CC BY
12
УДК 539.21
Задача о расчете напряженно-деформированного состояния, обусловленного единичным некогерентным двойником в пяти-, шести-и семигранном зерне поликристалла с гексагональной структурой
Т.В. Дробышевская, О.М. Остриков
Гомельский государственный технический университет им. П.О. Сухого, Гомель, 246746, Беларусь
Изучено напряженное состояние в зерне поликристалла с гексагональной структурой, обусловленное наличием в его теле единичного микродвойника с учетом различной конфигурации границ зерна. Разработана методика расчета полей смещений и напряжений в имеющем форму правильного многоугольника зерне поликристалла с остаточным двойником. Установлены точки локализации напряжений в зерне поликристалла, обуславливающие начало процесса зарождения разрушения.
Ключевые слова : дислокационная модель зеренных границ, двойникование, технология прогнозирования разрушения деталей машин, локализация напряжений на двумерных дефектах кристаллической решетки
Calculation of stress-strain state induced by a single non-coherent twin in a pentagonal, hexagonal and heptagonal polycrystalline grain with hexagonal structure
T.V. Drobyshevskaya and O.M. Ostrikov P.O. Sukhoi State Technical University of Gomel, Gomel, 246746, Belarus
The stress state in a polycrystalline grain with hexagonal structure which is induced by the presence of a single twin in the grain body is studied with regard to different grain boundary configurations. A procedure of calculating displacement and stress fields in a regular polygonal polycrystalline grain with a residual twin has been developed. Stress localization zones in the polycrystalline grain have been identified which define fracture initiation.
Keywords: dislocation model of grain boundaries, twinning, fracture prediction technology for machine components, stress localization on two-dimensional lattice defects
1. Введение
Проблема разрушения материалов, в том числе и вследствие двойникования, в настоящее время является весьма важной и существенной задачей. В связи с этим приобретает важность разработка методик прогнозирования и предотвращения связанного с двойникова-нием разрушения деталей машин. Однако разработка данной методики в первую очередь должна базироваться на изучении напряженно-деформированного состояния, обусловленного единичным двойником в зерне поликристалла, т.к. большинство деталей машин изготавливается из поликристаллических материалов [1, 2]. При этом следует также учитывать не только напряжения и смещения, вызванные двойником, но напряжения и смещения, обусловленные наличием других кон-
центраторов напряжений. В частности, к таким концентраторам можно отнести зеренные границы, являющиеся основным дефектом в поликристаллических металлах
[1-5].
Целью данной работы стала разработка методики расчета полей смещений и напряжений, а также изучение напряженно-деформированного состояния, обусловленного единичным микродвойником в многоугольном зерне поликристалла с гексагональной структурой, посредством анализа полей напряжений.
2. Постановка задачи
В рамках достижения поставленной цели расчеты проводим в системе MathCAD с использованием численно-аналитических методов. Рассмотрим единичные
© Дробышевская Т.В., Остриков О.М., 2015
изолированные зерна различной конфигурации (правильные п-угольники, п = 5, 6, 7), находящиеся вдали от поверхности двойникующегося поликристалла. Зе-ренные границы в данном случае представим в виде цепочек полных дислокаций, что свойственно поликристаллам с гексагональной структурой [4].
В теле каждого из рассматриваемых зерен разместим единичный остаточный клиновидный двойник. Концентратор напряжений, который обычно и является источником зарождения клиновидных двойников, в данной задаче расположен в точке O (рис. 1) на одной из границ зерна. В решении поставленной задачи будем учитывать напряжения, которые создает сам двойник, а также напряжения, созданные границами зерна. При этом, учитывая изолированность зерен, напряжения, создаваемые концентратором напряжений, и напряжения, обусловленные другими зернами поликристалла, учитывать не будем. Данное допущение позволит существенно снизить громоздкость решения и не приведет к существенному искажению результатов распределения напряжений.
При решении задачи разместим рассматриваемые зерна в систему координат XOY таким образом, чтобы граница зерна, содержащая точку O, совпадала с осью OY, а центральная линия двойника была параллельна оси OX (рис. 1).
