ЗАДАЧА О КОЛЕБАНИЯХ СИСТЕМЫ СТРУН НА ГРАФЕ-ЗВЕЗДЕ С НЕЛИНЕЙНЫМ УСЛОВИЕМ В УЗЛЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 16. № 1 (2024). С. 35-53.

УДК 517.954

ЗАДАЧА О КОЛЕБАНИЯХ СИСТЕМЫ СТРУН НА ГРАФЕ-ЗВЕЗДЕ С НЕЛИНЕЙНЫМ УСЛОВИЕМ В УЗЛЕ

М.Б. ЗВЕРЕВА, М.И. КАМЕНСКИЙ

Аннотация. Рассматривается система из п струи, расположенная в положении равновесия вдоль геометрического графа-звезды. Предполагается, что ребра графа имеют одинаковую длину, и граф ориентирован к узлу. Изучается случай, когда начальная скорость каждой струны равняется нулю. Начальная форма каждой из струн определена с помощью заданных на ребрах функций. Предполагается, что в граничных вершинах струны жестко закреплены. Исследуется колебательный процесс для случая, когда узловая точка струнной системы находится внутри ограничителя на перемещение. При этом предполагается, что ограничитель сам может двигаться в перпендикулярном к плоскости графа направлении. Пока ограничитель не соприкасается с узловой точкой струнной системы, выполняется условие трансмиссии (условие Кирхгофа). Как только происходит соприкосновение узловой точки с ограничителем, начинается их совместное движение, при этом появляется дополнительное ограничение на знак суммы производных в узле. Таким образом, в узле выполняется условие гистерезисного типа.

В работе получена формула представления решения, доказана единственность решения. Для частного случая рассмотрен вопрос о периодических колебаниях узловой точки струнной системы. Решена задача граничного управления колебательным процессом, в предположении, что время колебаний не превосходит длины струн.

Ключевые слова: волновое уравнение, sweeping процесс, гистерезис, геометрический граф.

Mathematics Subject Classification: 35L05, 35L20, 35R02

1. Введение

Дифференциальные уравнения на пространственных сетях (геометрических графах), привлекшие внимание математиков несколько десятилетий назад, актуальны в самых разных разделах техники и естествознания. Они возникают при описании явлений в непрерывных системах сетеподобной структуры (электрических, гидравлических, акустических сетях, тепловодах, волноводах, нейронных и вычислительных системах, упругих решетчатых конструкциях, электронных системах и т.д.). Активный математический интерес к исследованию таких задач привел к появлению многочисленных публикаций. Особенно отметим работы [1]-[3], [7]-[15], [17]-[21]. Однако во всех этих работах рассматривались задачи с линейными граничными условиями. В статьях [2], [3] начато исследование задач о деформациях струнных систем на графах с различными нелинейными условиями. Однако колебательные процессы для такого рода систем недостаточно изучены.

м.в. zvereva, m.i. kamenskh, problem on strings system vibrations on a star-shaped graph with a nonlinear condition at a node.

(с) Зверева М.Б., Каменский М.И. 2024.

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского научного фонда в рамках научного проекта № 22-71-10008.

Поступила 10 апреля 2023 г.

В данной работе получена формула представления решения начально-краевой задачи, описывающей колебания струнной системы, расположенной вдоль геометрического графа-звезды с условием гиетерезиеного типа в узле. Такое условие возникает за счет установленного в узле ограничителя на колебательный процесс, В свою очередь, ограничитель может перемещаться в перпендикулярном к плоскости графа направлении так, что его движение задается отображением С(Ь) = [—к, к] + Ь ^ 0, Всюду далее будем пользоваться терминологией из [9],

Опишем постановку задачи. Пусть точки О, А1; А2, ..., Ап принадлежат горизонтальной плоскости ж. Рассмотрим механическую систему, состоящую из п струп, которые в положении равновесия совпадают с отрезками О А1, ОА2, ..., ОАп. Концы струн связаны в точке О. Геометрический граф-звезда Г состоит из ребер (интервалов) ОА1; ОА2, ,,,, ОАп, узла О и граничных вершин А1; А2, ,,,, Ап. Мы предполагаем, что в процессе колебаний струны отклоняются от положения равновесия в перпендикулярном к плоскости ж направлении и рассматриваем случай малых колебаний.

Пусть ребра графа имеют одинаковую длину, и граф ориентирован к узлу. Введенная параметризация ставит в соответствие узлу графа точку х = I, а граничным вершинам соответствуют х = 0, Обозначим через и(х, Ь) заданную на графе функцию, описываю-

х

¿. Сужение и(х, ¿) на ребра будем обозначать через иг(х, 1), г = 1, 2,...,п. Таким образом, каждая функция иг(х, ¿) определяет форму г-й струны, В точках х = 0 и х = I функции иг(х, Ь) заданы соответствующими предельными значениями. Условие соединения струн в узле означает, что и(1, Ь) = и1(1, Ь) = иг(I, Ь) = ... = ип(1, Ь). Предположим, что начальная форма струн задана функциями ^>г(х) (г = 1, 2,...,п). Рассмотрим случай, когда начальная скорость для всех струн равняется нулю. Будем предполагать, что концы струн жестко закреплены в граничных вершинах, что означает выполнение условий иг(0, Ь) = 0, (1 = 1, 2, ...,п).

Предполагается, что в ходе колебательного процесса узловая точка струнной системы и(1, Ь) находится внутри ограничителя, т.е. выполнено условие и(1, Ь) € С(Ь). Пока и(1, Ь)

С( )

п дь?

