CC BY
19
ОСНОВАНИЯ И ФУНДАМЕНТЫ, ПОДЗЕМНЫЕ СООРУЖЕНИЯ
УДК 624.131
А.Н. Богомолов, А.Н. Ушаков
ФГБОУ ВПО «ВолгГАСУ»
ЗАДАЧА ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ИНТЕНСИВНОСТИ ЛИНЕЙНО-КУСОЧНОЙ НАКЛОННОЙ НАГРУЗКИ ПО ВЕЛИЧИНЕ ОСАДКИ УЧАСТКА ГРУНТОВОГО МАССИВА
Установлена связь между величиной интенсивности линейно-кусочной наклонной нагрузки, перемещением заданного участка границы полуплоскости и величиной осадки грунтового массива, позволяющая по величине перемещения или осадок и физико-механическим свойствам среды получить значение величины интенсивности наклонной нагрузки, приложенной к заданному участку. Приведены примеры решения задач для случая произвольной трапециевидной наклонной нагрузки.
Ключевые слова: линейно-кусочная нагрузка, осадка грунтового массива, полуплоскость.
В [1] в рамках линейно-деформируемой модели среды методом комплексных потенциалов Колосова — Мусхелишвили [2, 3] было получено решение задачи о напряженно-деформированном состоянии грунтового массива, к участку границы которого приложены различные кусочно-линейные наклонные нагрузки (рис. 1, 2), а также формулы осадки грунтового массива при принятых законах нагружения.
0 а
ч а
Ь ч с б
X
0 ч а ч Ь в
Рис. 1.
Рис. 2.
Рассмотрим обратную задачу, т.е. задачу о нахождении интенсивности нагрузки, меняющейся по линейно-кусочному закону по заданной величине смещения участка границы или по известной величине осадки. В [4, 5] были рассмотрены случаи решения обратной задачи для случая равномерно распределенной и треугольной нагрузок (см. рис. 1).
Ниже на основании полученных авторами результатов в [1] рассматривается обратная задача для случая произвольных трапециевидных наклонных нагрузок (см. рис. 2).
у
у
л
X
0
■
У
У
X
0
0
б
У
X
0
в
ВЕСТНИК
МГСУ.
12/2012
Пусть на отрезке 0 < t < с оси Ох задана наклонная трапециевидная полосовая нагрузка (рис. 2, а), где р и q — действительные положительные числа, являющиеся величинами интенсивности вертикальной (р) и горизонтальной компонент трапециевидной нагрузки на заданном участке.
Формула осадки для рассматриваемой трапециевидной нагрузки имеет вид [1]
р(1 - 2 V) х
2лца
уаг^
с \ а-х
(а- х)
1п
х
I—1п
-х21п
х + у
> "Л
РV
4пца
V у у
(
(а- х)2 + у
(а - х)2
(а -х) 1п
(а - х)2 + у2Л
(а-х)
+ у2 1п
{(а - х)2 + у2 Л
2 , 2 х + у
( 2 х2 + у
> Л Л
р(а -х) 4лц
1п
(а - х)2 + у2
(а - х)
Р(1- 2v)
yaгctg
Ь - х
-уаг^
у
Р(1 -V)
р(1 - 2 v)( х- с)
2лц(с - Ь)
2лц
yaгctg
(Ь - х) 1п
{ Ь-х)2 + у2 )
(Ь -х)2
2лц + (х - а) 1п
^ \2 , 2^) (х -а) + у
(х - а)2
' 1 > х-Ь
(х -Ь)
1п
(х -Ь)2 + у2
(х -Ь)2
+ yaгctg
РV
с - х
(с - х)
1п
4л(с - Ь)ц
V у у
Г (
(с -х)21п
I \2 . 2
(с - х) + у (с - х)2
(с - х) + у
(с -х)
+ у21п
I \2 . 2
(с - х) + у (х - Ь)2 + у2
-(х - Ь)21п
(х - Ь)2 + у (х - Ь)2
Р(х -Ь)
[(с-х) • aгctg 1-х-аг^ [у
2лц V V с - х у V х
дуу
2лц
4лц
/
1п
(х -Ь)2 + у2 (х - Ь)2
1п
I \2 , 2 >
(с- х) + у
2 2 х2 + у2
(1)
где ц = Е/(2(1 + V)) — модуль сдвига; Е — модуль упругости (модуль Юнга), V — коэффициент Пуассона, связанный с коэффициентом бокового давления ^ соотношением ^0 =v(1 -V)-1 .
