CC BY
0
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 15. ВЫЧИСЛ. МАТЕМ. И КИВЕРН. 2024. .V 1. С. 33 46 Lomonosov Computational Mathematics and Cybernetics Journal
УДК 519.83
H.M. Новикова1, И.И. Поспелова2
ЗАДАЧА ФОРМИРОВАНИЯ ДОГОВОРЕННОСТИ МЕЖДУ ПОКУПАТЕЛЯМИ ЧАСТОТ ДЛЯ ОТКРЫТОГО ДОСТУПА НА АУКЦИОНЕ СПЕКТРА
С позиций теории игр и исследования операций рассмотрена задача о неафишируемой договоренности между покупателями неэксклюзивных прав па аукционе спектра для согласованного формирования ими цеповых заявок. Такие участники аукциона являются потенциальными фрирайдерами претендуют па бесплатный доступ к продаваемым частотам, что обусловливает их нестандартное поведение. Предложены два способа организации договоренности для аукциона с ценообразованием по правилу Викри в случае полной информированности участников о величинах дохода партнеров от использования приобретаемого в складчину частотного диапазона. Показано, что отсутствие информации приводит к уравнительному распределению оплаты между договаривающимися покупателями, а это существенно снижает их конкурентное преимущество в аукционе спектра. В качестве механизма, стимулирующего к выявлению истинных предпочтений, проанализирован механизм Кларка Гровса и разработан его модифицированный вариант. К сожалению, пи для какого из mix применение к данной задаче по результатам проведенного исследования не представляется рациональным. Обсуждается альтернативная возможность выбора совместного решения па базе модели Гермейера Вателя.
Ключевые слова: договоренность между фрирайдерами, игровая модель аукциона спектра, правило Викри, равновесие Нэша, выявление предпочтений, механизм Кларка Гровса, модель Гермейера Вателя.
DOI: 10.55959/MSU/0137 0782 15 2024 47 1 33 46
I. Введение. Во многих странах мира для распределения частот передачи сигнала устраивается аукцион спектра (spectrum auction). В зависимости от характера использования приобретателю может понадобиться эксклюзивное право доступа к частоте (например, для организации телевещания), которое обеспечивается лицензией, либо покупатель предоставляет свободный доступ к приобретенной частоте неограниченному числу пользователей (так, например, осуществляется передача данных по Wi-Fi на частоте 2.4 Ггц). Для объяснения поведения участников и прогноза результатов аукционов традиционно применяется математический аппарат теории игр. Далее, взяв за основу игровую модель из [1], проанализируем (но с новой стороны) модельный аукцион спектра, на котором продается единственный лот, и за него торгуются покупатели двух типов: L и U. Каждый покупатель типа L (licensed), выигрывая лот, берет лицензию, а покупатель типа U (unlicensed) в случае его выигрыша оставляет доступ к частоте открытым [2 4|. Так как все покупатели типа U допускаются к частотам, лот на которые куплен любым из них, им выгодно оказаться фрирайдерами (free rider), т.е. участниками экономических отношений, бесплатно пользующимися благами, которые они потребляют [5]. Однако, чтобы какие-то U-участники могли стать фрирайдерами, другие покупатели типа U должны победить на аукционе покупателей типа L.
Продавцу лота не важно, покупатель какого типа заплатит за выставленный на торги частотный диапазон, его интересует лишь максимизация цены продажи с этой целью он и организует аукцион. Для проведения исследования остановимся на закрытом аукционе по правилу Викри (правилу второй цены), предложенному нобелевским лауреатом Уильямом Викри в [6]. В рассматриваемом варианте разыгрывания за раз только одного лота аукцион Викри совпадает с аукционом Викри Кларка Гровса, успешно применяемым в самых разных областях [7 9]. Теоретическое и практическое сравнение с другими видами аукционов см. в [6,10,11], а также для аукционов спектра в [12 14] и с учетом L- и U-участников в уже упоминавшихся работах [1 4|.
1 ФИЦ ИУ FAH, ведущ. пауч. сотр., проф., д.ф.-м.п., e-mail: novikovaOgse.cs.msu.ru
" Факультет ВМК МГУ, доц., к.ф.-м.п., e-mail: ipospelova050yaudex.ru
В II. 2 приведем формальное описание модельного аукциона и основные результаты его изучения методами теории игр, покажем важность априорной договоренности между участниками тина U. Анализ условий, на которых подобная договоренность могла бы осуществляться, и является предметом настоящей статьи. В п. 3 предложим два вида договорных правил при наличии информации у всех U-участников о ценности лота для каждого их них. В п. 4 обсудим способы выбора их совместной стратегии поведения на аукционе спектра при неизвестных величинах полезности лота друг у друга. Вопросам применимости механизма Кларка Гровса [5,10] для решения поставленной задачи в ситуации неопределенности отведен п. 5. В п. 6 укажем на другой подход из теории исследования операций, базирующийся на модели Гермейера Вателя [15], как направление наших будущих интересов в сфере разработки возможных соглашений в играх с фрирайдерами. В заключение (и. 7) подытожим, чего стоит ожидать от присутствия потенциальных фрирайдеров на аукционе спектра.
