Задача о дифракции поверхностных волн на конусе, вызванных перемещением поверхности конуса Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.591 Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 2

ЗАДАЧА О ДИФРАКЦИИ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН НА КОНУСЕ, ВЫЗВАННЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЕМ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА

А. Н. Бестужева

Петербургский государственный университет путей сообщения, канд. физ.-мат. наук, доцент, bes_alla@inbox.ru

1. Введение. Рассматривается задача о возникновении и распространении волн в идеальной несжимаемой жидкости, заполняющей объем, имеющий свободную границу и дно в виде поверхности конуса, смещение которой вызывает волновой процесс в жидкости. Движение жидкости будем считать потенциальным, для нахождения потенциала скоростей используется уравнение Лапласа с соответствующими динамическими краевыми условиями.

Задача о дифракции установившихся и неустановившихся гравитационных волн в несжимаемой жидкости в рамках линейной дисперсионной теории подробно изучена для случая бесконечной глубины и в плоском случае. В качестве возмущения чаще всего выбирался точечный источник. Такая задача впервые была рассмотрена в [1], где огибаемым препятствием служила вертикальная полуплоскость, погруженная в жидкость бесконечной глубины, а источником образования волн — начальный импульс, мгновенно приложенный в некоторой малой области заданной точки свободной поверхности. Решение задачи было получено путем разложения в ряды по функциям Бесселя. В [2] решение задачи Коши—Пуассона при погруженной вертикально полуплоскости в бесконечную глубокую жидкость было выполнено методом разветвленных решений, предложенным Зоммерфельдом для исследования дифракции световых волн. Таким же методом была исследована задача дифракции неустановившихся волн гранями двугранного угла, близкого к углу 180° [3]. В [4] была решена задача Коши—Пуассона для двугранного угла произвольного раствора и для бассейна конечной глубины. Для решения этой задачи были применены методы интегральных преобразований. В [5], наряду с задачей Коши—Пуассона, была изучена задача о дифракции волн, вызванных погруженными источниками периодического и непериодического дебита. В статье [6] дано решение задачи о волнах, возбуждаемых периодически действующим источником, в предположении, что в жидкость бесконечной глубины погружена вертикальная полуплоскость. Большое внимание получили задачи о распространении волновых движений в жидкости при наличии наклонного дна (обзор см. [2] и [7]). Рассматривались задачи в плоском случае, в основном, задачи Коши—Пуассона.

В отличие от ранее упомянутых исследований в настоящей статье изучается пространственная задача о волновых движениях жидкости при наличии наклонного дна, а в качестве источника волн было выбрано перемещение поверхности конуса. Наклонное дно было обеспечено присутствием в бесконечно глубокой жидкости погруженного в жидкость бесконечного конуса с вершиной на свободной поверхности.

© А. Н. Бестужева, 2012

Задача имеет прикладной аспект, например, при исследовании движения жидкости на мелководье, вблизи островов, рифов и т.п. В качестве возбудителя таких волн может рассматриваться, например, подводный центр землетрясения. Хотя линейная дисперсионная модель имеет известные ограничения, ряд физических процессов описывается вполне адекватно.

2. Точное решение. Рассматривается неустановившееся волновое движение идеальной несжимаемой жидкости в области, ограниченной свободной поверхностью и наклонным дном в виде бесконечного кругового конуса, вершина которого находится на свободной поверхности. Поверхность конуса предполагается абсолютно непроницаемой. Угол раствора конуса считается произвольным. Волновое движение жидкости вызывается перемещением поверхности конуса. Задача ставится для функции и = и(х, у, г, г), описывающей потенциал скорости.

Пусть бесконечный круговой конус с углом раствора в погружен в жидкость так, что его вершина находится на свободной поверхности. Поместим ось х на линии свободной поверхности, ось у направим ей перпендикулярно в горизонтальной плоскости, тогда ось г будет направлена вниз так, чтобы область П, занятая жидкостью, определялась неравенствами 0 < г < то, х2 + у2 > г2tg2в (рис. 1).

Рис. 1. Схематическое изображение области П, занятой жидкостью.