В общем случае в плоскости XOY форма границ зерна описывается функциями /ь( к Чу 0) (граница параллельна оси OY), либо /ь(к) (х0), где k—номер зеренной границы; а форма границ клиновидного двойника — функциями х0), где т — номер двойниковой границы (рис. 1) [1, 2]. Примем, что дислокации на каждой из рассматриваемых границ параллельны друг другу и
оси 02, перпендикулярной плоскости рис. 1. Плотность
(к )
полных дислокаций на границах зерна равна рЬ , плот-
Рис. 1. Схематическое изображение зерна поликристалла и клиновидного двойника в нем
ность двойникующих дислокаций на границах клиновидного двойника равна р(^).
В условиях поставленной задачи смещения, создаваемые рассматриваемым клиновидным двойником с учетом смещений на границах зерна, в соответствии с принципом суперпозиции [1] могут быть определены по формуле
Щ = X (и(т))^(х,у) + X (и}к))ь(х,у). (1)
т=1 к=1
Здесь индекс i=х,у, z; (и(т)(х, у) — смещения, обусловленные двойниковыми границами; (и(к))ь(х, у) — смещения, обусловленные зеренными границами.
Смещения, обусловленные двойниковыми и зерен-ными границами, определяются с помощью криволинейных интегралов вдоль профилей соответствующих границ:
(и^ ^Чи^Ых,у(2)
(иР)ь =ЕТу/рЬк)(и,0))ь(хк ,ук)*■ (3)
у
Здесь (и(т'0))^(х, у) — смещения, создаваемые отдельными дислокациями на двойниковых границах и определяемые в главной системе координат XYZ (рис. 2); (и(к'0) )ь (хк, ук) — смещения, создаваемые отдельными дислокациями на зеренных границах и определяемые во вспомогательных системах координат Хк, повернутых относительно системы координат XYZ (рис. 2); Т — матрица преобразования.
В случае поворота правосторонней системы координат вокруг оси Zпо часовой стрелке на угол ак данная матрица принимает вид [3]:
( cos ак sin ак 0
т = - sin а к cos а к 0
0 0 1
V у
Рис. 2. Схема взаимного расположения дислокаций, их компонент вектора Бюргерса и декартовых систем координат для расчета полей напряжений и смещений у клиновидного двойника в теле зерна
В соответствии с [2] и с учетом (4), криволинейные интегралы (2) и (3) можно представить в виде следующих определенных интегралов:
(иг(т)^ = IV [1+ (/Г(*о))']2 X
хр«(иг(т,0)\«(х, у, хо^,
хр^Ч^Ш, ^, хк °)ёхк о, (8)
Ук+1-е ,---
(иХк))ъ(х, у) = I ^[1+ / )(Ук ,0 ))']2 X
Ук
хрЪк)(иХк,0))ъ(хк, Ук, УкМ,0 +
Ук+1-Е I-г-
+ зт«к I л/[1 + (/(^)(Ук.о))7]2 х
Ук
Ук+1-Е I-Г,-
(иУк))ъ(х,У) = -зтак I ¿1+/к)(Ук,о))']2X
Ук
хрЪк № '0))ъ(хк, Ук, Ук ,оЖ ,о +
к
Ук+1-Е I-г-
+ ео8«к I ^[1 + /к)(Ук,о))']2 х
(и((к))ъ(х, У) = I ^[1+ /ъ(к')(Ук,о)']2х
Ук
(5)
к+1 " I-—-
(иХк))ъ(х, У) = соз«к I ^[1+ /)(х'к,о))']2 х
хк
хрък)(иХк'0))ъ(хк, Ук, хк,о)ёх',о +
к
хк+1-8 ----
+ зшак I ^[1 + /к)(хк,о))']2 х
хк
хрък)(иУк'0))ъ(хк, Ук, хк,о)ёхк,о, (6)
хк+1-е I-—-
(ихк))ъ(х, У) = -зт«к I у/[1+(Л(к)(хк,о))']2х
хк
хрък)(ихк'0))ъ(хк, Ук, хк,о)ёх',о +
хк+1-е --
+ соз «к I ^[1 + (/ьк)(х'к,о))']2 х
хк
хрък)(иУк'0))ъ(хк, Ук, хк,о)ахк,о, (7)
хк+1-е ,-—-
ик))ъ(х, У) = I ^[1+ (/к )(хк,о))']2 х
хрък)(иУк<0))ъ(хк, Ук, Ук,о)dyk,о, (9)
Ук
хрък)(иУк'0))ъ(хк, Ук, Ук,оЖ,о, (10)
Ук+1-Е
хрък )(и? ,о))ъ(хк, Ук, Ук,оЖ,о, (11)
где L—длина двойника, равная длине отрезка OS (рис. 1); а.к — угол поворота системы координат Х^Х^ относительно системы координат ХУ2 по часовой стрелке
вокруг оси 2; хк, хк+1, Ук, Ук+1 — параметры, определяемые конфигурацией зерна (координаты начальной и конечной точек ^й границы зерна); е — малый параметр порядка межатомного расстояния.
