CC BY
17
УДК 351.862.1
МЕТОДИЧЕСКИЙ ПОДХОД К РАЦИОНАЛЬНОМУ РАСПРЕДЕЛЕНИЮ СИЛ И СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ РАБОТ НА МАРШРУТАХ ЭВАКУАЦИИ НАСЕЛЕНИЯ
A.B. Рыбаков
доктор технических наук, профессор, начальник научно-исследовательского центра Академия гражданской защиты МЧС России Адрес: 141435, Московская обл., г. Химки, мкр. Новогорск
E-mail: anatoll rubakovQmail.ru
А.Н. Чирков
адъюнкт научно-исследовательского центра Академия гражданской защиты МЧС России Адрес: 141435, Московская обл., г. Химки, мкр. Новогорск
E-mail: udm.sharkanQrambler.ru
А.И. Мазаник
доктор военных наук, профессор, главный научный сотрудник научно-исследовательского центра Академия гражданской защиты МЧС России Адрес: 141435, Московская обл., г.о. Химки, мкр. Новогорск E-mail: agz.u.sQyandex.ru
P.JI. Белоусов
кандидат технических наук, научный сотрудник научно-исследовательского отдела (по проблемам ГО и ЧС) Академия гражданской защиты МЧС России Адрес: 141435, Московская обл., г.о. Химки, мкр. Новогорск E-mail: scilabQamchs.ru
Аннотация. В условиях военного конфликта, при угрозе жизни и здоровью людей, может быть принято решение на проведение эвакуации населения, материальных и культурных ценностей в безопасные районы. Маршруты эвакуации могут быть заблокированы для проезда (прохода) эвакуируемых частично или полностью вследствие воздействия противника обычными средствами поражения. Это может привести к уменьшению пропускной способности всей дорожно-транспортной сети и к увеличению времени эвакуации. В данной статье предложен подход, который позволяет распределять силы и средства постоянной готовности по участкам дорожно-транспортной сети таким образом, чтобы с одной стороны увеличивать пропускную способность дорожно-транспортной сети, с другой стороны, чтобы прирост пропускной способности на единицу времени был максимальным с учетом имеющихся ограничений. В основу решения задачи положен метод ветвей и границ, с помощью которого отдельному подразделению назначается участок дорожно-транспортной сети, на котором необходимо проводить работы по восстановлению.
Ключевые слова: чрезвычайная ситуация, аварийно-спасательные и другие неотложные работы, время ликвидации, алгоритм, метод ветвей и границ.
Цитирование: Рыбаков A.B., Мазаник А.И., Чирков А.Н., Белоусов P.JI. Методический подход к рациональному распределению сил и средств для проведения работ на маршрутах эвакуации населения // Научные и образовательные проблемы гражданской защиты. 2020. № 4 (47). С. 86 - 95 .
Введение
В условиях военного конфликта, при угрозе жизни и здоровью людей, может быть принято решение на проведение эвакуации населения, материальных и культурных ценностей в безопасные районы. Разработанные заранее (в мирное время) маршруты эвакуации могут быть заблокированы для проезда (прохода) эвакуируемых частично или полностью вследствие воздействия противника обычными средствами поражения (далее — ОСП) [1]. Это может привести к уменьшению пропускной способности всей дорожно-транспортной сети (далее — ДТС) и к увеличению времени
эвакуации. Для ликвидации последствий применения противником ОСП на участках маршрутов эвакуации привлекаются силы и средства постоянной готовности (далее — подразделения), состав которых, как правило, ограничен [2]. Рациональное распределение подразделений по участкам ДТС для проведения аварийно-спасательных и других неотложных работ (далее — АСДНР) позволит увеличивать пропускную способность дорожной сети и сократить время эвакуации.
Для решения данной задачи в настоящей статье рассматривается подход, в основе которого лежит решение двух частных задач:
поиск минимального сечения графа ДТС, по алгоритму представленному в статье [3];
рациональное распределение подразделений по участкам ДТС, попавших в минимальное сечение с помощью теории расписаний, в частности, с помощью метода ветвей и границ.
