CC BY
39
ЗАДАЧА О РАЗМОТКЕ НИТИ С ГРУЗОМ
фйстД
О.Ю. БРЮКВИНА, ст. преподаватель каф. прикладной математики МГУЛ,
В.И. ЛОБАЧЕВ, проф., зам. ген. директора ЦУП ФГУПЦНИИМАШ, д-р техн. наук,
А.А. МАЛАШИН, проф. каф. Прикладной математики и Математического моделирования МГУЛ, д-р физ.-мат. наук
bryukvina_o@mail.ru
В течение нескольких последних лет стало очевидно, что тросовые системы являются одним из направлений, которое все более широко разрабатывается и используется в космической механике. Были полеты TSS1 и TSS1-R. Важные данные были получены от SEDS 1, SEDS 2, PMG, YES и некоторых других успешных программ по тросовым спутниковым системам. В частности YES2 демонстрирует Космическую технологию тросовой почты, то есть поставку маленького полезного груза от спутника на Землю, используя капсулу, опускаемую на тросовой системе [1]. Космический мусор является серьезной проблемой для космической деятельности человечества [2]. Тросовые системы могут использоваться для удаления космического мусора с низких околоземных и геостационарных орбит.
Целью данной работы было изучение особенностей динамического поведения тросовой системы при ее развертывании на низкой околоземной орбите и проведении анализа данных полета с учетом таких эффектов, как растяжимость троса, распространение поперечных и продольных волн в нем, управление граничным условием на одном из концов разматываемой системы. Система представляет собой два спутника, соединенных между собой гибким тросом (нитью). Масса одного из них (Foton-M3), движущегося по околоземной орбите, много больше массы второго спутника (Fotino). Предполагается, что малый спутник, при развертывании троса, движется с заданными скоростями по заданной траектории к Земле. В качестве управляющих параметров были выбраны начальная скорость малого спутника и натяжение троса, контролируемое на большом спутнике.
The second Young Engineers Satellite (YES2) является 36-килограммовой экспериментальной установкой, которая была помещена в платформу Foton, запущенную в
космос 14 сентября 2007 г. Целью эксперимента было развертывание 32-километровой тросовой системы, чтобы точно привести 6-килограммовую сферическую капсулу на заданную траекторию. Детальное описание миссии может быть найдено в [4]. Значение массы малого спутника (FOTINO + МАSS) было принято при моделировании 12 кг, а была фактически 14 кг в реальном полете, что значительно сказалось на ходе эксперимента.
1. Математическая модель для задачи развертывания тросовой системы на низкой околоземной орбите.
Спутник находится на круговой орбите радиуса R. Он вращается в плоскости с постоянной угловой скоростью ю. На конце нити, разматываемой по направлению к Земле, находится малый спутник массы m.
В системе координат, связанной со спутником внешними силами, являются сила гравитационного взаимодействия с Землей, центробежная сила и сила Кориолиса. Трос не является проводящим. Здесь мы подразумеваем, что все остальные силы по сравнению с уже учтенными пренебрежительно малы.
Ось OX направлена от спутника по направлению к Земле, ось OY - против направления движения спутника.
Применение теоремы об изменении количества движения к элементу нити позволяет получить уравнение движения [5], в проекциях на оси координат которое имеет вид
д2 y 2 д , . ч _ dx
—V = a — (e sin y) + 2ш—, dt2 ds dt
(1)
д2 x
~дё
2
=a
— (e cos y) - 2ш — + 3ш2 (s + x),
ds dt
(2)
e = yj(1 + dx / ds)2 + (dy / ds)2 -1 (3)
- относительная деформация элемента нити.
4
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2012
ДфЭст
dy / ds 1 + dx / ds
sin y = —----; cos y =---------- (4)
1 + e
1 + e
a = ,] E / p - скорость распространения продольных волн в нити.
Граничные условия
x(0,t) = y(0,t) = 0
Так как в эксперименте контролируется натяжение, то T(0,t) = T0(t) (значения определяются из предварительно сделанного расчета и технического задания).
Длина нити переменная, то есть s = l = l(t).
x(l(t),t) = XiOX y(l(t),t) = Д(Д где X1(t), 71(t) подчиняются динамическим условиям
d 2Y
m —2- = T (l, t) sin y(l, t) + 2m®
dt
ax,
dt
m
d2 Xt
dt2
= T (l, t) cos y(1 , t) -
dY
-2m® —- + 3m®2 (l + X/ ) dt
Начальные условия
s = l (t = 0) = 0 Xt (t = 0) = 0, Y (t = 0) = 0,
d d
- Xl (t = 0) = V, - Y (t = 0) = 0 dt dt
V0 - начальная скорость движения малого спутника.
