Задача Коши для нелинейного уравнения типа синус-Гордона в классе периодических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА, ТЕХНИКА. 2023, №1

УДК 517.957

https://doi.org/10.52754/16948645 2023 1 210

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТИПА СИНУС-ГОРДОНА В КЛАССЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Хасанов Акназар Бекдурдиевич, д.ф.-м.н., профессор,

ahasanov2002@mail.ru.

Нормуродов Хожимурод Нормуминович, аспирант,

normurodov.96@bk.ru. Самаркандского государственного университета, г. Самарканд (Узбекистан), Худаёров Улугбек Обилмаликович, преподаватель

xudayorov. 2022@bk.ru Самаркандского государственного архитектурно-строительного университета, г. Самарканд (Узбекистан).

Аннотация. В данной работе метод обратной спектральной задачи применяется для интегрирования нелинейного уравнения типа синус-Гордона в классе периодических бесконечнозонных функций. Вводится эволюция спектральных данных периодического оператора Дирака, коэффициент которого является решением нелинейного уравнения типа синус-Гордона. Доказано разрешимость задачи Коши для бесконечной системы дифференциальных уравнений Дубровина в классе три раза непрерывно дифференцируемых периодических бесконечнозонных функций. Показано, что сумма равномерно сходящегося функционального ряда построенного с помощью решения системы уравнений Дубровина и формула первого следа, удовлетворяет уравнению типа синус-Гордона.

Ключевые слова. Уравнения типа синус-Гордона, оператор Дирака, спектральные данные, система уравнений Дубровина, формулы следов.

Abstract. In this paper, the inverse spectral problem method is used to integrate a nonlinear sine-Gordon type equation in the class of periodic infinite-gap functions. The evolution of the spectral data of the periodic Dirac operator is introduced, the coefficient of which is the solution of a nonlinear equation of the sine-Gordon type. The solvability of the Cauchy problem for an infinite system of Dubrovin differential equations in the class of three times continuously differentiable periodic infinite-gap functions is proved. It is shown that the sum of a uniformly convergent functional series constructed by solving the system ofDubrovin's equations and the first trace formula satisfies a sine-Gordon type equation.

Key words: Sine-Gordon type equations, Dirac operator, spectral data, Dubrovin's system of equations, trace formulas.

1. Введение

В настоящей работе рассматривается задача Коши для нелинейного уравнения типа синус-Гордона вида:

(1)

с начальным условием

в классе действительных бесконечнозонных -ТТ -периодических по х функций:

д (х + я, г) = д (х, г), д (х, г) е СЦ (г > 0) о С (г > 0). (3)

Здесь а (г), Ь(г) е С ([0, ю)) -заданные непрерывные ограниченные функции. Нетрудно убедиться, что условия совместности линейных уравнений

Ух

т

д'х(хг)

я

-я

т

Чх ( X, г )

2

У , У г

2Л

Ь(г )е

0

—тд (х,г)

а(г )е

тд(х,г) Л

0

У,

У =

' У1Л V У 2

У

эквивалентны уравнению (1) для функции д = д(х, г), х е Я, t > 0.

Хорошо известно, что нахождение явной формулы для решения нелинейного эволюционного уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ), модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза (мКдФ), нелинейного уравнения Шредингера (НУШ), синус-Гордона (сГ), уравнения Хирота и т.д. в классе периодический функций существенно зависит от количества нетривиальных лакун в спектре периодического оператора Штурма-Лиувилля и Дирака.

С помощью метода обратной спектральной задачи для оператора Штурма-Лиувилля и Дирака с периодическим потенциалом, когда в спектре имеется только конечное число нетривиальных лакун, в работах Итса-Матвеева [3], Дубровина-Новикова [4], Итса-Котлярова [5], Смирнова [6], Матвеева-Смирнова [7], была установлена полная интегрируемость нелинейных эволюционных уравнений (КдФ, мКдФ, НУШ, синус-Гордон, Хироты и т.д.) в классе конечнозонных периодических и квазипериодических функций. Кроме того, для конечнозонных решений нелинейных эволюционных уравнений (КдФ, мКдФ, НУШ, синус-Гордон и др.) была выведена явная формула через тета-функции Римана.

Таким образом, в этих работах (см. [3-8]) была доказана разрешимость задачи Коши для нелинейных эволюционных уравнений (КдФ, мКдФ, НУШ, синус-Гордон и др.) при любых конечнозонных начальных данных. Более подробно эта теория изложена в монографиях [9-10], а также в работе [11].

В связи с этим класс периодических функций удобно разбить на два множества:

1. Класс периодических конечнозонных функций;

2. Класс периодических бесконечнозонных функций.

