Научная статья на тему 'Задача Куэтта в канале с зеркально - диффузными  граничными условиями'

Задача Куэтта в канале с зеркально - диффузными граничными условиями Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
77
14
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Латышев А. В., Юшканов А. А.

Исследовано влияние коэффициентов аккомодации тангенциального импульса молекул на нижней и верхней пластинах на поведение газа между движущимися пластинами с произвольными зеркально диффузными граничными условиями. Решение строится в широком диапазоне чисел Кнудсена, много больших единицы.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Латышев А. В., Юшканов А. А.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

he Couette problem in the channel with mirror - diffusive boundary conditions

The influence of accomodation coefficients of a tangential momentum of molecules on the bottom and top plates on behaviour of gas between moving plates with any mirror diffusive boundary conditions is investigated. The solution is under construction in a wide range of Knudsen numbers, a much more than 1.

Текст научной работы на тему «Задача Куэтта в канале с зеркально - диффузными граничными условиями»

Задача Куэтта в канале с зеркально - диффузными

граничными условиями

Латышев А.В., Юшканов А.А. ([email protected]) Московский государственный областной университет

Исследовано влияние коэффициентов аккомодации тангенциального импульса молекул на нижней и верхней пластинах на поведение газа между движущимися пластинами с произвольными зеркально - диффузными граничными условиями. Решение строится в широком диапазоне чисел Кнудсена, много больших единицы.

При описании движения газа в каналах [1]-[6] рассматриваются, как правило, чисто диффузные граничные условия. Оказывается, что эффективная техника аналитического решения, развитая для полупространственных задач [7], в данном случае непосредственно не может быть применена. Вместе с тем вызывает большой интерес влияние свойств поверхности на поведение газа в каналах. В работах [5],[6] была сделана попытка получить аналитическое решение для почти зеркальных граничных условий. Для задачи Куэтта таким свойством поверхности, которое оказывает определенное влияние на поведение газа, является коэффициент аккомодации тангенциального импульса молекул.

В настоящей работе получено решение задачи Куэтта при произвольных зеркально - диффузных граничных условиях на стенках канала, которые движутся в противоположных направлениях с одинаковыми скоростями. Получены выражения для потоков массы, тепла, силы трения и массовой скорости. Установлено, что наряду с

классическим режимом течения существует для широкого канала и новый режим, реализующийся для чисел Кнудсена, много меньших единицы, но много больших коэффициентов аккомодации. Переход к классическому режиму осуществляется, когда число Кнудсена становится много меньше коэффициентов аккомодации. В этом случае выражения для макропараметров совпадают с известными.

Постановка задачи

Пусть имеется плоский канал толщиной 2d (|х|^), стенки которого движутся в своих плоскостях в противоположных направлениях со скоростями и и -и. Введем декартову систему координат с центром в середине канала. Ось х проведем перпендикулярно плоскостям стенок канала. Ось z направим вдоль направления движения стенок канала. Будем считать, что движение носит стационарный характер. Рассмотрим случай, когда скорость движения стенок канала много меньше скорости звука в газе. В этом случае задачу можно линеаризовать. Поэтому функцию распределения f молекул газа по скоростям будем искать в виде

/ = /0(1 + И), /0 = п(в / п)3 / 2 ехр(-^2), в = т /2кТ. Возьмем

линеаризованное БГК - уравнение в безразмерных переменных

Сх дИ + И(х,с) = 2Си2(х), и2(х) = п"3/21ехр(-С'2)С;И(х,С)с13С' (1)

Рассмотрим зеркально-диффузные граничные условия на поверхности канала с коэффициентами аккомодации тангенциального импульса (коэффициентами зеркальности) д1, q2 (0 < qj < 1), у = 1,2 :

И(-й,С) = (1 - q1) И(-й,С + 2пхС) - 2иС^, Сх > 0 (2)

И{й, С) = (1 - д) И{й, С + 2п2С) + 2иС2ди Сх < 0

Здесь П1, п2 - единичные векторы нормали к поверхностям стенок по направлению внутрь канала. Из вида уравнения (1) и граничных условий (2) следует, что функцию h можно искать в виде И = С ш(х,ц), ц = Сх. При этом задачу (1), (2) можно преобразовать к виду:

дш дх

1 ^

ш(х, ц) = I" ехр(-ц,2)Ш( х,ц')<ц, (3)

ШЫ,ц) =(1 - д^ШЫ,-ц)- 2ЩХ, ц> 0,

(4)

у/(<Л,ц) = (1 - д2)ш(^,-ц) + 2Цд2, ц< 0. Используя разложение функции Ш на сумму Ш = Ш0 (х, ц) + Шс (х, ц), где функция Ш0 (х, ц) = а0 + а1 (х - ц) является решением уравнения (3), представим граничные условия (4) в виде: Шс (^, ц) = (1 - д1)шс (-^,-ц) + а1(2 - д1)ц- д1(а0 - а^ + 2П), ц> 0,

Шс №, ц) =(1 - 42 )Шс №,-ц) + а1(2 - 42 )ц - Ч2(а0 + а1^ - 2и), ц < Обозначим:

ШсЫ,ц) = С1(ц = C1, ц< 0, Шс(Л,ц) = С2(ц) = С2, ц> 0. С помощью этих обозначений получаем, что последние граничные условия определены на всей числовой оси:

Шс (+^,ц) = М ± (ц), -ю<ц<ю, (5)

где

М - (ц) = Н + (ц)ъ (ц) + Н - (-ц)С1, М+ (ц) = Н + (-ц)у2 (ц) + Н + (ц)С2

Здесь

Pi (u) = (1 - qx)Q - q (ao - axd + 2U) + ax (2 - q)u,

Pi(u) =(1 - qi)C2-q2(ao + aid - 2U) + ai(2 - q2)u

Далее будем решать уравнение (3) с граничными условиями (5).

Решение граничной задачи Далее для канала развивается высокоточный регулярный "метод аппроксимационных функций" [8], изложенный также в 2003 г. на семинаре ИПМ им. М. В. Келдыша. Разделение переменных

x

Wn (x,u) = exp(—)Ф(п,и), ne C,

n

сразу сводит уравнение (3) к характеристическому

n

п где

2

I ехр(—м )Ф(п,м)Ф = 1.

•1—да

При — да < п < да решение характеристического уравнения возьмем в пространстве обобщенных функций [9]

1 1 2

Ф(п, м) = —¡=1?-+ ехр(п )Л(п —м).

у!п п — м

Здесь 8(х) - дельта-функция Дирака, символ Рх—1 означает

главное значение интеграла при интегрировании х_1, Л(;) -дисперсионная функция Черчиньяни,

; рда ехр(—

7 РО

Л( z) = 1 + -= f л/П-0

и — ;

Составим общее решение уравнения (3) по собственным функциям характеристического уравнения:

¡•да х

(x, м) =1 ехр(—)Ф (n,м)a(n)dn, (6)

•'—да п

где а(п) - неизвестная функция, называемая коэффициентом непрерывного спектра.

Подставим разложение (6) в граничные условия (5). Получаем два сингулярные интегральные уравнения [10] с ядром Коши на всей числовой оси:

1 ^ ехр^)11^ехр(м2 ±—)Л(м)а(м) = М±(м). (7)

л/п—да п п — м м

Введем две вспомогательные функции

N(7,±Л) = ± Г ехр(+—(8)

Л/п—да п п — м

для которых на всей действительной оси справедливы формулы Сохоцкого:

N+(м,+Л) — N ~ (м,+Л) = 24п1м ехр(± —)а(м). (9)

м

С помощью граничных значений вспомогательных функций (8) и дисперсионной функции сведем уравнения (7) к краевым задачам определения аналитической функции по ее скачку на действительной оси:

N+(м,+—)Л+ (м) — N ~ (м,+—)Л (м) = 24п1м ехр(—м2 )М + (м). Решения этих задач выражаются интегралами типа Коши:

N (г*—) = ^. (10)

Л( 7 )

Здесь

Т (-7~ Л) = .

•'—да г — 7

Т(77,+—) =1 Г гехр(—г ) Мт (г)—г.

