Задача Куэтта в канале с зеркально - диффузными граничными условиями Текст научной статьи по специальности «Физика»

Задача Куэтта в канале с зеркально - диффузными

граничными условиями

Латышев А.В., Юшканов А.А. (yushkanov@mtu-net.ru) Московский государственный областной университет

Исследовано влияние коэффициентов аккомодации тангенциального импульса молекул на нижней и верхней пластинах на поведение газа между движущимися пластинами с произвольными зеркально - диффузными граничными условиями. Решение строится в широком диапазоне чисел Кнудсена, много больших единицы.

При описании движения газа в каналах [1]-[6] рассматриваются, как правило, чисто диффузные граничные условия. Оказывается, что эффективная техника аналитического решения, развитая для полупространственных задач [7], в данном случае непосредственно не может быть применена. Вместе с тем вызывает большой интерес влияние свойств поверхности на поведение газа в каналах. В работах [5],[6] была сделана попытка получить аналитическое решение для почти зеркальных граничных условий. Для задачи Куэтта таким свойством поверхности, которое оказывает определенное влияние на поведение газа, является коэффициент аккомодации тангенциального импульса молекул.

В настоящей работе получено решение задачи Куэтта при произвольных зеркально - диффузных граничных условиях на стенках канала, которые движутся в противоположных направлениях с одинаковыми скоростями. Получены выражения для потоков массы, тепла, силы трения и массовой скорости. Установлено, что наряду с

классическим режимом течения существует для широкого канала и новый режим, реализующийся для чисел Кнудсена, много меньших единицы, но много больших коэффициентов аккомодации. Переход к классическому режиму осуществляется, когда число Кнудсена становится много меньше коэффициентов аккомодации. В этом случае выражения для макропараметров совпадают с известными.

Постановка задачи

Пусть имеется плоский канал толщиной 2d (|х|^), стенки которого движутся в своих плоскостях в противоположных направлениях со скоростями и и -и. Введем декартову систему координат с центром в середине канала. Ось х проведем перпендикулярно плоскостям стенок канала. Ось z направим вдоль направления движения стенок канала. Будем считать, что движение носит стационарный характер. Рассмотрим случай, когда скорость движения стенок канала много меньше скорости звука в газе. В этом случае задачу можно линеаризовать. Поэтому функцию распределения f молекул газа по скоростям будем искать в виде

/ = /0(1 + И), /0 = п(в / п)3 / 2 ехр(-^2), в = т /2кТ. Возьмем

линеаризованное БГК - уравнение в безразмерных переменных

Сх дИ + И(х,с) = 2Си2(х), и2(х) = п"3/21ехр(-С'2)С;И(х,С)с13С' (1)

Рассмотрим зеркально-диффузные граничные условия на поверхности канала с коэффициентами аккомодации тангенциального импульса (коэффициентами зеркальности) д1, q2 (0 < qj < 1), у = 1,2 :

И(-й,С) = (1 - q1) И(-й,С + 2пхС) - 2иС^, Сх > 0 (2)

И{й, С) = (1 - д) И{й, С + 2п2С) + 2иС2ди Сх < 0

Здесь П1, п2 - единичные векторы нормали к поверхностям стенок по направлению внутрь канала. Из вида уравнения (1) и граничных условий (2) следует, что функцию h можно искать в виде И = С ш(х,ц), ц = Сх. При этом задачу (1), (2) можно преобразовать к виду:

дш дх

1 ^

ш(х, ц) = I" ехр(-ц,2)Ш( х,ц')<ц, (3)

ШЫ,ц) =(1 - д^ШЫ,-ц)- 2ЩХ, ц> 0,

(4)

у/(<Л,ц) = (1 - д2)ш(^,-ц) + 2Цд2, ц< 0. Используя разложение функции Ш на сумму Ш = Ш0 (х, ц) + Шс (х, ц), где функция Ш0 (х, ц) = а0 + а1 (х - ц) является решением уравнения (3), представим граничные условия (4) в виде: Шс (^, ц) = (1 - д1)шс (-^,-ц) + а1(2 - д1)ц- д1(а0 - а^ + 2П), ц> 0,