, ^ = 0. Производные в узле для каждой функции иг(х, Ь) понимаются как соот-

ъ=1 ох

вететвующие односторонние. Если узловая точка струнной системы касается граничных точек ограничителя, то в течении некоторого времени выполнены условия

и(1, ^ = + к, при этом ^ , ^ 0,

г=1

или

и(1, ^ = — к, при этом ^ , ^ 0.

г=1

Условие на знак суммы производных в узле описывает влияние силы реакции опоры со стороны ограничителя, блокирующей перемещение узловой точки. Таким образом, должно выполняться

^ о г

—Е -и (1, *) е*с®(и(1, ы

г=1

где множество Мс(г)(и(1, ¿)) обозначает внешний нормальный конус к С(1) в точке и(1, Ь) € С(Ь), определяемый как

мт(и(1, г)) = {£ € в1: £ • (с — и(1, г)) ^ 0 Ус € С (г)}.

Заметим, что если и(1, Ь) — внутренняя точка С(¿), то Мс\г)(и(1,1)) С(г) + к, то с (г) = [0, Когда и(1,г) = с (г) - к то с (г) = (-ж, 0]. Таким образом, математическая модель задачи имеет вид

0. Если u(l,t)

" д2иг д2иг

дх2 dt2 ui(x, 0) =

диг .

-ж ^ 0) = 0

ui(l,t) = u2(l,t) du

0 <х<1, t> 0 (i = 1, 2, ...,n),

un (l,t) = u(l,t),

(l,t) е No«HM))

i= i

(1.1)

и\0,г) = 0 (г = 1, 2,...,п), и(1,г) е С (г).

Всюду далее будем предполагать выполнение условий ц>(1) = ц>1(1) = Ц>2(1) = ... = рп(1), <р(1) е С(0), ^(0) = '-р2(0) = ... = >-рп(0) = 0. В настоящей работе для задачи (1.1) будет получен аналог формулы Даламбера для представления решения.

2. Предварительные сведения

В этом пункте мы приведем некоторые понятия и определения, которые нам понадобятся в дальнейшем.

Пусть Н — гильбертово пространство. Скалярное произведение в Н будем обозначать (•, •). Для замкнутого выпуклого множеетва С С Н и х е С множество

Nc(х) = Ц е Н : {£,с — х) ^ 0 Ус е С}

обозначает внешний нормальный конус к С в точке х. Заметим, что всегда 0 е Nc (х), N{x} (ж) = Н, и Nc(х) = {0} для х е intC, где intC — множество внутренних точек С (предполагается, что intC = 0). Последнее соотношение показывает, что внешний нормальный конус нетривиален только при х е дС, где дС — граница множества С.

Хауедорфово расстояние dn(Ci, С2) между замкнутыми множествами С! и С2 задается формулой

<!н(Ci,C2) = max{sup dist(ж, С!), su^ dist(ж, С2)},

xec2 xec1

где dist(x, С) = inf {||ж — c\\,c е С}.

Рассмотрим так называемый sweeping процесс [16].

—и'(t) е NC(t)(u(t)), t е [0,Т], (2.1)

Ц0) = щ е С(0). (2.2)

Функция и : [0,Т] ^ Н называется решением sweeping процесса (2.1), (2.2), если

(a) и(0) = и0;

(b) u(t) е С(t) для всех t е [0,Т];

(c) и дифференцируема для почти всех t е [0,Т];

(d) —и'(t) е Nc(t)(и(t)) для почти всех t е [0,Т].

Нам понадобятся следующие теоремы из [16].

Теорема 2.1. Предположим, что отображение t ^ С(t) удовлетворяет условию Липшица в смысле расстояния по Хаусдорфу, т.е.

dH(С(t),C(s)) ^ L\t-s\,

где С(t) <Z Н — непустое, замкнутое и выпуклое множество для всех t Е [0,Т]. Пусть и0 Е С(0). Тогда существует решение и : [0,Т] ^ Н задачи, (2.1), (2.2), которое удовлетворяет условию Липшица с константой L. При этом, \u'(t)\ ^ L для, почти всех t Е [0,Т].

Теорема 2.2. Решение (2.1), (2.2) единственно в классе абсолютно-непрерывных функций.

Далее мы будем применять классы функций, введенные В, А, Ильиным в [5], Обозначим через Qt прямоугольник

Qt = [0 ^ х ^ I] х [0 ^t^T ].

Будем говорить, что функция и(х, t) принадлежит классу W^Qt), если и(х, t) непрерывна в Qt и имеет в этом прямоугольнике обе обобщенные частные производные их(х, t) и щ(х, t), каждая го которых принадлежит классу L(Qt) и, кроме того, принадлежит классу L[0 ^ х ^ I] при любом фиксированном t из сегмента [0,Т] и маеcv L[0 ^t ^ Т] при любом фиксированном х го сегмента [0,1].

Будем говорить, что Ф(х,t) принадлежит классу W^(Qt), если функция Ф(х,t) и ее частные производные первого порядка непрерывны в Qt, и если Ф(х, t) имеет в этом прямоугольнике все обобщенные частные производные второго порядка, каждая из которых принадлежит классу L(Qt) и, кроме того, принадлежит классу L [0 ^ х ^ I] при любом фиксированном t из сегмента [0,Т ] и мае cv L2 [0 ^ t ^ Т ] при любом фиксиров анном х из сегмента [0,1],

3. Задача на графе с нелинейным условием в узле Решением задачи (1.1) будем называть функцию и(х, t) такую, что:

1) сужения и(х, t) на ребра совпадают с иг(х, t) (i = 1, 2,..., п), причем, иг(х, t) Е W^(Qt) для всех Т > 0;

2) для всех t ^ 0 выполнены условия

и\1, t) = u2 (I, t) = ... = ип(1, t) = u(l, t), и(1, t) ЕС (t), иг(0, t) = 0;