. тт ¿—да т — т +

Потребуем, чтобы коэффициенты разложения этих функций в

окрестности бесконечно удаленной точки при 2к (к = 0,1) были равны

нулю. В этом случае функции (11) можно принять в качестве вспомогательных функций (9). Получаем следующую систему уравнений:

Г exp(-г2 )гк [С1Н + (-г) + ( (г)Н + (г)]*г = 0, к = 1,2,

•Г-Х)

Г exp(-г2)гк [С2Н + (г) + (2(г)Н + (-г)]*г = 0, к = 1,2.

—Х

Подставляя в эту систему функции ( (у = 1,2), получаем систему линейных уравнений, из которой находим

а0 =-2и- д2), а1 = ^ , (11)

42) 1 П(Яъ д2)

С1 = -4а0и(2 - 41)4142 , с2 = 4а0и(2 - 42)4142 , а0 = 0.068310, (12) 6(41,42) 6(41,42)

Г 2* \

6(4l,42) = 1 + 4а0 4142 + (1 -а04142)(41 + 42).

где

С помощью равенств (11) и (12) выведем формулу для вычисления коэффициента a(n) разложения (8). Подставим решения (10) в соответствующие формулы Сохоцкого (9). Получаем следующие равенства для определения коэффициента a(n): Здесь

= (13)

п Л (п) Л (п)

Здесь

F± (я-*) = ^ (п) ± exp(-n2)[Н + (п)(1 (П) + Н + (-п)С ], (14)

Т±(п,л) = ТЛп) ± гПехр(—п1 )[Н + (—п)%(п) + H + (п)C2], (15)

1 (*да 2

Т1(п)= <ехр(—г2)

л/П0

1 (*да 2

Т2(п) = <ехр(—г2) л/П0

С1 +^1(п)

г + п t — п С21 , ^2(—п^)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

+

, (16)

Лг. (17)

г — п г + п

Подставляя в соотношения (14) сначала равенства (15), а затем (16), получаем формулы для вычисления коэффициента а(п):

пехр(—)а(п) = Кп)(Л(п)[ Н+ (пМ(п) + Н+ (—п)С1] — ТЦ)} (18) п

п ехр(——)а(п) = у(п)[Л(п)[ Н+ (—пМ(п) + Н + (п)С2] — Т2(п)}, (19) п

где

= пехр(—п2) Л+ (п)Л- (п)'

Вычисляя интегралы типа Коши (17) и (18), имеем:

Т1 (п) = с1г1(—п) + а1(2 — 41)г 2 (п) +[(1 — 4 )С1 — 41 (а0 — а1— + 2и Ж (п),

Т2 (п) = С2г1 (п) — а1(2 — 42 )г2 (—п) + [(1 — 42 )С21 — 42 (а0 + а1— — 2иЖ (—п). Здесь

гк

, ч 1 гдаг ехр(—г ) 7 7 . _ , ч 1 , ч

(п) = П-^-- —г, к = 1,2, ^2 (7) = —П + 7^1(7).

П0 г — п' ' ' 2лЛ

С помощью последних равенств преобразуем формулы (14) и (15). Для этого заметим, что

Л(п)[ Н + (пМ(п) + Н + (и — Т1(п) =

= 41з1вп(п)(—а0 — С1 + а1— — 2и)г1(— \ п \)— а1(2 — 41)г2(— I п

Л(п)[ Н + (—пШп) + Н + (п)С2] — Т2(п) = = 4281§п(п)(а0 + С2 + а1— — 2ЦX (— \ п I) + ^(2 — 42X(— I п I).

С помощью этих равенств на основании (18) и (19) получаем следующее выражение для коэффициента непрерывного спектра:

2г1а(Я)ъ\1 - = У(Л){[-(41С1 + 42С2) - а0(41 + 42) + П

+ (а1- - 2и )(41 - 42 ^^(^УК- \п \) + а1(41 - 42)г2(-1П \)}.