Известно [12], что если д(х) = 2асоб2х, а Ф 0, то в спектре оператора Штурма-Лиувилля Ьу = — у" + д(х)У, х е Я открыты все лакуны, иначе говоря, д(х) -периодический бесконечнозонный потенциал. Аналогичные примеры имеются для периодического оператора Дирака [13].

В данной работе предлагается алгоритм построения периодических бесконечнозонных решений д(х^), хЕЯ^>0, задачи (1)-(3) сведением ее к обратной спектральной задачи для оператора Дирака:

Ь (г, г) у = В— + X + т, г) у = Ау, X е Я, г > 0, ге Я, (4)

dx

где

Г г\ л\

В

V"1

ГР(X, г) О(X, г) ^ _ ч „ ^_ т

01 , Р(х,г)-0, о(х,г)= ^д'х(х,г).

О (х, ?)

О(х, г) -Р(х, г)

2. Эволюция спектральных данных

Обозначим через с(х,А,т, г) = (с1( х,А,т, г), с2( х,А,т, г))

2

т

и

£(X, А, Т, г) = (£1 (X, А, Т, г), s2 (X, А, Т, г))т решения уравнения (4) с начальными условиями

С(0,А,Т,г) = (1,0)т и £(0,А,Т,г) = (0,1)т . Функция А(Л,т,г) = с1(ж,Л,т,г) + 52(ж,Л,т,г) называется функцией Ляпунова для уравнения (4).

Спектр оператора Дирака Ь(т, г) чисто непрерывен и состоит из множества

<т(£) = {А еЯ: |А(Л)| < 2} = Я \ ( 0 А,)

Интервалы (А1п_1, Л2п ), п е Z \ называются лакунами, где Лп, корни уравнения А(А) + 2 = 0. Они совпадают с собственными значениями периодической или антипериодической у(0,А,Т, г) = +у(л,А,Т, г) задачи для уравнения (4). Нетрудно доказать, что А_1 = Л0 = 0 , т.е.

А = 0 является двукратным собственным значением периодической задачи для уравнения (4).

Корни уравнения £ х(п, А,т, ?) = 0 обозначим через Е,п (г, г), п е Z \ и при этом

Е,п(г, t) е \_А2п_1,А2п], п е Z \ {0}. Так как коэффициент в уравнении (4) имеет вид

т ,

Р(X,г) = 0, О(X,г) = — (X,г) , то справедливо А_1 = А0 = = 0 , т.е. £ = 0 является

собственным значением задачи Дирихле.

Числа ^(г,г),п е Z \ {0}, и знаки <п,г) = sign^Щ,^) -сЦп,т,*)},

п е Z \ называются спектральными параметрами оператора Ь(г, г) . Спектральные параметры Е,п (г, г),&п (г, г) = +1, п eZ \ и границы спектра Ап (г, г), п е Z \ |0|, называются спектральными данными оператора Дирака Ь (т, г).

Задача восстановление коэффициента О^, г) оператора Ь(т, г) по спектральным данным называется обратной задачей. Коэффициент

П( X, г ) оператора Ь (т, г )

определяются однозначно по спектральным данным

{А„ (т, 0,£ (г, г ),ап (т, 0 = ±1}, п е Z \ {0}.

Если с помощью начальной функции X + *т),те Я, построим оператор Дирака Ь(г,0) вида

Ь (г, г) у = В— + П0( X + т) у = Ау, X е Я, ге Я (5)

dx

в

0 1

V"1

О 0( х ):

т

0 — д0 (х)

т

—д0( х) 0

V 2

У:

Г У1л

, У2.

то мы увидим, что границы спектра Лп (г), п е 2, полученной задачи не зависят от параметра ТЕ Я, т.е. Хп (г) = Хп, п е 2, а спектральные параметры от параметра Т зависят: ^ = ^(г), = (7) = — 1, п Е 2, и являются периодическими функциями:

£(г + *) = £„°(г), сгцт + л) = о-°п{т\ те Я, п е 2.

Решая прямую задачу, находим спектральные данные

{к, (г), ап(т), п е 2 \ {0}} оператора Ь(г,0).

Основной результат настоящей работы содержится в следующей теореме. Теорема 1. Пусть д(х^), X 0, решение задачи (1)-(3). Тогда границы

спектра (т, г), п е 2 \{0}, оператора Ь (г, г) не зависят от параметров Т иг т.е.

Лп(т, ^) = Хп, п е 2 \ {0}, а спектральные параметры £п(т, г),Оп(т, г) = ±1, п е2 \ {0}

удовлетворяют соответственно первой и второй системе дифференциальных уравнений Дубровина:

д£н(т, г)

1.