2. Результаты вычислений
Рис. 1-3 иллюстрируют графики натяжения, угла отклонения и координат малого спутника. Результаты были получены для углов, координат и скоростей, приводящих к требованиям эксперимента. В частности, радиус главной круговой орбиты был принят R = 6650000m, орбитальная скорость V = 7550m/s, угловая скорость ю = 0,0011356raJ/s, масса малого спутника (Fotino +Mass) m = 12 kg, начальная относительная скорость выталкивания V0 = 2,58 m/s. Значения натяжения на головном спутнике для настоящего моделирования были взяты из технического задания YES2.
Результаты расчетов показали, что поведение спутника очень чувствительно к изменению начальной массы и скорости.
И даже минимальное отклонение от номинальных параметров приводит к существенному изменению траектории.
3. Анализ натяжения троса в конце размотки.
>н
16000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
-2000
5000 10000 15000 20000 25000 30000
X
Рис. 1. Траектория малого спутника
Рис. 2. Зависимость угла отклонения малого спутника от времени
Рис. 3. Зависимость скорости развер- Рис. 4. Зависимость длина троса от
тывания троса от времени времени
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2012
5
фйстД
50-
— -J - < -> -
t
1 1 L j
1 fii
Ji Hi! ]U LiL u 4
1 WIP ■ K li >MI71 ill*: fir If ili'i «ii iHii 5 i \
1 к П Л ~T —1 L
lb j ГТ 1 i
■ L 1
40
£ 30й о
сл
В 20-
10
8600
8610
8620
8630
8640
8650
8660
Time [s]
Рис. 5. Зависимость натяжения от времени на FOTON
Миссия YES2 была успешна, но не полностью выполнена. Малый спутник к концу размотки имел скорость большую, чем запланированная. Это произошло по нескольким причинам. Одна из них - при выполнении и соблюдении граничного режима по натяжению масса малого спутника была больше, чем расчетная масса. Чтобы понять ситуацию в конце развертывания, был выполнен анализ полученных данных полета, основанный на результатах измерений натяжения троса в конце фазы размотки (рис. 5).
Острые скачки натяжения свидетельствуют, что к концу стадии развертывания у малого спутника была некоторая скорость, которая привела к формированию продольных волн в тросе, которые распространялись от главного спутника (Foton) к малому (Fotino) и назад.
чтобы выполнить анализ процесса, мы принимаем следующие значения управляющих параметров. Скорость звука a = 10000 м/с, длина размотанного троса L = 32000 м. Таким образом, время прохождения продольной волны от Foton до Fotino т = L/a = 3,2 с (эта величина совпадает со временем прохода волны на рис. 5, что косвенно подтверждает, что трос за время эксперимента был размотан на полную длину L = 32000 м), масса Fotino со всеми устройствами 14 кг. Скорость Fotino к концу развертывания была оценена как максимальная, обеспеченная результатами на-
шего моделирования при m = 14 кг. Начальное натяжение троса Т0 « 1,5 N, EA = 5000 N - произведение модуля Юнга на площадь поперечного сечения троса, предложенное Техническим заданием.
В нашем случае EA = 5007,23 H
Зависимость скорости Fotino от времени могла быть получена для промежутков времени, за которые продольная волна идет от одного конца троса к другому t = /т, i = 1, 2...Обозначим как B величину
B
EAV
a
Т + F
10 TJ 5
где F - векторная сумма гравитационных и инерционных сил в направлении троса.
Принимая во внимание, что за время торможения углы наклона троса меняются незначительно, величину F можно считать постоянной, которая для данной длины троса и для условий полета оказалась равной F = 1,34 Н. В этом случае можно получить асимптотическое решение, которое дает цепь уравнений, позволяющих определить скорость малого спутника для каждого временного интервала
V
1т
(Vo
Ba. -—t Ba
---)e ma +---
EA EA
V
2т
. . Ba
Vit (т) ~1F7 + 2Vo
EA
-—(t-т) Ba
у ma + .
EA
- 2 V
6
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2012
ДфЭст
v
3т
V2T (т) +
Ba
EA
EA
(t-2т)
+
2 B 2 EAV
\
( m
ma J
EA
te
(t-2т)
e
+
Ba
Ea
Ba
Kz = V3T (т) + — - 2V0
EA
EA
(t-3т)
e
2EA f . . Ba Y _ .