2. Свойства аукциона Викри с участием фрирайдеров. Hipa, моделирующая изучаемый аукцион, включает п игроков покупателей с номерами г = 1 ,п, в порядке убывания величин V полезности для игрока i выставленного на продажу лота: Vi > ... > Vi > ... > Vi-Предположим, что каждый покупатель, зная свое значение Vi, не знает Vj других участников и
не знает своего порядкового номера. Стратегия игрока i в игре Xi € X¿ = [bo, — цена за лот, заявляемая на аукцион покупателем i, где bo — нижняя цена (ограничение, введенное продавцом лота в качестве порога участия для покупателей, моделирует ценность лота для него). Считаем, что 0 < bo < Vi для всех игроков (участников аукциона). Аукцион является закры-
Xi
x = (xi,..., xn) € X = Xi х ... х Xn называется исходом игры [10] и определяет их выигрыши Fi(x) Vi = 1,п с помощью процедуры, описанной далее.
Для любого исхода x € X обозначим через i(x) номер игрока (единственного), выигрывающего
Vi
из предложивших на аукцион заявку с максимальной ценой, т.е.
г(х) с= min{?'°| г° £ Argmax.Tí}. (1)
г=1,п
Через j(x) будем обозначать номер игрока с той же ценой в заявке, следующего за i(x) по порядку номеров, а если таких нет, то игрока с минимальным номером из подавших заявку со следующей по убыванию ценой,
j(x) = min{j| j € Arg max xj}. (2)
j=i(x)
Игрок j(x) является ценообразующпм для игрока i(x), выигрывающего лот, в том смысле, что игрок i(x) заплатит за лот цену из заявки игрока j(x), т.е. цена лота для исхода x € X
p(x) = xj (x). (3)
Формулы (1) (3) стандартны для аукциона Викри. Однако наличие двух и более участников типа U задает специфические функции выигрыша, которые для них зависят от того, какой тип окажется v игрока i(x) — победителя аукциона.
Разделим множество номеров игроков на два непересекающихся подмножества L и U: номера l € L принадлежат L-игрокам, а номера k € U относятся к U-игрокам, моделирующим U-участников потенциальных фрирайдеров. Согласно данному разбиению введем функции выигрыша:
Fi(x) (x) == Vi(x) - p(x), Vl € L \ {i(x)} F(x) = 0,
Vk € U \{.(x)} Fk(x) = { Vk(4)
Получили игру в нормальной форме Г = (Ь{]и, Хг, ^г), называемую при \и| > 1 игрой с фри-ра,йдера.ми [1]. (Здесь и далее модуль множества обозначает число элементов в нем.) Обсудим свойства такой игры.
Для закрытого аукциона и соответствующей ему игры в нормальной форме в качестве концепции решения используется понятие равновесия по Нэшу [16], согласно которому исход жо является равновесным,, если никакой игрок, по отдельности, отклонившись от ж0, не увеличит свой выигрыш. Формально ж0 равновесие в игре Г, если ^ Ухг € Хг, Уг = 1 ,п. (Здесь и далее Уж € X краткая запись ж с нижним индексом —г служит для обозначения набора стратегий ж_7 игроков ] = г в составе исхода ж.) Равновесный исход зачастую не один, и разные равновесия
Г
в [1]. Доказано, что при 1 € Ь, т.е. когда самая высокая полезность лота у Ь-игрока, этот игрок и выигрывает лот в равновесии. Цена покупки им лота может варьироваться от Ьо до У1. Если предположить, что игроки не используют свои доминируемые стратегии [10], то приходим к разбросу равновесных цен за лот от Ьо до У2. В отсутствие сговора покупателей, когда они не имеют информации друг о друге, если рассчитывать на применение ими своих искренних стратегий жг = V (с честной ценой в заявке, равной полезности лота для покупателя), цена р(ж) = У2- При этом выигрыш игрока 1 составит (VI,..., УП) = У1 — У2, а все остальные получат пули в силу (4). Искренние (честные) стратегии не всегда образуют равновесие.