Выбор формул для расчета смещений, обусловленных зеренными границами, зависит от способа задания функции соответствующей границы. В случае задания функции как / (х) используются формулы (5)-(8), как / (У) — формулы (9)-(11).
Дальнейшие расчеты производим с учетом представленной на рис. 2 ориентировки краевой и винтовой составляющих векторов Бюргерса. При условии нахождения рассматриваемого зерна вдали от поверхности смещения, создаваемые отдельными дислокациями на зеренных и двойниковых границах, в соответствии с [2], могут быть определены из соотношений
ье
(и(т,о)) = (их Л«- _ ~
2п
_ г(т) / \
arctg У / ^ (хо) +
(У - /1«т)(хо))(х - хо)
2(1-у)((у -/«т)(хо))2 + (х -хо)2)
(т,о)) = btw ■ 2п'
(иУ^Х =-
1 - 2у 2п
1п((у - /tWm)(xо))2 + (х - хо)2)+
(12)
(х-хо) -(У-/Г)(х0)) 4(1 -V)«У -/«т)(хо))2 + (х-хо)2)
tw (х0)) ^ (х х0 ^
^г^ У - /'«Я)(хо);
2п х - х0
хо
(ихк,о))ъ=Ьъ
ь
2п
arctg
Ук -/ъ(к)(хк,о)
хк - х1
к ,0
(Ук - /ъ(к)(хк,о))(хк - хк,о) 2(1 - V)((Ук -/ък) (хк,о ))2 + (хк - хк,о )2)'
(к,0)) =-ЬЬ х
(иУк'0))ъ =-
Ук 2п
"1 - 2v
2п
1п((Ук -/ъ(к')(хк,о))2 + (хк -х' о)2) + (13)
(хк - хк,о)2 - (Ук - /ъ(к)(хк,о))2 ' 4(1 - V)((Ук - /ь(к) (хк,0 ))2 + (хк - хк,0 )2)
Ук - /ь(к')(хк)
2п
(и(к'0))ъ = b^arct^k
(и(к,о)) = ьъ.
(ихк )ъ = 2п
arctg—
хк хк ,0 Ук - Ук ,0
хк - /ъ(к)(Ук,о)
(хк - Уь(к')(Ук,о))(Ук - Ук ,о) 2(1 - v)((xk - /ь(к') (Ук,о ))2 + (Ук - Ук,о )2)
+
+
+
(и<к-)ь = -2лх
"1 - 2v
2п
1п((хк - /ь(к)(у'к,0 ))2 + (у'к - у'к,0 )2) + (14)
+ (х'к - /ь(*)(ук,0))2 + (у'к - у',0)2
4(1 - v)((x' -/ьк) (у'к,0 ))2 + (ук - у',0 )2), (Щ'>0))ь = — агС£--■
Здесь V — коэффициент Пуассона; ЬtW — модуль краевой составляющей вектора Бюргерса двойникующей дислокации; btW — модуль винтовой составляющей вектора Бюргерса двойникующей дислокации; Ь^ — модуль вектора Бюргерса полной краевой дислокации; Ь — модуль вектора Бюргерса полной винтовой дислокации; /ь(к ) — функция, задающая форму ^й зеренной границы; х' , у' — координаты в системе координат
х'кПг ■
Выбор формулы для расчета смещений на зеренных границах зависит от способа задании функции соответствующей границы. В случае задания функции как /(х) используется формула (13), как /(у) — формулы
(14).