дг

= 2(-1)и "Ч (г, г Ж (£(Г, г )) 4 (г, г), пе 2 \{0};

(6)

2. д^) = 2(_1)„ ^ (Г, г )К (^(Г, г) (^(Г, г) ),„ е 2 \{0}. (7) ог

Здесь знак Сп (т, г) = +1, пе2 \ меняется на противоположный при каждом

столкновении точки (т, г),п е 2 \ с границами своей лакуны [п1, Л2/]]. Кроме того, выполняются следующие начальные условия

4 (Г, г)| ^ = £>), 0| ^ = пе 2 \ {0}, (8)

где %1(т), 0"°(т) = ±1, пе2 \ |0|--спектральные параметры оператора Дирака Ь(г,0). Последовательности Ип и (^), пе 2 \ |0| участвующие в уравнении (7) определяется по формулам:

К (Я = (г, г) г(г, г)) х у;, п ,

/„ (£) =

П

к=-а> к Фп

(^ _1 -£(г, 0X4* -£(г, г))

8 п(£)

(4 (г, г) (г, г ))2

та(г)

(9)

2£(г, г)

Лемма 1. Справедливы следующие формулы следов

ехр [тд (т, 0}

-л <ю

' )=m К-1 / "Ч ' h ' ))■

i=—re,

i

í Л2

' m , \\ m

m /\ /А/ / \ \

-^Л^ t) t )= ^

V 2 y 2

^ ;2 + ;2 2 i-1 ^ 2 i

i=—re, i

#(T,t)

(11)

Далее, учитывая формулы следов (10), систему (7) можно переписать в замкнутой форме:

= 2(-1)V„(г,t(г,t) -Ъ„М„ -Zn(t,г)) • /(<f) • g„(^):

ot

(12)

где

„ ma (t) gn = л exP 1

2^n (r, t)

ds

(13)

mC(t) + 2Jl X (-1f4 (s, t)hk (¿(s, t))

0 Vi=-x, i^0 y

Здесь С (t) -некоторая ограниченная непрерывная функция. В результате замены переменных

4(Г,tt = ¿2п-1 + (Ля - Ля-1)sin2 ХпП,t, n G Z \ {0}

систему дифференциальных уравнений Дубровина (12) и начальные условия (8) можно переписать в виде одного уравнения в банаховом пространстве К:

(14)

dx(r, t) dt

= H(x(r, t)), x(r, t)|í=0 = x°(r) E К ,

(15)

где

^ = jx(г,г) = (...,X.^гXXl(r,г),...): ||x(г,г^ = £ (Ягп -ЯгпЧЖг^ <оо1

Н ( X ) = (..., Н _1( X ), Н 1( X ),...),

Н(X) = (-1)Х(0)• + "Л ^ш2 x1(т,г),...)х

х/п (...,Л+(^2-Л )вт2 Xl(r, г),,...) = (-1)Х (0) gя ^(Г, г) г)).

Известно, что если ^^ + Я") = ^о^) е С3(Я), то (д0(X)) е С2(Я). Поэтому для длины лакун оператора Ь(г,0), имеет место оценка (см. [15], стр. 98):

?2i S,

где

п = ¿i i= 2!i2 ч i

^ = i + ¿ с/ - + 2-2 |i| -2 \q22¡ | +| i| -3 <,

j=1

ъ=i+¿ j"j -2"2 il"2 q 2+1 i|"3 ,

(16)

j=1

2

X q22¿ X )2 ^ = •

i=-a>

i=-a>

Отсюда, учитывая г) е [Л2(1, (], получим

М (г, г) (г, г )| > а > 0.

к Ф(

Теперь, пользуясь этим неравенством и (16), оценим функции

f (x(r, t))

f (*(г, t))

öx

и g (x(^t))

dgn (xO,t) )

dx

Лемма 2. Справедливы следующие оценки:

f(x(r, t))

f, (x (r, *) )|< C2,

g (x (r, t) )|<

С

n

dxm

dgn (x(r, t))

^ СзГт,

5x

< С5 ^, m, n e Z\{0}

n

(17)

(18)

где Су > 0, у = 1,2,3,4,5, не зависят от параметра т и (.

Лемма 3. Если д0(х + 7г) = #0(х) € С3(Я) , то вектор-функция Н(х(т,?)) удовлетворяет условию Липщица в банаховом пространстве К, т.е. существует константа £ > 0 такая, что для произвольных элементов х(г, г), у (г, г) е К выполняется следующее неравенство

||Н(х(т,tУ) -Н(у(т, 0)|| < Ь\\х(т, Г) -Кг, Г)||,

где

I = С У ^ .

nnO

(19)

Замечание 1. Теорема 1 и лемма 3 дает метод нахождения решения задачи (1)-(3). Сначала найдем спектральные данные Хп ,£(°(т),0~((т) = +1, ( еХ \ {0} оператора Дирака Ь(г, 0). Обозначим спектральные данные оператора Ь (г, г) через лп, 4 (г, г), сгп (г, г) = +1, ( еХ \ {0}. Решая задачу Коши (12), (8) при произвольном значении Т, находим е,п (г, г), сгп (г, г), ( е х \ . Из формулы следов (10) определим функцию дх(т, г) , т.е. найдем решение задачи (1)-(3).