Пусть участок 0 < г < с подвержен перемещению интенсивности р по горизонтали и у по вертикали, причем р > 0, у > 0 . Формула осадки для данного случая была получена в [1] и имеет вид
в с (2х - с ) у 2
5 = -
лК(х2 + у2)((х - с )2 + у2)
--[ arctg{ у л
, агс^ 1 211
с - х у V х У У пк
Г 3 )
у - х (х - с ) у
(2)
V2 + у2 )( - с )2 + у2) где К = 3-. Заметим, что при х^ да и у ^0, 5^ 0 , а при у ^ -да, 5 ^ -у.
Теперь предположим, что при заданной наклонной трапециевидной нагрузке ц(см. рис. 2, а) и перемещении участка 0 < t < с в одних и тех же точках грунтового массива получаются осадки равных величин. Тогда из (1) и (2) имеем
р д
У = / (х у, V), Р = g (X, у, V),
2ц"
2ц
(3)
где
f(y, v) =
(1-2v)x
y arctgl ——— 1 + y arctgl — 1 +
У J ly) 2
x ^ + (— - x)j ( (a - x)2 + y2 (a - x)2
2 , 2\ Л
x, I x + y +—ln1
v
2— ^ 2 , ,.2 Л Л
((— -x)2in -x)2 +2y21-x2 ln lx2 + y2 (a- x)
+y2ln l(° - x) + y
(a - x)
(a - x) ( (a - x) + y
ln
6 - x I
+yarctgl lï-- | | + (1 -v)
(
I + (1 - 2v)l y arctgl-| +
(— - x) J l l у J
(6-x)lnj (6-x)2 +y21 + (x-—)lnl(x-—)2 + У ^
(6 -x)2
(x -a)
(1- 2v)(x - c)
(c - 6)
( x - 6 Л I c - x Л (c - x) ((c - x)2 + y2 Л
yarctg J+yarctg l—J+Vln l^dr J+
, (x-6)ln ((x-6)2 +y2 (x -6)2
2(c - 6)
(c-x)2ln ((c-x)2 +/ +
Vln |-( x-6)2ln ((6 - x)2 + У
(6 - x)2 + y
+ (x-6)ln ((6-x)2 +y2
(6 - x)2
g(x, y, v) = [N(x2 + y2)((c - x)2 + y2)
-(1 - 2v) I (c - x)arctg I I-x arctg I —
При y ^ - 0
(4)
(5)
f(x, y, v) ^
nNx (c - x)
2ac nKx(c - x)
2c
nKx(c - x)2
2c(c - b)
при 0 < x < a ; при a < x < b ; при b < x < c,
причем при x ^ 0 и x ^ c , f (x,0, v) ^ 0, при x ^ a + 0, f (x,0,v) ^ ^Na(c—, a прИ
2c
x ^ 6 + 0, f (x,0, v) ^
rcN6(c - 6) 2c '
Далее, при 0 < x < c, y ^ - 0, g (x, y, v) ^ +œ, при x ^ c/ 2
g(x,y,v)^
N (c2/4 +y2 )2 ( 2(1 - 2v)arctg (2 y/c) - cyj (c
2cy
при X ^ с
g(х, у, V) + у2 )
уу 1п
■у2,
- (1 - 2у )с arctg
Полагая /с (Хс,Ус, V) = /(х,у,v)/c, gc (Хс,Ус, V) = g(х,у,v)/c, Хс = х/с, Ус = у/с, ас = а / с, Ьс = Ь / с и представляя (4) и (5) в безразмерном виде, построим таблицы значений функций /с (хс, ус, у) и gс (хс, ус, у) при ас = 1/3 , Ьс = 2/3 и v = 0,3 (песчаный грунт) (табл. 1, 2).