Шс №, ц) =(1 - 42 )Шс №,-ц) + а1(2 - 42 )ц - Ч2(а0 + а1^ - 2и), ц < Обозначим:

ШсЫ,ц) = С1(ц = C1, ц< 0, Шс(Л,ц) = С2(ц) = С2, ц> 0. С помощью этих обозначений получаем, что последние граничные условия определены на всей числовой оси:

Шс (+^,ц) = М ± (ц), -ю<ц<ю, (5)

где

М - (ц) = Н + (ц)ъ (ц) + Н - (-ц)С1, М+ (ц) = Н + (-ц)у2 (ц) + Н + (ц)С2

Здесь

Pi (u) = (1 - qx)Q - q (ao - axd + 2U) + ax (2 - q)u,

Pi(u) =(1 - qi)C2-q2(ao + aid - 2U) + ai(2 - q2)u

Далее будем решать уравнение (3) с граничными условиями (5).

Решение граничной задачи Далее для канала развивается высокоточный регулярный "метод аппроксимационных функций" [8], изложенный также в 2003 г. на семинаре ИПМ им. М. В. Келдыша. Разделение переменных

x

Wn (x,u) = exp(—)Ф(п,и), ne C,

n

сразу сводит уравнение (3) к характеристическому

n

п где

2

I ехр(—м )Ф(п,м)Ф = 1.

•1—да

При — да < п < да решение характеристического уравнения возьмем в пространстве обобщенных функций [9]

1 1 2

Ф(п, м) = —¡=1?-+ ехр(п )Л(п —м).

у!п п — м

Здесь 8(х) - дельта-функция Дирака, символ Рх—1 означает

главное значение интеграла при интегрировании х_1, Л(;) -дисперсионная функция Черчиньяни,

; рда ехр(—

7 РО

Л( z) = 1 + -= f л/П-0

и — ;

Составим общее решение уравнения (3) по собственным функциям характеристического уравнения:

¡•да х

(x, м) =1 ехр(—)Ф (n,м)a(n)dn, (6)

•'—да п

где а(п) - неизвестная функция, называемая коэффициентом непрерывного спектра.

Подставим разложение (6) в граничные условия (5). Получаем два сингулярные интегральные уравнения [10] с ядром Коши на всей числовой оси:

1 ^ ехр^)11^ехр(м2 ±—)Л(м)а(м) = М±(м). (7)

л/п—да п п — м м

Введем две вспомогательные функции

N(7,±Л) = ± Г ехр(+—(8)

Л/п—да п п — м

для которых на всей действительной оси справедливы формулы Сохоцкого:

N+(м,+Л) — N ~ (м,+Л) = 24п1м ехр(± —)а(м). (9)

м

С помощью граничных значений вспомогательных функций (8) и дисперсионной функции сведем уравнения (7) к краевым задачам определения аналитической функции по ее скачку на действительной оси:

N+(м,+—)Л+ (м) — N ~ (м,+—)Л (м) = 24п1м ехр(—м2 )М + (м). Решения этих задач выражаются интегралами типа Коши:

N (г*—) = ^. (10)

Л( 7 )

Здесь

Т (-7~ Л) = .

•'—да г — 7

Т(77,+—) =1 Г гехр(—г ) Мт (г)—г.

. тт ¿—да т — т +

Потребуем, чтобы коэффициенты разложения этих функций в

окрестности бесконечно удаленной точки при 2к (к = 0,1) были равны

нулю. В этом случае функции (11) можно принять в качестве вспомогательных функций (9). Получаем следующую систему уравнений:

Г exp(-г2 )гк [С1Н + (-г) + ( (г)Н + (г)]*г = 0, к = 1,2,

•Г-Х)

Г exp(-г2)гк [С2Н + (г) + (2(г)Н + (-г)]*г = 0, к = 1,2.

