ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДВУМЕРНЫХ ТЕЧЕНИЙ ГАЗА, ГРАВИТИРУЮЩЕГО ПО НЬЮТОНУ В ПРОСТРАНСТВЕ 𝑅2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.955 DOI 10.24147/2222-8772.2024.1.42-55

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДВУМЕРНЫХ ТЕЧЕНИИ ГАЗА, ГРАВИТИРУЮЩЕГО ПО НЬЮТОНУ В ПРОСТРАНСТВЕ R2

С.Л. Дерябин

д.ф.-м.н., профессор, e-mail: SDeryabin@usurt.ru А.П. Садов к.ф.-м.н., доцент, e-mail: alsadov@yandex.ru

Уральский государственный университет путей сообщения, Екатеринбург, Россия

Аннотация. В работе рассматриваются изэнтропические течения идеального газа, гравирующего по Ньютону. В качестве математических моделей получены двумерные интегро-дифференциальные системы уравнений газовой динамики для политропного газа. Для полученных уравнений поставлена задача Коши во всём пространстве R2. Решение задачи построено в виде степенных рядов. Коэффициенты рядов найдены при решении алгебраических уравнений с интегральными правыми частями. Получены ограничения на начальные условия задачи Коши, при которых сходятся несобственные интегралы в правых частях алгебраических уравнений.

Ключевые слова: газ, гравирующий по Ньютону, интегро-дифференциальная система уравнений газовой динамики, задача Коши, степенные ряды, несобственные интегралы .

Введение

В работе [1] для описания течений газа, гравирующего по Ньютону, получены системы интегро-дифференциальных уравнений. При исследовании этих уравнений в [2] были найдены трёхмерные стационарные течения самогравитирующего газа. Для одномерных течений самогравитирующего газа [2-5] удалось построить дифференциальные модели уравнений газовой динамики и решить основные начально-краевые задачи об истечении газа в вакуум. В работе [6] была сделана попытка построения решения задачи Коши для трёхмерной интегро-дифференциальной системы уравнений газовой динамики. Решение строилось в виде ряда. К сожалению, удалось выписать и проанализировать только первый член ряда. Для построения решения задачи Коши в ограниченной области для самогравитирующего газа [7] была использована дифференциальная система уравнений. Однако не было доказано, что использованная дифференциальная система уравнений эквивалентна интегро-диф-ференциальной системе уравнений газовой динамики.

В данной работе будет исследоваться задача Коши для двумерных интегро-дифференциальных систем уравнений газовой динамики с начальными данными, поставленными во всём пространстве R2.

1. Построение математической модели

Будут рассматриваться изэнтропические течения газа со следующими искомыми газо-динамическими параметрами: и, V, ги - декартовы координаты вектора скорости газа; р - плотность газа.

Система уравнений, описывающая изэнтропические течения газа, гравирующего по Ньютону, имеет вид [1]

Рг + ирх + уру + + р(их + Уу + ) = 0,

щ + иих + ЬЩ + + ~Рх = ,

р

VI + иУх + ОТу + + 1 Ру = ^2,

у р

тг + ишх + ^у + + = ^3.

р

(1)

Здесь

- б)2 + (у - б)2 + (* - )2)3

Р^, Си & я)(у - 2)

- б)2 + (у - Ы2 + (* - )2)3

)

п

^2 = а]]1 „ 2--^1^2(к;

п

} - б)2 + (у - б)2 + (* - ^)2)3

гдер - давление; П = Д3 - область, занимаемая газом; С = 6,67 ■ 10-11Нр- - гравитационная постоянная.

Для построения двумерных течений газа предположим, что область П является бесконечным цилиндром, в основании которого плоскость И = Д2.

Пусть во всех точках области П заданы следующие параметры газа:

р = р(Ь ,х, у), и = и(Ь ,х, у), V = ,х, у), т = 0. Тогда гравирующая сила = {Г1, Р2, вычисляется по формулам

+те

* = суу 6,Ы(х-6^у -6)2 + (,-6)2 + (;-0')'*;

И — те

+те

= с [[ ра, 6, 6)(у - 6)^6 (6 [ —, 1 (я;

2 И Л )(У (^(х - б)2 + (У - б)2 + (г - я)2)' '

и — те

+те

= с [[Р(г,6,- [ —, 1

' Л Р( , ) ^ Мх - б)2 + (У - б)2 + (г - я)2)3

и —те

В первых двух равенствах системы (2) сделаем замену переменных

г-? = \/(х - 6) +(у - 6) tgм.

