CC BY
22
УДК 351.862.1
ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСИМАЛЬНОГО ПОТОКА НА ДОРОЖНО -ТРАНСПОРТНОЙ СЕТИ ГОРОДА ПРИ ЭВАКУАЦИИ НАСЕЛЕНИЯ
А.Н. Чирков
адъюнкт научно - исследовательского центра Академия гражданской защиты МЧС России Адрес: 141435, Московская обл., г.о. Химки, мкр. Новогорск
E-mail: udm.sharkanQrambler.ru
P.JI. Белоусов
кандидат технических наук,
научный сотрудник научно - исследовательского отдела (по проблемам ГО и ЧС) Академия гражданской защиты МЧС России Адрес: 141435, Московская обл., г.о. Химки, мкр. Новогорск E-mail: scilabQamchs.ru
A.B. Рыбаков
доктор технических наук, профессор, начальник научно - исследовательского центра Академия гражданской защиты МЧС России Адрес: 141435, Московская обл., г.о. Химки, мкр. Новогорск
E-mail: anatoll rubakovQmail.ru
A.B. Демин
доктор технических наук, доцент Казанский государственный энергетический университет Адрес: 420066, г. Казань, ул. Красносельская, 51, Д - 518 E-mail: alexeï deminQmail.ru
Аннотация. В статье приводится описание алгоритма решения задачи о нахождении максимального потока при эвакуации населения из города на дорожно - транспортной сети при наличии нескольких сборных эвакуационных пунктов (источников) и безопасных районов (стоков). Алгоритм основывается на выводах и условиях теоремы Форда — Фалкерсона. В задаче о максимальном потоке необходимо найти максимальное количество эвакуированного населения, при котором не будет нарушаться ограничения по пропускной способности дорожно -транспортной сети.
Ключевые слова: эвакуация населения, сборный эвакуационный пункт, безопасный район, источник, сток, дорожный граф, максимальный поток, минимальное сечение, пропускная способность, алгоритм Форда - Фалкерсона.
Цитирование: Чирков А.Н, Рыбаков A.B., Белоусов Р.Л., Демин A.B. Задача определения максимального потока на дорожно - транспортной сети города при эвакуации населения // Научные и образовательные проблемы гражданской защиты. 2020. № 3 (46). С. 40 - 51 .
Введение
В настоящее время для Российской Федерации по - прежнему сохраняются военные опасности и военные угрозы. В условиях современных военных конфликтов существует высокая вероятность массированного удара противника по объектам экономики, потенциально опасным объектам (далее — ПОО), системам управления, при разрушении которых могут образоваться крупные зоны поражения [1]. Учитывая возможный характер вооруженной агрессии потенциального противника, массовое применение высокоточного оружия и результативность разведывательно - ударных боевых систем, основным и необходимым способом защиты населения является проведение эвакуационных мероприятий [2, 3]. Основной задачей, выполняемой при проведении эваку-
ационных мероприятий, является вывоз населения, материальных и культурных ценностей в безопасные районы в кратчайшие сроки. Общее время эвакуации зависит от множества факторов и условий. Одним из основных факторов является пропускная способность дорожно - транспортной сети (далее — ДТС) и маршрутов эвакуации.
Спланированные в мирное время маршруты эвакуации населения могут проходить в непосредственной близости к объектам, которые являются целью для нанесения удара потенциальным противником. Образовавшиеся очаги поражения могут оказать существенное влияние на пропускную способность как отдельных участков маршрута, так и всей ДТС в целом, тем самым может увеличиться общее время эвакуации населения [4].
Возникает необходимость оценки пропускной способности ДТС, построения новых маршрутов и путей эвакуации, а также поиск средств повышения пропускной способности.
Анализ возможностей ДТС по эвакуации населения сводится к решению задачи о максимальном потоке в сети.
В настоящей статье предложен подход, реализация которого позволит сократить общее время эвакуации населения, материальных и культурных ценностей в условиях военных конфликтов за счет выбора тех подверженных воздействию противника участков маршрута, на которые необходимо в первую очередь направить силы и средства ликвидации чрезвычайных ситуаций.
Исходные данные
G(V, Е) — ориентированный взвешенный граф дорожно - транспортной сети, где V = {ы,1 = 1,п} — множество вершин графа, которые являются пунктами отправления, назначения и пересечения дорог, Е = {ej,j = 1,т} — множество участков дорожно - транспортной сети.
В данном графе можно выделить следующие подмножества вершин:
1) подмножество вершин - истоков (пунктов отправления) I = {I\, I2,..., 1П1}, такими вершинами обозначаются сборные эвакуационные пункты;
2) подмножество вершин - стоков (пунктов назначения) S = {Si, S2,..., Sn2} , такими вершинами обозначаются безопасные районы;
3) подмножество трансферных вершин Т = {Т\,Т2,..., ТП3} — это все оставшиеся вершины, при этом п = П\ + П2 + П3. Каждый тип вершин имеет свойственные особенности: вершины отправления могут иметь только выходящие ребра графа, вершины назначения — только входящие ребра графа, трансферные вершины — как исходящие, так и входящие.