п ди1

3) для почти всех t ^ 0 выполнено условие — Y1 , t) Е Мсц)(и(1, t))-,

г=1 дх

диг

4) условия иг(х, 0) = (г(х) выполнены для всех х Е [0,I], а условия -^-(х, 0) = 0 выполнены для почти всех х Е [0,1], i = 1, 2,...,щ

Т > 0

i т i

"гг. дд^ Г дФ

I I иг(х, (х, t)—дх^:(х, + ^ (х, 0)(г(х) ¿х

д д х д

г-1 о о г-1 о

п Т

+¿/ {u\i, t ) ^ (i, t) - , t) ^ (i, t))dt = 0,

i=1 r\

где произвольные функции Фг € №?;(((т) (г = 1, 2, ...,п), такие, что

^г(0,ь) = 0, ^г(х,т) = о, —(х,т) = о, ,г) = ^2(1,г) = ... = ч>п(1,г).

Рассмотрим функции Фг следующего вида:

- если х € [0, /], то Фг(х) = уг(х);

- если х € [(т + 1)1, (т + 2)1], и т — четное число, то

Ф(х) = 2 • ^д2к(х - (т +1 - 2 к)1) - т + 2)1 - х);

2

(х) = 2 • ^ д2 к (х - (т + 1 - 2 к)1) - у ((т

к=0

х € [( т + 1) , ( т + 2) ] т

т + 1 2

Фг(х) = 2 • ^ д2к-г(х - (т + 2 - 2к)1) + уг(х - (т + 1)1); к=1

Ф*(-х) = -Ф*(х). Здесь функции д0(Ь) и д1— решения задач

1 п

д'0(г) € Ыс{г)(до(г)) + (I - ^, г € [0,I],

г=1

.9о(0) = <р(1),

1 п

д[(1) € Ыс(г)(91(1)) + п^У (* - 1), [1, 21],

п =1

,91(0 = 9о(0.

Функции дт^), где Ь € [т1, (т + 1)1 ], для четных номеров т ^ 2 — решения задач

т-2

2 1 п

д'тО € Ысю(дт(г)) + 2 ^ <4-т + 2Ы) + - ^ у (т + 1 - г),

п

к=0 г=1

дт(т1) = дт-1(т1), а для нечетных т ^ 3, вде Ь € [т1, (т + 1)/] — решения задач

- д'т(1) € Ыс фт (Ь)) + 2 ^ -1-т1 + 2к1) + (I - т1),

к=1 г=1

К дт(т1) = дт-1(т1).

Теорема 3.1. Пусть функции С(^) и уг(х) удовлетворяют условию Липшица на своих областях определения. Тогда решение задачи (1.1) может быть представлено в виде

и^ 1)=Ф'{х - 1) + ¥(х + ", (3.2)

= 1, 2, ... , п

Доказательство. Предположим формально, что решение задачи (1.1) имеет вид (3.2). Тогда иг(х, 0) = Фг(х) = уг(х), вде х € [0, /], Из условия иг(0, Ь) = 0 следует, что функции Фг(х) должны определяться при х < 0 нечетным образом. Поскольку

* +) = Ф^(х - ь) + Фе(х + г) -Ф*(х - г) + Ф*(х + г)

и^(х, ь) — , и^-(х, ь) — ,

то -и1 (I, Ь) = —игх(1, Ь) + Фг'(I — ¿), и следовательно,

л п п п

— - £и](1, I) = — - (I, I) + - £ Ф* (I — I).

г=1 г=1 г=1

1 П

Обозначим д(Ь) = — ,Ь) = и(1,Ь). Заметим, что поскольку

- г=1

П ^ % 1 П ^ % ^ ^(1,1) еМс^(и(1,*))> той — - £ ^(I,г) емс,г)),

1=1 г=1

1 П

и следовательно,

—д'(г) емтт) + 1Т.Фг'(1 — г).

-

г=1

1 п 1 п

Рассмотрим случай, когда 0 ^ £ ^ I. Тогда — У^ Фг (I — {) = — у^ (I — {). Введем

- -

г=1 г=1

функцию д0(1), равную д(Ь) при 0 ^ Ь ^ I. Получим, д0(Ь) — решение задачи

1

д'0(I) е N0аЫ*)) + -Т.^'(1 — г), 1е [0,1]

- ..........(3-3)

,да(0) = 'А1).

Покажем, что данная задача имеет единственное решение, которое определено для всех г е [0,1].

Рассмотрим функцию

г

Г 1 п

т(г) = до(г)+ (I — в) ¿з

] -

0 г=1

и множество

г

Г 1 п

о(г) = с (г) + / - ХУ' (I — Ю 1 в.

Л - ;=л 0 г=1

Так как функции £(£) и ^>г(х) удовлетворяют условию Липшица, то отображение 0(Ь) также удовлетворяет условию Липшица (в смысле расстояния по Хауедорфу), Заметим, что д0(1)) = N0(1)(т^)). Таким образом, получаем задачу

1

——и)(г) е N0(^(1)), т(0) = <р(1) е 0(0), 1е [0,1].

Согласно Теоремам 2,1 и 2,2, эта задача имеет единственное решение т^), определенное па всем отрезке [0,1]. Функция удовлетворяет условию Липшица, и ее производная почти

0( ) 0( ) е с( )

0( )

Фг(1 — 1) + Фг(1 + 1) = 2д о(1),

то мы получаем

Ф\х) = 2до(х — I) — <р\21 — х), где х е [I, 21]. Заметим, что каждая функция Фг(х) удовлетворяет условию Липшица па отрезке [I, 21 ], имеет почти всюду ограниченную производную. Таким образом, Фг е W},\l, 21]. Покажем, что Фг(1 — 0) = Фг(/ + 0), Имеем

Фг(1 — 0) = ц>(1), и Фг(1 + 0) = 2до (0) — ^г(1) = 2^(1) — <р(1) = р(1).