Напряжения, создаваемые рассматриваемым клиновидным двойником с учетом напряжений на границах зерна, определяем следующим образом:
(15)
СТу = Е «^(х, у) +Е «)ь(х, у)■
т=1 к=1
Здесь индексы г, j принимают значения х, у или z; (Стут))^(х, у) — напряжения, создаваемые двойниковыми границами; (стУ) )ь (х, у )—напряжения, создаваемые границами зерен. Данные напряжения определяются с помощью криволинейных интегралов вдоль профилей соответствующих границ:
(Стт^=№(°(г0)ых, у , (16)
(СТУ ))ь = X ТЛ (/рьк) (СТкг0) )ь (хк, у' )& )■ (17)
ё л
Здесь индексы g, h принимают значения х, у или z; (стут,0) (х, у) — напряжения, создаваемые отдельными дислокациями на двойниковых границах и определяемые в главной системе координат XYZ (рис. 2); (СТ^ )ь (х' , ук) — напряжения, создаваемые отдельными дислокациями на зеренных границах и определяемые во вспомогательных системах координат Х'У^, повернутых относительно системы координат XYZ (рис. 2).
В соответствии с [2] и с учетом (4), криволинейные интегралы (16) и (17) можно представить в виде следующих определенных интегралов:
ь
(стУт)^ =и [1 + /т)(х0))']2 X 0
хр^^Ых, у, *0)<Ц>,
хк+1-Е .-—-
(ст£))ь(х, у) = а' / ^[1 + (/ь(' Чх',2 X
хрь' )(стх^ ^)ь( 4, у', хк >o)dXt ,0 +
хк+1_Е .-;-
+ sin2 а' / + (/ьк)(х'к 0))']2 х
хк
хрь' )(ст$у°к))ь( 4, у', хк >o)dXt ,0 +
УкУку хк+1-Е
+ sin(2а ') I д/[1+ / к)(х'к,0))']2 X
хк
хръЧст^ьЬх'к, у' , х' ¿Щ 0, (19)
х'+1-Е .-—-
(стуу))ь(х, у) = sin2 а' I д/[1+ )(х'X
хк
хрь' )(ст(х^ , у', хк „М х' ,0 +
х'+1-Е ,-
+ cos2 а к / ^[1 + (/ь( к)(х'к д,))']2 х
хк
хрь')(ст(к°у))ь(х'к, у', хк,o)dх',0 -
'+1 " I
- sin(2а ') / ^[1 + (/ь('')(хк,0))' ]2 х
хк
хр^Ьст^ьЬх'к, у', хмЖ,0, (20)
х'+1-Е ,-—-
(ст2?)ь(х,у) = I ^[1+ (/ь(к)(х',0))']2х
хк
хрь' )(ст(к '0))ь(х', у', хк ¿Ж 0, (21) (стсу))ь(х, у)=- ^^ Т ТЕ^/ьк, х
2 хк
хрьк) (ст(к , ук, хк „м х' ,0 +
+ зт^ У^/О^)^ х
хрьк '^Стл/Мх'к, ук, хк ,0М х' ,0 +
хк+1-Е ,-
+ cos(2аk) / ^[1+ (/Ск)(х',0))']2 х
хрьк )(ст(хкк у°к})ь(хк, ук, хк ,o)d х' ,0, (22)
хк+1 -Е
(18)
'+1 " I-—-
(стхк2))ь(х,у) = ^а' / ^[1+ (/ь(к)(х'к0х
хк
хрьк )(стхкк 20))ь(хк, у'к, хк ,o)d хк ,0 +
к ' '
хк+1-Е ,-—-
+ sinа' / ^[1 + (/ь(к)(х',0))']2х
хк
хрьк)(стукк20))ь(хк, ук, х'к0Нхк0, (23)
k+i - i-—-
y) = -sinak } ^[1+ f )(xko))']2x
xk
xpbk Щ f)b(xk, yk, xk ,o)dxk ,0 +
k ' '
Xk+1-8 I-T)-
+cos ak J V[1 + f^oW x
■^k+1—e ----
(°£4(x,y) = cosak J V[1+ (fV^kOx
xpbk )(ajf)b(xk, yk, 4 o)dxk ,o, (24)
ykz yk+1-e
k+1
(a®)b(x,y) = cos2ak J ^1+ f^k.o))']2x
yk
xpbk x0))b(xk, yk, yk ,o )dyk ,0 +
yk+1 -£ --;-
+ sin2 ak J J[1 + (fb(k)(yk,o))']2 x
yk
xpbk 4kk 'ЩШ, yk, yk ,o)dyk ,o +