—Х

Подставляя в эту систему функции ( (у = 1,2), получаем систему линейных уравнений, из которой находим

а0 =-2и- д2), а1 = ^ , (11)

42) 1 П(Яъ д2)

С1 = -4а0и(2 - 41)4142 , с2 = 4а0и(2 - 42)4142 , а0 = 0.068310, (12) 6(41,42) 6(41,42)

Г 2* \

6(4l,42) = 1 + 4а0 4142 + (1 -а04142)(41 + 42).

где

С помощью равенств (11) и (12) выведем формулу для вычисления коэффициента a(n) разложения (8). Подставим решения (10) в соответствующие формулы Сохоцкого (9). Получаем следующие равенства для определения коэффициента a(n): Здесь

= (13)

п Л (п) Л (п)

Здесь

F± (я-*) = ^ (п) ± exp(-n2)[Н + (п)(1 (П) + Н + (-п)С ], (14)

Т±(п,л) = ТЛп) ± гПехр(—п1 )[Н + (—п)%(п) + H + (п)C2], (15)

1 (*да 2

Т1(п)= <ехр(—г2)

л/П0

1 (*да 2

Т2(п) = <ехр(—г2) л/П0

С1 +^1(п)

г + п t — п С21 , ^2(—п^)

+

, (16)

Лг. (17)

г — п г + п

Подставляя в соотношения (14) сначала равенства (15), а затем (16), получаем формулы для вычисления коэффициента а(п):

пехр(—)а(п) = Кп)(Л(п)[ Н+ (пМ(п) + Н+ (—п)С1] — ТЦ)} (18) п

п ехр(——)а(п) = у(п)[Л(п)[ Н+ (—пМ(п) + Н + (п)С2] — Т2(п)}, (19) п

где

= пехр(—п2) Л+ (п)Л- (п)'

Вычисляя интегралы типа Коши (17) и (18), имеем:

Т1 (п) = с1г1(—п) + а1(2 — 41)г 2 (п) +[(1 — 4 )С1 — 41 (а0 — а1— + 2и Ж (п),

Т2 (п) = С2г1 (п) — а1(2 — 42 )г2 (—п) + [(1 — 42 )С21 — 42 (а0 + а1— — 2иЖ (—п). Здесь

гк

, ч 1 гдаг ехр(—г ) 7 7 . _ , ч 1 , ч

(п) = П-^-- —г, к = 1,2, ^2 (7) = —П + 7^1(7).

П0 г — п' ' ' 2лЛ

С помощью последних равенств преобразуем формулы (14) и (15). Для этого заметим, что

Л(п)[ Н + (пМ(п) + Н + (и — Т1(п) =

= 41з1вп(п)(—а0 — С1 + а1— — 2и)г1(— \ п \)— а1(2 — 41)г2(— I п

Л(п)[ Н + (—пШп) + Н + (п)С2] — Т2(п) = = 4281§п(п)(а0 + С2 + а1— — 2ЦX (— \ п I) + ^(2 — 42X(— I п I).

С помощью этих равенств на основании (18) и (19) получаем следующее выражение для коэффициента непрерывного спектра:

2г1а(Я)ъ\1 - = У(Л){[-(41С1 + 42С2) - а0(41 + 42) + П

+ (а1- - 2и )(41 - 42 ^^(^УК- \п \) + а1(41 - 42)г2(-1П \)}.

Подставляя в это равенство выражения для коэффициентов согласно (11), (12), находим явное выражение для коэффициента непрерывного спектра:

2

4П

Ниже понадобится значение интеграла по всей действительной оси от выражения (20):

^ Г na(n)sh--п = 2иу° ^Мк-Ь!, (21)

п 6(41,42)

- = и4142(41 - 42) Г(п) П Q(4l, 42)

^п(П>1(- \ п \) + -=г2(- \ п \)

(20)

где

0 ^ Г НпЖ-пУп = 0.141047.