Рассмотрим случай, когда t Е [1, 21] и определим на данном отрезке функцию g1(t) = git). Рассмотрим задачу

А 1 п

— - 9l (t) Е Nc ф т + - f), te [1, 21],

i=1

J1(1) = 9о().

Заметим, что для всех г = 1, 2,..., п выполнено Фг(1 — t) = — p%(t — I). Таким образом, получаем задачу

1 п

g[it) Е Nc(t)i9lit)) + п^Рit — I), tE [1, 21],

п =1

ji^ = go(i).

1i )

где g1(t) E С it), и g^t) удовлетворяет условию Липшица, Таким образом, можем определить Фг(х), где х Е [21,31] как

Ф\х) = 2д i (х — 1) + р\х — 21).

Заметим, что Фi Е W%[21, 31]. Покажем, что Ф\21 — 0) = Ф\21 + 0). Имеем Ф\21 — 0) = 2go(l) — p\0) = 2go(I), и Фг(21 + 0) = 2дi(l) + рЩ = 2go(l).

Е [2 , 3 ] i ) = i )

Е [2 , 3 ] i )

а i п

— -g2it) Е Nc(t)ig2it)) + 2g'oit — 21) + р(31 — t), 1Е [21, 31],

=1

j2(21) = gi(2l).

Теперь можем определить каждую функцию Фг(х) на отрезке х Е [31,41] как

Ф\х) = 2д2(х — 1) + 2до(х — 31) — р\41 — х).

Рассмотрим случай t Е [3 1,41]. Определив g3(t) = g(t) получим, что g3(t) — решение задачи

( а i п

— - g3(t) Е Nc ф3^)) + 2gHt — 21) + р (t — 31), t Е [31, 41],

г=1

^дз(31) = g2i3l), и при х Е [41,51] определим функции

Ф\х) = 2 д3(х — 1) + 2д^х — 31) + р\х — 41). Покажем, что при х Е [(т + 1)I, (т + 2)1], где т — четное число

2

Ф\х) = 2 • ^д2к(х — (т +1 — 2 k)l) — р\(т + 2)1 — х); к=0

т +1 2

Фг(х) = 2 ^ д2к-1(х — (т + 2 — 2k)l) + рг(х — (т + 1)1). к=1

т

В свою очередь, функции дт(Ь), где £ е [т1, (т + 1)/], для четных номеров т ^ 2 решения задач

т — 2

2 1 п

— д'т(1) е N0 ю(дт№) + 2 ^ д'2к (I — т1 + 2к1) + М + 1 — ^,

-

к=0 =1

дт(т1) = дт-1(т1), а для нечетных т ^ 3 — решения задач

т — 1 2

— д'т(1) е N0фт(г)) + 2 ^ д'2к-1& — 1 — т1 + 2к1) + - (I — т1),

-

к=1 1=1

9т(т1) = дт-1(т1).

Для т =2, 3 утверждение доказано. Предположим, что оно верно для т ^ М. Покажем справедливость утверждения для т = М+1. Рассмотрим случай, когда М — четное число. Покажем, что

М+2 2

Фг(х) = 2^2 92к-1(х — (М + 3 — 2к)1) + рг(х — (М + 2)1), к=1

где х е [(М + 2)1, (М + 3)1]. Определив д(Ь) = дм+1(£), где £ е [(М + 1)1, (М + 2)1], получим

1

-д'м+1® е ^(г)(дм+1(1)) + ^ Фг'(1 — *).

-

=1

Поскольку

м

2

ф*(1 — г) = 2 • ^ д'2к-1 (г — I — (м + 1 — 2 к)1) + </ (г — I — М1), к=1

то

м

2 1 п

—д'м+М е ^{г)(дм+Ш + 2 • ^ д'2к-х(1 — 21 — М1 + 2к1) + - (I — I — М1).

к=1 г=1

Заметим, что

м ^ (( М+ т = т±т—зт.

Т.к.

М М — 2

2 2

Ф((М + 2)1) = 2 ^ 92к(1 + 2кI) и Ф(М1 ) = 2 ^ 92к(1 + 2кI),

к=0 к=0

то

дм+1(( М +1)1) = дм ((М +1)1).

Задача

м

2 1 п

— д'м+1(*) е ^фм+Ш + 2 • ^— 21 — М1 + 2к1) + - ^ </(г — I — М1),

к=1 г=1

кдм+1(( м + 1)1) = дм (( м + 1)1)

имеет единственное решение дм+1(£), определенное на промежутке [( М + 1)1, (М + 2)1 ].

Тогда

. Фг(1 - г) + Фг(1 + г) дм+1{1) —-2-•

Значит

Ф\х) — 2дм+г(х - I) - Ф\21 - х), где х е [(М + 2)1, (М + 3)1]• Так как

м 2

Ф\21 -х) — -2 ^д2к-г(х - 31 - М1 + 2к1) - (\х - 21 - М1), к=1

то

м_ 2

Ф\х) — 2дм+г(х - I) + 2 ^ д2к-\(х - 31 - М1 + 2к1) + ((х - 21 - М1)

(х) — 2 Ям+1(х - I) + 2 Я2к-1\х - 31 -

к=1

М+2 2

2 92к-1(х - 31 - М1 + 2к1) + <р\х - 21 - М1), к=1

что и требовалось. Другие случаи рассматриваются аналогично.

