Задача о дуговых поверхностях как научное обоснование теории проектирования судовых трубопроводов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.123.3:[621.643.2:629.5]

ЗАДАЧА О ДУГОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ КАК НАУЧНОЕ ОБОСНОВАНИЕ ТЕОРИИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ СУДОВЫХ ТРУБОПРОВОДОВ

© 2008 г. К.Н. Сахно, В.Ю. Иткин

Задача о дуговых поверхностях связана с научным обоснованием инженерных методов проектирования судовых трубопроводных систем.

Дуги трех окружностей пересекаются в точке А. Две дуги 1 и 2 перемещаются по направлению третьей дуги параллельным переносом, образуя две криволинейные поверхности 1 и 2. Перемещая параллельным переносом криволинейную поверхность 1 по направлению дуги 2 или криволинейную поверхность 2 по направлению дуги 1 , получим один и тот же криволинейный объем [1].

Задача связана с проектированием и последующей сборкой трасс трубопроводов различных пространственных конфигураций. Трассу можно представить теоретической осью - ломанной, состоящей из прямых отрезков, расположенных в разных плоскостях, преимущественно взаимнопараллельных.

Если представить, что начало трассы жестко закреплено по направлению первого отрезка, то вращением вокруг оси этого отрезка на конце трассы образуется окружность. Поскольку трассы проектируются в стесненных условиях, то речь идет о дуге окружности (в пределах 30 град.).

Трассы состоят из отдельных труб, соединенных фланцами. В результате определенные отрезки ломанной содержат точки соединения двух соседних труб. Если представить, что начало каждой следующей трубы жестко закреплено по направлению первого отрезка этой трубы, то вращением вокруг осей этих отрезков на конце трассы образуется ряд дуг окружностей.

По условиям сборки необходимо соединить точку конца трассы с точкой жесткого соединения (фланец трубы с фланцем оборудования). Теоретически - это одна и та же точка А, положение которой можно представить нулевым вектором, направление которого совпадает с направлением последнего отрезка трассы.

Чем больше дуг, тем больше вариантов выбора необходимого объема, который бы поглощал параллелепипед возможного фактического положения точки - точки жесткого соединения конца трассы. (Параллелепипед образован предельными отклонениями, обычно от 15 до 100 мм и выше, по трем координатам, в зависимости от цепочки накопленных отклонений оборудования, фундаментов, конструкций и т. п.). При этом для получения объема достаточно трех дуг определенного сочетания.

Таким образом, необходимо составить систему уравнений, позволяющих решить указанную задачу. При решении задачи возможно изменение исходной трассировки (конфигурации, перенос фланцев) для получения нужных дуг.

1. Постановка задачи

Даны к окружностей с центрами С1,С2,...,Ск. Радиусы этих окружностей равны соответственно Я1,Я2,...,Як . Плоскости окружностей задаются нормалями п х,п 2,...,п к [2].

Все окружности пересекаются в точке А . Для каждой из окружностей определена дуга М^Ы^, содержащая точку А , в которой пересекаются все окружности. Угол АМ£А = аг, угол ААС^Ы = вг. Задача:

1. Найти уравнение поверхности £2, которая получится при движении дуги М1N1 вдоль дуги М 2 N 2.

2. Найти уравнение пространственной области £3, которая получается движением поверхности £ 2 вдоль дуги М 3 N3.

3. Найти уравнение пространственной области £г, которая получается движением области £г_1 вдоль дуги М^Ы^, г = 4, 5,..., к .

2. Уравнение поверхности £ 2

Найдем параметрическое уравнение для каждой окружности. Для этого зададим единичный вектор

- с А ОА _ ос

е г = —— =-'-, где О = [0,0,0] - начало коор-

Яг Яг

динат. Длина вектора иг = | ni, ег ^ будет равна 1

(здесь |п,е^ = [п2е3 _п3е2,п3е1 _п1е3,п1е2 _п2е1 ] -

векторное произведение). Векторы ег, иг, пг образуют ортонормированный базис. Выпишем параметрическое уравнение окружности в этом базисе:

Щ(1,) = Яе соэО1,) + Яи эт^-) + ОСг, (1)

где - произвольная точка г-й окружности. Значение = 0 соответствует точке А . При движении дуги М1N1 вдоль дуги М 2 N 2 точка пересечения дуг Р (и, соответственно, радиус-вектор ОР) движется от точки А до точки В 2:

ОР(12) = Я 2 е 2СОЭ(12) + Я 2 и 2Э1п(12) + ОС 2,

_«2 — 12 — в 2 . (2)

Вслед за ней движется вся окружность 1 , меняя положение своего центра С1 . Ее плоскость не меня-

ется, т.е. векторы п1, и1, е1 от /2 не зависят. Точка Р неподвижна относительно центра С1:

OP = R1 e1 + OC1 .

(3)

OC 3(t 4) = R 4 e 4 cos(t 4) +

Далее подставим выражение (8) в (7), поочередно зафиксировав граничные значения параметров

Из формул (3) и (2) находим зависимость положения центра С1 от /2:

ОС1 (/ 2) = Я 2 е 2 со8(/2) + Я 2 и 2 8ш(/ 2) +

+ОС2 - Я1 ~ё[. (4)

Подставим (4) в (1) и найдем уравнение поверхности £ 2:

ОН 2(/ь / 2) = Я1 е1 (со8(/1) -1) + Я1 и1 яп^) +

+Я2е2 со8(/2) + Я2и2 8ш(/2) + ОС2, (5)

-а 1 </1 <р1, -а2 < /2 <р2,

где Н 2 - произвольная точка поверхности £ 2.