Замечание 2. Функция дг(т, г) построенная с помощью системы уравнений

Дубровина (7), (8) и формулы следа (10) действительно удовлетворяет уравнение (1).

Замечание 3. Равномерная сходимость рядов в (10), (11), (14) и (19) следует из равенств (16) и оценки (17).

Теорема 2. Если начальная функция д0 (х) удовлетворяет условию

д0(х + 7г) = я0(х)еС3(Д), то существует решение д'х (х, ?), х е Я, г > 0 задачи (1)-(3), которое однозначно задается

формулой (10) и принадлежит классу С*') (? > 0) П С(7 > 0).

Литература

1. Жибер, А.В. Характеристическое кольцо Ли и нелинейные интегрируемые

уравнения[Текст]/ Жибер А.В., Муртозина Р.Д., Хабибуллин И.Т., Шабат А.Б. // Москва, Ижевск, 2012.

2. Жибер, А. В. "Уравнения типа Лиувилля" [Текст]/ Жибер А. В., Ибрагимов Н. Х., Шабат А. Б. // Докл. АН СССР, 249:1 (1979), 26-29.

3. Итс, А.Р. Операторы Шредингера с конечнозонным спектром и N-солитонные решения уравнения Кортевега-де Фриза [Текст]/ Итс А.Р., Матвеев В.Б. // ТМФ, 23:1(1975), с.51-68.

4. Дубровин, Б.А. Периодический и условно периодический аналоги многосолитонных решений уравнения Кортевега-де Фриза [Текст]/ Дубровин Б.А., Новиков С.П. //ЖЭТФ, 67:12(1974), 2131-2143.

5. Итс, А.Р. Явные формулы для решений нелинейного уравнения Шредингера[Текст]/ Итс А.Р., Котляров В.П. // Докл. АНУССР. Сер. А, 1976, №11, 965968.

6. Смирнов, А.О. Эллиптические решения нелинейного уравнения Шредингера и модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза. [Текст]/ Смирнов А.О. //Матем. сб., 185:8 (1994), с.103-114

7. Матвеев, В.Б. Решения типа «волнубийц» уравнений иерархии Абловица-Каупа-Ньюэлла-Сигура: единый подход. [Текст]/ Матвеев В.Б., Смирнов А.О. //ТМФ, 2016, Т.186, №2, с. 191-220.

8. Матвеев, В.Б. Двухфазные периодические решения уравнений из АКНС иерархии [Текст]/ Матвеев В.Б., Смирнов А.О. // Зап. научн. Сем. ПОМИ, 2018, том 473, 205-227.

9. Митрапольский, Ю. А. Интегрируемые динамические системы: спектральные и дифференциально-геометрические аспекты. [Текст]/ Митрапольский Ю.А., Боголюбов Н.Н (мл), Прикарпатский А.К., Самойленко В.Г// Киев: Наукова думка, 1987.

10. Захаров, В.Е. Теория солитонов: метод обратной задачи. [Текст]/ Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. // Наука, М., 1980.

11. Matveev, V.B. 30 years of finite-gap integration Шеогу[Тех^/ Matveev V.B. // Phil. Trans. R Soc. A (2008) 366, p. 837-875.

12. Ince, E.L. Ordinary Differential Equations [Тех^/ Ince E.L. // New York: Dover, 1956.

13. Джаков, П.Б. Зоны неустойчивости одномерных периодических операторов Шрёдингера и Дирака. [Текст]/ Джаков П.Б., Митягин Б.С. // УМН. 2006, т.61, №4(370), стр. 77-182.

14. Маннонов, Г. А. Задача Коши для нелинейного уравнения Хирота, в классе периодических бесконечнозонных функций. [Текст]/ Маннонов Г.А., Хасанов А.Б. // Алгебра и анализ. Том 34(2022), No5, с.139-172.

15. Мисюра, Т.В. Характеристика спектров периодической и антипериодической краевых задач, порождаемых операцией Дирака I, Теория функцией, функциональный анализ и их приложения [Текст]/ Мисюра Т.В. // 30, ред. В.А. Марченко, Вища школа, Харьков, 1978, с.90-101; Характеристика спектров периодической и антипериодической краевых задач, порождаемых операцией Дирака II, 31, 1979, с. 102-109.