Получим

2

Г Г г сое и

= -а]]р(г, &)(х - 6)((6(6 J (ж - ^ + ^ - ^)2 (и.

2

2

Г Г г сое и

*2 = -С]]р(г, &)(У - 6)((6(6 ^ (ж - ^^2 + (у - ^2)2

После интегрирования имеем

= -2С // (X - 6)2 + (У - ^2)2 ^

*2 = -2С // (X - 6)2 + (У - 6)2 ^

Вычисляя последний интеграл в получим

*3 = с / / р(*,6,6)

в л/(х - б)2 + (У - б)2 + (* - ?)2

+те

(2)

(6(6 = 0.

2

1

Таким образом, четвёртое уравнение системы (1) выполняется тождественно, и система (1) перепишется в виде

Pt + UPx + V ру + р(их + Vy ) = 0

о. о. . 1 оп И ^, 6, &)(x - 6) ,,,,

Ut + иих + vUy + -Рх = -2G -.---1"«;

Р J J (x - 6)2 + (y -6)2 (3)

D

Vt + uvx + Wy + lpу = -2G ff ,p(t^2"6"6.

p J J (x - 6)2 + (у - 6)2

D

Не нарушая общности, уравнение состояния политропного газа возьмём в виде

Р1

p = — = const > 1. Тогда система (3) для изэнтропических течений газа будет

1

иметь вид

Pt + UPx + VPy + р(их + Vy ) = 0,

Ut + UUx + VUy + p1 2px =

2G ff p(t,il,6)(x - 6) ,, ,,. -2Gn (x -ii)2 + to -f2)2 "£l"&. (4)

Vt + UWx + ^ Vy + p1 2py =

2 G ff p(t,6,6)(y - 6) ЛР ЛР -2 GJJ (x - 6)2 + (y - 6)2 ^ ^

D

Замечание 1. Заметим, что система (4) для произвольного числа 7 не является аналитической. Полагая, что (7 — 2) = к - целое положительное число, получим счётный набор 7 = (2+&) = {2; 3; 4; 5; 6; 7;... }, для которых функция р1-2 является аналитической. Заметим, что для воды 7 = 7, т. е. к = 5. При этом для воздуха 7 = 1, 4 в этот набор не входит.

Если за неизвестную функцию взять с - скорость звука газа ( с2 = —— = р1 1 то система (4) будет иметь вид:

= Î = »1-1),

1- 1 /

Ct + и Сх + V Су +--—с(их + Vy) = 0,

ut + иих + vuy +--- ссх

2

7 -1

(5)

= -2 G с^- 1(t ,6,6)

х

D

(х - ео2 + (у - б)2

dfi ^2,

2

Vt + uv х + V Vy +--- ССу

7 - 1

-2 G el - 1(t,6,6)

- 2

D

(х - £i)2 + (У - 6)2

d^id &

Интегралы в правой части системы (5) запишем в полярной системе координат: - х = г cos v, С2 - У = r sin V, d£id£2 = гdrdtp. Соответственно, пределы интегрирования будут иметь вид

D : 0 ^ V ^ 2п, 0 ^ г < то. Тогда система (5) перепишется в виде

7- 1 .

Ct + и Сх + V Су +--—с(их + Vy) = 0,

ut + иих + Vиу +--- ссх

2 1'

2я"

2 G

2

с У 1 (t,х + г cos V, У + rsin^)dr

cos <pd<v;

(6)

V t + uvх + г>% +--- ССу

2

7 -1

2я"

2 G

2

сT 1 (í, х + r cos v, У + rsin^)dr

sin vdv.

2

2

Замечание 2. В результате такой замены мы получили аналитическую систему уравнений газовой динамики, но для произвольного числа 7 подынтегральная 2

- 2

функция с 7 — 1 не является аналитической. Предполагая, что - = п - нату-

ральное число, получим счётный набор 7

2

1 + -п

7 - 1

3; 2; —; 1, 4;... ' ' 3' 2'

для

которых подынтегральная функция является аналитической. Заметим, что для воздуха 7 = 1, 4, т. е. п = 5.

2. Построение решения задачи Коши

Система (6) с учётом замечания 2 будет иметь вид

1

Сг + и сх + V сч + —с(их + ьч) = 0, уп

щ + иих + ьиу + пссх =

2ж

-20

спЦ, х + г сое ф,у + г вт ф)

сое фйф;

(7)

VI + иух + V Уу + псс.