Табл. 1. Значения /с (хс, ус, V)
х/с
0,0 0,1 0,2 1/3 0,4 0,5 2/3 0,7 0,8 0,9 1,0
0,0 0,000 0,076 0,272 0,628 0,679 0,707 0,628 0,534 0,272 0,076 0,000
0,1 -0,004 0,065 0,279 0,686 0,763 0,793 0,686 0,591 0,279 0,065 -0,004
0,2 -0,002 0,079 0,282 0,668 0,769 0,816 0,668 0,577 0,282 0,079 -0,002
0,3 0,009 0,106 0,301 0,646 0,748 0,801 0,646 0,565 0,301 0,106 0,009
0,5 0,049 0,169 0,353 0,629 0,712 0,757 0,629 0,566 0,353 0,169 0,049
0,7 0,098 0,228 0,402 0,634 0,701 0,736 0,634 0,584 0,402 0,228 0,098
1,0 0,169 0,302 0,462 0,656 0,708 0,735 0,656 0,615 0,462 0,302 0,169
Табл. 2. Значения gс (с, ус, у)
у/с х/с
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,1 0,292 0,380 0,724 1,061 1,296 1,379 1,296 1,061 0,724 0,380 0,179
0,2 0,445 0,324 0,400 0,596 0,694 0,729 0,694 0,596 0,400 0,324 0,218
0,3 0,557 0,297 0,377 0,450 0,502 0,520 0,502 0,450 0,377 0,297 0,212
0,5 0,729 0,206 0,262 0,302 0,326 0,335 0,326 0,302 0,262 0,206 0,126
0,7 0,871 0,059 0,119 0,157 0,179 0,187 0,179 0,157 0,119 0,059 -0,03
1,0 1,063 -0,28 -0,206 -0,157 -0,130 -0,120 -0,130 -0,157 -0,206 -0,28 -0,38
Пример 1. Пусть на участке 0 < ? < 60 , т.е. шириной 60 м при среднем давлении (за вычетом давления от собственного веса) приложена равнобочная трапециевидная наклонная нагрузка с вертикальной составляющей интенсивности р = 300 КПа и горизонтальной составляющей интенсивности q = 100 КПа. Грунт — мелкий песок, д = 11,5 МПа, V = 0,3. Найти величины смещения р и у для данного участка в точке х = 24 м, у = -6 м и величину осадки в этой точке.
По первой из формул (3) с использованием табл. 1 в точке х = 24 м, у = -6м имеем у = -0,595 м; осадка в данной точке, вычисленная по формуле (2), дает значение sJ = -0,036 м. По второй из формул (3) с использованием табл. 2 в этой точке получим в = 0,337 м; осадка будет равна =-0,0017 м. Осадка, вызванная вычисленными вертикальным у и горизонтальным р перемещениями рассматриваемого участка границы, равна сумме полученных значений з = ^р + ^ = -0,0377 м.
2
с
Заметим, что те же значения осадок в данных точках получаются по формуле (1) при действии наклонной нагрузки заданной интенсивности. В случае лишь вертикальной нагрузки р = 300 КПа, приложенной к участку 0 < ? < 50 границы полуплоскости, осадка в заданной точке 5 = s„í.
Если интенсивность горизонтальной нагрузки q = 0, то и р = 0. Тогда формула связи между величиной интенсивности вертикальной нагрузки и смещением заданного участка границы выражается первой из формул (3). Ясно, что из формул (3) имеем
2|ду 2цР (3')
р =--——, Ч = ———, (3 )
/ (X У, V) Я (х, у, V) т.е. по заданным величинам смещения участка границы с использованием табл. 1 и 2 можно получить величину интенсивности наклонной нагрузки, приложенной к данному участку.