На графе определена функция т : Е — R+, которая каждому ребру ej е Е графа G(V,E) ставит в соответствие неотрицательное действительное число т (ej) > 0, называемое пропускной способностью.
nOOj = ^OibnOOj-2,...,nOOjdj} -
множество потенциально опасных объектов на участке ej дорожно - транспортной сети, где dj — мощность этого множества.
OЭj = {ОЭд,ОЭ¿2,...,ОЭj0.} - множество объектов экономики, объектов транспортной инфраструктуры на участке ej дорожно - транспортной сети, где о^ — мощность этого множества.
Е' € Е — подмножество участков дорожно - транспортной сети, на которых находятся объекты, подвергшиеся воздействию противника с образованием зоны поражения.
Постановка задачи
Всякая исследуемая ДТС обладает следующими свойствами:
1) сеть является связной, т.е. существует ориентированный путь (маршрут) от пунктов отправления I = {1\,12,...,1П1} Д° пунктов назначения Б = {^1, Б2,..., 3П2};
2) ДТС ограничена в своей пропускной способности, т.е. способности пропускать автомобильную технику по всем дорожным участкам в единицу времени.
Каждый отдельный участок ДТС имеет собственную пропускную способность. Необходимо отметить, что максимальная пропускная способность всей ДТС определяется самым «узким» местом в этой сети. Для поиска «узкого» места в сети введем понятие сечения.
Сечением называется такая совокупность ребер, удаление которых поделит граф ДТС на две части, при этом в одну часть обязательно войдут все вершины - истоки, в другую часть - все вершины - стоки. Формальный вид сечения можно определить следующим образом: если X С У,1 € Х,Б € ХнУ = У\Х, то множество ребер Б С Е, таких что Б = {(и,у) € Е | и € Х,у € У}, называется сечением графа ДТС и обозначается Б = (Х,У).
Пропускная способность сечения определяется как сумма пропускных способностей, входящих в него ребер, т(Б) = т(XX) = ^и€Х,ь€У т(и,у) ■ Таким образом, «узким» местом в ДТС будет сечение с минимальной пропускной способностью. Необходимо отметить, что количество сечений в графе может быть колоссально большим, т.е. невозможно осуществить их полный перебор.
Таким образом, задача определения максимального потока в ДТС сводится к нахождению сечения с минимальной пропускной способностью. Математическая постановка задачи имеет следующий вид
Отгп = агдтгп(т(^2),... ,т(Ом)),
Dfc ,к=1,М
(1)
где ОтгП — это сечение графа ДТС, которому соответствует минимальная пропускная способность; агдтгп/(х) — функция, предназначенная для определения значения аргумента ж, при котором /(х) принимает минимальное значение; Ик,к = — аргумент функции, представляющий собой к-ое сечение графа ДТС; т(Бк), к = 1,Ж — пропускная способность к-го сечения графа ДТС.
Таким образом, решение задачи (1) позволит найти максимальный поток всей ДТС Ртах, который численно равен пропускной способности Бт^Т.е. Ртах = Т(Отгп).
Решение задачи
Решение сформулированной задачи (1) рассматривается для двух сценариев: сценарий №1 нахождение максимальной пропускной способности ДТС Ртах в мирное время; сценарий №2 в условиях применения противником обычных средств поражения (далее ОСП) по ПОО и объектам экономики, нахо-
дящимся вблизи дорожных участков маршрутов эвакуации с образованием зон поражения.
Сценарий Же1
Полный перебор всех сечений графа ДТС осложняется колоссальным количеством таких сечений, поэтому для поиска сечения с минимальной пропускной способностью ОтгП будет применяться алгоритм Форда Фалкерсо-на [5].
В качестве исходных данных рассматривается граф ДТС на рисунке 1, где для каждого ребра известна пропускная способность, указанная сверху неотрицательным действительным числом.
Предположим, что сборные эвакуационные пункты города находятся в трех местах. Из сборных эвакуационных пунктов автоколонны с эвакуированным населением отправляются в три безопасных района через 14 транзитных пунктов.
Рисунок 1 Граф ДТС
Алгоритм нахождения максимального потока Ртах включает в себя три основных этана. В статье рассматривается реализация каждого этана алгоритма на данном графе (рисунок 1).
Первый этап. Добавление фиктивного истока и стока.