В рамках линейной дисперсионной модели [2], [7] краевая задача приводится к уравнению Лапласа с краевыми условиями смешанного (третьего) типа:

Аи = 0, х,у, г € П, ии + диг = 0, г = 0, ип = I(х,у,г,Ь), (х,у,г) € Г, и = 0, г = 0, г = 0, иг =0, г = 0, г = 0,

(1)

где д — ускорение свободного падения, I — функция, описывающая перемещение дна, Г — граница области, представляющая собой поверхность конуса. Для замыкания задачи вводим условия в нуле и на бесконечности: при \/х2 + у2 + г2 —>■ 0 и должна быть ограничена, при \/х2 + у2 -> оо и 0. Целью решения задачи является установление уравнения открытой поверхности жидкости = 1]{х,у^) = — __0-

После применения преобразования Лапласа по времени г с параметром а, перехода к сферической системе координат г,ф,в и разложения искомой функции в ряд Фурье по сферической координате ф, постановка задачи (1) для гармоники примет следующий вид:

(Г2(<£т)г)г + (вШ 0((рт )о)о ~

8Ш2 в

Рт = 0,

(2)

2

т

{Ч>т)в-Г-(fim = 0, в =

g

)в=rfm, о= в.

П 2'

(4)

Здесь

u(t)exp(—at)dt, ф ^^ фm cos тф,

0 m=0 у у

fL = f (x,y,z,t)exp(—at)dt, fL fm cos тф.

J П

Применив к задаче (2)—(4) преобразование Меллина фт = /У фтrvdr, где v — комплексный параметр, и введя новую переменную cos 0 = s, приводим уравнение Лапласа (2) к однородному уравнению, которое входит в класс дифференциальных уравнений Ломмеля [8],

d ds

(1 - s2)

2 dlfi„

ds

+

'(v + 1) -

1- s2

fm = 0,

(5)

решением которого является функция, построенная с помощью присоединенных функций Лежандра первого рода степени V порядка т,

фт = M (v)Pm(s) + N (v )Pm(-s).

(6)

Из граничных условий (3)—(4) получим уравнения для нахождения неизвестных функций М(V) и N(V):

N(v) - М(у) = —

1

g 1 + v — т

(N (v + 1) + M (v +1)),

(7)

(8)

где ^(V + 1) = /о°° тг' +1 Лт.

Согласно (8), выписывая аналогичное выражение для функции N(V +1), систему уравнений (7)—(8) сводим к функциональному уравнению для неизвестной функции

ад = м (V )/(р?(-б)у,

ад + 1) + ад)ад) = с (v),

(9)

в котором коэффициенты функционального уравнения В(V) и С(V) зависят от функций Лежандра и их производных, вычисленных на поверхности конуса, и трансформанты функции, задающей перемещение поверхности конуса:

ш , 9п, , (Р?(ё))'-(Р?(-ё)У

с (v) = —

1 + v — т

VT^-p (Р?+1(6)У + (Р?+1(~6)У

9 1) 1 /4(^ + 2)

_а2 (р™(-6))> 1 + v - т (Р™+1(-5))>_

2

т

2

а

1

1

В уравнении (9) неизвестная функция ) является функцией комплексного переменного. Такие уравнения можно решить явно, т.е. в квадратурах (аналогия с обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка с переменными коэффициентами), только для целочисленного параметра V [9].

В итоге решение задачи (6) примет следующий вид:

(V +1) Рт(-в)

Решение исходной задачи (1)

о+гж

1 f ^ 1 /" 1

и= - / expat У cosтф- / ——ipmdi/da.

c-гж m=0 L

Возвышение свободной поверхности имеет следующий вид:

оо о+гж,

1 , 1 ж ,1

о *—' ¿П1 2П% г

т=0 Аж ь

где путь интегрирования — это прямая Ь: -1/2-гж, -1/2+гж, а для трансформанты гармоник потенциала на свободной поверхности справедливо выражение

, Р т(0) (V + 1)

^т|2=0 = ад/пожрлг))' + +

3. Предельные случаи. Функциональное уравнение (9) разрешимо в предельных случаях при в ^ 0 и в ^ п/2. Например, в предельном случае при в ^ п/2 из функционального уравнения (9) можно найти

1 = , 1 1 ] 2(Р-(0))' (Р?-1(0))' (Р?(0)У ) '

и, ,таким образом, построить аналитическое решение исходной задачи. Тогда фт\в-п12 = д/°21т(V), и для функции перемещения дна в виде ](х,у,х,Ь) = ехр( — (аЬ + гЬх)) получим

С р/ 1+т+у \

7Ь/ \ _ 1 I 2 >

> (а + а)Ъ»+1

( 1 т = 0

где Ст = (—г)т < 2' ^ 1' После применения обратного преобразования Лапласа выражение для возвышения свободной поверхности будет иметь следующий вид:

11 1

г/ = —щ |д_„ = — (1 — ехр(—аЬ)) Ст1т{Ъг) со втф = — (1 — ехр(—аЬ)) ехр(Лг сов ф), о 2 а а

а т=0

где 7т(х) —функция Бесселя. 94

Рис. 2. Картина волнового движения в установившемся режиме для частного случая перемещения дна.