В игре без фрирайдеров (при \и\ ^ 1) для аукциона Викри известно, что искренняя стратегия является доминирующей [10]. По определению, стратегия ж+ игрок а г — доминирующая в игре с функциями выигрыша если Ужг € Хг, У] = г, Уxj € Xj ^(ж+,ж_г) ^ ^¿(ж). Тем самым, при-
Г
\и\ ^ 1 можно ожидать честных цен (учитывая также, что исход, состоящий из доминирующих
Г
Утверждение 1. Для каждого Ь-игрока I € Ь искренняя стратегия ж\ = У — доминиру-Г
Доказательство. Имеем У1 € Ь, Уж € X если ^(ж) ^ 0 и г(ж) = то xj•(x) ^ VI и ж г ^ жг Уг, причем для всех г < I неравенство строгое в силу (1). Так что ж г ^ У У г = и для всех г < I неравенство строгое в силу (2). Следовательно, г(VI, ж_г) = а ](У, ж_г) = ](ж), значит, ^](Уг,ж_г) = ^г(ж). Если же г (ж) = ¿или ^ (ж) ^ 0, то ^ (У1,ж_г) ^ 0 ^ ^г(ж), так как в аукционе Викри цена в заявке ценообразующего игрока не превышает цену в заявке того игрока, которому достается лот. Утверждение 1 доказано.
Для и-игрока, если он не единственный (т.е. когда \и\ > 1), искренняя стратегия не является доминирующей. Действительно, пусть Зк, ] € и (к = ]). Тогда при Ук >> Хj >> ж г
Уг = ], к
например, стратегия ж к = Ьо выгоднее для и-игрока к, тем Ук, так как позволяет передать покупку лота 11-игроку Стратегия ж к = Ьо тоже не является доминирующей дл я 11-игрока к при Ь = 0, потому что для исхода ж с жг > жг Уг = ¿и жг < Ук, где I € Ь, и-игроку к выгодней выбрать искреннюю стратегию 14, чем нижнюю цену Ьо- Аналогичные построения выполняются и для любой другой стратегии жк 11-игрока к, подтверждая, что в случае \и\ > 1 и Ь = 0 у Ц-игроков нет доминирующих стратегий.
Тем не менее, согласно [1], искренние (доминирующие) стратегии Ь-игроков образуют компоненты равновесных исходов. Следовательно, можно предположить, что в отсутствие информации
0 партнерах они будут выбирать именно эти стратегии ж° = Уг У1 € Ь. Другие компоненты равновесия — стратегии жк и-игроков к могут быть любыми от Ьо до Ук с одним условием: если
1 € и, то З] € и, такой, что ] < ¿1 = шш ¿и жо ^ У^ (иначе исход жо не будет равновесным —
подробнее см. утверждение 10 из [1]). В частности, для случая ¿1 = 2 стратегия ж1 € [У2, У1] приносит лот И-игроку 1 по цене У2- В результате его выигрыш (жо) = У1 — У2, а у других игроков ^(жо) = 0 У1 € Ьи^к = Ук Ук € и \ {1}. Заметим, что те же выигрыши дает исход в искренних
стратегиях ж = У = (У1,..., Уп), который для случая ¿1 = 2 оказывается равновесным, как и для случая ¿1 = 1 (т.е. 1 € Ь), рассмотренного выше.
При ¿1 > 2 исход в искренних стратегиях уже не будет равновесным для игры Г, поскольку И-игроку 1 выгодней выбрать Ьо вместо VI, чтобы стать фрирайдером, передав покупку лота и-игроку 2. Равновесные исходы в случае ¿1 > 2 при условии применения Ь-игроками своих доминирующих искренних стратегий приносят лот (на основании утверждения 10 из [1]) одному из 11-игроков к с к < ¿1 по цене У^, которая меньше Ук по правилу нумерации игроков. Однако эти равновесия для указанных Ц-игроков не равнозначны. Тот, кто купил лот, хотя и получил положительный выигрыш, но проиграл по сравнению с другими Ц-игроками, ставшими фри-райдерами, точнее по сравнению с тем, что бы он выиграл в другом равновесии, оказавшись фрирайдером сам. Поэтому каждый Ц-игрок будет пытаться опустить па нижний уровень Ьо заявляемую им на аукцион цену за лот. А если так поступят они все одновременно, то аукцион выиграет Ь-игрок, и и~игроки останутся с нулевым результатом. Если же, не коммуницируя между собой и не зная даже порядка номеров, они применят искренние стратегии, то приобретут лот по цепе, которая вместо ^поднимется на ур овень У2. Таким образом, аукцион Викри в данном случае вынуждает к сговору Ц-игроков. Настоящая статья посвящена анализу их возможностей договориться и условий, на которых это рационально сделать. Далее, когда не сказано иное, будем предполагать, что Ь-игроки в договоренностях не участвуют и применяют свои честные стратегии (как доминирующие для этого типа игроков). Рассматриваем игру Г с ^ 1, |и | ^ 2, т.е. игру с фрирайдерами, для которой актуальна поставленная задача.