2ж

-20

о |_о

сп(£, х + г сое ф,у + г вт ф)

Пусть при = о заданы начальные условия

фо,х, у) = Со(х, у), и(Ьо, х, у) = ио(х, у), ь(и,х, у) = г;о(х, у). (8)

Далее будет предполагаться, что функции со(х, у), ио(х, у), ьо(х, у) ограничены во всей области В2 и интеграл

сП(х + г сов ф,у + Г вШ ф)с1г

(9)

сходится.

Построим решение задачи (7), (8) в виде ряда по степеням Ь

^,х, у) = ^ ffcУ)( ^ , f = {c,и, V}.

к=о

Нулевые коэффициенты ряда (10) находятся из начальных условий (8).

В системе (7) положим t = tо и получим первые коэффициенты ряда (10):

С\ = —ЩСох - VoCoy - — Со{щх + Voy

щ = -ЩЩх - VoUoy - —СоСох

(11)

2ж

-2G

C¡Q (х + г cos ф,у + г sin ф)

cos фс1ф;

Vi = -UoVox - VoVoy - —CoCoy

2ж

—2 G

cQ(x + r cos ф,у + r sin ф)

sin

Продифференцируем систему (7) по ¿, положим Ь = ¿о и получим вторые коэффициенты ряда(10)

С2 = — щсох — ЩС1х — УоСоу — УгС1у — 7 — 1 Сг(иох + Уоу) —

--Co(^ix + Viy);

—

U2 = -ЩЩх - UoUix - ViUoy - VoUiy - —(CiCox + CoCix)-

2ж

2 G

ncQ icidr

COs фйф;

V2 = -UiVox - UoVix - ViVoy - VoViy - UCoCoy

2ж

2 G

ncQ icidr

sin

Далее будет предполагаться, что интеграл

nC¡Q l(x + Г cos ф,у + Г sin ф)C]_(x + г cos ф,у + Г sin ф)(1г

(12)

сходится.

Остальные коэффициенты ряда получаются рекуррентным образом с помощью дифференцирования системы (7) по Ь подстановки в полученные выражения Ь = ¿0 и ранее вычисленных коэффициентов ряда.

Продифференцируем систему (7) к раз по ¿, положим Ь = ¿0 и получим

ск+1 = Р1к (х, у);

2ж

uk+i = F2k(х, у) - 2G

Рк(х,У,r, ф

сое <рс1<р;

(13)

2ж

Vk+1 = F3n(x, у) - 2G

Рк(x,y,r,')dr

Здесь

Fik(х, у) = -Y1 Clup • Сф-Р)-p=0

к ^ _ 1 к

- cIvp • Су(к-р) - Clcp[ux(k-P) + vy(k-p)];

р=0

р=0

k k

F2k (х, у) = - ^ CpUp • Ux(k-p) CpVp • Uy(k-p)-

p=0 p=0

2 k

l- 1 p=0

Ckp

■pCx(k-p) ;

(14)

k k

F3k(x, y) = - ^ CpUp • Vx(k-p) -Y; CPpVp • Vy(k-p)-p=0 p=0

2 k

~ 7 Y Cpcpcy(k-p); 1 - 1 p=0

k

Рк(x,y,r, ф) = —k- [cn(i, x + r cosу + rsin')]t=t0. Далее буцет предполагаться, что интегралы

Рк(x,y,r, Ф)dr

(15)

сходятся.

При сделанных предположениях рекуррентные соотношения для построения решения задачи Коши получены.

Лемма. Пусть в окрестности точки М°(х°, у°) заданы функции и°(х, у)

и°°(х, у)

х •у ''

ь°(х, у) = (х, ^ , с°(х, у) = С°°(х ^ .Если функции с°°(х, у),и°°(х, у), V°° (х, у) х • х •

и их частные производные любого порядка ограничены в области R2, тогда несобственные интегралы (15) сходятся.

Доказательство. Лемма доказывается индукцией по к. База индукции:

оо R

í т , , • N 7 т f СП° (х + Г cos ф, у + Г sin ф) с0(х + г cos ф, у + г sinф)dr = iim / ------— dr.

J R^o J (х + Г COs ф)п • (у + Г sin ф)п

°°

Заметим, что п - фиксированное натуральное число. Следовательно, функция сП°(х + f cos ф,у + г sin ф) ограничена в области R2, т. е.