На рис. 2 показан характер возвышения свободной поверхности для перемещения дна, заданного функцией f (x, y, z,t) = exp( — (at + ibx)) в установившемся режиме при t (параметры a = 1, b =1). Это стоячие волны.

Используя потенциал скорости можно рассчитать давление, приложенное к поверхности конуса, P = —Put\e_ß.

4. Приближенное решение. 4-1- Стационарный случай. Предположим, что угол наклона поверхности конуса а к свободной поверхности мал, и выполним процедуру осреднения по глубине. Ищем периодические по времени с частотой а колебания поверхности жидкости, в этом случае постановка задачи выглядит следующим образом:

Ар = 0, x,y,z е Q, (10)

а2 , ,

¥>= + —¥> = 0, г = 0, (11)

g

<fn = f (x,y,z), (x,y,z) е г. (12)

Здесь уравнение поверхности конуса Г имеет вид z = H(x,y).

Интегрирование уравнения Лапласа (10) по переменной z от нуля до H(x,y) и переход к цилиндрическим координатам сводит это уравнение к следующему виду (в уравнении оставлены слагаемые одного порядка малости и отброшены слагаемые более высокого порядка малости):

аг (j(ripr)r + -^fee^j |0 = (a<fir ~ fz)\ar ~ (a<fir ~ <Ы|0- (13)

Граничное условие (11) дает pz\Q = —a2/gp\0, граничное условие (12) дает (арг — pz)\ = pn\ar = f \ar. Подставляя эти выражения в (13), получаем уравнение для новой переменной — амплитуды возвышения свободной поверхности j =

—ia/gv\z=0:

22 а а2 а2 \

а(гг)г)г + -щв + «?r Н--?? = -г—/Lr-

r g g ar

Раскладывая функцию j в ряд Фурье, для переменной rjm = Ут —компоненты Фурье амплитуды возвышения свободной поверхности — получаем неоднородное уравнение из класса дифференциальных уравнений Ломмеля [8]:

.. 2 . ( а2 ш2\ . а

Ут + ~Ут +---- Ут = -}т • (14)

r \arg r2 J arg

Решение уравнения (14) для амплитуды возвышения свободной поверхности имеет вид

Здесь для т = 0

У0

(о) _ Л)

ут — уУгп + уУт ■

Во

71 2 а, — +-рУ1 2а г \ V з^/ а/г V V за

у0

(ч)

0

- 2а

ГгУ-1 (2 а * — ) fm\ (1г 1 ^'да)-1 ,аг

для т = 1, 2,...

аД V V 9®) а/г V V За

(ч) Ут

а\/г 81П ^

0

+ ^ „ 2а

/, (1г

аг

где г/ = а/1 + 4т2.

Условие излучения, состоящее в том, чтобы возмущенные волны расходились от препятствия [10, 11],

Ит V? ((у$)г - г—у^) = 0, Ит уУ) = 0, V 9 )

дает Ат = Вт = 0, т = 0,1, 2,...

В итоге приближенное выражение для амплитуды возвышения свободной поверхности примет вид

^ ад а/г

г г

•Л J /о \аг^г — У\ J а/?71/о|отйг-

0 о

(г г

Здесь 7ЬУЬ =

аг

г

п

г

гЛ„ 2а

а п

Полученное в аналитическом виде решение задачи содержит нелинейную зависимость от угла наклона поверхности конуса к свободной поверхности, входя в аргументы функций Бесселя .7и, .

4.2. Нестационарный случай. Для неустановившегося режима краевая задача сводится к решению уравнения

2

а , ^ / _

Ут ' Ут

Г

агд

+

1

Ут /,

аг

где ут — соответствующая гармоника потенциала скорости, а /ь = /С / вхр(-а1)А, /ь = т=о /т (г, а)соъшв. Выражение, описывающее возвышение свободной поверхности в этом случае, определяется через функции Бесселя мнимого аргумента 2аг/(да)'1 и после замены переменной г = г<т выглядит следующим образом:

2аду/г

СЮ I Г

I техр(-^) | МО I (01о(г, -1т)с1г-

т=О

-11(0 / ^Л(С)/гПг,-гт)с1г-^2С-^- МО [ ^иО^Лг,-гт)с1г-

I О

г

- ^ЛС) ! ^МО/т ^-гтЦг

¿т,

где С = 2т^г/(ад).