Теперь установим связь между интенсивностью наклонной равномерно распределенной нагрузки и величиной осадки грунтового массива в некоторой заданной точке этого массива. Соотношение (1) принимает вид
s = ( X, у, v) + X, y, v),
2лц 2лц
(6)
где
(1 - 2v) x
r(x, y, v) :
, 2 . 2 Л Л x, I x + y 1 I— ln
. a - x Л | x Л ( a - x), f ( a - x)2 + y2
yarctg| — j + yarctg[yJ+ ln
v 2 a
(
(a-x)2 ln| (a-x) +2y I-x2ln ( a - x )
2 2 x2 + y
^ Л
+ y2ln| (a -2x) +2 y x + y
+yarctg| II + (1 -v)
b - x
(a - x))lnI (a - x) +2y 1 + (1 - 2v)| yarctg
(a - x)2 ) У y y
1 (b - x)lnf (b - x)2 +y2 V (x - a)lnf (x - a)2 + y2 ^
(b - x)2
( x - a)
(1 - 2v)(x - c)
(c - b)
4 , x - b Л , f c - x Л (c - x), f (c - x)2 + y2
yarctg|-|+ yarctg|-| + ^—- ln1
( x - b)ln f ( x - b)2 + y2 ЛЛ (x - b)2
2(c - b)
(c - x)2 ln
2 У (c - x)2
\2 , 2 '
2, I (c - x) + y +y ln1
2 2 (x - b)2 ln f (b - x)2 + y2 ) I (x - b)2
П Л
(c - x)
( x - b)ln f ( x - b)2 + y2
h( x, y, v) = vy ln
f (c - x)2 + y2 Л x2 + y2
- (1 - 2v)| (c - x)arctg
2 y (x - b) y
- xarctg| y
c - x ) У x
(7)
(8)
Пусть 51 и 52 — значения полных осадок в некоторых заданных точках (Х1, У1) и (Х2, У2) грунтового массива. Тогда интенсивность трапециевидной наклонной нагрузки определяется из системы линейных уравнений
p q ,
s1 = —— r1 +—— h1,
p q 1
s2 = -"-r2 + "-h2,
2лц 2лц
(9)
где г = г(хI, уI, у), Ъ = к(х}, у^, у), I = 1,2 — значения функций (7) и (8) в точках (х1, у1) и (х2, у2). Решая систему уравнений (9), получаем
р = 2т1Ц, q = 52
, , , (10)
г2к1 "г1к2 г2А"гА
Согласно (7) и (8), г = г (х, у, V) и к = к( х, у, V) обращаются в нуль при у = 0, поэтому точки, лежащие на границе полуплоскости, не могут быть использованы для нахождения интенсивностей вертикальной и горизонтальной нагрузок. Кроме того, для выражения г = г (х, у, V) необходимо исключить из рассмотрения все точки, лежащие на оси ординат и прямых х = а и х = Ь, а для выражения к = к(х, у, V) необходимо исключить из рассмотрения точки, лежащие на оси х = с/2, так как при любом значении ординаты выражение к( х, у, V) при х = с/ 2 обращается в нуль.
Представляя функции (7) и (8) в безразмерном виде, построим таблицы значений функции гс (хс, ус, V) и кс (хс, ус, V) при ас = 1/3 , Ьс = 2/3 и v = 0,3 (песчаный грунт).
Табл. 3. Значения гс (хс, ус, V)
х/с
у/ с 0,0 0,1 0,2 1/3 0,4 0,5 2/3 0,7 0,8 0,9 1,0
0,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
0,1 -0,006 0,036 0,083 0,141 0,144 0,144 0,141 0,129 0,083 0,036 -0,006
0,2 -0,003 0,078 0,175 0,290 0,305 0,308 0,290 0,267 0,175 0,078 -0,003
0,3 0,016 0,131 0,271 0,434 0,463 0,473 0,434 0,401 0,271 0,131 0,016
0,5 0,089 0,259 0,461 0,694 0,745 0,769 0,694 0,647 0,461 0,259 0,089
0,7 0,189 0,397 0,639 0,915 0,481 1,012 0,915 0,859 0,639 0,397 0,189
1,0 0,352 0,597 0,873 1,186 1,263 1,301 1,186 1,122 0,873 0,597 0,352
Табл. 4. Значения кс (хс, ус, V)
у/с х/с
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
0,1 -0,098 -0,103 -0,074 -0,047 -0,023 0,000 0,023 0,047 0,074 0,103 0,099
0,2 -0,116 -0,136 -0,112 -0,077 -0,039 0,000 0,039 0,077 0,112 0,136 0,116
0,3 -0,107 -0,132 -0,119 -0,086 -0,045 0,000 0,045 0,086 0,119 0,132 0,108
0,5 -0,056 -0,083 -0,085 -0,067 -0,036 0,000 0,036 0,067 0,085 0,083 0,056
0,7 0,011 -0,020 -0,032 -0,030 -0,018 0,000 0,018 0,030 0,032 0,020 -0,011
1,0 0,106 0,068 0,040 0,022 0,009 0,000 -0,009 -0,022 -0,040 -0,068 -0,106
Если к участку границы приложена только вертикальная нагрузка или только горизонтальная нагрузка, то их интенсивности определяются по формуле (6). Имеем
з
Р = -2пЦ—--, (11)
Г (X, у, у)
где у Ф 0, 5 < 0,
д = 2тс|д-
(12)
Ъ( х, у, у)' где х Ф 0,5, у Ф 0,5 > 0.