Если граф ДТС имеет больше одной вершины истока или вершины стока, то необходимо ввести фиктивные вершины. Граф ДТС на рисунке 1 имеет три вершины истока, это сборные эвакуационные пункты Д, Д, 1з, и три вершины стока, это безопасные районы
$2, вз-
Вводится фиктивная вершина - исток 1о (главный исток), который соединен с каждым фактическим истоком фиктивными ребрами. Пропускная способность каждого фиктивного ребра равна сумме пропускных способностей ребер, исходящих из соответствующего истока. Таким образом, получается:
для ребра (1о,11) : т (1о,Ь) = т +
т (11, Тз) = 12 + 12 = 24
для ребра (1о,12): т (1о,12) = т (12, Т2) + т (12,Т5) = 8 + 11 = 19
для ребра (1о,1з): т (10,1з) = т (1з,ТА) +
т (1з,Т5) + т (1з,Тю) = 15 + 10 + 7 = 32
Вводится еще одна фиктивная вершина-сток 54 (главный сток), который также соединен с каждым фактическим стоком фиктивными ребрами. Пропускная способность каждого фиктивного ребра равна сумме пропускных способностей ребер, входящих в соответствующий сток. Таким образом, получается:
для ребра (81,84) : т (81, Б4) = т (Т6, 8]_) + т (Т7, 51) = 6 + 18 = 24
для ребра (Б2, 84) : т (82, 84)= т (Т7, 82) + т (Тд,Б2) = 12 + 4 = 16
для ребра (5з, 84) : т (53, 84) = т (Т8, вз) + т (Т9,8з)+ т (Т13, вз)+ т (Т14, вз) = 9 + 5 + 12 + 3 29
Полученный граф представлен на рисунке 2. Такое расширение графа ДТС не изменяет величину пропускаемого потока. Таким образом, задача о максимальном потоке на графе с несколькими истоками и стоками сводится к аналогичной задаче для графа с одним истоком и одним стоком. Необходимо отметить, что если в исходных данных присутствует только одна вершина исток и одна вершина исток, то первый этап необходимо пропустить.
Второй этап. Насыщение потока. Потоком в графе ДТС С(У,Е), где для каждого ребра е^ е Е определена пропускная способность т(е^) > 0, называется такая функция ж : Е 4 М+, т.е. каждому ребру е^ е Е приписывается такое неотрицательное число
■K(ej) > 0 что:
1) поток дуги не превышает ее пропускной способности
ж{е,) < т{ej),j = l,m 2) для любой вершины v £ V
(2)
Е
(v,u)eA(v)
n{v,u) — Y^
(u,v)eB(v)
где А(и) — множество всех ребер, исходящих из V; В(ь) — множество всех ребер, входящих в V; р(п) — величина потока.
Выражение (3) имеет следующую интерпретацию: весь поток вытекает из главного истока 1о, в промежуточных вершинах не задерживается и притекает к главному стоку 54.
Поток называется насыщенным, если любой маршрут из /о в 54 содержит хотя бы одно насыщенное ребро.
Процесс насыщения может быть представлен как последовательность следующих действий.
1. Выбирается произвольный ненасыщенный маршрут из /о в 64.
2. Находится минимальное значение пропускной способности из всех ребер, принадлежащих этому маршруту.
3. Величина потока каждого ребра становится равной величине, полученной в п. 2, а значение пропускной способности каждого ребра рассматриваемого маршрута уменьшается на величину, полученную в п. 2. Если какому - либо ребру ранее была присвоена величина потока, то данная величина и величина, полученная в п. 2, складываются.
Выбирается произвольный маршрут 1о -411 ДТ1 Лт8 ЛБ1 в графе на рисунке
2. Находится минимальное значение пропускной способности одного из ребер, принадлежащих этому маршруту. Минимальное значение равно р1(ж) = тгп{24,12,10, 6, 24} = 6. Выбранный маршрут стал насыщенным, поскольку содержит насыщенное ребро Т8 —-^Бь Величина потока указывается после знака «/».
Таким образом, получается 10 24/6>11 ——4т1
0,v = I0,S4, k(u,v) = ^ p(n),v = /о(исток), -p(n),v = 54(сток)
24/6
(3)
——
4
24/6
Для маршрута i0 -К1
12/6
>Ti
10/6
8
4Т9
Чс 24/6 q
—ю 1 -ю4 запускается поток, равный
Р2 fr) = min {24 — 6,12 — 6,10 — 6,3,18,24 — 6}
= 3. В данном маршруте насыщенным стало 3/3
ребро Tg
выбран: 10/(6+3)
■Тд. Получен следующий поток на
12—6+3))Ti
24/(6+3)
выбранном маршруте 1о-нi
^/3 W3 24/(6+3) rl8 -г -L 9 -^ 1 -^04.