' -тт »—Х

Гх л/п •'-00

Граничная задача (3), (5) полностью решена. Ее решение дается равенством (6), причем коэффициенты а0, а1, С1, С2 даются

равенствами (12), (13), а функция а(n) -равенством (20).

Макропараметры газа в канале (потоки массы, тепла, сила трения и массовая скорость)

Будем считать, что штрихованные величины - безразмерные, а нештрихованные - размерные. Выразим плотность потока массы через функцию Ш:

/м(х,) = I /Л ^ = ехр(—м2)^( х,м)—м.

Подставляя в это равенство (5) и используя определение потока массы газа в направлении оси 2, имеем:

1 рда р 1 рда Л'

Зм =—/=! Зм (х')Лх' = — а0 Л I па(п)&—Лп Ул1П-да Уру л/ П да п

Заменим здесь а0 согласно (11), а значение интеграла заменим

его значением (21). Находим, что поток массы газа, приходящийся на

единицу ширины канала, равен

2рП'(41 — 42)[ о ) Л,] (22)

приведем формулу (22) к размерному виду, полагая

Л'=Ул[в—. Учитывая, что для БГК-модели динамическая вязкость п = р/2ур, и выбирая длину свободного пробега молекул согласно [5] I = пП / Р, находим, что Л'=4П Л/21. Следовательно, поток массы в размерном виде равен:

Зм=

6(41,42)

/ 0 а/п ч ЫП

(п — »0^)4142—

(24)

Здесь

6(4l, 42) =(Кп —1 — 1 + 4а0)4142 + (1 — а04142)(41 + 42).

Вычислим силу вязкостного трения в направлении оси ъ„ приходящуюся на единицу площади поверхности:

г з Р рда 2

Т = I т^хУъ/Л V = -ГГТI ехр(—м )м¥(х,м)—м .

Подставляя в это соотношение (4), находим выражение для силы трения (в размерном виде)

р = -Р01 = -Г1кта- = 2^РРи4142

4в 2 4Лб(41,42) '

Плотность потока тепла в направлении оси z определяется равенством

У (х') = |^ - и2 (х'))(V - и(х'))2/-3У .

После линеаризации этого выражения и перехода к безразмерной молекулярной скорости получаем:

^ =П/х*I^(-С2)С(С2 - 2)И(х',С)-3С .

Учитывая, что И = Сгш(х,ц), имеем:

/6 =--I nsh—а(п)-п

6 2-Лв1-х П

Используя (21) и переходя к безразмерным величинам, находим выражение для потока тепла

г 0 т т 4142 (41 - 42)

^ = ^ ри 6(41,42) • (25)

Массовая скорость газа определяется вторым равенством из (1), согласно которому

1 1 рх х'

-(а0 + а1х,) ^—1=1 е^--.

2 24 п:~х п

В равенстве (26) коэффициенты определяются соотношениями (12), а функция а(п) - равенством (20). Представим равенство (26) в явном виде

и*(х) = и \ I"4142х + 4142(41 - 42)[ 1 (х) -а0] - (41 - 42)[, 6(41,42) I кП ]

где

1 1 рх х

иг(х) =-(а0 + а1х,) + I exP(--)а(П)-П (26)

2 24 п

1

1 (х)=2Г1 ехр

г(л)

П

2лГ1-Х 2пКП >) sh(лГ / 4ПКП)

2

\п\^П(П) + -1= Г2 ( \п\)

л/Г

Кп) =

п

Отметим, что если в формулах для макропараметров (23)-(26) положить а0 = 0, то полученные формулы в точности переходят в соответствующие формулы, выведенные в [6] для случая почти зеркальных граничных условий.

Перейдем к исследованию предельных режимов течения. Рассмотрим случай глубокого канала, когда число Кнудсена Kn=l/2d<<1• При этом возможны два режима течения газа в канале.

