О точках либрации вращающегося "комплексифицированного" треугольника Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика

УДК 531.36

О ТОЧКАХ ЛИБРАЦИИ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ "КОМПЛЕКСИФИЦИРОВАННОГО" ТРЕУГОЛЬНИКА

Д. В. Баландин1, В. И. Никонов2

Обсуждаются вопросы сходства и различия силовых полей классического "вещественного" диполя и диполя "комплексного", представляющего собой пару точек, "разнесенных" на одинаковые расстояния в комплексную область и оснащенных комплексно-сопряженными массами. Результаты применяются в задаче о движении материальной точки в поле притяжения треугольника, совершающего равномерное вращение в своей плоскости вокруг центра масс. Предполагается, что каждой вершине треугольника ставится в соответствие комплексный диполь. Изучается вопрос о существовании и устойчивости точек либрации. В частности, показывается, что существуют точки либрации, расположенные вне плоскости треугольника.

Ключевые слова: комплексный диполь, гравитирующие системы, точки либраций.

Differences and similarities of force fields generated by a complex dipole and a "classical" one are discussed. Asymptotic behavior of the real potential of the complex dipole is studied. The results of comparison are applied to the problem of motion of a material point in the field of attraction of a triangle uniformly rotating in its plane about its center of mass. Each vertex of the triangle is assumed to be a complex dipole. The existence of libration points is studied and sufficient conditions of their stability are investigated.

Key words: complex dipole, gravitating systems, libration points.

1. Введение. Современный этап развития механики космического полета предусматривает, в частности, разработку подходов к описанию движения космических кораблей под действием сил притяжения со стороны тел с нерегулярным распределением масс, например астероидов и комет. Для таких небесных объектов, как комета Чурюмова-Герасименко, достаточно эффективным, во всяком случае в первом приближении, оказывается представление притягивающего тела в виде гравитирующей гантели (см., например, [1, 2]).

Вместе с тем многие малые небесные тела не обладают столь явно выраженной гантелеобраз-ной формой. Для них приходится разрабатывать иные модели, которые, впрочем, не всегда удобны для аналитической оценки возможных динамических эффектов [3]. Как оказалось [4, 5], для сплюснутых тел подходит описание потенциала с помощью введения комплексных масс и расстояний, обнаруженных и активно применявшихся на заре космической эры [6].

Потенциал вида (7) — вещественнозначная функция. Потенциалы такого вида для точек при со = г введены М.Д. Кисликом [7] и изучены Е.П. Аксеновым, Е.А. Гребениковым, В.Г. Деминым (см., например, [8, 9]), В.М. Алексеевым (см., например, [10, приложение]), а также Дж. Винти [11] в связи с необходимостью описания движения спутников в окрестности сплюснутых планет. Преимущество их использования состоит в том, что задача о движении точки под действием притяжения со стороны двух притягивающих центров вполне интегрируема. Интегрирование методом разделения переменных позволяет описать движения аналитически.

2. Классический и "комплексный" диполи. Пусть Oxyz — некоторая система координат, а в ней точки Р+ и Р_, такие, что ОР± = (0, 0, ±wa), оснащены "зарядами" -\-cofx и —соц соответственно (р > 0). Здесь и далее ы = 1 в случае классического "вещественного" диполя и со = г в случае диполя "комплексного". Потенциал таких диполей имеет вид (ср., например, [12])

U = —со (—---— ^ , р± = [x2 + y2 + (z±coa)2]1/2 , а > 0. (1)

\Р- P+J

1 Баландин Дмитрий Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. численного и функционального анализа ф-та ВМК Нижегород. гос. ун-та им. Н.И. Лобачевского, e-mail: dbalandinQyandex.ru.

2 Никонов Василий Иванович — асп. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ; стипендиат каф. численного и функционального анализа ф-та ВМК Нижегород. гос. ун-та им. Н.И. Лобачевского, e-mail: nikon vQlist.ru.