24/(6+3) i2 Для маршрута !0 -н 1 —>
18/3 24/(6+3)
-+S
Т3 6Тд
4
Р3 (ж) = min {24 — 6 — 3,12,6,18 — 3,24 — 6 — 3} = 6. В данном маршруте насыщенным стало
ребро Т3 —-УГд. Получен следующий поток на
выбранном маршруте 1о
24/(6+3+6) 12/6
1
3
24/(6+3+6)
4
6/6>т 1 8/ ( 3+6>g _
Для маршрута I0 —6l2 6т2 -6т10 66s3 —>S4 запускается поток, равный р4 (к) = min {19, 8, 5, 9, 29} = 5. В данном маршруте насы-
5
щепным стало ребро Т2 бТ10. Получен следу-
ющий поток на выбранном маршруте I0
2д/5 53 -Ю4.
19/5
5/5^ 9/5 >1-2 -^ 10
2
16
1д/5 11 11 4 Для маршрута 10 -н2 —5 —11 6b2
"S4 запускается поток, равный р5 (к) = min {19 — 5,11,11, 4,16} = 4. В данном маршруте насыщенным стало ребро Тц 6-6S2- Получен следующий поток на выбранном маршруте I0
————12 -———Т5 ■———Тц
4/4 16/4 ——« 2 —-—
Для
——Тц -—S3
маршрута 2д/5
I0
19/(5+4)
2
11/4
5
4
ный р6 (к) = min {19 — 5 — 4,11 — 4,11 — 4, 5, 29 5}
5
ным стало ребро T11 6S3. Получен следующий
1
д 19/(5+4+5)
поток на выбранном маршруте !о -К2
11/(4+5) 11/(4+5) 5/5 -5 -И 11 ->
Для маршрута 10
32
14/(5+5) 53 -^04.
т пи 6
i3 -> ±4 А
Т9
18/(3+6) 24/(6+3+6)
-> ^ -> о4 запускается поток,
равный р7 (к) = тгп {32,15, 6,18 — 3 — 6, 24 — 6 — 3 — 6} = 6. В данном маршруте насыщенным стало ребро Т4 А Тд. Получен следующий
т- 32/6 ' 15/6
поток па выбранном маршруте 1°-> 13->
Т4 —А Тд 18/—6+б\ $ 24 /—з+б+б)^
т т з2/\ т 1°, ^ з^ з^ Для маршрута 1° -> 1з —> 15 А 11з А
_ 29/(5+5)
112 —> 8з -> о4 запускается поток, равный р8 (к) = тгп 32 — 6,10, 3, 3,12, 29 — 55 — 55
= 3. В данном маршруте насыщенным стало
зз ребро Т5 А Т1з и ребро Т1з А Т12. Получен
следующий поток па выбранном маршруте 1° з2/(6+з) 1°/з з/з з/з 12/з -> *з -> 15 -> +1з -> 112 -> ¿з
29/(5+5+3)
> S4.
32/(6+3)
Для маршрута !0 ->
h
Т6
Т7
Т14
S3
29/(5+5+3)
> S4 за-
пускается поток, равный р9 (п) = тгп
32-6-3, 7, 8, 3, 3, 29-5-5-3 = 3. В дан-
3
ном маршруте насыщенным стало ребро Т7 А
Т14 и ребр о Т14 -А S3. Получен следующий по-
32/(6+3+3)
ток на выбранном маршруте Iq -> I3
7/3 rp 8/3 гр 3/3 3/3 29/(5+5+3+3) -> ±6 -> ±7 -> 114 -> 03 -> О4.
32/(6+3+3) 7/3 Для маршрута !0 -> 13 -> 16
94
А Т5 А Т7
29/(5+5+3+3)
ГГ К гт 9 i2/3 „ 113 — 114 — 112 -> 03
> S4 запускается поток, равный pi0 (ж) = min {32 - 6 - 3 - 3, 7 - 3, 9, 4, 7, 6, 9,12 -3, 29-5-5-3-3} = 4. В данном маршруте насыщенным стало ребро 13 -— Т6 и ребр о Т5 —— Т7. Получен следующий поток на выбранном
маршруте 10
тъ -А Т7 -
29/(5+5+3+3+4)
32/(6+3+3+4) 7/(3+4)
-> 13 -> 16
9/4
4/4 7/4 6/4 9/4 12/(3+4) 15 -> 17 -> 113 -> 114 -> 112 -> &3
> S4.
Третий этап. Перераспределение потока.
Если всякий маршрут из главного истока 1° в главный с ток 84 является насыщенным, т. е. каждый маршрут графа содержит насыщенное ребро, то необходимо найти путь в графе без учета ориентации (направления) ребер из главного истока 1° в главный с ток 84. В таком пути ребра, направленные из 1°ъ 84 (прямые), должны быть не насыщены, а ребра, направленные в обратном направлении (обратные), не пусты.