3. Решение задачи в ситуации полной информированности о профиле У. Простейшая ситуация возникает, когда Ц-игрокам известны все У^ и тип каждого игрока г = 1 ,п (но чужих стратегий ж^ в закрытом аукционе они заранее не знают). При ¿1 = 1 лот в игре Г, как обсуждалось выше, выигрывает Ь-игрок 1 и по предположению ни с кем не договаривается. При ¿1 = 2 лот покупает тот же игрок 1, но теперь он уже имеет тип Ц и хотел бы разделить плату за лот с другими Ц-игроками. Однако если у него нет рычага продажи им права пользования его частотами (как и происходит в рассматриваемом аукционе), то вряд ли удастся взять деньги с фрирайдеров, которые понимают, что он и так купит себе этот лот. Остается случай ¿1 > 2, когда для получения лота Ц-игрокам с номерами к < ¿1 хорошо бы сговориться, чтобы один из них взял его покупку на себя, а остальные поучаствовали бы в оплате стоимости покупки, равной ^.Обозначим ч ерез К = {к € и | к < ¿1} множество таких Ц-игроков, каждый из которых способен самостоятельно выиграть лот.
К
не возникает, но в процентном отношении к выигрышам платежи будут сильно различаться. Например, для ¿1 = 3, если У2 = 1.01У3, а У1 = 4У3, получим, что р(ж0) = Уз и игрок 2 отдаст Уз/2 почти половину от полезности лота для него, а игрок 1 всего одну восьмую часть, хотя ему лот нужнее в четыре раза. Несправедливый дележ может вызвать у игроков желание не вернуть заплатившему за лот часть денег или его опасение такого сюжета, что мешает игрокам договориться. Справедливым в этом случае можно считать пропорциональный дележ, когда каждый игрок к € К платит одинаковую долю полезности лота для себя, т.е. величину
где р(ж) — сложившаяся на аукционе цена лота согласно (3). При К = 0 обоснованное для аукциона Викри равновесное значение р(ж0) равно У\1 (см. п. 2).
С учетом побочных (вне аукциона) платежей рк (ж) при выигрыше лота Ц-игроки из К получают каждый Ук — Рк(ж), или в терминах (1)—(4) для равновесного исхода ж0 величины:
Рк (ж)
Ук
р(ж),
(5)
З&К
Fk (ж0) — рк (ж0) Ук € К \{г(ж0)} и ^о )(ж0) + р(ж0) — Р(жо)(ж0) = У(ж0) — Р(жо)(ж0).
Обозначив через Ш(ж) функции выигрыша в игре Г с договорными платежами (5), придем к аналогичной (4) опосредованной зависимости от исхода игры результатов Ц-игроков, но уже с
К
при i(x) € U Wj(x) = Vj Vj € U \ K, Wfc(x) = Vk(1 - a) Vk € K, где a = VJ,/^ j
jeK
при i(x) € L Wj(x) = 0 Vi € U.
Для l-игроков wj = F) так как они не участвуют в договоренности — не связаны договорными платежами. Указанная доля a (доля снижения выигрышей U-игроков из K) невелика: в силу того, что Vl, < Vk для k € K, ее можно оценить сверху значением 1/|K|, т.е. 1/(li — 1).
Теперь заметим, что положительный выигрыш U-игроки получают лишь при ¿i > 1. С другой стороны, если уж они договариваются между собой о платежах, то почему бы им не объединиться па этапе подачи цеповых заявок. Тогда в игре с Wj(x) смоделируем U-игрока k0, которому def х—^
припишем Vfco = u = у Vk. Попятно, что шансы на V^o > VJ, выше, чем для любого U-игрока в
keu
исходной игре, и U-игрок k0 может оказаться на первом месте даже при ¿i = 1 (т.е. при K = 0) в игре Г. С точки зрения аукциона спектра достаточно любому участнику типа U (например по жребию) поставить в заявке цепу u, чтобы при u > VJ, обеспечить па всех U-участников покупку лота по цепе VJ,. При этом пропорциональный дележ (5) с K = U гарантирует каждому ненулевой выигрыш. Подобная договоренность сохраняет равноправность всех U-участников без K
ла). Однако, когда значение VI, точно известно U-игрокам, те из них, v кого последние номера, могут посчитать, что в них нет необходимости для получения лота, и откажутся участвовать в его оплате. Опишем способ договориться на таких принципах. Положим
к* d=fmin{k € U| Vh < £ Vj}, u* = E V. (6)
jeu, j<k jeu, j<k*
Тогда заменив (5) выражением p* = VJ,Vk/u*, придем к указанной выше договоренности о пропорциональном распределении платы за лот на тех первых U-игроков, участие которых необходимо для получения лота. При больших (близких к u) значениях = Vi получи м k* = nu* = u и платежи (5) с K = U как частный случай, но чем меньше V,, тем сильней платежи Vk/u и pk различаются. Формально введем па базе Г игру Г* = (L U U, Xj, Wj*) с функциями выигрыша
W*(x)d=f Fj(x) Vl € L,
Wj*(x) = Fj(x) Vj € U, j > k*(x) = min{k € U| p(x) < ^ Vj},
jeu,
W*(x) = / Vk(x) — pk(x) Vk € U, k ^ k*(x) при i(x) € U,
k 0, иначе,
где i(x) го (1 ), pk (x) = p(x)Vk/u*(x) для p(x) из (3) и u* (x) = ^ yj.