Напряженность силового поля для потенциалов вида (1) определяется соотношением

Е = r = (x,y,z)T]

при этом

Í = -B = U)(Х (р3+ ~ У (р3+ ~ * ~ _ ша 0°+ + /°-)^ р. ш \ р+р- ' р+р- ' р+р- р+р- )'

Пусть е = (ех, еу, ez)T — некоторый постоянный единичный вектор, задающий направления в осях Oxyz. Тогда проекция напряженности на задаваемое этим вектором направление имеет вид

(Pf\ ,,(х(р+-р-) р , У (р+ - Р-) р , (z (р+ - Р-) ша (р\ + р~)\ р \ (К

(е' f)-w ^ р\р1 Сх + р\р1 еу + ---Ту.—) ez) • (2)

Пусть р = (х2 + у2 + z2)1/2 а, т.е. е = а/р <С 1. Разлагая выражение (2) в ряд по степеням параметра е, получаем

1 ^" ,2 Z I I , ,2 f o„ , « 9, ,2„ Л с; ^ \ „2 \ „ \ ,

(e, f) = -3 - (xex + + w2 + 6 — e - 3w2a - 5 ) <r¿ ) ez ) + o(e¿) =

= 2 ( 3 w2 ^ (xex + yey)e + w2 + 3 J J + o(e2) =

t

o2

2w2a (з -J (жеж + + + 3 ^ e^ +

a

o

" P¿

Таким образом, как для классического, так и для комплексного диполя силовое поле убывает с расстоянием р, как р_3, т.е. быстрее, чем у точечного заряда.

Укажем некоторые свойства потенциала комплексифицированного диполя. Прежде всего непосредственной проверкой можно убедиться, что функция V гармоническая: Д[7 = 0. Далее, пусть г = 0. Тогда р± = [ж2 + у2 — а2]и функция II определена при выполнении условия х2+у2 —а2 > 0.

Выполним преобразование функции [7, выписав выражения для р± в тригонометрическом виде. Пусть

х2 + у2 + (г ± да)2 = и(сое <р ± г эт ф),

где (и, (р) такие, что

„2 , „.2 , „2 „2

и = у/(х2 у2 z2 — a2)2 + 4a2z2, sin^ =-, cos(p =-. (3)

и и

Тогда функция U = U(x, у, z) запишется как

2usin % ,

U =--=r±, ¡p = ¡p(x,y,z), (4)

причем в силу (4)

LD и + X2 + у2 + Z2 — a2 LD и — х2 — у2 — Z2 + а2 cos— =е\ -, sm—=e\ -, е = ±1.

2 V 2 и 2 V 2 и

Заметим, что силовое поле комплексного диполя не оставляет инвариантной плоскость z = 0, что делает невозможным рассмотрение движения в этой плоскости. Также заметим, что, как и в вещественном случае, под действием притяжения со стороны комплексного диполя массивная точка не может находиться в равновесии. Наконец, в обоих случаях картинка обладает симметрией: при отражении относительно оси у и замене направлений на противоположные вектор напряжение/

ности силового поля переходит в себя. Поскольку на луче х = 0, z = 0, у > а функция —— равна

ду

ди

нулю, а функция —— отрицательна, то силовые линии пересекают этот луч под прямым углом в oz

направлении, противоположном оси Oz.

Замечание 1. Применяемое разложение потенциала имеет особенность в нуле. Исследование вопроса об использовании выражений для потенциала без особенностей восходит, вероятно, к работе М. Борна и Л. Инфельда [13] (см. также [14]). Аналогичный вопрос обсуждался в недавних работах [15. 16].

Для ''комплексного" потенциала начало координат не входит в область определения задающей потенциал вещественной функции. Разложение с особенностью в начале координат можно осуществлять по безразмерному параметру

±'2íaz — а? х2 + у2 + z1

или

2 íaz

£* =

х2 + у'2 + ¿2 — а2'

"ухватывающему" особенность на границе области определения вещественнозначного потенциала.

В классической задаче о диполе употребляется разложение по безразмерному параметру, в наших обозначениях имеющему вид

'2az + а2 х2 + у2 + ¿2'

Возникающее разложение сингулярно: оно имеет особенность в начале координат. Вместе с тем для исходного потенциала никакой особенности в начале координат нет. Если же разлагать потенциал в ряд по безразмерному параметру

'2az

х2 + у2 + ¿2 + а2'

то возникающее разложение, как и исходный потенциал, особенности в начале координат не имеет.

Завершив таким образом краткий сравнительный анализ двух типов диполей, начнем видоизменять комплексный диполь, добавляя в его особые точки по массе т. которую для определенности будем считать положительной. Получается "комплексифицированный" диполь, потенциал которого имеет следующий вид:

,' т + 1ц, [ т — 1ц,

Р- Р+

где величины р± определяются выражением (1) при ш = г.

На рис. 1 изображены для сравнения силовые линии и эквипотенциальные кривые (сечения эквипотенциальных поверхностей, проходящие через ось симметрии) силовых полей для случаев ш = 1. т ^ ц,: ш = г. т ^ цг. ш = 1. т ц,: ш = г. т ц,.