Таким образом, получено представление для функций Фг(х) (г — 1, 2, •••,—). Покажем, что функции иг(х, Ь), определенные равенством (3,2), являются решением задачи (1.1). Заметим, что иг е ) для всех Т, поскольку функции Ф^(х) непрерывны па всей оси,

иФ! е Ш^[т1, (т +1)/] да я т — 0,1, 2, •••, а при х < 0 функции Фг(х) определены нечетным образом.

Поскольку и(1, Ь) — д(£), где д(Ь) — дт(Ь) при Ь е [т1, (т + 1)/], дт(т1) — дт-1(т1) и дт(£) е С(¿), то и(1, Ь) е С(£) для всех 0, Заметим, что условия иг(0, Ь) — 0 и1(1, Ь) —

диг

и2(I, Ь) — ••• — ип(1, Ь) — д(Ь) выполнены для всех £ ^ 0; -^-(х, 0) — 0 выполнено для почти

всех х е [0,1]] иг(х, 0) — (г(х) выполнено для всех х е [0,1]. Поскольку почти всюду

-<« • г> — - -(Ф"«" * + + ^

Ф*(1 + Ь) — 2д'(¿) + Ф*(1 -

то

п п

--^иК1, г) — - - £ Фг'(1 - г) - ¿(1). п п

г=1 г=1

1 п

Поскольку - д'(¿) е Мс^(д(г)) + - ^ Фг'(I - то

— =1

,г) е Мс{г)Ш) — Ысю(и(1,г)), =1

и следовательно, почти всюду

п

- £и1(1,г) еМса(и(1,$)• =1

Покажем теперь, что выполняется интегральное тождество.

Интегральное равенство (3,1) может быть представлено как

I / т \ т / I

^ \ и\х,г)Ф)л(х,г)и I 1х — ^ и\х,г)%х(х,г)1х\ а

и (х,

=1 0 0 =1 0 0

п п т п т

п п п

+ ^ Щх, 0)^г(х)1х — ^ ¥(1, г)и1(1, г)и + ^ %(1, г)иг(1, г) а =1 0 =1 0 =1 0

п п т

п п

^ (и1 (х,Т)Щ(х,Т) — и\х} 0)Щ(х, 0)) 1х — ^ / и\(х, г)Ф\(х, г) ¿Их =1 0 =1 0 0

п т п т п п

— ^ (ф*(1,№,г) — Ш0,^и\0,г)) и + ^ / и1(х,г)%(х,г)1хИ =1 0 =1 0 0

п п т п т

п п п

+ ^ Пх, 0)^(х)1х — ^ Ф*(1, г)и^(1, г)И + ^ %(1, г)и*(1, =1 0 =1 0 =1 0

т т

п т п

т

и"х(х,г) 1хИ — ^ / и](х,ь)Щ(х,г) ¿х(М — ^ / фг(1,1)игх(1,г)(М

»—1 J J Л

=1 0 0 =1 0 =1 0

т I

1 ¿//(ф*'(х — ^) + Фе(х + Ф1 (х,г) 1хИ =1 0 0

I т т

1

2

у (Ф'(х + г) — Ф*(х — г))Ф\(х,1х — ^ j ф*(1 ,г)и^(1,г) а =1 0 0 =1 0

п п

1 ¿/ Ф1(х,Т )(—Фг(х — Т ) + Фг(х + Т)) 1х — 1 ¿у Фгх(х, 0)(—Фг(х) + Фг(х))1х

=1 0 =1 0

п т п т

1Ё/1Ф* (х, *)(Фг(х + ^ — Фг(х — 1))1хИ — 1 ¿/ Ф\(1,1)(Фг(1 + 1) — Фг(1 — г))& =1 0 0 =1 0

п т п т + 1 ¿/Ч(0> г)(Фг(г) — Фг(—))И +1 £ 11 Ф\х (х, 1)(Фг(х + 1) — Ф*(х — I)) КхИ

г=1 о г=1 о о

т т

п п -л п Л

— ^ Ф(1,1)игх(1,= —1 ^ Ф\(1,1)(Фг(1 + 1) — Фг(1 — г))&

= о = о

т т

1А т ' ' 1

^ ; У ^ ^ .г;:.:;;:*;:,:;.:.: ^ ; ^ и, г)(Фга + г) — ФЩ —

о °=1 о

т

1 " ' ' ............-ФЧ1-

I о п Л {*

£ Ф(I — 1) + Фг/(I + 1))Фг(1,1) и = —1 ^ Ф1 (1,1)(Фг(1 + 1) — Фг(1 — I)) (к

г=1 о г=1 {

т

1 п Г

+ ^ Ф(1,1)(Фг(1 + 1) — Фг(1 — 1))И = 0.

= о

Теорема доказана.

□

Замечание 3.1. Заметим,, что задача (1.1) имеет единственное решение.

Доказательство. Предположим, что функции иг(х, Ь) составляют решение задачи (1.1).

1

п

Тогда функция и(х, Ь) — — иг(х, Ь) является решением задачи

—

=1

( д2и д2и

0 <х <1, Ь> 0,

дх2 д12

1 п

и(х, 0) — -^2(г(х),

г=1

| (х. о) — с.

ди

—(I,г) е мт(Щ,г)),

и(1, г) е С (г), и(0, г) — 0-

(3.4)

Задача (3.4) имеет единственное решение. В самом деле, если ((I) е (-К + £(0), К + £(0)), то для всех Ь е [0, ¿^функция и(х, Ь) является решением задачи

д2и д2и

дх2 д12

1 п

и(х, 0) — -^2(г(х), =1

ди .