Пример 2. В условиях примера 1 найти интенсивность приложенной нагрузки, если в точке х = 24 м, у = -6м величина осадки л =- 0,031 м, а в точке х = 48 м, у = -12 м величина осадки л =-0,032 м.
л
Пользуясь табл. 3 и 4 для значений хс = 0,4, ус =-0,1 и хс = 0,8, ус =-0,2, по формулам (10) получаем р = 250 КПа, ч = 50 КПа.
Пример 3. Пусть теперь на том же участке грунтового массива с теми же физико-механическими свойствами приложена некоторая вертикальная нагрузка, распределенная по закону равнобедренной трапеции. Найти интенсивность приложенной нагрузки, если в точке х = 24 м, у = -12 м величина осадки л =-0,050 м.
По формуле (11) с использованием табл. 3 для значения хс = 0,4, ус = -0,2 получаем р = 200 КПа.
В [6] показано, что при а ^ 0 компоненты напряжения произвольной трапециевидной нагрузки (см. рис. 2 а) переходят в компоненты напряжения прямоугольной трапециевидной нагрузки (см. рис. 2, б).
Формула осадки в случае данной нагрузки имеет вид
py(l- 2 v)
+xln
(c - x) +--- ln
2лц
( X2 ^
arctg
b - x . У
+ arctg
^ p(1 -v/
X
V У/у
2лц
(b - x) ln
( b - x)2 + y2^ (b - x)2
p(1 -2v)(x -c)
2n|(c - b)
yarctg
x-b
2
pv
4n|(c - b)
q(i - 2 v) 2n|
(c -x)2 + y2 (c - x)2
(c - x)2 ln (c - x) arctg
(x-b).
+ --- ln
(c-x) + y (c -x)2
v у (x-b)2 +y
+ yarctg
y
(x -b)2
p(x -b) 4n|
ln
(x -b)2 + y2 (x -b)2
+ У ln
(c-x) + y (x-b)2+y2
-( x -b)2 ln
(x-b)2 + y ) (x -b)2
-x arctg l — | 1 + ^- ln c -x / V x )) 2n|i
fi \2 , (c-x) + y
2 , 2 x + У
(13)
Тогда связь между перемещением заданного участка границы и наклонной нагрузкой выражается формулой
p q
Y = -— /i( x, У, v), P = — &1( x, У, v), 2| 2|
где
fi( x, У, v):
(1 - 2v)
b — x i ( x
y arctgl-| + y arctg | —
y / V у
+(1 -v)
(b - x) ln
//7. \2 2 \
(b - x) + y
(1- 2v)(x - c)
(c - b) (x -b)
yarctg
(b - x)2 ' x-t
- x ln
( 2 2\Л
x + y
y
c — x i (c — x) -y arctgl-| + --- ln
2 , ..2^1
(c - x)2 + y
(c - x)
ln
+y ln
7-x)2 + y2
(b -x)2
2 , 2 A
2(c - b)
(c - x)2 ln
(c - x)2 + y2 Л (c -x)2
(c - x) + y
(b - x)2 + y2
- (b - x)2 ln
2 , Л Л
(b - x)2 + y
(x-b).
+ --- ln
2
^ 'b - x)2 + y2 (b - x)2
/ cy
/ к
(b - x)2 2
y - x(x - c) (x2 + y2 )((c - x)2 + y2)
-arctg | —— |-arctg l —
c x / v x y
(3)
. (14)
а gl( х, у, V) = g (х, у, V) и выражается формулой (5). Заметим, что при у ^ - 0
лКх(с - х)
/(х, у,у) ^
2с
лКх(с - х)2
2с(с - Ь)
при 0 < х < Ь; при Ь < х < с,
причем при х ^ 0 и х ^ с , /(х,0, V) ^ 0, при х ^ Ь + 0 , /(х,0,V) ^
яКЬ(с - Ь) 2с '
Представляя функцию /1( х, у, V) в безразмерном виде, построим, как и выше, таблицу значений функции /^ (хс,ус, V) при Ьс = 0,5 и v = 0,3 (песчаный грунт) (табл. 5).
