,)Ж (№ .

Доказательство теоремы 3. Предположим, что 3* = (р*, 5 ) - оптимальное управление. Допустим противное, т.е. найдется такое управление 3 = 3* + кА3 е У и число ¡3 > 0 , для которых

Н (,,к\х, ,),3) - Н (,,к\х, ,),$') >3> 0, (19) где h>0 - некоторое число; 3 = (р* + кАр,3* + кА3); А3 = (Ар, А?) .

Если в (19) учесть формулу (7), то к/'ф), А3^<-3< 0, где Ь = к^А3 = квх (Ар,А?) еУ, вг е (0,1) - некоторое число. Отсюда и из формулы конечного приращения имеем

3 (~) - 3 (3*) = к/'(3), А3)н = (20)

= hJ '(3), ДЗ)Я + hJ '{ff) - J '(3), A3) <-ß + h • 0(| Д3||я),

h <

где 3 = (р, 5) еУ; 3 + А3еУ; Аи(х,Т) = и(х,Т;3 + А3) --и(х,Т;3); и = и(х,Т;3).

Если в (6) положим 1 = Аи(х,,), в (13) -1 = к( х,,) и вычтем полученные соотношения, то

я

/ 2[и(х,Т) - у(х)]Аи(х, Т) дх =

0 2 Т

= I/[(рк +Аркк(5к +А5к,,)-рк(5к,,)]д, . (18)

к =10

Ясно, что при сделанных выше предположениях по формуле Тейлора справедливо разложение:

к(5к +А5к,О = к(5к,О + ¥х (5к,,) А5к + о( А5к ). Учитывая это, из(18) получим

я

/ 2[и(х,Т) - у(х)]Аи(х, Т) дх =

0 п Т

= I/[рк (,)к (?к (,), ,)А®к +к(5к (,), ,)А?к (,)]д, + «1 ,

к=10

где 3 = кв2А3 = кв2(Ар,А?) е У, <92 е (0,1) - некоторое число.

Пусть 0<^<к - такое число, что -¡ + к0(||А3Ця) <0 . Положим 3 = 3* + кА3. Рассуждая аналогично доказательству неравенства (20), получим 3(3) - 3(3*) < < -3 + к • 0(|А3ЦЯ) < 0. Это противоречит оптимальности управления 3*. Отсюда получим справедливость соотношения (8). Теорема доказана.

Доказательство теоремы 4. В силу известной теоремы [4, с. 28] для оптимальности управления 3* = = (р(,),/(,)) еУ необходимо выполнение неравенства

< J'(3*),3-3* >н> 0, V3 е V .

(21)

Отсюда с учетом выражения функции Гамильтона-Понтрягина получим А3 = , А^Ц + о(|АЦя)' что показывает дифференцируемость по Фреше функционала (1) и справедливость формулы (7). Теорема доказана.

Используя выражение (7) градиента функционала, поставим его в (21), получим неравенство (9).

Литература

1. Бутковский А.Г., Пустътьников Л.М.. Теория подвижного управления системами с распределенными параметрами. М., 1980. 384 с.

2. Лионе Ж.Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М., 1972. 416 с.

3. Ладыженская О.А., ConoHmmeВ.А., УральцеваН.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М., 1976. 736 с.

4. Васильев Ф.П. Mетоды решения экстремальных задач. М., 1981. 400 с.

5. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М., 1973. 408 с.

6. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Mетоды решения некорректных задач. М., 1974. 286 с.

7. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М., 1983. 392 с.

8. Иосида К. Функциональный анализ. М., 1967. 406 с.

9. Goebel M. On existence of optimal control // Math. Nuchr. 1979. Vol. 93. Р. 67 - 93.

Поступила в редакцию

13 февраля 2012 г.

T

n

0