jeu, j<k*(x)
Оптимальной стратегией U-игроков в данной игре с договорными платежами pk (x) будет, k*
номером ki = min{k| k € U}, который подаст заявку с ценой u*, определенной в (6), а остальные могут заявить любую цену от bo ДО min{Vk, V} и при выигрыше лота должны отдать за него по pk
с каждого U-игрока k ^ k*. Такая их стратегия, дополненная xL = VL, образует равновесие в игре Г* Г
стороны наиболее заинтересованных игроков. Соглашение между U-игроками заключается вне торговой площадки, но так, чтобы все U-игроки понимали, что, нарушив договоренность, они
ki
с них договорных платежей, и лот отойдет игроку ¿i, заявившему вторую цепу).
Найденное решение задачи формирования договорных условий представляется достаточно устойчивым. Действительно, если все-таки U-игроки допускают, что значение VJ, им может быть известно неточно, то гарантированно оптимальным поведением для них будет подача U-игроком ki u
и-игроками по формуле (5) с К = и. Кроме того, в зависимости от изначальной договоренности, при той же оптимальной заявке возможен и второй способ — на базе формулы (6) с заменой Уг1 на р(ж), когда (6) применяется по факту сложившейся цепы (3), заранее неизвестной. При этом формулировка игры Г* те меняется, а и сход ж* с ж^ = Уь, ж* = и и ж* = Ьо У] € и \ {к1} остается в ней равновесным безотносительно к Уг1. (Множество равновесных исходов сужается, так как выбор Жj > Ьо те даст равновесия, если о кажется У1 < ж^)
Утверждение 2. Исход ж* — равновесие в игре Г* при любых У, l € Ь.
Доказательство. Если г(ж*) € Ь, то и = ж^ ^ Уг1, и всем и-игрокам вместе, перебив по цепе заявку ж* = У1 игрока ¿1, не получить лот с положительным выигрышем. Так что множество игроков ] € и, ] > к*(ж£, жи) пусто Ужи, и все и-игроки имеют нулевой результат. Если г(ж*) € и, то игрок г(ж*) = к1 покупает лот по цепе р(ж*) = Уг1 на всех и-игроков, определяет из (6) к* и и* ^ и и получает побочные платежи р* со всех Ц-игроков к с к1 < к ^ к*. Он не выиграет больше Ж*(ж*) = Ук1 — р*^, изменив цену в заявке, не увеличат свои выигрыши и другие Ц-игроки. Если же при г(ж*) € и какой-либо из Ь-игроков поднимет цену в заявке настолько, чтобы выиграть лот, ему придется заплатить за него и ^ Уг1 (в силV ж^ = и), что не приведет к положительному результату для этого игрока. Утверждение 2 доказано.
Очевидно, трактуя всех и-игроков как единое целое (как одного агрегированного игрока),
и
рующая. Но обеспечение договоренности о такой совместной стратегии является нетривиальной задачей. В частности, игрок к* выигрывает в Г* меньше, чем при пропорциональном распределении оплаты по формуле (5) с К = и, а Ц-пгрок с максимальным номером — больше (когда это разные игроки). Притом оба варианта договорных условий игроки могут счесть справедливыми и настаивать каждый на своем варианте. Выбор из них, как и рассмотрение разновидности варианта (6) с побочными платежами, пропорциональными не Ук, а Ук — Уг1, выходит за рамки настоящей статьи по следующей причине. Указанное выше коллективное поведение и формулы (5), (6), хотя и не требуют информации о значениях У полезности лота для игроков l € Ь, но предполагают точное знание участниками типа и истинных величин Ук полезности лота для всех Ц-игроков. Сделанное допущение представляется малореальным для участников аукциона спектра. Далее обсудим, что можно предложить в отсутствие подобного априорного знания.
4. Задача сговора при неизвестном профиле У. Предположим, что для обеспечения сговора каждый Ц-игрок к сообщает остальным и-игрокам некоторое число ук ^ Ьо в качестве полезности лота для него. Считаем, что это число не превышает истинной ценности лота для игрока к, т.е. ук ^ Ук Ук € и. Стратегиями Ц-игроков в игре, моделирующей задачу сговора,
будут данные сообщения, а варианты выбора на их основе цены в заявке на аукцион спектра
ж
рассматривать лишь как равновесные ж*, построенные для утверждения 2, но с заменой честной и к1
Ц-участников зависят, кроме У^, от вектора у = (ук \ к € и) и правила расчета договорных побочных платежей.