Если такого маршрута не существует, то перераспределить поток невозможно, иначе перераспределение проводится по следующему правилу. К величине потока прямого ребра добавляется «+1», от величины потока обратного ребра вычитается «-1» до тех пор, пока одно из ребер не станет насыщенным или пустым.
В данном примере такой путь единственный, в нем имеется восемь ребер, направленных от истока к стоку, и одно ребро, направленное в противоположную сторону:
32/(6+3+3+4)
iq -> 13
10/3 9/4
> Т5
Т12
9/4
-А Т6
12/(3+4)
8/3 S3
Т7 —А Т1з —А Т14 —А 'Т12 —А
29/(5+5+з+з+4) -> 04.
В данном пути быстрее всего насыщается
ребро Т1з —А Т14, требуется две единицы. Таким образом, поток в ребрах прямого направления увеличивается на 2, а поток в ребре обратного направления уменьшается на 2.
Получен следующий поток на выбранном маршруте
32/(6+3+3+4+2) 10/(3+2) 9/(4-2) 8/(3+2) 7/(4+2) 6/(4+2)
!о -> 13 -> ±5 -> ±6 -> 17 -> 113 ->
9/(4+2) 12/(3+4+2) 29/(5+5+3+3+4+2) 114 -> 112 -> &3 -г
Перераспределение потока сохраняет все его свойства. Полученный поток — насыщенный (на рисунке 2 — проходящий поток по ребру отмечен сверху неотрицательным действительным числом красного цвета), так как каж-
дый маршрут содержит насыщенное ребро (на рисунке отмечено жирной синей линией).
Четвертый этап. Определение максимального потока. Согласно теореме Форда -Фалкерсона для определения максимального
потока в графе ДТС Ртах необходимо найти пропускную способность минимального сечения данного графа т (ОтгП).
Для поиска сечения с минимальной пропускной способностью ОтгП из графа на рисунке 2 необходимо удалить все насыщенные ребра. Далее находится такая последова-
тельность ребер, удаление которых разделит граф на два непересекающихся подмножества (ХиУ) (рисунок 3), эти ребра составляют минимальное сечение. В рассматриваемом примере минимальное сечение включает в себя следующие ребра:
{(Т8 —4 в1),(Т8 —4 Тд), (Т2 —4 Г10), (Гэ —4 Тд), (Т4 —4 Тд), (Т11 —4 52), (Г11 —4 5э), (Г1Э ^ Г12), (Г1Э ^ Ти), (Тт —4 Г14)}
На рисунке 3 исток 1о и сток 54 не связаны ребрами, маршрута между ними не существует, поэтому выбранное сечение является минимальным, а соответствующий поток максимальным. Таким образом, Ртах — Т (От1п) — 47.
Минимальное сечение образуют ребра, ис-
Х
щие в вершины подмножества У, а также ребра, исходящие из вершин подмножества У и
Х
Х
(зеленый цвет) и У (красный цвет)
В приведенном примере пропускная способность всей сети составила 47. Это говорит о том, что при всех равных условиях пропускная способность всей сети в мирное время не может быть выше данного показателя.
Сценарий Же2
В сценарии № 2 рассматривается ситуация, когда во время эвакуации населения потенциальный противник нанес точечные удары по различным ПОО и объектам экономики, находящимся вблизи маршрутов эвакуации. На рисунке 4 участки, подверженные зонам по-
ражения, окрашены в красный цвет, сверху ребра указан знак «*». Изменения пропускных способностей этих участков обозначены сверху неотрицательным действительным числом через знак тире « ». Как видно, пропускные способности участков подверженных воздействию ОСП значительно снизились. Необходимо определить, как воздействие противника повлияло на общую пропускную способность всей ДТС и найти ее максимальную пропускную способность.
Рисунок 4 Граф ДТС, подверженный воздействию противника
Как и в сценарии, обусловленным мирным временем, 1 этан решения задачи остается без изменений. Производится переход ко второму этану а.л!'оритма.
Второй этап. Насыщение потока.
Насыщение потока производится но тем же условиям и правилам, указанным на втором этапе сценария № 1.
24
Для маршрута 10
^ 11 А Т1 —А т8 А
Б4 минимальное значение равно р1 (ж) =
тгп {24, 3,10, 6, 24} = 3. В данном маршру-
з
те насыщенным стало ребро 11 А Т1. Получен следующий поток на выбранном маршруте 1°
——А 11 —А Т1—А т8 —А 31—А 34 /
Для маршрута 1° —А 11 —А Тз А Тд А 31
24/з
-> 04 минимальное значение равно Р2 (ж) =
тгп {24—3,12, 6, 2, 24—3} = 2. В данном марш-
2
руте насыщенным стало ребро Тд А 31. Получен следующий поток на выбранном маршруте
24/(з+2) 12/2 6/2 2/2 24/(з+2) 1° -> 11 -> !з -> 1 д -> ->
84.