Подставляя в это равенство выражения для коэффициентов согласно (11), (12), находим явное выражение для коэффициента непрерывного спектра:

2

Ниже понадобится значение интеграла по всей действительной оси от выражения (20):

^ Г na(n)sh--п = 2иу° ^Мк-Ь!, (21)

п 6(41,42)

- = и4142(41 - 42) Г(п) П Q(4l, 42)

^п(П>1(- \ п \) + -=г2(- \ п \)

(20)

где

0 ^ Г НпЖ-пУп = 0.141047.

' -тт »—Х

Гх л/п •'-00

Граничная задача (3), (5) полностью решена. Ее решение дается равенством (6), причем коэффициенты а0, а1, С1, С2 даются

равенствами (12), (13), а функция а(n) -равенством (20).

Макропараметры газа в канале (потоки массы, тепла, сила трения и массовая скорость)

Будем считать, что штрихованные величины - безразмерные, а нештрихованные - размерные. Выразим плотность потока массы через функцию Ш:

/м(х,) = I /Л ^ = ехр(—м2)^( х,м)—м.

Подставляя в это равенство (5) и используя определение потока массы газа в направлении оси 2, имеем:

1 рда р 1 рда Л'

Зм =—/=! Зм (х')Лх' = — а0 Л I па(п)&—Лп Ул1П-да Уру л/ П да п

Заменим здесь а0 согласно (11), а значение интеграла заменим

его значением (21). Находим, что поток массы газа, приходящийся на

единицу ширины канала, равен

2рП'(41 — 42)[ о ) Л,] (22)

приведем формулу (22) к размерному виду, полагая

Л'=Ул[в—. Учитывая, что для БГК-модели динамическая вязкость п = р/2ур, и выбирая длину свободного пробега молекул согласно [5] I = пП / Р, находим, что Л'=4П Л/21. Следовательно, поток массы в размерном виде равен:

Зм=

6(41,42)

/ 0 а/п ч ЫП

(п — »0^)4142—

(24)

Здесь

6(4l, 42) =(Кп —1 — 1 + 4а0)4142 + (1 — а04142)(41 + 42).

Вычислим силу вязкостного трения в направлении оси ъ„ приходящуюся на единицу площади поверхности:

г з Р рда 2

Т = I т^хУъ/Л V = -ГГТI ехр(—м )м¥(х,м)—м .

Подставляя в это соотношение (4), находим выражение для силы трения (в размерном виде)

р = -Р01 = -Г1кта- = 2^РРи4142

4в 2 4Лб(41,42) '

Плотность потока тепла в направлении оси z определяется равенством

У (х') = |^ - и2 (х'))(V - и(х'))2/-3У .

После линеаризации этого выражения и перехода к безразмерной молекулярной скорости получаем:

^ =П/х*I^(-С2)С(С2 - 2)И(х',С)-3С .

Учитывая, что И = Сгш(х,ц), имеем:

/6 =--I nsh—а(п)-п

6 2-Лв1-х П

Используя (21) и переходя к безразмерным величинам, находим выражение для потока тепла

г 0 т т 4142 (41 - 42)

^ = ^ ри 6(41,42) • (25)

Массовая скорость газа определяется вторым равенством из (1), согласно которому

1 1 рх х'

-(а0 + а1х,) ^—1=1 е^--.

2 24 п:~х п

В равенстве (26) коэффициенты определяются соотношениями (12), а функция а(п) - равенством (20). Представим равенство (26) в явном виде

и*(х) = и \ I"4142х + 4142(41 - 42)[ 1 (х) -а0] - (41 - 42)[, 6(41,42) I кП ]

где

1 1 рх х

иг(х) =-(а0 + а1х,) + I exP(--)а(П)-П (26)

2 24 п

1

1 (х)=2Г1 ехр

г(л)

П

2лГ1-Х 2пКП >) sh(лГ / 4ПКП)

2

\п\^П(П) + -1= Г2 ( \п\)

л/Г

Кп) =

п

Отметим, что если в формулах для макропараметров (23)-(26) положить а0 = 0, то полученные формулы в точности переходят в соответствующие формулы, выведенные в [6] для случая почти зеркальных граничных условий.

Перейдем к исследованию предельных режимов течения. Рассмотрим случай глубокого канала, когда число Кнудсена Kn=l/2d<<1• При этом возможны два режима течения газа в канале.