Представим, что Ц-игроки договорились об установленном перед утверждением 2 гарантированно оптимальном поведении, пусть, для начала, с оплатой по формуле (5) с К = и, а под видом Ук решили использ овать у к- Тогда, намереваясь заплатить поменьше, любой из них выберет у к = Ьо. Есл и \и \ Ьо > Уг1, то такой выбор рационален, но только вместо пропорционального распределения платы, приводит к уравнительному. (Лот купит Ц-игрок к1 по цене Уг1, и от этой цены каждый Ц-игрок заплатит одинаковую долю а = 1/\и\.) Хотя цена покупки, разложенная
Ьо
распределением. Тем не менее, здесь трудно возражать, поскольку Ц-игроки сами заявили так свои значения полезности лота. Однако в случае \и\Ьо < Уг1 при подобном подходе Ц-игроки не выиграют лот. Мало того, если, чтобы соответствовать объявленной полезности, все Ц-игроки, к1 Ьо ¿1
|Ь| =1 Ьо
Напрашивается следующий способ поправить указанный договор между U-игроками. Разре-
, dof v^ /
шим игроку ki поставить в свою заявку па аукцион не yo = yk (взамен цены u, принятой для
keu
оптимального поведения), а любое неменьшее число. Тогда игрок ^получив знач ение yo, сравнивает его с известной ему величиной Vk, честной полезности лота для себя. И если Vk, оказывается больше, подает па аукцион искреннюю заявку (с ценой Vk,). В сделанных предположениях, даже когда сравнить Vk, с VJ, от не может (не зная VJ,), игрок ki понимает, что шансы выиграть лот больше у заявки с большей ценой и что, не увеличивая цену выше истинной полезности лота для себя, он не потерпит убытка. Если при этом |U|bo < VJ, < Vk,, то U-игроки выиграют лот, однако, при делении платы поровну (согласно сообщенным yk = bo в качестве значений полезности ki
выяснится, что нижняя цена и была для них истинной полезностью лота). Значит, предложенное исправление механизма, задаваемого гарантированно оптимальным поведением, но на базе самостоятельно заявляемых U-участниками yk вместо честных Vk, не работает.
Остается игроку ki изменить договор так, чтобы в случае цены лота p ^ |U|bo она делилась между U-шроками поровну, а в противном случае остальные U-игроки вносили лишь заявленную ими плату yk = bo. (Здесь и далее используем об означение p для сложившейся на аукционе цены при покупке лота U-игроками, когда хотим подчеркнуть, что ее величина им до момента покупки неизвестна.) При таких условиях внеаукционного соглашения между всеми U-шроками игрок ki может сразу подать на аукцион заявку с ценой Vk, + (|U| — 1)bo, увеличивая свои (и
ki
мации о честных Vk? В ситуации yk = bo Vk € U допустимо счесть, что он вызывается сам, но тогда подобных ответственных игроков может быть несколько. Формализуем общую схему.
На основе сообщаемых U-игроками yk разобьем их па две группы: сторонников пропорционального распределения стоимости лота и согласных лишь на фиксированную плату, не превышающую bo. К первой группе отнесем игроков с номерами из множества H = {j € U| yj > h|U|bo}, где h ^ 1/1U| — параметр договоренности, например h = 2/|U| или 1/2. При p ^ |U|bo эта сложившаяся цепа лота, как и ранее, делится между всеми U-игроками поровну, но при p > |U|bo игроки из U \ H вносят плату bo, а оставшиеся U-игроки j € H делят величину p — (|U| — |H|)bo пропор-
yj j € H
аукцион заявку с ценой
b = Е yj + (|U | —|H |)bo. (7)
jeH
По правилам аукциона Викри p ^ b, значит, плата каждого игрока не превысит сообщенного им yj H h b
U-игроками. В случае известного значения возможен прямой вариант построения множества ответственных U-игроков как H * = {j € U, j ^ j *} (в предположении yj ^ yk Vj < k), где
j * d=fmin{j € U | < Е (yk — bo ) + |U | bo }, b* = Е yj + (|U | —|H *|)bo. (8)
keu, k<j jeu, jj
j* k*
bo игроками из U \ H*. Поэтому при честных стратегиях информирования (yk = Vk) выполнено j* ^ k*. Притом заявляемая на аукцион цена b* в (8) не обязана совпадать с u* из (6), так как оплата лота для (8) осуществляется по иному принципу, чем для (6), являясь промежуточным
K=U
Для (7) выбор h обусловлен стремлением при неизвестной цене p = VJ, приблизить H к H * с yk = Vk. Поскольку при VJ, ^ |U |bo игроки из H * не отличаются по вносимой плате от
yj j € H*
быть VJ, > |U ^.Включим в H U-игроков j, для которых yj > |U |bo, в надежде, что yj > VJ,. Если такой игрок один, то получаем разобранную выше ситуацию H = {ki}. Рассматриваемая
| H| > 1
деле справедливо неравенство Уг1 > Ук1 + (\и\ — 1)Ьо а значит (с учетом Ук1 ^ ук1 > \и\Ьо), когда для получения и-игроками лота нужна заявка на аукцион с ценой Ь > У11 > (2 \ и \ — 1)Ьо. Чтобы ее обеспечить, уже два Ц-игрока должны быть готовы заплатить за лот \и\Ьо, информируя о своих у^ и т.п. Следовательно, можно попробовать итеративно подобрать параметр Ь, начав с ^ = 1.