24/(з+2) 12/2 6/2 Для маршрута 1° -> 11 -> 1з ->
Тд А 82 —> 84 минимальное значение равно Рз (к) = тгп {24 — 3 — 2,12 — 2, 6 — 2, 6,16} = 4.
В данном маршруте насыщенным стало ребро
Тз
6/2
Т9. Получен следующий поток на вы-
24/(3+2+4) 12/(2+4) бранном маршруте !0-> 11-> 13
т, -— "s2-—— S,.
т т 19, т 8 т 3 т 6/3, Для маршрута !0 —> 12 — 12 — 18 ->
24/(3+2)
¿1 -> 04 минимальное значение равно P4
(ж) = min {19, 8, 3, 6 - 3, 24 - 3 - 2} = 3. В дан-
3
ном маршруте насыщенным стало ребро Т2 — Tg и Tg Si. Получен следующий поток на л i
6/(3+3)
19/33 8/33 3/3 выбранном маршруте 10 -> 12 -> Т2 ->
Т8
А Si -4-3+-+— S4.
19/33 8/33 5 9
Для маршрута 10 -> h -> ±2 — -+W —
S3 —> S4 минимальное значение равно р5 (ж) = min {19 - 3, 8 - 3, 55, 9, 29} = 5. В данном
8/3
Т2
маршруте насыщенным стало ребро I2 5
и Т2 — Т1О. Получен следующий поток на вы-
19/(3+5) 8/(3+5) оранном маршруте !0 -> 12 -> 12
5/5 9/5 29/5 -> ^10 -> 033 -> О4.
19/(3+5) 11 11 Для маршрута 10 -> 12 —> 15 —> 111
4 16/4
— 02 -> 04 минимальное значение равно рб
(ж) = min {19-3-5,11,11, 4,16-4} = 4. В данном маршруте насыщенным стало ребро Тц —
S2 • Получен следующий поток на выбранном
19/(3+5+4) 11/4 11/4 маршруте !0 -> 12 -> 15 -> 111
4/4 16/(4+4) -—У 02 -г 04.
1д/(3+5+4)
Для маршрута i0 -^ 12
11/4
> Т5
Tu 6
S3
2д/5
> S4 минимальное значе-
ние равно р7 (к) = min {19 — 3 — 5 — 4,11 — 4, 11 4, 5, 29 5}
5
насыщенным стало ребро Т11 6 S3. Получен
следующий поток на выбранном маршруте I0 1д/(3+5+4+5) 11/(4+5) 11/(4+5) 5/5 12 -> -L 5 -> +11 ->
2д/(5+5) 03 -У 04.
1д/(3+5+4+5) 11/(4+5) Для маршрута !0 -^ 12 ->
гт 3 3 12 с 29/(5+5) „ J5 6 J13 6 112 —> Ь3 -> о4. минимальное значение равно р8 (п) = min {19 — 3 — 5 — 4 — 5,11 — 4 — 5, 3, 3,12, 29 — 5 — 5} = 2.
В данном маршруте насыщенным стало ребро
/0 19/(3+5+4+56 /2 11/(4+66 Т5. Получен
следующий поток на выбранном маршруте I0 1д/(3+5+4+5+2) 11/(4+5+2) 3/2 3/2 —> +2 -> +5 -> J-13 ->
Т12 ^ 53 29/(5+5+66 54.
Для маршрута 10
32 15 6 6/4
—> 13 —> +4 6 Jg —> 16/(4+4)
02 -> 04 минимальное значение равно
Рд (ж) = min {32,15, 6, 6 — 4,16 — 4 — 4} = 2.
В данном маршруте насыщенным стало ребро
Тд / 6 52- Получен следующий поток на вы-
32/2 15/2 6/2 бранном маршруте 10 -> 13 -> Т4 -> Тд
6 / ( 4+2 6 ^ 16—( 4+2)^
32/2 А 3/2 3/2
Для маршрута !0-> 13 6 15-> 113->
12/2 2д/(5+5+2) 112 -> Ь3 -> о4 минимальное значение равно р10 (к) = min {32 — 2, 4, 3 — 2, 3 — 2, 12 2, 29 5 5 2}
3/2 3/2
насыщенным стало ребро Т5-> Т13ж Т13->
Т12. Получен следующий поток на выбранном 32/(2+1^ 4/1 3/(2+1)
маршруте 10 -> 13 -> 15 -> 113
3/( 2+1 ^ т 1 2/ ( 2+ 14 29—(5—5+2+1 ^
32/(2+1) 7 8 3^ Для маршрута !0-> 13 4 16 4 17 4
Т14 S3
2д/(5+5+2+1)
> 54 минимальное значе-
ние равно р11 (к) = min {32—2 — 1, 7, 8, 3, 3, 29—
5 — 5 — 2 — 1 = 3. В данном маршруте насыщен-
33
ным стало ребро Т7 4 Т14 и Т14 4 53. Получен следующий поток на выбранном маршруте I0
32/(2+1+3) 7/3 8/3 3/3 3/3 -> 13 -> +6 -> +7 -> 114 ->
53
2д/(5+5+2+1+3)
> 54.