Табл. 5. Значения (хс, ус, у)
х/с
у/с 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,0 0,000 0,254 0,452 0,594 0,679 0,707 0,543 0,356 0,181 0,051 0,000
0,1 0,041 0,265 0,484 0,477 0,750 0,774 0,593 0,373 0,174 0,039 -0,004
0,2 0,085 0,297 0,492 0,660 0,766 0,773 0,600 0,375 0,174 0,045 -0,005
0,3 0,129 0,343 0,515 0,664 0,758 0,753 0,593 0,380 0,190 0,061 0,000
0,5 0,215 0,430 0,573 0,682 0,740 0,719 0,886 0,408 0,239 0,107 0,026
0,7 0,290 0,499 0,622 0,704 0,739 0,710 0,597 0,445 0,291 0,158 0,064
1,0 0,379 0,575 0,679 0,739 0,757 0,725 0,627 0,497 0,359 0,230 0,128
Значения g1с (хс, ус, у) = gс (хс, ус, у) будем определять по табл. 2.
Пример 4. Рассмотрим участок 0 < ? < 50 , т.е. шириной 50 м, к которому при среднем давлении (за вычетом давления от собственного веса) приложена прямоугольная трапециевидная наклонная нагрузка (см. рис. 2, б), с вертикальной составляющей интенсивности р = 200 КПа и горизонтальной составляющей интенсивности д = 75 КПа. Грунт — мелкий песок, ц = 11,5 МПа, V = 0,3. Найти величины смещения р и у для данного участка в точке х = 20 м, у = -5 м и величину осадки в этой точке.
Используя первую из формул (3 ) и табл. 5, в точке х = 20 м, у = -5 м имеем у = -0,325 м; осадка в данной точке, вычисленная по формуле (2), дает значение = -0,0196 м. По второй из формул (3 ) с использованием табл. 2 в этой точке получим р = 0,211 м; осадка будет равна лр =-0,0012 м. Осадка, вызванная вычисленными вертикальным у и горизонтальным р перемещениями рассматриваемого участка границы, равна сумме полученных значений л = лр + ^ = -0,0208 м.
Связь между интенсивностью прямоугольной трапециевидной наклонной нагрузки и величиной осадки грунтового массива в некоторой заданной точке этого массива будет иметь вид, аналогичный виду формулы (7)
Г1 (х y, у) + Ъ1 (х y, V), 2дц 2дц
(7 )
л =
где
b — x 1 f x — a
rj(x, y, v) = (1 — 2v) I yarctg |-|+ yarctg
(
+ (1 —v)
y ) V y
ru M I (b — x)2 + y21 , f x2 + y2^
(b — x)lnI v „ ' J 1 + xln1 ' (b — x)
(1 — 2v)(x — c) f f x — b 1 f c — x
■ (c — b) |y arctg J + y arctg
(c — x)ln | (c — x)2 + y2 + (x — b) ln | (x — b)2 + y211
2 V (c — x) f
2(c — b)
(c — x)2lnf (c — x)2 +2у2 1 + y2lnf (c — x)2 + у
(c — x)2
(b — x)2 + y2
-< x—">2l" I ^211
(x — b) ln f (x — b)2 + y2
, , I- (15)
2 ^ (х - Ь)2 1
Для рассмотрения второго примера построим таблицу значений функции т\ (хс, ус, V) при Ьс = 0,5 и v = 0,3 (песчаный грунт) (табл. 6).
Табл. 6. Значения ri (xc,yc,v)
x/c
у/с 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
0,1 0,061 0,148 0,144 0,142 0,142 0,140 0,112 0,082 0,052 0,022 -0,006
0,2 0,141 0,293 0,306 0,306 0,304 0,292 0,238 0,173 0,108 0,045 -0,008
0,3 0,221 0,425 0,465 0,473 0,469 0,445 0,366 0,270 0,171 0,076 0,001
0,5 0,389 0,661 0,749 0,779 0,775 0,730 0,614 0,467 0,312 0,165 0,047
0,7 0,556 0,869 0,989 1,037 1,035 0,978 0,836 0,655 0,462 0,276 0,124
1,0 0,787 1,136 1,284 1,349 1,350 1,283 1,119 0,908 0,678 0,455 0,365
Значения Ъ1с (хс, ус, у) = Ъс (хс, ус, у) будем определять по табл. 4.