Асимптотическое поведение нулевой гармоники при г ^ 0 определяется выражением а/г/(27г) + о('Г7/2).

Чтобы проиллюстрировать полученные результаты, ограничимся рассмотрением нулевой гармоники амплитуды возвышения свободной поверхности для установившегося режима в частном случае функции перемещения поверхности конуса в виде / = ехр(шж).

На рис. 3 представлена зависимость амплитуды возвышения свободной поверхности от угла наклона поверхности конуса к свободной поверхности. Были выбраны углы а = 3°, 6°, 18°. Графики представлены на «срезе», проекции вдоль оси х.

2

2

а

т

2

г

п

г

г

Рис. 3. Зависимость амплитуды возвышения свободной поверхности от координаты при трех значениях угла между поверхностью конуса и свободной поверхностью.

Амплитуда уменьшается с возрастанием угла, так как отклик жидкости слабеет с увеличением расстояния между свободной поверхностью и поверхностью конуса, т. е. с увеличением угла уменьшается отклик свободной поверхности на возмущение дна. Узлы стоячих волн не меняются: хоть угол входит в аргументы функций Бесселя, их комбинация дает одинаковые корни. Кривая, описывающая возвышение свободной поверхности, не имеет четко выраженной периодичности, на что влияет, в первую очередь, наличие наклонного дна.

Чем ближе дно, тем больше отклик. Чем дальше от вершины конуса, тем слабее влияние возмущения поверхности дна. Структура поверхности дна искажает картину волнового движения. При численном моделировании особая точка (вершина конуса) и ее малая окрестность исключаются из расчетов.

5. Заключение. Получено точное решение (уравнение открытой поверхности жидкости) задачи о возникновении и распространении волн в идеальной несжимаемой жидкости в области, ограниченной свободной поверхностью и наклонным дном в виде бесконечного кругового конуса, вершина которого находится на свободной поверхности. Перемещение поверхности наклонного дна конуса вызывает волновой процесс в жидкости. Точное решение задачи зависит от функции, для которой выписано функциональное уравнение. Рассмотрен один из предельных случаев, для которого функциональное уравнение решено в явном виде. Приведена графическая иллюстрация результатов для частного случая перемещения поверхности конуса. В предположении малости угла между свободной поверхностью жидкости и поверхностью конуса получено приближенное решение задачи. Рассмотрены установившийся и неустановившийся режимы. Представлены результаты численного моделирования зависимости амплитуды возвышения свободной поверхности от угла между поверхностью конуса и свободной поверхностью.

Литература

1. Бойко Л. А. Дифракция волн на поверхности тяжелой несжимаемой жидкости // Ученые записки МГУ. 1938. Т. 24. С. 34-60.

2. Сретенский Л. Н. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977. С. 816.

3. Себекин Б. И. Дифракция поверхностных волн на клине // Изв. АН СССР, МЖГ. 1966. Вып. 5. С. 148-151.

4. Себекин Б. И. Дифракция поверхностных волн на клине // Физика атмосферы и океана. 1967. Т. 3, №8. С. 890-902.

5. Себекин Б. И. Дифракция на клине неустановившихся гравитационных волн // Изв. АН СССР: Механика жидкости и газа. 1968. Вып. 1. С. 136-142.

6. Войт С. С. Дифракция от полуплоскости волн, образуемых на поверхности жидкости периодически действующим источником // ПММ. 1961. Т. 25, №2. С. 370-374.

7. Стокер Д. Д. Волны на воде. М.: Изд-во иностр. лит., 1959. С. 617.

8. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М.: Наука, 1966.

9. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М.: Физматгиз, 1959.

10. Кочин Н. Е. Собр. соч. Т. 2. М.; Л., 1949. С. 105-182, 277-304.

11. Алешков Ю. З. Теория волн на поверхности тяжелой жидкости. Л.: Изд-во ЛГУ, 1981. С. 196.

12. Грей Э., Мэтьюз Г. Б. Функции Бесселя и их приложения к физике и механике. М.: Изд-во ИЛ, 1953.

Статья поступила в редакцию 26 декабря 2011 г.