т ^0) — 0,

и(0, г) — 0, й'х(1, г) — 0^

0 < х <1, 0 <Ь < и,

Как известно [4], последняя задача имеет единственное решение и(х, Ь). В момент времени ^выполняется условие и(1, — -К + £(£), либо и(1, — К + £(£), и для Ь е 1,12] функция и(х, Ь) является решением одной из задач

Г д2и* д2и*

дх2 дЬ2 и*(х, Ь]) — и(х, Ь-С),

ди* ^

-(х, ^) — щ(х, ^),

0 < х <1, и <г < ь,

и(0, г) — 0,

й(1, г) — ±к + £(t)•

[ 1, 2]

рассуждения, получим, что исходная задача может иметь лишь единственное решение.

Введем функции шг(х, Ь) — иг(х, Ь) - и(х, Ь) (г — 1, 2,•••—), Заметим, что шг(х, Ь) — 1, 2, ••• -

д2иг д2иг

х2 2

, 0 < х < I, г> 0 (1 — 1,2,•••—),

1

(х, 0) — (г(х) - (х)

=1

дшг

( х, 0) — 0,

л (0, г) — 0, Л (I, г) — 0^

Согласно [4], для каждого г — 1, 2, •••,— функции шг(х, Ь) определены единственным образом, Следовательно, функции иг(х, Ь) могут быть определены лишь единственным образом, что и требовалось, □

Рассмотрим пример нахождения решения задачи вида (1.1). А именно, рассмотрим задачу

' д2иг д2иг

0 <х<1, г> 0 (г—1} 2, •••,—),

дх2 дЬ2 и\х} 0) — 0,

диг .

-Ж ^^

и\1, г) — и2(1, г) — ••• — ип (I, г) — и(1, г),

_ Йи.г

Е (1,') еМсФ(1,г)),

=1

и\0, ¿) — 0 (г — 1, 2, •••,—), и( , ) е С( ),

С( ) — [-К, К] + ( ) ( )

( )

Г 8К

г*-

-8К

~Г

0 4

( 2)

8К.

т« -

7'

1_ ш

4, 7

Заметим, что функция £(1) удовлетворяет условию Липшица с константой Ь было доказано выше, такая задача имеет единственное решение, где

Как

иг(х, Ь)

Ф\х - г) + Ф\х + ь) 2 :

1, 2, •••,—•

Каждая из функций Фг(х) имеет следующее представление:

1) если х е [0,I] то Фг(х) = 0;

2) если х е [(т + 1)1, (т + 2)1], и т — четное, то

2

Фг(х) = 2 •> 92к(х — (т +1 — 2 к)1);

т

к=о

т + 1 2

Фг(х) = 2 ^ 92к-1(х — (т + 2 — 2к)1);

к=1

Фг(—х) = —Фг(х). Здесь функции до (¿) и 91(Ь) — решения задач

I {

— д'о(г) е^а)(до($),

до(0) = 0,

г е [0,1],

— д[(г) е^а)(д 1(1)), 1е [I, 21],

1( ) = о( ).

Функции дт(Ь) для четных номеров т ^ 2 — решения задач

т — 2 2

(3.5)

(3.6)

— д'т(г) е N0«)(дт($) + 2^2д2к(г — т1 + 2к1), ге [т1, (т +1)1],

9 т(т I) = дт-1(т1),

к=о

а для нечетных т ^ 3 — решения задач

т — 1 2

— д'т(г) е ^фт(^) + 2 ^ д2к-1^ — 1 — т1 + 2к1), I е [т1, (т + 1)1],

9т(т1) = дт-1(т1).

к=1

Рассмотрим задачу (3.5). Решив ее, получим, что

0,

9о{Ъ) =

0 8

т — к, г е

1_ 1_

8, 4

1_ 1_

4, 2

< к, г е т + к, г е

1_ 31 2,1

-к, г е

34 >

Рассмотрим задачу (3,6), Ее решение имеет вид

т - К, 1е

91®

5 I Ц 1

51 31

1,

К, е т + К, г е

31 7[ ~2 ,1

- К, е

Покажем, что для всех т е N

т( )

Ш - к, г е

т ,

7 2

1(4т + 1) 4

К, е

1(4т +1) 1(2т + 1)

Ш + К, г е

42 1(2т +1) 1(4т + 3)

2

4

К,

1(4т + 3) 4

, ( т + 1)

Для т — 1 утверждение верно. Предположим, что утверждение верно для т ^ N. Покажем справедливость для т — N + 1. Рассмотрим случай, когда N — четное число, т.е. N — 2М. Докажем, что

ш - к, г е

5

2М1 + I, 2М1 + —

4

92 м— <

К, е Ш + К, г е

2 М1 + -, 2 М1 + -

4 ' 2

К,

3 7

2 М1 + -, 2 М1 + -24

7

(3.7)

2 М1 + —, 2 М1 + 21 4

Имеем

м

- д2м+1^) е N0^)^+1^)) + 2^д2к-1^ - 21 - 2М1 + 2к1),

к=1

Л2м+1 ((2М + 1)1) — -К, ге [(2 М + 1)1, (2М + 2)1 ]•

Обозначим

м

у(Ь) — д2м+1&) + 2 д'2к-1(8 - 21 - 2М1 + 2к^(¡в^

(2м+1)!

к=1

Имеем

м

У(г) — 92м+&) + 2^2(д2к-1 (Ь - 21 - 2М1 + 2кI) - 92к-1«2к - 1)1)

к=1 м

— д2м+1(г) + 2 ^ д2к-1(г - 2I - 2М1 + 2кI) + 2МК.