Метод, выбранный для решения задачи, имеет большую практическую значимость в условиях военных конфликтов или крупномасштабных чрезвычайных ситуаций. Именно в этих условиях, в процессе оперативного управления, существует большая потребность в быстрых алгоритмах составления расписаний на основе обработки и анализа данных, поступающих в реальном времени. Исходные данные
В качестве исходных данных выступают сведения о подразделениях, а также данные об участках маршрута эвакуации, которые подверглись воздействию ОСП противника и попали в минимальное сечение [3]:
М = {(ц,а2,... ,(1] ,...,ат} - множество подразделений, привлекаемых для проведения АСДНР в условиях военного конфликта, где а^ - наименование ^'-го подразделения, ] = 1,т, т, - общее количество подразделений;
Е = {е\,е2,..., е-%,..., еп} - множество участков ДТС, которые подверглись воздействию ОСП противника и которые вошли в состав минимального сечения, где е^ - наименование г-го участка сети, г = 1,п, п - общее количество участков;
^ - время, которое необходимо на проведение АСДНР на г-ом участке маршрута эвакуации _7'-ым подразделением, г = 1,п, ] = 1,т.
Длительность проведения АСДНР зависит от подразделения, которое выполняет работу, его профессиональной направленности, штатного количества сил и средств и др. Каждое
подразделение имеет индивидуальную производительность при проведении АСДНР, т.е. время выполнения всех видов работ подразделением на г-м участке маршрута эвакуации.
Условия и ограничения
Предполагается, что проведение АСДНР на каждом участке маршрута эвакуации может быть выполнено любым подразделением. Начатая работа не прерывается. В фиксированный момент времени на каждом участке маршрута эвакуации могут проводиться работы не более чем одним подразделением. При завершении проведения АСДНР на одном участке маршрута эвакуации подразделение может быть направленно на следующий участок.
Вербальная постановка задачи
Распределить подразделения для проведения АСДНР по участкам маршрута эвакуации, входящих в минимальное сечение ДТС таким образом, чтобы минимизировать общее время проведения работ. Другими словами, требуется составить оптимальное по быстродействию расписание выполнения работ, т.е. назначить на все участки маршрута эвакуации подразделения таким образом, чтобы длина полученного расписания была минимально возможной.
Расписание минимальной длины позволяет не только завершать проведение АСДНР на всех подверженных участках как можно раньше, но и обеспечивает использование подразделений с максимальной эффективностью [4].
Формализованная постановка задачи
Расписание проведения АСДНР на участках маршрута эвакуации Е определяется как разбиение множества Е на т непересекающихся подмножеств
Е = У Ej; Ек р| Е1 = 0 при k,l е 1,т, к = I.
3 = 1
(1)
Участки маршрута эвакуации из множества Е приписываются ^'-му подразделению и проведение АСДНР на них происходит в произвольном порядке один за другим. Величина Lj = Хлее/; ¿ч """"" загруженность ^'-го подраз-
деления, ] = 1,т, а тах Lj - это длина распи-
]=1,т
сания, т.е. позднее время, при котором будут закончены все работы на множестве участков Е.
Формализованная постановка задачи со-
стоит в том, чтобы построить такое расписание, т.е. так распределить участки из множества Е между подразделениями из множества
М, чтобы длина расписания была минимальной. Другими словами, необходимо построить оптимальное но быстродействию расписание.
тах(Ь\,Ь2,
, Ьп) тгп
Е
(2)
Решение задачи
В настоящей статье рассматривается решение задачи планирования расписания с помощью метода ветвей и границ [5].
Метод ветвей и границ позволяет получать точное решение или, при ограничении на время работы алгоритма, достаточно хорошие приближенные решения задачи [6].
Суть метода ветвей и границ заключается в следующем. Множество всех допустимых решений разбивается на более мелкие подмножества и для каждого такого подмноже-
ства определяются нижние границы выполнения всего комплекса работ [7]. Процесс разбиения множества решений на подмножества называется процессом ветвления. Описать данный процесс можно в виде дерева. В дереве каждая вершина, за исключением корневой, имеет одного предшественника, а также каждая вершина, за исключением концевых, имеет п потомков [8]. Пример полного дерева вариантов распределения для 3 участков сети и 2 подразделений приведен на рисунке 1.
Рисунок 1 Процесс ветвления
В корне этого дерева расписаний вершина уровня «О». Корень дерева соответствует начальному этапу решения, когда ни одно подразделение еще не имеет назначения на конкретный участок маршрута эвакуации.