^ (ди ди ди

Замечание 2. Поле сил I1 = — ——, ——, ——

\ ох ду дz

которое порождает потенциал "комплексифициро-ванного" диполя. осесимметрично. При отражении относительно оси у и замене направлений на противоположные вектор напряженности силового поля переходит в себя.

3. Точки либраций вращающегося "ком-плексифицированного" треугольника. Постановка задачи. В работах [17. 18] исследовались вопросы о существовании стационарных конфигураций. их ветвлении и устойчивости в задаче о движении взаимно гравитирующих треугольника (образованного тремя массивными точками [17]

т « и

ю = i

(0 = 1.

т >> ц

Рис. 1. Силовые линии (томные) и эквипотенциальные кривые (светлые)

или тремя массивными однородными стержнями [18]) и материальной точки. Целесообразно сопоставить обнаруженные в этих работах динамические эффекты с эффектами, возникающими в случае комплексификации масс. Выполним такое сопоставление в частном случае, когда масса треугольника существенно превосходит массу свободной точки, т.е. фактически речь идет о точках либрации для равномерно вращающегося треугольника.

Пусть Р\Р2Рз — треугольник, расположенный в плоскости Оху трехмерного евклидова пространства, оснащенного абсолютной системой отсчета Oxyz (ACO). Координаты векторов OP¿ в проекциях на оси ACO обозначим (xi,yi, 0). Длины сторон треугольника записываются как

(PiP2,PiP2)1/2 = [(Я1 - х2)2 + (у\ - у2)2]1/2 = 4 (1,2,3)

и предполагаются неизменными во все время движения.

Как и выше, каждой точке Рк, к = 1,2,3, поставим в соответствие пару точек Ри таких, что ОР^ = (хк, ук, ± iflfc), где i — мнимая единица. Оснастим точки Р^ и Р^ комплексно-сопряженными массами mk+i¡j,k и mk—ifxk. Пусть Q — твердое тело, образованное этими массивными точками. Потенциальную энергию гравитационного взаимодействия тела Q и точки Р массой М, такой, что ОР = (x,y,z), можно записать следующим образом:

з

UN = -MGj2uk, к=1

где

mk + il^k ТПк-гЦк ± г 2 2 . 21 1/2

Uk =-=-+-т-, рк = [(х-хк) +{у~ук) +{z±iak)\

Рк Рк

G — константа всемирного тяготения. С помощью выражения (3) каждое из слагаемых Uk можно привести к виду (4).

Пусть оснащенный таким образом треугольник равномерно вращается вокруг центра масс с угловой скоростью Q. Тогда возникает задача о существовании и устойчивости точек либрации.

4. Измененный потенциал и его критические точки. Для исследования критических точек измененного потенциала возьмем жестко связанную с треугольником подвижную прямоугольную декартову систему отсчета (ПСО) с началом в точке С — центре масс треугольника Ось С( при этом сонаправлена с осью Oz. В ПСО на движущуюся точку кроме сил ньютоновского тяготения действуют кориолисова и центробежная силы инерции. Тогда приведенная потенциальная энергия записывается в виде

U = UN + Uc = UN - ^MQ2(£2 + г?2) = А/Г .

Согласно теории Рауса [19] (см. также [20]), положения относительного равновесия точки Р, называемые точками либрации, определяются из уравнений

9U* _ ^ | + | {тк =Q ^

к=1 Рк Рк

П2Г] I C¿ (mk + ¥k)(r]-T]k) | {тк - щк){л - r¡k) =0 ^

к=1 Рк Рк

(тк -М/4р(( -гак) (тк - щк)(( + гак) \

ВС ~ \ -з + +з '

ГА к=1 V Рк Рк )

Для определенности рассмотрим случай равностороннего треугольника со стороной длины £. Кроме того, будем полагать, что ец = а, т^ = т, = /х, г = 1,2,3.

Пусть ось параллельна стороне Р\Р2. Тогда в ПСО векторы СР^ и СРГ, ^ = 1,2,3, будут иметь следующие координаты:

Ввиду симметрии треугольника относительно оси Сг] естественно ожидать существования частных решений при 4 0. В таком случае р\ = р^ и р~[ = р^", и уравнение (5) выполняется автоматически. При фиксированном значении О, уравнения (6) и (7) задают в плоскости (?у, <,") кривые /1 = /1(77, и /2 = /гС??, С)- Зафиксируем величины а, т и р, тогда точками пересечения кривых /1 и /2 задаются точки либра-ций, которые зависят от угловой скорости П и располагаются вне плоскости треугольника. Заметим, что при (," = 0, р = 0 функция /2 тождественна равна нулю. Этот случай отдельно разберем ниже.