Первый режим соответствует случаю, когда Кп<^, q=max(q1,q2), или, что все равно, qd/l>>1. Из формул для макропараметров (23)-(25) вытекает, что

/м = -2л[пвпи 41 42 (1 + а04142), р = -Пи, 4142 -

Г 0 ( ) (27)

/ = УГт(4\ - 42) 6 '

Отметим, что формулы (27) совпадают с соответствующими формулами из [6], выведенными в задаче Куэтта с почти зеркальными граничными условиями, а формула для силы трения в точности совпадает с классической формулой из [11].

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Существует и другой режим течения газа, когда q<<Kn<<1. В этом случае из формул для макропараметров вытекает, что

/м =-2^41-42,, р = - 2рУГ7ви4142, (28)

41 + 42 41 + 42

Jq =-Yi° pU^^2 qxq2.

q + q2

Формулы (28) в точности совпадают с соответствующими формулами, выведенными для случая почти зеркальных граничных условий.

Таким образом, существует новый режим течения газа, когда выражения для макропараметров отличны от классических.

Обозначения:

f0 - абсолютный максвеллиан; n - концентрация молекул газа; m - масса молекулы газа; T - температура; v - молекулярная скорость; C -безразмерная скорость молекул, k - постоянная Больцмана; h - линейная поправка к абсолютному максвеллиану; БГК

- Бхатнагар, Гросс, Крук (Bhatnagar, Gross, Krook); qi и q2 -коэффициенты аккомодации тангенциального импульса молекул соответственно на нижней и верхней пластинах; Kn - число Кнудсена, JM - поток массы; Jq - поток тепла; F - сила вязкостного трения; ni, n2

- единичные векторы нормали к стенкам по направлению внутрь канала; Uz(x) - безразмерная массовая скорость в направлении оси z, uz(x) - размерная массовая скорость; H+(x) - функция Хэвисайда, H+(x)=1, x>0, H+(x) = 0, x<0; A(z) -- дисперсионная функция; 8 (x) -дельта-функция Дирака, Px-1 - главное значение интеграла от x-1; p -давление газа; п - динамическая вязкость; l - длина свободного пробега молекул; 2d - толщина канала; jM - плотность потока массы; jQ - плотность потока тепла; U - скорости движения пластин, ограничивающих канал. Индексы: c - непрерывный; M - масса; Q -теплота; z - проекция в направлении оси z.

Заключение

Для произвольных зеркально—диффузных граничных условий получено решение задачи Куэтта в широком диапазоне чисел Кнудсена. В явном виде построена функция распределения газовых молекул. На стенках канала молекулы имеют различные коэффициенты аккомодации тангенциального импульса. Оказалось, что потоки массы и тепла пропорциональны разности коэффициентов аккомодации. Выделен новый режим течения газа, отличный от классического.

Благодарности. Работа выполнена при частичной финансовой поддержке (Латышев А. В.) Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 03--01--00281).

ЛИТЕРАТУРА

1. Loyalka S. K., Hickey K. A.//Physica A. 1989. V. 160. № 3. P. 395-408.

2. Loyalka S. K., Hamoody S. K.//Phys. Fluids. 1990. V. 2.11. P. 2061-2065.

3. Hasegawa M., Sone Y.//Phys. Fluids. 1991. V. 3. № 3. P. 466477.

4. Cercignani C., Sharipov F.//Phys. Fluids A. 1992. V. 4. № 6. P. 1283-1289.

5. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана: Пер. с англ. М., 1978 (C. Cercignani, Theory and Application of the Boltzmann Equation, Edinbugrh, Scottish Academic (1975)).

6. Латышев А.В., Юшканов А.А.//Ж. технической физики. 1998. Т. 68. № 11. С. 27-31.

7. Латышев А.В., Юшканов А.А.//Поверхность. 1999. № 10. С. 35-41.

8. Латышев А.В., Юшканов А.А//Ж. вычислительной математики и математической физики. 2004. Т. 44. № 6. С. 1107-1118.

9. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Обобщенные функции в математической физике. - М., 2000. 399 с.

10. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.:Наука, 1977. 640 с.

11. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М., 1986.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.