На нервом уровне дерева расписаний рае-пологается т вершин. Рассматривается 1-й участок маршрута эвакуации и для него анализируются все возможные варианты назначения.
На втором уровне дерева расписаний рас-пол огается т2 вершин. Рассматривается 2-ой участок маршрута эвакуации и для него анализируются все возможные варианты назначения.
На к-ом уровне дерева расписаний распо-логается кт вершин, и к-т уровень соответствует к-му участку маршрута эвакуации.
Последний уровень п дерева расписаний соответсвует п-му участку маршрута эвакуа-
ции. Данный уровень располагает пт вершин, которые являются листьями дерева.
Пусть Хк - некоторая вершина уровня к дерева расписаний, тогда И(хк) - множество всех существующих расписаний, соответствующих этой вершине (т.е. множество расписаний, в которых на участки маршрута ДТС 1,к назначены определенные подразделения), хк+1 """"" Узел уровня к + 1 , к<п, связанный с узлом Хк ребром, соответствующим подразделению
Работы назначены так, как указывает путь, идущий из «корня» в данную вершину. Этот путь указывает, каким образом назначены первые к работ.
Целью является вычисление нижней границы длины расписания на множестве И(хк)• Имея эти границы, можно применить стандартную схему метода ветвей и границ [9].
Процесс вычисления начинается с нижней
где \(хк),^н2(Хк3{хк) - нижние границы, вычисленные тремя различными способами.
Для реализации метода ветвей и границ существует 2 основные стратегии ветвления построения дерева расписаний:
1 стратегия - одностороннее ветвление. На каждом шаге метода образовываются т вершин нового уровня. Выбирается та вершина, которая имеет минимальную нижнюю границу (хк )• Произведя выбор вершины с минимальной нижней границей, в дальнейшем происходит именно ее ветвление. Получаются сле-
границы времени выполнения всех работ, при этом можно считать, что выполнение первых к работ назначены уже определенным образом. В этом случае уже будут определены величины Ь\,Ь2,..., Ьт. Величина Ь^ - длина временного интервала загруженности подразделения когда назначены первые к участков. Поэтому необходимо определить границу снизу для времени выполнения всех работ. Эта граница определяется 3-мя различными способами. Более точной границей будет максимум из этих величин.
Пусть Ь^ {] = 1,2, ... ,т)~ загруженность подразделения ] после назначения первых к работ (т.е. Ь^ - это суммарная длительность работ из числа 1,2,... ,к, назначенных на подразделение Нижняя граница ^ (хк) расписания всего комплекса работ на множестве К(хк) вычисляется следующим образом
(3)
Величина ^\(хк) определяется из выражения
(4)
(5)
(6)
дующие вершины нового уровня, образованные из выбранной ранее вершины и т.д. В итоге, через п шагов получится некоторое расписание. В процессе ветвления осуществляется отсев вершин не подходящих по выбранному заранее критерию;
2 стратегия - фронтальное ветвление. В этом случае дерево решений строится по уровням. Определяются все вершины 1-го уровня, 2-го уровня и т.д., и вычисляются нижние гра-
FB\Хк) — max(FBг(хк),FB2(хк), FH3(xk))
FB\(xk) — max Lj
j=l,2,...,m
Величина FH2(xk) определяется из выражения
FB 2 (Хк)— max min (Lj + tij)
i=k+\,...,n j=\,2,...,m
Величина FHз(хк) определяется из выражения
1
FB3(xk) — — I У^ Lj + V^ mm ti3 \j=l i=k+\J
ницы. В данном случае дерево строится полностью.
В решении задачи распределения подразделений по участкам маршрута эвакуации авторы статьи придерживаются 1-ой стратегии ветвления.
Пример решения задачи
С помощью предложенного алгоритма может быть решена задача распределения подразделений для проведения АСДНР на участках маршрута эвакуации.
Пусть с помощью алгоритма Форда-Фалкерсона [10] определены участки, которые подверглись воздействию ОСП противника и которые входят в минимальное сечение графа ДТС. Количество таких участков равно п = 5, а количество подразделений постоянной готовности, привлекаемых для проведения АСДНР т, = 3. Зная штатную численность подразделений и их производительность, получили матрицу времен проведения АСДНР (таблица 1).
