Задача многих тел: поиск устойчивых точек либрации в многокольцевых центральных конфигурациях Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК

Н.И. Перов

Задача многих тел: поиск устойчивых точек либрации в многокольцевых центральных конфигурациях

Работа выполнена в рамках Федеральной целевой программы «Научные и научно - педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы. (Государственный контракт №П539).

Рассматриваются динамические системы Nn тел, с равными массами m, между которыми действуют силы ньютоновского тяготения. n тел находятся в вершинах правильного n-угольника (3<n<1000), а число таких n-угольников равно N (1<N<25). В центре системы расположено тело массой M. Система равномерно вращается с (неизвестной) угловой скоростью ю. Определяются - а) стороны ak (k=1,..., N) каждого n - угольника; б) положения точек либрации - тел с нулевой массой; в) минимальное значение массы M центрального тела, при котором точки либрации L являются устойчивыми по Ляпунову.

Ключевые слова: небесная механика, задача N тел, центральные конфигурации, точки либрации, устойчивость движения.

N.I. Perov

A-body problem: searching for stability points of libration in the multyrings central configurations

The dynamical systems of N-n gravitating bodies, with equal masses, forming central configurations are under consideration. n bodies are placed in the vertexes of regular n-polygon (3<n<1000). The number of these n-polygons is equal to N (1<N<25). Bodies with different mass M are placed in the centers of the systems. The systems rotate around the central bodies with angular velocities ю. We determine - a) sides ak (k=1,..., N) of the each n - polygon; b) positions of the libration points - bodies with zero mass - in respect of the mass centre; c) the minimum value of the mass M of the central body for which the points of libration L are stable in the sense of Lyapunov.

Ключевые слова:celestial mechanics, N-body problem, central configurations, libration points, stability of motion.

Введение

Рассмотрим следующую небесномеханиче-скую задачу. Имеется динамическая система N х п тел - материальных точек, - с произвольными, но одинаковыми массами m, между которыми действуют силы ньютоновского тяготения, причём на всём рассматриваемом интервале времени п тел находятся в вершинах правильного п-угольника, а число таких п-угольников равно N. Вершины многоугольников расположены на N соответствующих прямых (по N на каждой), проходящих через центр масс системы. В центре системы расположено тело массой М. Система равномерно вращается с угловой скоростью ю относительно оси, проходящей через центр масс, перпендикулярно плоскости, в которой располагаются все п-угольники. На рисунке 1 представлен частный случай рассматриваемых центральных конфигураций: N=2, п=3.

Необходимо определить - а) стороны ak (к=1,..., №) каждого п - угольника; б) положения

© Перов Н.И., 2010

- расстояния от центра масс системы - RL - точек либрации - тел с нулевой массой; в) минимальное значение массы M центрального тела, при котором точки либрации L будут устойчивыми по Ляпунову.

Очевидно, в данной постановке задача является более общей, по сравнению с предыдущей работой автора [4].

Определение расстояний между телами ак (А=1,..., N

Очевидно, рассматриваемая динамическая система является центральной конфигурацией [1]. Уравнения движения тел таких систем (в системе отсчёта, связанной с центральным телом) имеют следующий вид [1]

^ /Л2=-^,,, ^(ед)/^|3}-

GMR.fR,3, (,,7=1,..., пхМ), (1)

/Л2=-ю2Д , 1=1,., п х N. (2)

Задача многих тел: поиск устойчивых точек либрации в многокольцевых центральных конфигурациях

Для сторон ак N правильных «-угольников, выраженных через радиусы описанных окружностей Я1 , имеем соотношение

п

ак = 2Як Бт —,к = 1,...,N. (3)

п

Из системы уравнений (1) - (3) находим величины ак.

т

Кь

Ь

Рис. 1. Частный случай рассматриваемых центральных конфигураций. ак - стороны многоугольников (для 2-х треугольников и=3, N=2, к=1, 2), в вершинах которых расположены одинаковые массы т Ь - точка либрации. ЯЬ- расстояние от центрального тела массой М до точки либрации Ь.