Для маршрута 10
8/3 ГТ1 3 ГТ1 6 „
-> +7 6 + 13 6 114
2д/(5+5+2+1+3)
32/(2+1+3)
312
7/3
> 13 — 12/(2+1)
Т6
> 53
> 54 минимальное значение равно р12 (п) = min {32 — 2 — 1 — 3, 7 — 3, 8 — 3, 3, 6, 2, 12 2 1, 29 5 5 2 1 3}
ном маршруте насыщенным стало ребро Т14
2
6 Т12. Получен следующий поток на выбран-
32/(2+1+3+2)
> З3
7/(3+2)
> Т6
ном маршруте /0 8/(3+2) 3/2 6/2 2/2 12/(2+1+2) -> 17 -> + 13 -> +14 -> 112 ->
2д/(5+5+2+1+3+2)
03 -У 04.
Полученный поток насыщенный (на рисунке 5 проходящий поток по ребру отмечен сверху неотрицательным действительным числом краежих) цвета), так как каждый маршрут содержит насыщенное ребро (на рисунке
5 отмечено жирной синей линией).
Рисунок 5 Насыщенный поток
Третий этап. Перераспределение потока.
В связи с изменениями пропускной способности некоторых участков ДТС, обусловленными воздействием противника, элемент алх'о-ритма иод названием «перераспределения потока» в данном этане отсутствует.
Четвертый этап. Определение макси-мальншх) потока.
Вначале удаляются все насыщенные ребра графа (рисунок 5). Производится поиск после-
довательности ребер, удаление которых разделило граф ДТС на два непересекающихся подмножества (ХшУ) образовав минимальное сечение (рисунок 6). Минимальное сечение образуют ребра, исходящие из вершин подмноже-Х
У. В рассматриваемом примере минимальное сечение включает в себя следующую последовательность ребер:
{(Т8—А 51), (Тд—А 81), (Г, —А 32), (Т2—А Т10), (Т11—А 52), № 1—А з^ №з—А Г12), № ——А Ъ2), №4—А Зз)}
На рисунке 6 исток 1° и сток 84 не связаны ребрами, маршрута между ними не существует, поэтому выбранное сечение является минимальным, а соответствующий поток максимальным. Таким образом, Ртах = т (ОтгП) = 36.
Х
(зеленый цвет) и У (красный цвет)
На представленном графе разность пропускной способности ребер и проходящего по нему потока обозначим неотрицательным действительным числом, отмеченным зеленым цветом. Разность пропускной способности и проходящего по нему потока показывает в какой степени участок является загруженным. Впоследствии наименее загруженные ребра графа ДТС возможно использовать для размещения пунктов управления и различных служб для обеспечения эвакуации населения.
В сценарии №2 пропускная способность всей сети составила 36. Нанесение ударов потенциального противника по ПОО и объектам экономики снизили пропускную способность всей сети, по отношению со сценарием № 1, на 11 единиц. Из 10 поврежденных участков в минимальное сечение попало лишь 3 участка. В условиях дефицита сил и средств ликвидации чрезвычайных ситуаций и для сокращения времени общей эвакуации населения, необходимо направить спасательные подразделения, в первую очередь, именно на эти 3 участка маршрута, чтобы увеличить общую пропускную способность сети, а в дальнейшем производить распределение сил и средств в за-
висимости от характера сложившейся обстановки.
Вывод
При воздействии противника ОСП по объектам экономики и ПОО зоны поражения будут оказывать влияние на пропускную способность участков ДТС. Но не всегда участок, подверженный воздействию, будет влиять на пропускную способность всей ДТС в целом. Таким образом, на увеличение времени эвакуации населения будут оказывать влияние не все подверженные воздействию противника участки маршрута эвакуации. Данный подход позволит выбрать только те участки ДТС, для проведения АСДНР, которые реально уменьшают пропускную способность всей сети и тем самым оказывают влияние на увеличение времени общей эвакуации населения.
В качестве дальнейшего исследования авторы планируют рассмотреть задачу рационального распределения ограниченных сил и средств для ликвидации последствий применения ОСП на участках маршрута эвакуации, подверженных воздействию противника, с целью уменьшения времени общей эвакуации.