yk+1-e --
+ sin(2ak) J ^[1+ (f k)(yk,o))']2x
yk
xpbk )(aXkk y(k>)b(xk, yk, yk ,o)dyk ,o, (25)
yk+1—E ----
(<)b(x,y) = sin2ak J V[1+ (fb(k)(yk,o))']2x
yk
# )/„(k ,oh
xpbk ^ Xk^)b(xk, yk, yk ,o)dyk ,o +
k k ' '
yk+1—e
1
+ С
yk+1-e ----
-cos2ak J J[1 + (fb(k )(yk,o))']2x
yk
xpbkVJJ))b(xk,yk,yk,o)dyk,o -
Jk+1-E I-T,-
sin(2ak) J ^[1 + (fb(k)(yk,o))']2 x
yk
xpbk )(aX^Í)b(xk, yk, yk ,o )dyk ,o, (26)
yk+1~E I-T'-
tá*})b(x,y) = J V[1+ (fb(k )(yk,o))']2x
yk
xpbk '0))b(xk, yk, yk ,o )dyk ,o, (<\(x, y) = -^^ Tj [1+ (ff)(yk,o))']2 x
(27)
yk
x^'K^ )b(xk, yk, yk ,o )dyk ,o + + srn^ ^[1 + (fb(k')(yko))']2 x
yk
xpbk Wy Ш, yk, yk ,o )dyk ,o +
yk+1 I-;-
+cos(2ak) J ^[1+ (f(k')(yk,o))']2 x
yk
xtfVmx, yk, yk ,o )dyk ,o, (28)
yk
xpbk f)b(xk, yk, yk ,o )dyk ,o +
k
yk+1—s
+ sin ak J + (Ib(k')(yk,o))']2 x
yk
xpbk)(^(y^f)b(xk, yk, yk,o)dyk,o, (29)
yk+1—e ----
(a®)b(x, y) =— sin ak J ^[1+ fkO x
yk
xpbk f)b(xk, yk, yk ,o )dyk ,o +
k
yk+1—E ----
+cos ak J + f k)(yk ,o))']2 x
yk
xpbk)(^(y^f)b(xk, yk, yk ,o)dyk ,o- (30)
Выбор формул для расчета напряжений на зеренных границах зависит от способа задания функции соответствующей границы. В случае задания функции как I (x) используются формулы (19)—(24), как f (y) — формулы (25)-(30).
Расчет напряжений будем проводить с учетом представленной на рис. 2 ориентировки винтовой и краевой составляющих векторов Бюргерса. При условии нахождения рассматриваемого зерна вдали от поверхности смещения и напряжения, создаваемые единичными полными и двойникующими дислокациями, расположенными на соответствующих границе, в соответствии с [2], могут быть определены из соотношений
(„( ™,o)) = M-^tw x
(и xx )tw
2n(1 —v)
(y — fWm) (xo ))[3(x — xo )2 + (y — ftWm) (xo ))2 ]
[(x — xo)2 + (y — fWm)(xo))2]2
T(m,o)) = MbtW 2n(1 — v)
(a( m,o)) _-
(u yy )tw
x
. (y — ItWm) (xo ))[(x — xo )2 — (y — ItWm) (xo ))2 ]
[(x — xo)2 + (y — ftWm)( xo))2]2
(„( m,o)) = MbtW x (a xy )tw 2n(1 — v)x
(31)
,(x — xo)[( x — xo)2 — (y — iwm)( xo))2]
[(x — xo)2 + (y — iwm)(xo))2]2
/n(m,o)) = Mbtw~v__y — ftwm (xo)_
( zz )tw = n(1 — v)(x — xo)2 + (y — ftwm)(xo))2'
/n(m,o) ) = M^tw _y — ftw (xo)_
( zx )tw - 2 . , Am) , \\2 '
2n (x — xo) + (y — fw)(xo))
o
(m,o)) _ Mbtw _x — x(_
)tw _ 2n (x — xo)2 + (y — iwm)(xo))2'
x
.(*,0К _ ^Ъ
(„С k>0)) _-(„x'x' Л _
2п(1 -V)
х (yk - fbk\4fi))[3(4 - X ,о)2 + (y' - fbr)(j ,о))2]
[(xk - x',о)2 - (Ук - fb(k)(xk,о))2]2
(„(k ,0)) _ ^Ь х
(„УкУк)Ь _ 2n(1-V)х
х (Ук -fb(^)(xk,o))[(xk -4,о)2 - (У' - f^'(xk,о))2]
[(xk - xk о)2 - (yk - fbk)(xk,о))2]2
(„(k.0)) _ ^b х („xkyk)Ь _ 2п(1 -V)х