Обозначим через Н(Ь) зависимость Н от Ь и построим Н(1). Если \Н(1)\ > 1, то переходим к Н (2). Для произвольного шага Ь ^ 2 определяем число игр оков в Н (Ь). Если их по-прежнему больше, чем Ь, то снова увеличиваем Ь на 1, иначе считаем множество Н сформированным по предыдущему шагу Н = Н(Ь — 1). И наоборот, если \Н(1)\ = 1 ми Н(1) пусто, то берем Ь равным 1/2 1/3 и т.д. до Ь = 1/\и\, и полагаем Н = Н(Ь) с первым из таких Ь, для которого \Н(Ь)\ ^ 1/Ь. Когда нужного числа yj > Ь\и\Ьо не находится, просим Ц-игроков пересмотреть свои сообщения ук в сторону увеличения либо дать согласие па присоединение к Н без выполнения указанного условия на у^-. После заранее оговоренного числа итераций по пересмотру фиксируем Н (возмож-
Ь
Затем И-игроки заключают договор о соответствующем распределении будущей оплаты р ^ Ь в ситуации выигрыша лота. Согласно (7), при р > \и\Ьо игроки из и \ Н платят Ьо, а на игроков из Н разложится остаток пропорционально их у^. Таким образом, не зная У^, можно попытаться достичь максимально высокой цены (7) в заявке на аукцион. Однако, предложенная процедура поддержки принятия решения не гарантирует его оптимальности. Пока в (7) Ь < и, и-пгрокп пс-
Ь=и
условия у к ^ Ук, защищающие Ц-игроков от убытков при неизве стном значении р = У^, соединяются со стремлением преуменьшать перед партнерами свою выручку, чтобы меньше участвовать в оплате. Так что использовать все шансы выиграть лот им мешает неискреннее поведение.
и\Н
Тогда, положив абстрактно Ьо = 0, можно взять предыдущие формулы, но их осмысленность теряется, поскольку нет иного способа, кроме заявительного, выделить последних игроков они могут вообще не сообщать никаких у к- Значит, остальные будут их игнорировать и пользоваться пропорциональным распределением (5) между собой вернулись к началу пункта. Для примера рассмотрим случай известного значения У11 (при неизвестных Ук). Определив из (8) с Ьо = 0, что сообщенных значений у к недостаточно для получен ия лота (Н * = 0), нельзя понять, надо привлекать к оплате игроков из и \ Н или пытаться уговаривать игроков ] € Н па увеличение Уj. Ясно, что в такой ситуации можно провести вторую и третью, и другие итерации сбора сооб-ук
договоренности Ц-игроков с максимальными номерами (и минимальной полезностью лота для них), приходим к необходимости разработки механизма, стимулирующего Ц-игроков, всерьез заинтересованных в приобретении лота, к искреннему поведению. Распространенным правилом, поощряющим игроков при совместном принятии решения сообщать свои честные предпочтения, является механизм Кларка Гровса [10,17,18].
5. Проблемы применения механизма Кларка-Гровса для достижения договоренности между фрирайдерами в аукционе Викри с их участием. Пусть пока для наглядности значение Уг1 как ориентир будущей цены аукциона участники знают точно, но не знают Ук
та меньше У^, не участвуют в его оплате, а потому полагаем, что их просто пет. Тогда можно считать, что ¿1 = п (Ь-пгрок один — последний), п > 2. Примем УП > \и\Ьо, чтобы для получения лота Ц-игрокам надо было договариваться, выявляя истинные интересы друг друга, а не
Ьо
получить лот должны подать на аукцион заявку с ценой не менее Ь = УП, и зная Уп, они не будут предлагать цену больше. В результате Ц-игрок 1 заплатит за лот, а остальные Ц-игроки окажутся фрирайдерами. Но такой исход ж = (УП,..., УП) — не равновесие в аукционе спектра, поскольку
Ьо
(Ьо, УП,..., УП) тоже не равновесный — от него выгодно отклониться игроку 2 и т.п. Однако при исходе (Ьо,..., Ьо, УП) лот купит Ь-игрок п, что опять-таки не есть равновесие.