Пусть ( ф 0. Обозначим через Р и С,) проекции точек Р\, Р2 и Рз на плоскость (г],(). На рис. 2 показаны примеры плоскостей (?у, (,") в случае т < р для различных значений параметра а. Для каждого случая серым цветом обозначена часть оси С г], которую необходимо исключить из рассмотрения, поскольку область изменения величин £ и г) представляет собой плоскость без трех кругов: М2\ {А\ и и Аз}, где Аг = {(£, г/) : рг < 0}, г = 1,2,3. Точкам кривых, показанных черным цветом, соответствует расположение точек либраций, точки "обрывов" кривых имеют нулевую угловую скорость, т.е. 0 = 0.

Пусть теперь ( = 0 и р = 0. Поскольку уравнение (7) выполняется тождественно, то в координатах система (5), (6) с учетом выражения (4) примет следующий вид:

Рис. 2. Расположение точек либраций вне плоскости треугольника в случае т р

<* ^ 2 5_2

и

3/2

и,

3/2

и

3/2

3/2

V и1

и.

3/2

и

3/2

(8) (9)

т = (С + |)2 + (у + ^Я) -а2> и'2 = (С - + (»7 + -а2, 113=^ + ^-^) ~а2.

(10)

Домножим левую и правую части (8) на а левую и правую части (9) на г) и сложим. Получим уравнение

П2

(е + |)е + (л + ^ + + ^ + - Щп

и

3/2

и.

3/2

и

3/2

нредставляющее собой уравнение кривой в плоскости (£, ??), на которой могут располагаться относительные равновесия.

Так как в точке (£, г?) = (0, 0) относительное равновесие существует при любом значении угловой скорости, то, полагая г) ф 0, из (9) находим

(

й2 =

пгС

2 г] + ^£

V

г]+4А +т-«2

3/2

+

\

г]-^-£) -а

3/2

(П)

/

Кривая П2 = /(г?) в плоскости (П2, г]), задаваемая соотношением (11), представляет собой диаграмму Пуанкаре. Пусть размерные постоянные выбраны таким образом, что т = 1, С = 1, £ = 1. Диаграмма представлена на рис. 3. Для случаев а < £/'2 (а = 1/3) имеем щ = \/3/3 + 1/3, Г]-3 = Уз/3 - 1/3, Г]2 и -0,23545, гц и -0,4498, и 13,1939. При а = £/2 (а = 1/2) имеем

щ = л/З/З + 1/2, щ = л/З/З —1/2, г)2 ~ —0,23545. Отметим, что в этом случае точка ?у = 1/2 исключается из области определения. Для случаев а > С/2 имеем ?у4 = \Л

ГЗС/3 + а, т = -у/зе/6 - у/а2 - су4. На рис. 3 штриховкой обозначены области, которые подлежат исключению из рассмотрения: функция [У* в этих областях не определена.

Рис. 3. Диаграмма Пуанкаре

5. Устойчивость относительных равновесий. О характере устойчивости, т.е. о степенях неустойчивости, относительных равновесий равностороннего треугольника и точки можно судить по характеристическому многочлену Р(А) матрицы Гессе измененного потенциала:

Р( А) = с!е1

д^'2 д^дч]

д2\¥ д2\¥

— л

V дч]д£ дч]2 / __ __ л д<1цг ^

у д^2 дчу2 ) д^2 дчу2 д^дг] д7]д^

/д2\¥ д2\¥\ Л д2шд2ш д2ш д2ш Л- - ( + -тг-т- I А + —- —7- - ^ ^ = Л- -рХ + д,

где

IV = и*

С=о, м=о' 2

иг + и2-з(^~1у + из - зе

и

5/2

и,

5/2

и

5/2

—— = -Г22 + д1}]2

д2\¥ д2\¥

щ - з ?? + V

и

5/2

+

и-2~ 3 ?у +

и.

5/2

+

Из - 3 (?у - Лр

и

5/2

/

= -3\/2тС

(£ + §) ('7 + ^) (77+ /гасл

5/2 + 5/2

И/Г)

+

и

5/2

Величины «1, и-2 и глз определяются из соотношения (10).

Оба корня уравнения Р(А) = 0 вещественны. По теореме Виста если р > 0 и д > 0, то степень неустойчивости = 0 и движение устойчиво по Ляпунову. Если q < 0, то степень неустойчивости X = 1 и движение неустойчиво. Если р < 0 и 5 > 0, то степень неустойчивости = 2 и имеется возможность гироскопической стабилизации.