Первый режим соответствует случаю, когда Кп<^, q=max(q1,q2), или, что все равно, qd/l>>1. Из формул для макропараметров (23)-(25) вытекает, что

/м = -2л[пвпи 41 42 (1 + а04142), р = -Пи, 4142 -

Г 0 ( ) (27)

/ = УГт(4\ - 42) 6 '

Отметим, что формулы (27) совпадают с соответствующими формулами из [6], выведенными в задаче Куэтта с почти зеркальными граничными условиями, а формула для силы трения в точности совпадает с классической формулой из [11].

Существует и другой режим течения газа, когда q<<Kn<<1. В этом случае из формул для макропараметров вытекает, что

/м =-2^41-42,, р = - 2рУГ7ви4142, (28)

41 + 42 41 + 42

Jq =-Yi° pU^^2 qxq2.

q + q2

Формулы (28) в точности совпадают с соответствующими формулами, выведенными для случая почти зеркальных граничных условий.

Таким образом, существует новый режим течения газа, когда выражения для макропараметров отличны от классических.

Обозначения:

f0 - абсолютный максвеллиан; n - концентрация молекул газа; m - масса молекулы газа; T - температура; v - молекулярная скорость; C -безразмерная скорость молекул, k - постоянная Больцмана; h - линейная поправка к абсолютному максвеллиану; БГК

- Бхатнагар, Гросс, Крук (Bhatnagar, Gross, Krook); qi и q2 -коэффициенты аккомодации тангенциального импульса молекул соответственно на нижней и верхней пластинах; Kn - число Кнудсена, JM - поток массы; Jq - поток тепла; F - сила вязкостного трения; ni, n2

- единичные векторы нормали к стенкам по направлению внутрь канала; Uz(x) - безразмерная массовая скорость в направлении оси z, uz(x) - размерная массовая скорость; H+(x) - функция Хэвисайда, H+(x)=1, x>0, H+(x) = 0, x<0; A(z) -- дисперсионная функция; 8 (x) -дельта-функция Дирака, Px-1 - главное значение интеграла от x-1; p -давление газа; п - динамическая вязкость; l - длина свободного пробега молекул; 2d - толщина канала; jM - плотность потока массы; jQ - плотность потока тепла; U - скорости движения пластин, ограничивающих канал. Индексы: c - непрерывный; M - масса; Q -теплота; z - проекция в направлении оси z.

Заключение

Для произвольных зеркально—диффузных граничных условий получено решение задачи Куэтта в широком диапазоне чисел Кнудсена. В явном виде построена функция распределения газовых молекул. На стенках канала молекулы имеют различные коэффициенты аккомодации тангенциального импульса. Оказалось, что потоки массы и тепла пропорциональны разности коэффициентов аккомодации. Выделен новый режим течения газа, отличный от классического.

Благодарности. Работа выполнена при частичной финансовой поддержке (Латышев А. В.) Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 03--01--00281).

ЛИТЕРАТУРА

1. Loyalka S. K., Hickey K. A.//Physica A. 1989. V. 160. № 3. P. 395-408.

2. Loyalka S. K., Hamoody S. K.//Phys. Fluids. 1990. V. 2.11. P. 2061-2065.

3. Hasegawa M., Sone Y.//Phys. Fluids. 1991. V. 3. № 3. P. 466477.

4. Cercignani C., Sharipov F.//Phys. Fluids A. 1992. V. 4. № 6. P. 1283-1289.

5. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана: Пер. с англ. М., 1978 (C. Cercignani, Theory and Application of the Boltzmann Equation, Edinbugrh, Scottish Academic (1975)).

6. Латышев А.В., Юшканов А.А.//Ж. технической физики. 1998. Т. 68. № 11. С. 27-31.

7. Латышев А.В., Юшканов А.А.//Поверхность. 1999. № 10. С. 35-41.

8. Латышев А.В., Юшканов А.А//Ж. вычислительной математики и математической физики. 2004. Т. 44. № 6. С. 1107-1118.

9. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Обобщенные функции в математической физике. - М., 2000. 399 с.

10. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.:Наука, 1977. 640 с.

11. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М., 1986.