----^(т) 777 + 2Vo (t - 3т)е
ma ( EA
-—(t-3т) ma
Ba
EA
+ 2 V
Y =
V. ™ - BA
--(t-4x) 2EA
e ma--------------x
ma
EAV0 B \ л .2
---0 I (t - 4т)2 +
ma m J
*( S - V.'» - £ - Vo I" - 4»
EA
(t-4т)
+
x
e
Ba
EA
где Vt - скорость малого спутника на каждой фазе отражения волны.
Тогда для того, чтобы определить натяжение на стороне основного спутника для i-ого временного интервала между последовательными отражениями продольной волны, есть текущая формула
T
Foton i+1
V
= —TA + T
i
a
Foton
чтобы выполнить анализ фактических данных, мы принимаем за t = 0 момент времени, когда развертывание троса заканчивается (скорость на стороне Foton равна нулю). Зависимость скорости Fotino от времени представлена на рис. 6.
Заметим, что в течение времени т = 3,2s Fotino не чувствует, что размотка закончилась. Затем его скорость начинает уменьшаться, пока она не достигает отрицательных величин к моменту конца наших вычислений. Если бы отсечка троса была выполнена после того момента, Fotino должен был продолжить перемещаться в противоположном направлении и его дальнейшая траектория могла быть вопросом независимого исследования.
Полученное решение позволяет получить изменение натяжения троса как на Foton (рис. 7), так и на Fotino (рис. 8). Решение показывает, что сначала, при остановке размотки троса, натяжение на Foton оказывается приблизительно 8 Ни сохраняется постоянным до прихода отраженной волны, которая после прихода со стороны Fotino увеличивает натяжение до 23 Н, которое потом уменьшается из-за постепенного замедления малого спутника Fotino. Волна отражается от Foton, возвращается к Fotino спустя приблизительно 10 секунд после начала процесса и возвращается назад к Foton, что приводит к другому увеличению натяжения приблизительно в 13 сек. Дальнейшее замедление массы конца приносит к уменьшению натяжения.
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2012
7
фйстД
Время с
Рис. 7. Зависимость натяжения от времени на Foton
-10 -5 0 5 10 15 20 25
Время, с
Рис. 8. Зависимость натяжения от времени на Fotino
После 15 сек. скорость становится отрицательной, что предотвращает от отражения волны натяжения. Таким образом, очень маленький пик прибывает в сторону Foton после 20 сек. и натяжение уменьшается до нуля, который приводит к частичному складыванию троса.
Сравнение результатов нашего динамического моделирования для заключительного этапа развертывания тросовой системы с фактическими данными по значению натяжения в тросе (рис. 5) дает очень хорошее согласие, особенно с точки зрения временных интервалов отражений волн. Это свидетельствует о факте, что наше моделирование было очень близко к действительности, и это немедленно ведет нас к заключению, что развернутая длина троса составляла 32 км, но не 8 км, как об этом сообщили по завершении миссии, основываясь на некоторых косвенных измерениях.
Выполненный анализ и система уравнений приводят нас к заключению, что при-
нятие во внимание распространения поперечных и продольных волн необходимо учитывать в расчетном поведении тросовых систем особенно на стадии торможения.
Библиографический список
1. Kruijff M., van der Heide E. J. The YES Satellite: a tethered momentum transfer in the GTO orbit, Proceedings of Tether Technology Interchange Meeting, NASA/CP-1998-206900, Jan. 1998.
2. Smirnov, N.N. (Ed.) Space debris hazard evaluation and mitigation. Taylor and Francis, 2002, London, New York.
3. Zvyaguin, A.V., Demyanov Yu.A., Kuksenko B.V, Malashin A.A., Luzhin A.A., Smirnov N.N. Dynamics of tether systems deployment in low Earth orbits. Proc. Scientific Conf. “Lomonosovskie Chteniya” Mechanics. Moscow Univ. Press. 2007, p. 68.
4. Kruijff M., van der Heide E. J., Ockels W.J., Gill E. First Mission Results of the YES2 Tethered Space Mail Experiment. AIAA pap. 092407, 2008, No 7385.
5. Rakhmatulin, Kh.A., Shemyakin E.I., Demyanov Yu.A., Zvyaguin A.V. Strength and fracturing in impulse loading. Moscow: Logos Publ. 2008, 650 p. (in Russian)
8
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2012
