Задача интегральной геометрии в полосе на окружностях Текст научной статьи по специальности «Математика»

9. Де Гроот С.Р., Мазур Р. Неравновесная термодинамика. М.: Мир, 1964.

10. Эткин В.А. Энергодинамика (синтез теорий переноса и преобразования энергии). СПб, «Наука», 2008. 409 с.

11.Андрющенко А.И. Основы технической термодинамики реальных процессов. М.: Высшая школа, 1975.

12. Эксергетические расчёты технических систем. (Справочное пособие п/р. Долинского А.А. и Бродянского В.М.) Киев, Наукова думка, 1991.

13. Эткин В. А. Полная и парциальная энергия системы. //Вестник Дома Ученых Хайфы, 2016.-Т.36. С. 6-11.

14. Эткин В.А. Паралогизмы термодинамики. Saarbrücken, Palmarium Ac. Publ., 2015.

15.МаксвеллДж.К. Трактат по электричеству и магнетизму. М.: Наука, 1989. Т.1.

16. Эйнштейн А. К электродинамике движущегося тела // Собр. науч. тр. М.: Наука, 1966.

ЗАДАЧА ИНТЕГРАЛЬНОМ ГЕОМЕТРИИ В ПОЛОСЕ НА

ОКРУЖНОСТЯХ Хусанов А.З.

Хусанов Абдурозик Зарифжон оглы - студент, механико-математический факультет,

Самаркандский государственный университет, г. Самарканд, Республика Узбекситан

Аннотация: в настоящей работе рассмотрена задача восстановления функции по семейству окружности в верхней полуплоскости с весовой функцией, имеющей особенность. Доказана теорема единственности решения уравнения. Показано, что решение поставленной задачи слабо некорректно, то есть получены оценки устойчивости в пространствах конечной гладкости.

Ключевые слова: слабо некорректные задачи, преобразование Фурье, теоремы единственности, весовая функция.

Задачи интегральной геометрии - интенсивно развивающееся направление современной математики. Она является одним из крупнейших направлений в теории некорректных задач математической физики и анализа. Ее задачи тесно связаны с многочисленными приложениями - задачами интерпретации данных геофизических исследований, электроразведки, акустики и компьютерной томографии [1].

Одной из центральных проблем интегральной геометрии является восстановление функции, если известны ее интегралы по заданным многообразиям [2-3].

В работах Акр.Х. Бегматова [4-7] были получены результаты, выделяющие новые классы слабо некорректных задач интегральной геометрии на плоскости и в ^мерном пространстве. В работе Акр.Х. Бегматова и З.Х. Очилова [8] получены результаты новые классы задачи интегральной геометрии с разрывной весовой функцией.

Введем обозначения, которые будем использовать:

(х,у) е Я2, (£,ц) е Я2, Ае Я1, /е Я1 0 = {(х, у): хе Я1, уе (0,/), / <«}, 0 = {(х, у): хе Я1, уе [0, /]}.

Пусть {Р(х, у)} - семейство окружностей в Я2, склеенных специальным образом. Произвольная кривая семейства Р( х, у) определяется соотношениями

P(x, y) = {(4л): (4-(x - y))2 + (л-y)2 = y2, 0 <л< y, x - y <4< x} u ^ {(4л):(4-(x + y))2 + (л-y)2 = y2, 0 <л< y, x <4< x + y}. (1)

Задача А. Пусть от функцим двух переменных u(x, y) известны интегралы:

]g (x,4)u(t, y -J y2 - (4-x + y)2 d +

x - y

+ }yg(x,4)u(4,y-Vy2 -(4-x -y)2 )d4 = f (x,y), (2)

где: g(x,4) = |x

Требуется по функции f (x, y) найти u(x, y).

Функция u(x, y) - функция из класса U, которые имеют все непрерывные частные производные до второго порядка включительно и финитны с носителем в

sup u е D = {(x,y) : - a < x < a,0 < a < <ю, 0 < y < l, l < <x>}.

Итак, кривая, по которой ведется интегрирование, имеет вид склеенных четвертинок окружностей. Доказана единственность решения исходной задачи А, получены аналитические представления искомой функции в терминах образов Фурье по первой переменной, а также в исходных переменных.

x

Список литературы

1. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Линейные операторы и некорректные задачи. Москва: Наука, 1991. 331 с.

2. Лаврентьев М.М., Бухгейм А.Л. Об одном классе задач интегральной геометрии // Докл. АН СССР, 1973. Т. 311. № 1. С. 38-39.

3. Лаврентьев М.М., Бухгейм А.Л. Об одном классе операторных уравнений первого рода// Функцион анализ и его прил., 1973. Т. 7. Вып. 4. С. 44-53.

4. Бегматов Акр.Х. Два класса слабо некорректных задач интегральной геометрии на плоскости // Сиб. мат. журнал, 1995. Т. 36. № 2. С. 243-247.

5. Begmatov Akram H. On a class of weakly ill-posed Volterra-type of integral geometry in the three-dimensional space // J. Inverse and Ill-Posed Problems., 1995. Vol. 3. № 3. P. 231-235.

6. Бегматов Акр.Х. Вольтеровские задачи интегральной геометрии на плоскости для кривых с особенностями // Сиб. мат. журнал. 1997. Т. 38. № 4. C 723-737.

7. Бегматов АкрХ. Задачи интегральной геометрии по специальным кривым и поверхностям с особенностями в вершинах // Доклады РАН, 1998. Т. 358. № 2. С. 151-153.

8. Бегматов Акр.Х., Очилов З.Х. Задачи интегральной геометрии с разрывной весовой функцией. Доклады РАН, 2009. 429. № 3. С. 295-297.