Таблица 1 — Исходные данные
№ участка Время проведения АСДНР на участке, час
подразделение № 1 подразделение № 2 подразделение № 3
1 3 4 5
2 7 6 8
3 3 5 2
4 9 8 7
5 4 3 3
При выполнении расчетов с целью назначения подразделений на первый участок маршрута эвакуации, предполагаем их загрузку равной нулю (Ь1 =0; Ь2 = 0; Ьз = 0).
Используя формулы (3) - (6) необходимо провести оценку нижней границы значения выбранного критерия оптимальности, а имен-
но времени выполнения всего комплекса работ (длина расписания) для первого уровня дерева поиска, соответствующего назначению первого участка.
В случае назначения на участок маршрута эвакуации №1 подразделения №1 для проведения АСДНР получим:
Рц]1 = тах Ь^ = тах(3; 0; 0) = 3;
3=1,2,...,т
^ = тах тт (Ь^ + ^)= тах(тт((3 + 7); (0 + 6); (0 + 8)); тт((3 + 3); (0 + 5);
г=к+1,...,п ] = 1,2,...,т
(О + 2)); тт ((3 + 9); (0 + 8); (0 + 7)); тт ((3 + 4); (0 + 3); (0 + 3))) = тах (6; 2; 7; 3) = 7; Р21 = ^ (Е7=1 Ъ + £™=к+1 . гпгп и3) = 1/3((3 + 0 + 0) + (6 + 2 + 7 + 3)) = 7;
Ш \ 3=1,2,...,т у
Р"1 = тах(^1, ^а1) = шах(3, 7, 7) = 7.
В случае назначения на участок маршрута ния АСДНР получим: эвакуации №1 подразделения №2 для проведе-
Б1?!2 = тах Ь3 = тах(0; 4; 0) = 4;
]=1,2,...,т
Р^2 = тах тт (Ь3 + ^) = тах(тт((0 + 7); (4 + 6); (0 + 8)); тт((0 + 3); (4 + 5);
г=к+!,...,п 3 = !,2,...,т
(0 + 2)); тт ((0 + 9); (4 + 8); (0 + 7)); тт ((0 + 4); (4 + 3); (0 + 3))) = тах (7; 2; 7; 3) = 7;
1 ' •—\т т I
Р?32 = ^ (т?=! Т3 + ЕЩ+д . гшп и3) = 1/3((0 + 4 + 0) + (6 + 2 + 7 + 3)) = 7!
т \ ]=!,2,...,т у
Г^2 = тах(^ 12, ^22, ^32) = таж(4, 7, 73) = 73
В случае назначения на участок маршрута ния АСДНР получим: эвакуации №1 подразделения №3 для проведе-
Р^3 = тах Ь3 = тах(0; 0; 5) = 5;
j=!,2,...,m
Р^3 = тах тгп (Ь3 + ^)= тах(тт((0 + 7); (0 + 6); (5 + 8)); тт((0 + 3); (0 + 5);
(5 + 2)); тт ((0 + 9); (0 + 8); (5 + 7)); тт ((0 + 4); (0 + 3); (5 + 3))) = тах (6; 3; 8; 3) = 8;
Р?33 = ^ (Е,"=! Т3 + £™=/т . гшп и3) = 1/3((0 + 0 + 5) + (6 + 2 + 7 + 3)) = 7§; Ш \ 3=!,2,...,т )
Р"3 = тах(^3, ^п23, ^п33) = тах(5,8, 7§) = 8.
В качестве перепективших) из числа конкурирующих выбирается подмножество, имеющее минимальную нижнюю границу. Так как ^1 < ^2 < ^3, то вершина, соответствующая варианту 1 = 7 выбирается в качестве
активной для проведения дальнейших) ветвле-
ТТЛ 1 тто
ния. Вершины ^ = 7 д и ^ = 8 - концевые и дальнейших) ветвления но ним не осуществляется (рисунок 2).
Рисунок 2 Дерево вариантов назначения подразделений на участок маршрута эвакуации
Из рисунка 2 видно, что для проведения ции (К = 1) целесообразно назначить подраз-АСДНР на первом участке маршрута эвакуа- деление №1.
Увеличивается значение К на единицу (К = 1 + 1 = 2), что соответствует поиску вариантов назначения подразделений на второй участок. Таким образом, необходимо назначить подразделения на все участки маршрута эвакуации. После назначения всех участ-
ков процесс ветвления останавливается и составляется расписание.