IсП°(х + r cos ф,у + г sin ф)| < А.

Тогда

R

сП°(х + f cos ф,у + Г sin ф)

(х + г cos ф)п • (у + Г sin ф)п

dr <

R

<

А

(х + г cos ф)п • (у + Г sin ф)

-dr = Jn.

Вычислим интеграл Jn. При п =1

R

Ji = А

1

(х + г cos ф) • (у + Г sin ф)

А

у cos ф — х sin ф

in

(х + R cos ф)у

(у + R sin ф)х

А

iim Ji = iim -in

R^o R^o у cos ф — х sin ф

(х + R cos ф)у

(у + R sin ф)х

А

cos ф — х sin ф

in

cos ф

х sin ф

интеграл (9) сходится.

1

При п > 1 порядок Зп будет , и это гарантирует сходимость интеграла (9).

Дальнейшее доказательство проведём для п =1. Рассмотрим интегралы

2ж

А cos ф

у cos ф — X sin ф

ln

у cos ф

X sin ф

d ф;

2ж

А sin ф

у cos ф — X sin ф

ln

у cos ф

X sin ф

d ф.

Перепишем их в виде

2ж

1 = А i ctg^ ln

X

У 0 ctg ф — -

О у

-ctg^ X

2 ж

d<p, Д = а —tg^y ln

X О tg <p— -

0 X

X

dtp.

■к

Это несобственные интегралы от функций, разрывных в точках: ф = 0; ф = —; ф =

3к у

ф = -¡г- ф = arct^ —.

2 x

■

Далее интегралы Д, 12 рассмотрим в пределах от 0 до —.

В интеграле Д сделаем замену переменных z = ctg ф, в интеграле 12 - замена Z = tg ф. Получим

h = А

"О ( 2 — й(1 +

ln zj dz;

А

I2 = -

XJ I z—У )(1 + z2) \У

X

(xo

ln — z dz.

X

Исследуем интеграл Д в точке z = —. Интеграл рассмотрим в пределах

--а. —+ b

У

ае (°.X). ье(X.<»).

д = А

X

У

X

( X) (1+;2)

ln zj dz+

А + -

X

-+ь У

v X (--X) (i+-J)

у

ln zj dz.

1

2

—a

Сделаем замену переменных и = — г, г = —и. Будем иметь

х у

1

I- = [ -Т^-^ 1п и—и+

Г-К (и—1/..'х■ -

—

(■ + (—и Л

1+Ь^ —

+$ / -тЧ-^*- ши—и-

у 1 ( и — 1)Л 1х-

(■+(—" У)

Или, если V = и — 1,

о

¡1 = I '—+1-- 1п(1 + V)—V+

'уУ (1 + £(V + 1)2)

—

ьУ-—

+[ , V 2+1-- 1п(1 + V )—v.

У2 1 лг Л , —

о V ^ + ^(V + 1)2)

Поскольку 1п(1 + V) ^ V, то справедлива оценка

или

о —

Ах Г V +1 „г А Г V +1

11 < — -2-—V +~ -2-—V

у \ 1 + Х-2 (V + 1)2 у{ 1 + (V + 1)2

-а~ У У

—

2 ^ ■ У

^ А / ч1 + ?(V + 1)у + а

1 " 2х 'у 1 + ^(V + 1)2 2х о 1 + —2(V + 1)2

-а- У2 У2

х

Интегрируя, имеем

1 < а

2х

ь0+х2 +1)2)][в*+ь0+х2 (V+1)2)

х

ь—

х

о

или

11 * - 1п—-.

2Х 1 + ^ (1 -аУ-У

у2 \ х/

Аналогично получаем оценку для Д:

- 1 + х (1+

Д* - 1П-^-^.

2у 1 х2 / хч 2

1 + ^-1 - а-2

х

Следовательно, интеграл 11 в точке г = — и интеграл 12 в точке г = — сходятся.

х

Исследуем интеграл 11 в точке г = 0. Рассмотрим его в пределах [0, а] и после

х

замены » = — г, г = —» получим

х

а—

х

11 = -х [-А-1пи<1и.

У 0 (и - 1) (1 + (Й2)

В окрестности точки и = 0 справедливо неравенство 1п и * —. Тогда

а— а—

* i /-* V /чту

о (и -1)(1+й»))

Интегрируя, имеем

Л * - 1п(1 +

ах А,

х = — 1п 2.