Определение положений ЯЬ точек либрации Ь

Из условия задачи следует ожидать, что устойчивые точки либрации будут находиться на лучах «центр масс системы М - середины сторон N правильных п-угольников». В дальнейшем для каждой динамической системы будем определять положение только наиболее удалённой от центра масс системы точки либрации Ь (с помощью численных экспериментов не удалось обнаружить точки либрации, расположенные ближе к центру масс, чем самая удалённая от него точка либрации). Уравнения движения точки Ь аналогичны уравнениям (1) и (2). Используя также, определение центральной конфигурации

а2=а2ь, (4)

найдём положение ЯЬ точки либрации Ь.

Определение минимальной массы центрального тела М, необходимой для устойчивости точки либрации Ь

Для исследования устойчивости движения точки либрации Ь, (в малой окрестности) воспользуемся уравнениями движения, записанны-

ми в неинерциальной системе отсчёта. Аналогично [2]

с12ЯМ2=А+2[К, ю]+[Ю, [ЮД]] (5) Здесь V и Я относительная скорость в возмущённом движении и радиус-вектор точки Ь во вращающейся с угловой скоростью ю системе координат. А -ускорение этой точки (ускорение тела с ничтожно малой массой, движущегося под действием силы ньютоновского притяжения). Для малых отклонений х, у, 1 точки Ь от положения равновесия имеем [4, 5] х - ухх - 2 у а -а2 х = 0,

у ~УуУ + 2Ха-а2у = 0, 1 -у! = 0. (6)

Здесь ух,уу,У2 - производные по координатам х, у, 1 правой части уравнения вида (1), записанного для малых отклонений рассматриваемой точки либрации от положения равновесия.

Заметим, что методами компьютерной алгебры (а также аналитически - «вручную») доказывается тождество

Ух + Уу + Уг = 0. (7)

На основании методов и теорем А.М. Ляпунова [3], аналогично работе [5], определим значение центральной массы М, при которой среди корней О характеристического уравнения (8), вытекающего из системы дифференциальных уравнений (6), нет корней с положительными вещественными частями.

О4 + п2(-г+2а2 — ух ) + (ух + а2)(уу + а2) = 0. (8)

Указанное условие является необходимым условием устойчивости движения точки либрации Ь [3, 4, 5].

Примеры определения величин ак, М при различных значениях N и п.

Используя уравнения (1) - (8), найдём значения ак, и М - минимальное значение массы центрального тела, при котором движение точки либрации Ь будет устойчивым (точнее, будет выполняться необходимое условие устойчивости по Ляпунову в первом приближении). Результаты вычислений для N=1, 5; п=3, 6, 10; приведены в таблице 1.

Таблица 1. М - минимальная масса центрального тела (с точностью до 0.01 в единицах т); ак, (к=1,..., N - стороны N правильных п-угольников; ю - угловая скорость центральной конфигурации, - расстояние точки либрации Ь от центра масс системы определяет её положение (в невозмущённом движении); Л1штах - расстояние от центра масс системы до середины стороны внешнего п-угольника (со стороной ам); Ух,Уу,Уг - производные по х, у, 2 правой части

уравнения, аналогичного уравнению (1), но записанного для возмущённого движения Ь; О -корни характеристического уравнения (8) для различного числа N х п тел, расположенных в вершинах N правильных п-угольников. Единицы измерения: длины - аь массы - т, единица времени выбирается таким образом, чтобы значение величины Gm/a13=1. Вычисления производились с 24 значащими числами, с использованием пакета прикладных программ "МАРЬЕ'13".

N=1

п 3 6 10

M 43,19 366,52 1722,38

û2 227,421823 368,347350 407,510564

Rl 0,580355 1,001220 1,618734

Rinmax 0,288675 0,8660354 1,538842

Yx 440,739628 719,764402 797,964383

Yv -208,829997 -339,206986 -375,544794

Yz -231,909631 -380,557416 -422,419588

Yx+ Yv+ Yz 0 1-10"21 0

Ql2 ±10,481861V-1 ±13,318549V-1 ±14,002165V-1

^3,4 ±10,633184V-1 ±13,369874V-1 ±14,019305V-1

N=5

n 3 6 10

M 204,27 1744,51 8209,97

a2 1,125147 1,057043 1,033082

a3 1,241294 1,108907 1,062934

a4 1,361235 1,161613 1,093075

a5 1,499686 1,221601 1,127171

û2 591,433355 1301,723187 1624,664501

Rl 0,708703 1,105831 1,718147

Rinmax 0,431922 1,057938 1,734537

Yx 1146,452200 2544,711283 3182,879754

Yv -543,120685 -1198,920433 -1497,475817

Yz -603,331514 -1345,790849 -1685,403937

Yx+ Yv+ Yz 3-10"21 -110-20 1-10"21

Ql2 ±16,968556V-1 ±25,065548V-1 ±27,956155V-1

Û34 ±17,076396V-1 ±25,087324V-1 ±27,971029V-1

Примечание. При оценке приближённого значения минимальной массы M центрального тела, при которой наиболее удалённая от него точка либрации является устойчивой, использовались следующие (приближённые) соотношения.