х (xk - xk о)[(Xk - xk о )2 - (yk - f(k) (X,о ))2 ] (32)
[(xk - xk ,о)2 + (yk - fb(k')(xk,0))2]2 '
(_(k,о)) _ __yk - fb(k )(xk,0)
^ 2п(1 -V) (xk - xk ,о)2 + (yk - fbk )(xk ,о))2'
(„(k,0)) yk - fb(k)(xk,0)
( x'z )Ь _ 2п (xk - xk,о)2 + (yk - f,(k)(xk,0))2'
.(k,0) \ _ЦЙЬ
xk xk ,0
(„ykZ )Ь _ 2п (xk - xk,о)2 + (yk - ff \4,о))2' („xk:0>)Ь _--^х
х (yk - y'k,0 )[3(xk - fb(k) (yk,0 ))2 + (Á - y ,0 )2] [(xk - fb(kVk,0))2 + (yk - y',о)2]2
(„(k,0)) _ и^Ь х („ykyk)b _ 2n(1-v)х
(yk - yk,0)[(xk - fb(k)(yk,о))2 - (yk - У,о)2] [(xk - fbk)(yk,о))2 + (yk - y',о)2]2
(„xk;0))b х (33)
v xkykл 2n(1-v)
(xk - fb(k)(yk,о))[(xk - fbk)(yk,о))2 - (у' - У ,о)2]
(„(k,0)) („<2 )Ь _
[(xk - fbk)(yk,о))2 + (yk - y',о)2]2 y'k - y'k,0
2п(1 -V) (xk - /b^yk ,о))2 + (yk - Уk ,о)2 !
C„(k,0K _ yk - yk,0
(„x',z /Ь _
2п (хк - /(к)(у',0))2 + (ук - ук,0)^ (ст(к,0)) = ЦЬЪ хк -/ь(к)(ук,0)
1ук2 2п (хк - /ь( к)(ук ,0))2 + (ук - ук ,0)2' Здесь ц — модуль сдвига.
Как и ранее, выбор формулы для расчета напряжений на зеренных границах зависит от способа задании функции соответствующей границы. В случае задания функции как / (х) используется формула (32), как/ (у) — формула (33).
В рамках данной работы изучим случай, когда плотности дислокаций на всех зеренных и двойниковых границах постоянны: p^f ) = Q и pm = C2. С учетом [4] рассмотрим зерна различной формы, при этом для упрощения задачи без ущерба общности полученного результата границы зерен примем прямолинейными. Таким образом, в плоскости XOY зерно имеет форму правильного многоугольника, имеющего n (n = 5, 6, 7) границ и описанного вокруг окружности с радиусом R. Как было отмечено ранее, ориентировку системы координат XYZ выбираем таким образом, чтобы граница зерна, содержащая точку O (концентратор напряжений), совпадала с осью OY, начало координат было расположено в вершине данной границы, а центральная линия двойника была параллельна оси OX (рис. 1).
Расположение систем координат XfYfZ выбираем таким образом, чтобы начало координат k-й системы совпадало с началом координат системы XYZ, а ось ОХ' была параллельна k-й границе зерна. В таком случае уравнения границ зерен представляем в следующем виде:
/ъ(1)( Уо) = 0, (34)
/ь2)(*о) = a - xotg аь (35)
/ь( k) (xo) = /ь( k-1) (a (cos «2 +... + cos a^)) -
-(x0 -a(cosa2 +... + cosak-1))tgak, (36)
где a — длина зеренной границы; af — угол поворота k-й зеренной границы относительно 1-й. Данные параметры определяем следующим образом:
a _ 2tftgl -n
(37)
ak _^(п-^^ I(k-1).
2 , , (38)
2 1 n
Здесь R — радиус окружности, вписанной в зерно; n — число граней зерна.