Определим степень неустойчивости относительного равновесия (^,?у) = (0,0). В этом случае

е

Р = -2[П2 +

+ За2

е2

(|-а2)*/2

<0, д = П2 +

+ За

(|-а2)*/2

Следовательно, степень неустойчивости решения (£, ту) = (0,0) равна двум.

Для характерных случаев значений параметра а соответственные степени неустойчивости определены для каждой ветви бифуркационной диаграммы (см. рис. 3). В отличие от работ [17, 18] в настоящей задаче не оказалось нулевых степеней неустойчивости, что является следствием того, что гравитирующая точка предполагалась малой по сравнению с массой треугольника. В [17, 18] такого предположения не делалось.

Авторы выражают благодарность Фонду конкурсной поддержки студентов, аспирантов и молодых научно-педагогических работников ННГУ. Работа выполнена также при финансовой поддержке РФФИ, грант № 16-01-00625.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Белецкий В. В. Обобщенная ограниченная круговая задача трех тел как модель динамики двойных астероидов // Космич. исследования. 2007. 45, № 6. 435-442.

2. Белецкий В.В., Родников A.B. Об устойчивости треугольных точек либрации в обобщенной ограниченной круговой задаче трех тел // Космич. исследования. 2008. 46, № 1. 42-50.

3. Scheeres D.J. Orbital motion in strongly perturbed environments: applications to asteroid, comet and planetary satellite orbiters. Berlin: Springer, 2012.

4. Белецкий B.B., Родников A.B. Точки либрации обобщенной ограниченной круговой задачи трех тел в случае мнимого расстояния между притягивающими центрами // Нелинейная динамика. 2012. 8, № 5. 931-940.

5. Родников А. В. Компланарные точки либрации обобщенной ограниченной круговой задачи трех тел в случае комплексно-сопряженных масс притягивающих центров // Нелинейная динамика. 2013. 9, № 4. 697-710.

6. Аксенов Е.П., Гребеников Е.А., Демин В.Г. Обобщенная задача двух неподвижных центров и ее применение в теории движения искусственных спутников Земли // Астрой, журн. 1963. 40, вып. 2. 363-375.

7. Кислик М.Д. Движение искусственного спутника в нормальном гравитационном поле Земли // Искусственные спутники Земли. 1960. Вып. 4. 3-17.

8. Аксенов Е.П., Гребеников Е. А., Демин В.Г. Применение обобщенной задачи двух неподвижных центров в теории движения искусственных спутников Земли // Проблемы движения искусственных небесных тел. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 92-98.

9. Аксенов Е.П., Гребеников Е.А., Демин В.Г. Об устойчивости некоторых классов орбит искусственных спутников Земли // Искусственные спутники Земли. 1963. Вып. 16. 163-172.

10. Демин В.Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения. М.; Ижевск: НИЦ "РХД", 2010.

11. Vinti J.P. Theory of accurate intermediate orbit for satellite astronomy //J. Res. Nat. Bur. Stand. В 63. 1961. N 3. 169-201.

12. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. 2-е изд., перераб. М.: Гостехиздат, 1948.

13. Born M., Inf eld L. Foundations of the new field theory / / Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1934. 144, N 852. 425-451.

14. Slawianowski J.J. Bertrand systems on spaces of constant sectional curvature. The action-angle analysis // Repts Math. Phys. 2000. 46, N 3. 429-460.

15. Буров A.A., Герман А.Д., Суликашвили P.C. Об орбитальном движении тетраэдра-гиростата // Прикл. матем. и механ. 2010. 74, вып. 4. 594-609.

16. Буров A.A., Герман А.Д., Суликашвили P.C. Об установившихся движениях гиростатов с равными моментами инерции в центральном поле сил // Прикл. матем. и механ. 2011. 75, вып. 5. 738-744.

17. Никонов В.И. Относительные равновесия в задаче о движении треугольника и точки под действием сил взаимного притяжения // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2014. № 2. 45-51.

18. Никонов В.И. Существование и устойчивость стационарных конфигураций в задаче о движении проволочного треугольника и точки под действием сил взаимного притяжения // Прикл. матем. и механ. 2015. 79, вып. 3. 334-343.

19. Routh E.J. Treatise on the stability of a given state of motion. L.: MacMillan, 1877.

20. Карапетян A.B. Устойчивость стационарных движений. M.: Эдиториал УРСС, 1998.

Поступила в редакцию 08.12.2014