о 2 х

2 х

Оценка для будет иметь вид

-

Д * — 1п 2. 2У

Следовательно, интегралы Д и Д в точке г = 0 сходятся.

Исследуем интеграл Д при г ^ то. Рассмотрим его в пределах [Ь, то] и после

х

замены » = — г, г = —» получим

х

те

Д = [--г»-^ 1п »*».

' I » -1) (1 + (X») )

При и ^ то справедливо неравенство 1п и ^ л/и. Тогда

Ах

и фи

у & (и -1)(1+(х

х

<1 и й А

х

ъу

х

(и - 1)фи

¿и.

Делая замену переменных и = ь2, получим

2А

Ь й 2-

х

-¿ы = — 1п

ь2 — 1

х

Ь 1

ь + 1

— 1п

х

ЬУ- + 1

х

ЪУ- 1

х

Оценка для 12 будет иметь вид

А

Ь й- 1п

ЬХ + 1

ьх - 1

При и ^ то интегралы Д и 12 сходятся.

База индукции доказана.

Заметим, что условия леммы и формулы (11), (12) гарантируют, что с\, с2 имеет такой же порядок по х, у, как и с0.

Делаем индуктивное предположение, что, при I < к, С1 имеет такой порядок по х, у, как и с0. Тогда из формул (13) и условий леммы получаем, что интегралы (15) сходятся. Лемма доказана. ■

1

Заключение

1. В работе построена математическая модель для описания двумерных течений газа, гравирующего по Ньютону.

2. Для интегро-дифференциальной системы уравнений газовой динамики поставлена задача Коши, решение которой построено в виде степенного ряда.

3. Коэффициенты ряда получены с помощью рекуррентных соотношений из решения алгебраически уравнений с интегральными правыми частями.

4. Получены ограничения на начальные условия задачи Коши, при которых сходятся несобственные интегралы в правых частях алгебраических уравнений.

Таким образом, выполнено аналитическое исследование для дальнейшего численного моделирования гравитационных волн на большой промежуток времени.

Литература

1. Ламб Г. Гидродинамика. М.; Л.: ОГИЗ, 1947.

2. Дерябин С.Л., Чуев Н.П. Сферически симметричное истечение самогравитирующего идеального газа в вакуум//Прикладная математика и механика. 1994. Т. 58, вып. 2. С. 7784.

3. Баутин С.П., Дерябин С.Л. Математическое моделирование истечения идеального газа в вакуум. Новосибирск: Наука, 2005.

4. Дерябин С.Л. Одномерное истечение самогравитирующего идеального газа в вакуум // Вычислительные технологии. 2003. Т. 8, № 4. С. 32-44.

5. Дерябин С.Л., Садов А.П. Математическое моделирование течений самогравитирующего газа с помощью стационарных автомодельных переменных // Вестник Уральского государственного университета путей сообщения. 2022. № 3 (55). С. 15-22.

6. Чуев Н.П. Аналитический метод исследования пространственных задач динамики самогравитирующего газа // Вычислительные технологии. 1998. Т. 3, № 1. С. 79-89.

7. Дерябин С.Л., Чуев Н.П. Построение трёхмерных течений самогравитирующего идеального газа, непрерывно примыкающих к вакууму // Вестник Уральского государственного университета путей сообщения. 2012. № 2 (14). С. 4-13.

THE CAUCHY PROBLEM FOR TWO-DIMENSIONAL GAS FLOWS, GRAVITATING

BY NEWTON IN THE SPACE OF R2

S.L. Deryabin

Dr.Sc. (Phys.-Math.), Professor, e-mail: SDeryabin@usurt.ru

A.P. Sadov

Ph.D. (Phys.-Math.), Associate Professor, e-mail: alsadov@yandex.ru Ural State University of Railway Engineering, Yekaterinburg, Russia

Abstract. The paper considers isentropic flows of an ideal gas gravitating by Newton. Two-dimensional integro-differential systems of equations of gas dynamics for a polytropic gas are obtained as mathematical models. For the obtained equations, the Cauchy problem is posed in the entire space Д2. The solution of the problem is constructed in the form of power series. The coefficients of the series are found in solving algebraic equations with integral right-hand sides. Restrictions are obtained on the initial conditions of the Cauchy problem, under which improper integrals converge in the right-hand sides of algebraic equations.

Keywords: gas engraving according to Newton, integro-differential system of equations of gas dynamics, Cauchy problem, power series, improper integrals.

Дата поступления в редакцию: 24.12.2023