На рисунке 3 представлено дерево вариантов назначения подразделений на участки маршрута эвакуации, после оценки нижних границ всех пяти уровней дерева.
Рисунок 3 Дерево вариантов назначения подразделений на участки маршрута эвакуации
Решение предложенной задачи позволило сформировать следующий вариант расписаний: Подразделение №1 на 1 участок; подразделение №2 на 2 участок; подразделение №1 на 3 участок; подразделение №3 на 4 участок; подразделение №2 на 5 участок маршрута эва-
куации.
Данное расписание можно представить в виде диаграммы Ганта (рисунок 4). Общее время проведения АСДНР на всех участках маршрута эвакуации составило 9 часов.
Рисунок 4 Расписание проведения АСДНР на участках дорожно-транспортной сети
Предложенный способ составления расписаний позволил рационально распределить имеющиеся силы и средства постоянной готов-
ности и минимизировать общее время проведения АСДНР на всех подверженных участках маршрута эвакуации.
Литература
1. Чирков А.Н. Рыбаков А.В.. Кузьмин А.II. Общая постановка научной задачи выбора рационального маршрута движения при проведении эвакуации населения из зон возможных опасностей в условиях военных конфликтов // Научные и образовательные проблемы гражданской защиты. 2020. № 2 (45). С. 3-11.
2. Черных А.К. Козлова И.В. Подход к моделированию системы управления материально-техническим обеспечением сил и средств МЧС России в условиях чрезвычайных ситуаций регионального характера /'/' Научно-аналитический журнал «Вестник Санкт-Петербургского университета Государственной противопожарной службы МЧС России». 2015. №2. [Электронный ресурс] URL: https://cyberleriinka.ni/article/п/podhod-k-niodolirovaniyu-sistoniy-upravloniya-riiaterialrio-tehriiclieskirii-obespeclieriierii-sil-i-sredstv-riiclis-rossii-v-iisloviyali-clirezvycliayriyli (дата обращения: 01.12.2020).
3. Чирков А.Н. Рыбаков А.В.. Белоусов Р.Л.. Демин А.В. Задача определения максимального потока на дорожно-транспортной сети города при эвакуации населения // Научные и образовательные проблемы гражданской защиты. 2020. № 3 (46). С. 40 - 51.
4. Г. Вагнер. Основы исследования операций. Том 1. М.: Мир. 1972. 336 с.
5. Алексеев О.Г. Комплексное применение методов дискретной оптимизации. М.: Наука. 1987. 248 с.
6. Некоторые алгоритмы планирования вычислений в многопроцессорных системах / Фуругян М.Г.. Гончар Д.Р., Мирошник С.Н.. Рабинович Я.II. / под ред. к.ф.-м.н. Л.Л. Вышинского. М.: ФИЦ НУ РАН. 2017. 38 с.
7. Нейдорф Р.А.. Кобак В.Г.. Красный Д.Г. Точное решение неоднородной распределительной задачи модификацией алгоритма Алексеева /'/' Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Серия: Технические науки. 2008. №1. [Электронный ресурс]. URL: littps://cyberleriirika.ni/article/ri/toclirioe-reslieriie-rieodriorodrioy-raspredelitelrioy-zadachi-riiodifikatsiey-algoritriia-alekseeva (дата обращения: 01.12.2020).
8. Фуругян М.Г. Некоторые алгоритмы решения минимаксной задачи составления многопроцессорного расписания // Изв. РАН. ТиСУ. 2014. № 2. С. 50 - 56.
9. Теория расписаний и вычислительные машины. Под общей редакций Э.Г. Коффмана. М.: «Наука». 1984. 336 с.
10. Э. Майника. Алгоритмы оптимизации на сетях и графах. М.: Мир. 1981. 324 с.