Пример 5. В условиях примера 4 найти интенсивность приложенной к участку 0 < ? < 50 указанной нагрузки, если в точке х = 10 м, у = -5 м величина осадки л =-0,021 м, а в точке х = 30 м, у = -10 м величина осадки л =-0,028 м.
Пользуясь табл. 6 и 4, по формулам (10) получаем р = 180 КПа, д = 60 КПа.
Пример 6. В условиях примера 4 найти интенсивность приложенной к заданному участку прямоугольной трапециевидной нагрузки, если в точке х = 20 м, у = -10 м величина осадки л =-0,031 м.
По формуле (11) с использованием табл. 6 получаем р = 150 КПа.
В [6] показано, что при с ^ Ь компоненты напряжения произвольной трапециевидной нагрузки (рис. 2, а) переходят в компоненты напряжения прямоугольной трапециевидной нагрузки, изображенной на рис. 2, в. Решения рассматриваемых выше задач для этого типа нагрузки могут быть получены аналогично приведенным в работе случаям.
В заключение заметим, что подобные задачи можно рассматривать и для нагрузок, являющихся комбинациями равномерно распределенных, треугольных и трапециевидных нагрузок.
ВЕСТНИК 12/2012
МГСУ_12/2012
Библиографический список
1. Богомолов А.Н., Ушаков А.Н. О вычислении осадки упругого основания при нагрузке, меняющейся по линейно-кусочному закону // Вестник гражданских инженеров. 2012. № 3(32). С. 143—158.
2. Колосов Г.В. Применение комплексных диаграмм и теории функций комплексной переменной к теории упругости. М.-Л. : ОНТИ, 1935. 224 с.
3. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М. : Наука, 1966. 708 с.
4. Богомолов А.Н., Ушаков А.Н. Связь между интенсивностью наклонной равномерно распределенной нагрузки, осадкой и величиной смещения участка границы грунтового массива // Вестник МГСУ 2012. № 9. С. 67—74.
5. Богомолов А.Н., Ушаков А.Н. О связи между интенсивностью наклонной треугольной нагрузки, осадкой и величиной перемещения участка границы грунтового массива // Наука и образование: архитектура, градостроительство и строительство : труды Междунар. конф. посвященной 60-летию ВолгГАСУ Волгоград, 2012. С. 44—50.
6. Ушаков А.Н., Богомолов А.Н. Напряженно-деформированное состояние упругого основания при нагрузке, меняющейся по линейно-кусочному закону // Вестник Волгогр. гос. архит.-строит. ун-та. Сер.: Стр-во и архит. 2011. Вып. 23 (42). С. 17—34.
Поступила в редакцию в октябре 2012 г.
Об авторах: Богомолов Александр Николаевич — доктор технических наук, профессор, проректор по научной работе, заведующий кафедрой гидротехнических и земляных сооружений, ФГБОУ ВПО «Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет» (ФГБОУ ВПО «ВолгГАСУ»), 400074, г. Волгоград, ул. Академическая, д. 1, 8 (8442) 96-99-54, banzaritcyn@mail.ru.
Ушаков Андрей Николаевич — кандидат технических наук, доцент, докторант кафедры гидротехнических и земляных сооружений, ФГБОУ ВПО «Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет» (ФГБОУ ВПО «ВолгГАСУ»), 400074, г. Волгоград, ул. Академическая, д. 1, 8 (8442) 96-99-54, andrey.ushakov@vgi.volsu.ru.
Для цитирования: Богомолов А.Н., Ушаков А.Н. Задача об определении интенсивности линейно-кусочной наклонной нагрузки по величине осадки участка грунтового массива // Вестник МГСУ. 2012. № 12. С. 85—95.
A.N. Bogomolov, A.N. Ushakov
PROBLEM OF IDENTIFICATION OF INTENSITY OF THE PIECE-WISE LINEAR INCLINED LOAD ON THE BASIS OF THE SOIL SEDIMENT VALUE OF THE SOIL MASS
The authors have identified the relation between the value of intensity of the piece-wise linear inclined load, displacement of the pre-set area of the half-plane boundary and the soil sediment value. Availability of this relation makes it possible to identify the value of intensity of the inclined load applied to the pre-set section on the basis of the displacement, sediments and physical-mechanical properties of the medium. Examples of solutions to the aforementioned problem are provided in respect of an arbitrary trapezoidal inclined load.