к=1

Обозначим

M

Ш = Ш + 2Mh + 2Y192k-i(t - 21 - 2 Ml + 2 кl),

k=1

D(t) = [-h, h] + i(t),t e [(2M + 1)1, (2M + 2)1]. С учетом индуктивного предположения и представления функции Ç(t), имеем

( )

(1 + 2 M)£(t), te £(t) + 4Mh, t e

51

2Ml + l, 2Ml + — 4

2 Ml + -, 2 Ml + -42

C(t) + 4 Mh + 2 MÇ (t), te

3 l 71

2Ml + —, 2Ml + — 24

m, te ( )

7

2Ml + —, 2Ml + 21

4

{

- v'(t) e Nm(v(t)), t e [(2M + 1)1, (2M + 2)1], v((2 M +1)1) = -h,

то

( )

- h + £(t) + 2 M С (t), te

5 l

2Ml + l, 2Ml + — 4

2 Ml + -, 2 Ml + -42

h + 4Mh, t e ^(t) + 4 Mh + 2 M^ (t) + h, te

з / 71

2Ml + —, 2Ml + — 2' 4

h,

2Ml + —, 2 Ml + 21

4

Следовательно, g2M+i(t) = v(t) - £(t) + £(t), и мы получим (3.7) для функции g2M+i(t). Остальные случаи рассматриваются аналогично.

Определим функцию g(t), совпадающую на каждом про межутке t e [m l, (m + 1)1 ] с функцией gm(t), где m = 0,1, 2,.... Поскольку u(l, t) = g(t), то узловая точка струнной системы будет периодически колебаться с периодом I, начиная с момента времени t = 4. При этом соприкосновение с ограничителем будет происходить в моменты времени где п e N.

4. Задача граничного управления

Задачи граничного управления колебательными процессами на отрезке в случае линейных граничных условий изучались, например, в работах В.А. Ильина, Е.И. Моисеева 11| |()|. Рассмотрим такого рода задачу на графе-звезде для случая нелинейного условия

в узле:

' д2иг д2иг

дх2 д12 иг(х, 0) = (г(х),

д иг

Ж{х' 0) = 0'

д и

0 <х<1, 0 <КТ (г = 1} 2, ...п),

(1,г) емт(и(1,г)),

(4.1)

г=1

и(1, г) = и\1, г) = и2(1, г) = ... = ип(1, г), и(1,г) е С(г), иг(0, г) = ^г(г). Требуется найти функции ^г(Ь) е Ш2,[0,Т] такие, что

иг(х, Т) = ( *г (х), (иг)[(х, Т) = ф *г (х),

где (*г е №1[0,I], ф*г е Ь2 [0,1] заданные ( )

(г(х) удовлетворяют условию Липшица на своих областях определения.

и( х, )

1) сужения и(х, ¿) на ребра совпадают с иг(х, Ь) [г = 1, 2,..., п), причем, иг(х, Ь) е );

2) для всех 0 ^ Ь ^ Т выполнены условия и1(1, Ь) = и2 (I, Ь) = и(1,г) еС(г),иг(0,г) = ^г(г)-,

п д иг

3) для почти всех 0 ^ Ь ^ Т выполнено условие — ^ , ^ е Мс(г)(и(1,1))

ип(1, г) = и(1, г),

г=1 дх

д иг

4) условия иг(х, 0) = (г(х) выполнены для всех х е [0, ^^^^шя -^-(х, 0) = 0 выполнены

для почти всех х е [0,1], г = 1, 2, ...,п;

5) выполняется интегральное равенство

п

т

д 2 Ф

д2Фг

^I \иl(х,г)[~дфГ(х,г) — ~дкф2 (х,+

д Фг

(х, 0)(г(х) ¿х

2 х2

0 г=1 0

т т

^ Г дФг диг ^ Г дФг

+ Е (иг(1,^дФ(1,г) — Фг(1,г)ди(I,— ^ I дФ(0,1)цг(1)<и = 0,

=1

0

=1

д х

0

где произвольные функции Фг е W2(Qт){г = 1, 2, ...,п), такие, что

дФг

Фг(0, г) = 0, Фг(х,Т ) = 0,

Т <

д

( х, Т) = 0, Ф1( , ) = Ф2( , )

Ф п( , ).

Т <

Функции ^г (1) должны иметь вид

иг(^ = \ш) — (Т —1) + ( *г (Т — I)).

= 1, 2, ... , п между собой равенствами

ф*(х) -V * (х) + '/(х -Т) = 0, Т ^х ^ I,

ф*(х) + р * (х) -<$\х + Т) = 0, 0 ^х ^ 1-Т,

ф* (х) + V * (х) - 2д0 (Т + х - 1) + у\21 -х -Т) = 0, 1-Т ^х ^ I.

Здесь для каждого г = 1, 2, ...,п через ф*г обозначена, первообразная, для, функции ф*\ удовлетворяющая равенству

ф*(х0) -V * (х0) + ^г(хга -Т) = 0, х0 Е [Т, I] — фиксированы; д0(Ь) — решение задачи, (3.3). Доказательство. Введем функции

() \ 0,г< 0,

= 1, 2, ... , п ( х, ) = 1, 2, ... , п

но теореме 3,1, непосредственной проверкой выполнения условий устанавливается, что иг(х, Ь) = цг(Ь - х) +уг(х, ¿) — решение задачи (4,1) (г = 1, 2,...,п). Таким образом,

и (х, г) = -х)+—--—---.