Литература
1. Палий А.И. Проблема защиты объектов экономики и инфраструктуры от высокоточного оружия силами и средствами гражданской обороны // Стратегия гражданской защиты: проблемы и исследования. 2013. №1. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/problema-zaschity-obektov-ekonomiki-i-infrastruktury-ot-vysokotochnogo-oruzhiya-silami-i-sredstvami-grazhdanskoy-oborony (дата обращения: 22.07.2020).
2. Федеральный закон от 12 февраля 1998 г. № 28-ФЗ «О гражданской обороне» [Электронный ресурс]. Доступ из справочно - правовой системы «Гарант». URL: https://base.garant.ru/178160/ (дата обращения: 20.07.2020).
3. Степаненко ,1.1?. Повышение эффективности планирования эвакуационных мероприятий // Научные и образовательные проблемы гражданской защиты. Химки: ФГБВОУ ВО АГЗ МЧС России. 2013. № 1 (16). С. 116 - 118.
4. Чирков А.Н., Рыбаков A.B., Кузьмин А.И. Общая постановка научной задачи выбора рационального маршрута движения при проведении эвакуации населения из зон возможных опасностей в условиях военных конфликтов // Научные и образовательные проблемы гражданской защиты. Химки: ФГБВОУ ВО АГЗ МЧС России, 2020. № 2 (45). С. 3 - И.
5. Э. Майника. Алгоритмы оптимизации на сетях и графах. М.: Мир. 1981. 324 с.
THE PROBLEM OF DETERMINING THE MAXIMUM FLOW ON THE ROAD -TRANSPORTATION NETWORK OF THE CITY DURING POPULATION
EVACUATION
Alexey CHIRKOV
Adjunct Research Center
Civil Defence Academy EMERCOM of Russia
Address: 141435, Moscow region, city Khimki,
md. Novogorsk
E-mail: Mik.ovQmail.ru
Roman BELOUSOV
candidate of technical sciences, researcher
at research department (for civil
defense and emergency situations)
Civil Defence Academy EMERCOM of Russia
Address: 141435, Moscow region, city Khimki,
md. Novogorsk
E-mail: scilabQamchs.ru
Anatoly RYBAKOV
doctor of technical sciences, professor, head of the research center Civil Defence Academy EMERCOM of Russia Address: 141435, Moscow region, city Khimki, md. Novogorsk
E-mail: anatoll rubakovQmail.ru
Alexey DEMIN
doctor of technical sciences, associate professor
Kazan State Power Engineering University Адрес: 420066, Kazan, st. Krasnoselskaya, 51, D - 518 E-mail: alexei deminQmail.ru
Abstract. The article describes the algorithm for solving the problem of finding the maximum flow during the evacuation of the population from the city on the road network with several prefabricated evacuation points (sources) and safe areas (drains). The algorithm is based on the conclusions and conditions of the Ford-Fulkerson theorem. In the problem of the maximum flow, it is necessary to find the maximum number of the evacuated population, which will not violate the restrictions on the capacity of the road transport network.
Keywords: evacuation of the population, prefabricated evacuation point, safe area; a source, drain; road graph, maximum flow, minimum section, bandwidth, Ford-Fulkerson algorithm. Citation: Chirkov A.N., Rybakov A.V., Belousov R.L., Demin A.V. The problem of determining the maximum flow on the road - transportation network of the city during population evacuation // Scientific and educational problems of civil protection. 2020. No. 3 (46). p. 40 - 51 .
References
1. Paliy A.I. The problem of protecting economic and infrastructure objects from high-precision weapons by forces and means of civil defense // Strategy of civil protection: problems and research. 2013. No. 1. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/problema-zaschity-obektov-ekonomiki-i-infrastruktury-ot-vysokotochnogo-oruzhiya-silami-i-sredstvami-grazhdanskoy-oborony (date of access: 22.07.2020).
2. Federal Law of February 12. 1998 No. 28-FZ "On civil defense "[Electronic resource]. Access from the Garant legal reference system. URL: https://base.garant.ru/178160/ (date of access: 20.07.2020).
3. Stepanenko D.V. Improving the efficiency of planning evacuation measures // Scientific and educational problems of civil protection. Khimki: FGBVOU VO AGZ EMERCOM of Russia. 2013. No. 1 (16). S. 116 - 118.
4. Chirkov A.N., Rybakov A.V., Kuzmin A.I. General formulation of the scientific problem of choosing a rational route of movement when evacuating the population from areas of possible dangers in conditions of military conflicts // Scientific and educational problems of civil protection. Khimki: FGBVOU VO AGZ EMERCOM of Russia. 2020. No. 2 (45). S. 3 - 11.
5. E. Mainik. Optimization algorithms on networks and graphs. Moscow: Mir. 1981. 324 s.