Key words: piecewise linear load, soil mass sediment, half plane.
References
1. Bogomolov A.N., Ushakov A.N. O vychislenii osadki uprugogo osnovaniya pri nagruzke, menyay-ushcheysya po lineyno-kusochnomu zakonu [On Calculation of the Value of the Sediment of an Elastic Foundation Exposed to the Load Variable in Furtherance of the Piecewise-linear Pattern]. Vestnik grazh-danskikh inzhenerov [Bulletin of Civil Engineers]. 2012, no. 3(32), pp. 143—158.
2. Kolosov G.V. Primenenie kompleksnykh diagramm i teorii funktsiy kompleksnoy peremennoy k teorii uprugosti [Application of Multi-component Diagrams and the Theory of Functions of the Complex Variable to the Theory of Elasticity]. Moscow-Leningrad, ONTI Publ., 1935, 224 p.
3. Muskhelishvili N.I. Nekotorye osnovnye zadachimatematicheskoy teoriiuprugosti[Some Principal Problems of Mathematical Theory of Elasticity]. Moscow, Nauka Publ., 1966, 708 p.
4. Bogomolov A.N., Ushakov A.N. Svyaz' mezhdu intensivnost'yu naklonnoy ravnomerno raspre-delennoy nagruzki, osadkoy i velichinoy smeshcheniya uchastka granitsy gruntovogo massiva [Relation Between the Intensity of an Inclined Uniformly Distributed Load, Settlement and Displacement of the Section of the Soil Mass Boundary]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 9, pp. 67—74.
5. Bogomolov A.N., Ushakov A.N. O svyazi mezhdu intensivnost'yu naklonnoy treugol'noy nagruzki, osadkoy i velichinoy peremeshcheniya uchastka granitsy gruntovogo massiva [On Relation between the Intensity of an Inclined Triangular Load, Sediment and the Displacement Value of a Section of the Boundary of the Soil Mass]. Nauka i obrazovanie: arkhitektura, gradostroitel'stvo i stroitel'stvo [Science and Education: Architecture, Urban Development and Construction]. Works of the international conference dedicated to the 60th anniversary of VolgGASU. Volgograd, VolgGASU Publ., 2012, pp. 44—50.
6. Ushakov A.N., Bogomolov A.N. Napryazhenno-deformirovannoe sostoyanie uprugogo osnovani-ya pri nagruzke, menyayushcheysya po lineyno-kusochnomu zakonu [Stress-strain State of an Elastic Foundation Exposed to the Load Variable in Furtherance of a Piecewise-linear Pattern]. Vestnik Volgogr. gos. arkhit.-stroit. un-ta. Ser. Str-vo i arkhit. [Proceedings of Volgograd State University of Architecture and Civil Engineering. Civil Engineering and Architecture Series]. 2011, no. 23(42), pp. 17—34.
About the authors: Bogomolov Aleksandr Nikolaevich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Vice-rector for Research, Chair, Department of Hydraulic Engineering and Earthwork Structures, Volgograd State University of Architecture and Civil Engineering (VSUACE), 1 Akademicheskaya St., Volgograd, 400074, Russian Federation; banzaritcyn@mail.ru; +7 (8442) 96-99-54;
Ushakov Andrey Nikolaevich — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, doctorate student, Department of Hydraulic Engineering and Earthwork Structures, Volgograd State University of Architecture and Civil Engineering (VSUACE), 1 Akademicheskaya St., Volgograd, 400074, Russian Federation; andrey.ushakov@vgi.volsu.ru; +7 (8442) 96-99-54.
For citation: Bogomolov A.N., Ushakov A.N. Zadacha ob opredelenii intensivnosti lineyno-kusoch-noy naklonnoy nagruzki po velichine osadki uchastka gruntovogo massiva [Problem of Identification of Intensity of the Piece-Wise Linear Inclined Load on the Basis of the Soil Sediment Value of the Soil Mass]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 12, pp. 85—95.