Тогда

г^ ч Ф\х -Т) + Фг(х + Т) г. . ¿_(Т -х)+-------- = <£ * (х),

и следовательно,

(Т -х)+^ ' ^ У ^ = V * (х). (4.2)

С другой стороны,

/ (Т-х)+^ ' ^ =ф * (х). (4.3)

Вычитая из (4.3) равенство (4.2), получим

2/(Т -х) - Ф*(х -Т) = ф * (х) -V * (х). (4.4)

Рассмотрим случай, когда Т ^ х ^ I. Воспользовавшись представлениями для функций

^г и фг^ ПОЛуЧИМ

ф*(х) -V * (х) + ч?(х -Т) = 0, Т ^х ^ I,

где первообразную ф*г(х) функции ф *г (х), выберем так, чтобы она удовлетворяла равенству

ф*(х0) -V * (хго) + <рг(хго -Т) = 0, хг0 Е [Т, I] — фиксирован для каждого г = 1, 2,..., п. Рассмотрим равенство (4.4) для 0 ^ х ^Т. Получим

2^(Т — х) = у\Т -х) - ф* (х) + V * (х), откуда для всех 0 ^ Ь ^ Т получим

^(^ = \(№) - (Т - $ + V * (Т - г)).

Сложив (4.2) и (4.3), получим

Ф*(х + Т) = ф * (х) + у * (х). (4.5)

2

Фе(х + Т ) + Фе(х - Т) =

2

Ф*(х + Т) - Ф*(х - Т)

Рассмотрим случай, когда I — Т ^ х ^ I. Воспользовавшись полученными в теореме 3,1 представлениями для функций Фг.; имеем

(х) + ( *г (х) — 2д0(Т + х — 1) + (г(21 — х — Т) = 0. Если же 0 ^ х ^ I — Т, то

■ф*г(х) + (( *г (х) — (г(х + Т) = 0. Теорема доказана, □

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. А.Т. Диаб, Б.К. Калдыбекова, О.М. Пенкин. О кратностлл собственных значений в задаче Штурма-Лиувилля на графах // Матем. заметки. 99:4 (2016), 489-501.

2. М.Б. Зверева. Модель деформаций струнной системы на графе — звезде с нелинейным условием, в узле // Современная математика. Фундаментальные направления. 63:4 (2022), 635-652.

3. М.Б. Зверева. Модель деформаций системы ст,ил,т,ьесовских струн с нелинейным условием // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 32:4 (2022), 528-545.

4. В.А. Ильин. Избранные труды, В.А. Ильина: В 2-х томах. М.:МАКС Пресс. 2008.

5. В.А. Ильин. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференц. уравн. 36:11 (2000), 1513-1528.

6. В.А. Ильин, Е.И. Моисеев. Оптимизация граничных управлений колебаниями cm,руны, // Успехи матем. наук. 60:6 (366) (2005), 89-114.

7. Р.Ч. Кулаев. О свойстве неосцилляции, уравнения на графе // Сиб. матем. журн. 57:1 (2016), 85-97.*

8. Р.Ч. Кулаев, А.А. Уртаева. Теоремы Штурма о распределении, нулей для уравнения четвертого порядка, на, графе // Матем. заметки. 111:6 (2022), 947-952.

9. Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев, А.В. Боровских, К.П. Лазарев, С.А. Шабров. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М.: Физматлит. 2005.

10. Ю.В. Покорный, В.Л. Прядиев. Некоторые вопросы качественной теории Штурма-Лиувилля на пространственной сети // Успехи матем. наук. 59:3(357) (2004), 315-350.

11. Ю.В. Покорный, В.Л. Прядиев, А.В. Боровских. Вол,повое уравнение на пространственной сети, // Доклады РАН. 388:1(357) (2003), 16-18.

12. В.В. Провоторов, В.Н. Хоанг. Устойчивость трехслойной симметричной дифференциально-разностной схемы в классе суммируемых на сетеподобной области функций II Вестник российских университетов. Математика. 27:137 (2022), 80-94.

13. J. von Below, J. Lubarv, В. Vasseur. Some remarks on the eigenvalue multiplicities of the Laplacian on infinite locally finite trees // Results. Math. 63 (2013), 1331-1350.

14. M. Burlutskava. Fourier method in a mixed problem for the wave equation on a graph // Dokl. Math. 92:3 (2015), 735-738.

15. M. Kramar Fijavz, D. Mugnolo, S. Nicaise. Dynamic transmission conditions for linear hyperbolic systems on networks //J- Evol. Equ. 21:3 (2021), 3639-3673.

16. M. Kunze, M. Monteiro Marques. An introduction to Moreau's sweeping process // Impacts in Mechanical Systems. Lecture Notes in Physics. 551 (2000), 1-60.

17. Yu.V. Pokornvi, V.L. Prvadiev. On conditions for transmission in the Sturm-Liouville problem on a network"/1 J. Math. Sci. 130:5 (2005), 5013-5045.

18. Yu.V. Pokornvi, A.V. Borovskikh. Differential equation on networks (geometric graphs) //J. Math. Sci. 119:6 (2004), 691-718.

19. Yu.V. Pokornvi, M.B. Zvereva, Zh.I. Bakhtina. On Stieltjes differentials on geometric graphs // Dokl. Math. 78:3 (2008), 877-879.

20. Yu.V. Pokornvi, М.В. Zvereva, Zh.I. Bakhtina. Stieltjes differential method in the modeling of an irregular system, on a geometric graph // Diff. Equat. 48:8 (2012), 1103-1111.

21. V.A. Yurko. Inverse spectral problems for differential operators on spatial networks // Russian Math. Surveys. 71:3 (2016), 539-584.

Маргарита Борисовна Зверева, Воронежский государственный университет, пл. Университетская, 1, 394018, г. Воронеж, Россия

Воронежский государственный педагогический университет,

ул. Ленина, 86,

394043, г. Воронеж, Россия

E-mail: margz@rambler. ru

Михаил Игоревич Каменский, Воронежский государственный университет, пл. Университетская, 1, 394018, г. Воронеж, Россия

Воронежский государственный педагогический университет,

ул. Ленина, 86,

394043, г. Воронеж, Россия

E-mail: [email protected]