Координаты в системах XkYkZ и уравнения границ зерен в данных системах координат определим в соответствии с (4) исходя из следующих зависимостей:
xk _ x cos ak - y sin ak, (39)
y'k _ x sin ak + y cos ak, (40)
xk,о _ x0cos ak - Уоsin ak > (41)
yk,о _ x0sin ak + Уоcos ak > (42)
fb( k) (yk ,о) _ x0 cos ak - fb( k)(Á0)sin «k, (43)
fb(k°(xk,0) _ fb k Wsin ak + Уо cos ak • (44)
Границы двойника также примем прямолинейными. При этом форма двойника имеет вид равнобедренного треугольника EFS (рис. 2) с шириной у устья H. В таком случае форма границ двойника в плоскости XOY описывается следующими формулами [2]:
х
y, мкм
-100 x, мкм -100
50 x, мкм
50 x, мкм
-100 x, мкм -100
Рис. 3. Распределение напряжений в пятиугольном зерне поликристалла, обусловленных наличием единичного клиновидного двойника: а — oxt(х, y); б — а (х, y); а — ozz(х, y); г — а (х, y); д — аг(х, y); е — ^(х, y)
ftW(*o) = a+H |i-L
2 2 a - H 2 ~2
fWW = 2 - H |1-Y
(45)
(46)
3. Результаты расчетов и их обсуждение
Расчеты были проведены для железа. При этом принималось: Ье = Ь = 0.248 нм, Ь^ = ЬtW = 0.124 нм [5], ц = 81 ГПа [6], V = 0.29 [5], R = 70 мкм, п = 5, 6, 7.
На рис. 3-5 представлены результаты расчетов полей напряжений, обусловленных наличием единичного двойника в теле пяти-, шести- и семиугольного зерна. Полученные поля в ходе проведения расчета распределения полей напряжений имеют ряд общих черт. На них четко просматриваются зеренные и двойниковые границы и явно выражены узловые точки зерна и двойника. Это обусловлено тем, что данные элементы зерна и двойника являются концентраторами напряжений.
у, мкм
у, мкм
х, мкм -100 у, мкм
х, мкм
-100 х, мкм -100
х, мкм
Рис. 4. Распределение напряжений в шестиугольном зерне поликристалла, обусловленных наличием единичного клиновидного
дв°йника: а — °хх(х, У); б — Оуу (х, У); в — (х, У); г — °(х, у); д — °(х, У); е — о^(х, У)
Также важно отметить, что форма полей напряжений, обусловленных наличием единичного двойника в теле зерна, несущественно зависит от конфигурации зерна: в рассмотренных вариантах картина полей напряжений для пяти-, шести- и семиугольного зерна идентична.
Наибольшие значения нормальных напряжений (рис. 3, а-в, 4, а-в, 5, а-в), равно как и наибольшие значения скалывающих напряжений (рис. 3, г-е, 4, г-е, 5, г-е) отмечены в узловых точках зерна и на его границах.
Наибольшая концентрация напряжений в основном наблюдается на зеренных (рис. 3-5) и двойниковых границах (рис. 3, а, в, е, 4, а, в, е, 5, а, в, е). Нормальные напряжения охх (рис. 3, а, 4, а, 5, а) и скалывающие напряжения оху (рис. 3, г, 4, г, 5, г) не имеют высокой локализации на границе зерна, параллельной оси ОУ.
Нормальные напряжения охх положительны внутри зерна, а на зеренных границах и за его пределами имеют место как растягивающие (в четвертой четверти), так и
у, мкм
х, мкм -100 у, мкм
х, мкм
у, мкм
[5471
-541
-50
-100
\ X \ V /'//>- [д
-17.5 .. ■ . ■ 8.1 ....
/ 1 ( |-6.5| V -2.9 1 ■ 0.8 ) ^ ^ |37.3| \ ■■ "22.7 |52.0|
|33.7|
-— X, |-17.5|
1^-17.5 //7 \ . 15.4
< /\ I /, 1 \| \ X 1 ..
-100
-50
0
50
х, мкм
х, мкм
х, мкм
Рис. 5. Распределение напряжений в семиугольном зерне поликристалла, обусловленных наличием единичного клиновидного двойника: а — ох1 (х, у); б — а (х, у); а — агг (х, у); г — а (х, у); д — аг (х, у); е — а^ (х, у)
сжимающие напряжения (в первой, второй и третьей четвертях). Численные значения напряжений в нижней части зерна выше, чем в верхней его части (рис. 3, а, 4, а, 5, а).
