Задача интегральной геометрии по семейству окружностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ЗАДАЧА ИНТЕГРАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ПО СЕМЕЙСТВУ

ОКРУЖНОСТЕЙ Якубов Г.Т.1, Хусанов А.З.2

1Якубов Гулам Таирович - ассистент, кафедра дифференциального уравнения; 2Хусанов Абдурозик Зарифжонович - студент,

механико-математический факультет, Самаркандский государственный университет, г. Самарканд

Аннотация: интегральная геометрия является актуальным разделом анализа и математической физики и изучает вопросы восстановления функции, от которой известны интегралы, заданные на семействе многообразий. В настоящей работе рассмотрена задача восстановления функции по семейству окружности в верхней полуплоскости с весовой функцией, имеющей особенность. Доказана теорема единственности решения уравнения. Показано, что решение поставленной задачи слабо некорректно, то есть получены оценки устойчивости в пространствах конечной гладкости.

Ключевые слова: слабо некорректные задачи, преобразование Фурье, теоремы единственности, весовая функция.

Интегральная геометрия является актуальным разделом анализа и математической физики и изучает вопросы восстановления функции, от которой известны интегралы, заданные на семействе многообразий [1]. В работе М.М. Лаврентьева и В.Г. Романова [2] впервые была установлена связь между задачами интегральной геометрии и многомерными обратными задачами для дифференциальных уравнений.

В работах Акр.Х. Бегматова [3, 4] были получены результаты, выделяющие новые классы слабо некорректных задач интегральной геометрии на плоскости и в ^мерном пространстве. В работе Акр.Х. Бегматова и З.Х. Очилова [5] получены результаты новые классы задачи интегральной геометрии с разрывной весовой функцией.

Введем следующие обозначения:

(х, у) е Я2, (£п) е Я2, Ле Я1, ре Я1

П = {(х,у): хеЯ1, уе(0,1), I <<х>}, П = {(х,у): хеЯ1, уе[0,1]}.

Пусть {Р( х, у)} - семейство кривых в Я+ , которое определяется соотношениями Р(х, у) = {(£?):(£-(х - у))2 + (Л-у)2 = у2, 0 <п< у, х - у <#< х} и

и{(£-(х + у))2 + (п-у)2 = у2, 0<п<у, х<£<х + у}. Задача 1. Определить функцию двух переменных х, у), если для всех известны интегралы от функции по кривым Р( х, у) :

]§(х&и(<?,уу2 - (£- (X - у))2 )*? +

х - у

+ (х^)и (<?, у -V у2 - (£- (X + у))2 = /(X, у)

х

где §(X, £) - некоторая весовая функция специального вида.

Теорема 1. Пусть функция и(х, у) известна для всех (х, у) еО. Тогда

решение задачи 1 в классе С° (О) единственно, и имеет место представление:

х д1 д1 и(х, у) = Г (—---)/(у

-» ду1 Ъ1

и выполняется неравенство

1И1^21'°(О) ^ С/(х,у)1 W¡(О),

где С - некоторая постоянная.

В этой теореме доказано единственность решения задачи 1 и получена формула обращения и оценка устойчивости.

Список литературы

1. Гельфанд И.М., Граев М.И., Виленкин Н.Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. М.: Физматгиз, 1962.

2. Лаврентьев М.М., Романов В.Г. О трех линеаризованных обратных задачах для гиперболических уравнений. //ДАН СССР, 1966. Т. 171. № 6. С. 1279-1281.

3. Бегматов АкрХ. Вольтеровские задачи интегральной геометрии на плоскости для кривых с особенностями // Сиб. мат. журнал, 1997. Т. 38. № 4. C 723-737.

4. Бегматов АкрХ. Задачи интегральной геометрии по специальным кривым и поверхностям с особенностями в вершинах // Доклады РАН, 1998. Т. 358. № 2. С. 151-153.

5. Бегматов Акр.Х., Очилов З.Х. Задачи интегральной геометрии с разрывной весовой функцией. Доклады РАН, 2009. 429. № 3. С. 295-297.