3. Уравнение области £ 3

Пусть поверхность £2 движется вдоль дуги М3N3. Это означает, что точка С2 в формуле (5) зависит от параметра третьей окружности /3. По аналогии с формулой (4) получим

ОС2(/3) = Я 3 е 3соБ(/3) + Я3 и 3 8ш(/3) + ОС3 - Я 2 е 2 .(6) Подставим (6) в (5) и найдем уравнение области

£ 3:

ОН3(/1; /2, /3) = Я1 е1 (соб(/1 ) -1) + Я1 и1 + +Я2е2 (соб(/2)-1) + Я2и2 8ш(/2) +

11,12'13.

Области £5, £6,..., £к получаются аналогично. 5. Пример поверхности £ 2

Зададим подвижную (первую) окружность (рис. 1): ОСХ = [13.566, -3.7658, -0.382], П1 =[-.57733, 0.57733, 0.57733].

10 8

г 6 4 2 0

+Я 3 е 3 соб(/3) + Я 3 и 3 яп(/3) + ОС3,

-а 1 </1 <р1, -а2 </2 <р2, -а3 </3 <в3, (7)

где Н 3 - произвольная точка поверхности £3 .

Подставив граничные значения одного из параметров в это уравнение, получим уравнения поверхностей, ограничивающих эту область с разных сторон.

4. Уравнение области £ 4

Движение области £3 вдоль дуги М 4N4 - это движение всех граничных поверхностей области £3 . Движение внутренних точек области не влияет на форму области £ 4. Аналогично (4) и (6) найдем зависимость радиус-вектора центра С 3 от параметра / 4:

2

Рис. 1. Взаимное расположение дуг 1, 2, 3 Радиус окружности Я1 =| |АС = 2.5, углы

а 1 = 0, в 1 =3(рад.).

На этой окружности зададим точку А = [11.432, -4.6574, 0.5681].

Зададим неподвижную (вторую) окружность (рис. 1):

OC 2 = [3, -6,9], n 2 = [0.37576, 0.78030, 0.5].

Радиус окружности Я2 = \АС2 = 12, углы а 2 = 0,

ß 2 =

Найдем базисные векторы:

— ОА - ОС\ г ,

е1 =-1 = [0.22647, 0.79260, -0.56613];

Я1

и 1 = Щ*, е1 ] = [-0.78443, -0.19609, -0.58834].

OA - OC

e2 =

R2

= [0.70266,0.11188, -0.70266];

u 2 =

Р, e2 ] = [-0.60423, 0.61536, -0.50625].

+R 4 u 4 sin(t 4) + OC 4 - R 3 e 3.

(8)

Тогда, в соответствии с формулой (5), получим уравнение поверхности (рис. 2):

x(t j, 12) = 1.8112 + 1.8118cos(t j) - 6.2754 sin(tj) +

+8.4319 cos(t 2) - 7.2508 sin(t 2); y(t 1, 12) = -12.341 + 6.3408 cos(t 1) -1.5687 sin(t 1) +

+ 1.3424 cos(t 2) + 7.3844 sin(t 2); z (t1, 12) = 13.529 - 4.5290 cos(t 1) - 4.7067 sin(t1) --8.4319cos(t2) - 6.0750 sin(t 2);

П П

0 < t1 <-, 0 < 12 <-. 1 3 2 2

-1

-2

-3

5 10

Рис. 2. Поверхность £2 и образующие дуги 1 и 2

6. Пример области £ 3

Зададим третью окружность (см. рис. 1):

ОС~3 =[6,8,0.5], п 3 =[-0.80006, -0.34068,0.49381].

Радиус окружности Я3 = | |АС3|| = 13.775, углы а3 = 0, п

ß 3 —.

Найдем базисные векторы

OA - OC 3

e3 =

R3

= [0.39434, -0.91891,0.0049437],

Уравнение области (рис. 3):

х(/1, / 2, / 3) = -4.244 + 1.8118со8(/!) -

-6.2754 бШ^) + 8.4319соб(/2) - 7.2508 бШ(/ 2) +

+5.4320 соб(/3) + 6.2275 бш(/3),

у(/1, / 2, / 3) = 0.3168 + 6.3408соб(/1) -

-1.5687 81и(/!) +1.3424 соб(/ 2) + 7.3844 бш(/ 2) -

-12.658соб(/3) + 2.7370 бШ(/ 3),

2{// 2, / 3) = 13.461 - 4.5290 соб^) -

-4.7067 бШ(/ !) - 8.4319соб(/2) - 6.0750 бШ(/ 2) +

+0.068099соб(/3) +11.978 бШ(/3),

0 < t1 <П, 0 < 12 <П, 0 < 13 <П. 1 3 2 2 3 2

10

: [n3, e3 ] = [0.45209,0.19869,0.86952].

10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8

у

Рис. 3. Поверхность, ограничивающая область £3, и образующие дуги 1, 2, 3

В данном примере дуги подобраны так, чтобы область имела наглядный объем. При другом расположении дуг область может быть вырожденной и напоминать пологую поверхность.

Решение поставленной задачи не зависит от функционального назначения трубопроводной системы.

Литература

1. Сахно К.Н. Роль математики при решении научно-технических задач с использованием ЭВМ // Инновационные технологии в управлении, образовании, промышленности «АСТИНТЕХ-2007»: Материалы Всерос. науч. конф. В 2 ч. Астрахань, 2007. Ч. 1. С. 151-153.

2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., 1984.

Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)

25 декабря 2007 г.

0

z

z

0

х