Внутри зерна нормальные напряжения ауу положительны, а на зеренных границах имеют место как положительные, так и отрицательные напряжения. При этом максимальные значения ауу наблюдаются в узловых точках зерна, наиболее удаленных от центральной ли-
нии двойника, а двойниковые границы явно не выражены. Это свидетельствует об экранировании напряжений, обусловленных наличием двойника, зернограничными напряжениями (рис. 3, б, 4, б, 5, б).
Распределения полей напряжений а имеют значительно меньшую концентрацию, нежели поля нормальных напряжений ахх и ауу. Однако, как в случае ранее рассмотренных нормальных напряжений ахх и ауу, внутри зерна имеют место растягивающие напряжения
а, а за пределами зерна напряжения знакопеременны относительно оси ОХ. В первой и второй четвертях они являются сжимающими, а в третьей и четвертой растягивающими. Следует также отметить, что максимальные значения анаблюдаются в узловых точках двойника и на его границах. Кроме того, численные значения напряжений аза пределами зерна на порядок ниже напряжений в пределах зерна (рис. 3, в, 4, в, 5, в).
Скалывающие напряжения а локализованы на зе-ренных границах, за исключением границы параллельной оси OY(рис. 3, г, 4, г, 5, г). Напряжения а^ имеют как положительные, так и отрицательные значения на всем рассматриваемом распределении. Граница двойника на поле напряжений аху четко не просматривается (рис. 3, г, 4, г, 5, г). Это указывает на то, что скалывающие напряжения аху, обусловленные двойником, экранируются напряжениями границ зерна.
Скалывающие напряжения ау2 (рис. 3, д, 4, д, 5, д) имеют высокую концентрацию на границах зерна и за его пределами. При этом внутри зерна наибольшее значение можно отметить у вершины двойника, а в остальных областях внутри зерна напряжения аимеют значения на порядок ниже, чем за его пределами. В целом максимальные значения напряжений анаблюдаются в узловых точках зерна, а двойниковая граница явно не выражена. Поле напряжений азнакопеременно относительно оси параллельной оси OY — в первой и четвертой четвертях имеют место положительные значения, а во второй и третьей — отрицательные и симметричные относительно оси ОХ.
Скалывающие напряжения ахг (рис. 3, е, 4, е, 5, е) внутри зерна имеют низкую концентрацию и малые чис-
ленные значения, в том числе и на двойниковых границах. Максимальные значения имеют место в узловых точках зерна. При этом поле напряжений ах2 знакопеременно относительно оси ОХ. В первой и второй четвертях имеют место сжимающие напряжения ахг, а в третьей и четвертой — растягивающие.
Таким образом, решена задача о расчете напряженно-деформированного состояния, обусловленного единичным двойником в зерне поликристалла с гексагональной структурой. Изучено напряженно-деформированное состояние, обусловленное формой зеренных границ и единичным двойником. Разработана методика расчета полей смещений и напряжений зерна, имеющего форму правильного многоугольника. Установлены точки локализации напряжений в зерне поликристалла. Выявлено, что форма полей напряжений, характеризующих исследуемое напряженно-деформированное состояние, не зависит от конфигурации зерна.
Литература
1. Остриков О.М. Дислокационная макроскопическая модель клиновидного двойника // Вестник ГГТУ. - 2006. - №2. - С. 10-18.
2. Остриков О.М. Механика двойникования твердых тел: монография. - Гомель: ГГТУ, 2008. - 301 с.
3. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. - М.: Аст, 2005. - 991 с.
4. Хирт Дж., Лоте И. Теория дислокаций. - М.: Атомиздат, 1972. -
600 с.
5. Полухин П.И., Горелик С.С., Воронцов В.К. Физические основы пластической деформации. - М.: Металлургия, 1982. - 584 с.
6. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. - М.: Наука, 1978. -
792 с.
Поступила в редакцию 22.10.2014 г., после переработки 20.03.2015 г.
Сведения об авторах
Дробышевская Татьяна Викторовна, асп. ГГТУ, Беларусь, [email protected] Остриков Олег Михайлович, к.ф.-м.н., доц., зав. каф. ГГТУ, Беларусь, [email protected]