METHODOLOGICAL APPROACH TO RATIONAL DISTRIBUTION OF FORCES AND FUNDS FOR CARRYING OUT WORK ON POPULATION
EVACUATION ROUTES
Anatoly RYBAKOV
doctor of technical sciences, professor, head of the research center Civil Defence Academy EMERCOM of Russia Address: 141435, Moscow region, city Khimki, md. Novogorsk
E-mail: anatoll_rubakovQmail.ru
Alexander MAZANIK
doctor of military sciences, professor,
chief researcher of the research center
Civil Defence Academy EMERCOM of Russia
Address: 141435, Moscow region, city Khimki,
md. Novogorsk
E-mail: agz.u.sQyandex.ru
Alexey CHIRKOV
adjunct research center
Civil Defence Academy EMERCOM of Russia Address: 141435, Moscow region, city Khimki, md. Novogorsk
E-mail: udm.sharkanQrambler.ru
Roman BELOUSOV
candidate of technical sciences, researcher
at research department (for civil
defense and emergency situations)
Civil Defence Academy EMERCOM of Russia
Address: 141435, Moscow region, city Khimki,
md. Novogorsk
E-mail: scilabQamchs.ru
Abstract. In the conditions of a military conflict, with a threat to the life and health of people, a decision may be made to evacuate the population, material and cultural values to safe areas. Evacuation routes can be blocked for the passage (passage) of the evacuees partiall y or completely due to the enemy's influence by conventional means of destruction. This can lead to a decrease in the capacity of the entire road transport network and to an increase in evacuation time. This article proposes an approach that allows the distribution of forces and means of constant readiness over the sections of the road transport network in such a way as to increase the throughput of the road transport network on the one hand, on the other hand, so that the increase in throughput per unit of time is maximum, taking into account existing restrictions. The solution to the problem is based on the branch and boundary method, with the help of which a section of the road transport network is assigned to a separate unit, where it is necessary to carry out restoration work. Keywords: emergency, rescue and other urgent work, elimination time, algorithm, branch and boundary method.
Citation: Rybakov A.V., Mazanik A.I., Chirkov A.N., Belousov R.L., Methodological approach to rational distribution of forces and funds for carrying out work on population evacuation routes // Scientific and educational problems of civil protection. 2020. No. 4 (47). p. 86 - 95 .
References
1. Chirkov A.N., Rybakov A.V., Kuzmin A.I. General formulation of the scientific problem of choosing a rational route of movement when evacuating the population from areas of possible dangers in conditions of military conflicts // Scientific and educational problems of civil protection. 2020. No. 2 (45). S. 3 - 11.
2. Chernykh A.K., Kozlova I.V. An approach to modeling the management system for the material and technical support of the forces and means of the EMERCOM of Russia in emergency situations of a regional nature // Scientific and analytical journal "Bulletin of the St. Petersburg University of the State Fire Service of the EMERCOM of Russia". 2015. No. 2. [Electronic resource] URL: https: / / cyberleninka.ru / article/n/podhod-k-modelirovaniyu-sistemy-upravleniya-materialno-tehnicheskim-obespecheniem-sil-i-sredstv-mchs-rossii-v-usloviyah-chrezvychaynyh (date of access: 01.12.2020).
3. Chirkov A.N., Rybakov A.V., Belousov R.L., Demin A.V. The problem of determining the maximum flow on the road transport network of the city during the evacuation of the population // Scientific and educational problems of civil protection. 2020. No. 3 (46). S. 40 - 51.
4. G. Wagner. Operations Research Fundamentals. Volume 1. M .: Mir. 1972. 336 s.
5. Alekseev O.G. Complex application of discrete optimization methods. M .: Science. 1987. 248 s.
6. Some algorithms for scheduling computations in multiprocessor systems / Furugyan M.G., Gonchar D.R., Miroshnik S.N., Rabinovich Ya.I. / ed. Ph.D. L.L. Vyshinsky. Moscow: FITs IU RAN. 2017. 38 s.
7. Neidorf R.A., Kobak V.G., Krasny D.G. Exact solution of a non-uniform distribution problem by a modification of Alekseev's algorithm // Izvestiya vuzov. North Caucasian region. Series: Engineering Sciences. 2008. No. 1. [Electronic resource]. URL: https://cyberleninka.ru/article/ii/tochnoe-reshenie-neodnorodnoy-raspredelitelnoy-zadachi-modifikatsiey-algoritma-alekseeva (date of access: 01.12.2020).
8. Furugyan M.G. Some algorithms for solving the minimax problem of compiling a multiprocessor schedule // Izv. RAS, TISU. 2014. No. 2. S. 50 - 56.
9. Schedule theory and computers. Edited by E.G. Coffman. M .: "Science". 1984. 336 s.
10. E. Mainik. Optimization algorithms on networks and graphs. M .: Mir. 1981. 324 s.