A) M / m «V3n3N. B) M / m « V3n3N - nln N+1 , для чисел N и n в

(Завышенное значение для нижней границы диапазоне 1<N<10, 3<п<10. M/m для произвольных чисел N и п).

Задача многих тел: поиск устойчивых точек либрации в многокольцевых центральных конфигурациях

C)

M.

M.

N

n + 2 n -1

и произвольном n.

D)

M

M

N

N +1 N '

При фиксированном N

При фиксированном n

и произвольном N.

Рекуррентные формулы С) и Б) позволяют уверенно дать оценку значения М, не находя решения уравнений (1) - (8). (Эти уравнения -(1) - (8), - представленные в явном виде, являются чрезвычайно громоздкими, даже при умеренных значениях N и п).

Для примера вычислим М№1, п=20. Используя из таблицы 1значение М№1,п=10, последовательно определяя по формуле С) величины Мц,... , М19, найдём М№1п=20=13 8 8 3.Точное значение, установленное в результате решения системы уравнений (1) - (8), п=20=13879,71. (При этом в единицах измерения а1=1, т=1 Gm/аl3=1, имеем - а2 =425,381347, RL=3,1965697, RInmax=3,156876, Д,2=±14,296859^-1, ^=±14,30723^-12).

Заключение

Приведём основные результаты работы.

1. При больших значениях п и N для оценки минимального значения массы М центрального тела, при которой наиболее удалённая от него точка либрации L является устойчивой, предлагается использовать рекуррентные формулы С) и Б).

2. С ростом n и N, при устойчивости точки L, отношения сторон N правильных n-угольников стремятся к 1.

3. С увеличением N (и n) наиболее удалённая от центра масс системы точка либрации L переходит из области пространства, расположенной вне N-Го n-угольника (RL > R1nmax), во внутреннюю область N-го n-угольника (RL < Rinmax).

4. Квазипериодическое движение точки L вблизи положения равновесия при фиксированном значении N и больших значениях n происходит с некоторой предельной частотой Д1т .

5. В настоящее время устойчивость центральных конфигураций исследуется для небольших значений n и N или вообще не исследуется [6]. Вместе с тем для практических целей интерес представляет исследование устойчивости небес-номеханических систем многих тел на основе обозримых соотношений. Поэтому установление устойчивости (неустойчивости) динамической системы гравитационно связанных тел на основании исследования устойчивости только 1-й (!) точки либрации имеет значение для решения таких проблем, как происхождение Солнечной и внесолнечных планетных систем и локализации вблизи ближайших звёзд планет земного типа. (В работе [4] при N=1 и произвольном значении n показано, если точка либрации L является устойчивой, то и рассматриваемая небесномеханиче-ская система является устойчивой). Отметим, что поиски подобных планет из прямых наблюдений заложены в программах космических аппаратов "DARWIN", "KEPLER", "GAIA".

n

Библиографический список

1. Уинтнер, А. Аналитические основы небесной механики [Текст] - М.: Наука, 1967.

2. Ландау, Л. Д., Лифшиц Е.М. Механика. Теоретическая физика -. М.: Наука, 1973. - Т.1.

3. Ляпунов, А.М. Общая задача об устойчивости движения [Текст] / М.-Л.: АН СССР, 1956. // Собр. Соч. Т.2.

4. Перов, Н.И. Поиск устойчивых центральных конфигураций [Текст] / Материалы конференции «Чтения Ушинского» физико-математического фа-

культета ЯГПУ.- Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2008. С. 67 - 75.

5. Medvedev Yu. D., Perov N. I. Restricted four-body problem. The case of a central configuration: libration points and their stability / Astronomical Letters. RAS. 2008. V. 34. No. 5. P. 357-365.

6. Montserrat Corbera and Jaume Llibre. On the existence of central configurations of p nested regular poly-hedra / Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 2010. V. 106. N 2. P. 197 - 207.