Допустим, что Ц-игроки договорятся на один из равновесных исходов (а дсговариваться на неравновесные исходы бессмысленно их не станут придерживаться в закрытом аукционе), выбрав по жребию того, кто подаст на аукцион заявку с ценой Ь = УП, остальные указывают в заявке цепу Ьо- Тогда в пересчете на математическое ожидание придут в игре Г (без побочных платежей) к вектору средних выигрышей
(VI - Ь/(п - 1),... ,У„- - Ь/(п - 1), 0).
Имеем У к = 1 ,п — 1 14 — Ъ/(п — 1) > 0 в силу 14 > УП5 причем все эти Ц-игроки сообщают у^ = Уп в качестве полезности лота для себя, и цена делится между ними поровну без связи с истинными значениями Ук- Вместе с тем Ц-игроки г с У < УП, исходно исключенные нами из рассмотрения, выигрывают Уг, что поощряет к сообщению у к < УП и других Ц-игроков. Выходит, единственный вариант в этом случае игрок 1 платит за всех, и нет способа побудить остальных к искреннему
Ьо
Ц-участников аукциона (т.е. всех согласных с нижней ценой), лишь уменьшит платеж игрока 1, но не поможет ни выявлению предпочтений, ни справедливому дележу. Кроме того, любое правило, рассчитанное на побочные платежи, трудно реализовать в условиях противодействия со стороны торговой площадки каким-либо договоренностям, поскольку участники аукциона имеют право не обращать внимания на предложения игрока 1, если они в них не заинтересованы. А у игрока 1 даже нет возможности угрожать, что он не оплатит лот, если они не скинутся, так как мало шансов, что его угрозе поверят (в ситуации ¿1 = п, да и вообще при У1 > У,).
Другое дело, что, не видя чужих Ук, Ц-игроки не понимают, у кого еще реально Ук > УП, кроме как у тех, кто указал ук ^ УП- Однако выше отмечалось, что им выгодней выбрать ук = Ьо (в том числе, и игроку 1). Поэтому, несмотря на ¿1 = п, при УП > |и|Ьо У Ц-игроков нет иного способа покупки лота, кроме добровольного заявления одним из них у к ^ УП или многими у- > Ьо, например, в рамках итеративной процедуры, предложенной в п. 4. В случае УП ^ |и|Ьо Ц-игроки могут, зная, что р = УП при выигрыше ими лота, определить параметр т = [р/Ьо] (ближайшее целое сверху) для оценки числа игроков, которого будет достаточно для участия в оплате, чтобы выиграть лот. Но эти Ц-игроки все равно должны вызваться сами. Получается, что нет большого смысла сообщать заранее значения ук- И вместо формул (5) и (6) в отсутствие информации о значениях полезности лота для партнеров Ц-игрокам остаются два варианта договоренности:
т
оплату лота на них (что в среднем эквивалентно первому варианту). Ни одна из этих договоренностей не приближает к справедливому решению уж лучше оставить оплату на игрока 1 без договоренностей. В рассматриваемом случае одного последнего Ь-игрока (и вообще при ¿1 > 2) игроку 1 не выгодно самому переходить в разряд Ь-игроков, поскольку тел да его плата за лот вырастет с УП до У2 (при ¿1 = 2 его выигрыш не изменится). Причем из всех Ц-игроков к € К выигрыш игрока 1 от сохранения при покупке лота своего типа Ц максимален, поэтому есть резон в том, что он и должен платить.
Механизм Кларка Гровса для данной ситуации ничего не добавляет. У Ц-игроков альтернатива: бороться за лот или пет. Однако в случае ¿1 = п они надеются приобрести лот, особо не сговариваясь, и самые осторожные (или наиболее заинтересованные в лоте), выставив на аукцион спектра цепу Хк = УП вместо Ьо, заплатят за всех. Механизм Кларка-Гровса мог бы поощрить Ц-игроков к соглашению о равной оплате (см. далее), но они либо сами договорятся о подобной оплате, либо не договорятся и на механизм. Не видно такого рыночного стимула в аукционе спектра, который побудил бы их использовать механизм Кларка Гровса.
Проиллюстрируем эту мысль па примере иного крайнего случая для |£| = 1: ¿1 = 1; тогда, действуя в одиночку, Ц-игрокам не выиграть лот. Пусть для начала они хотели бы остаться в той парадигме, что Ц-игроки с к > к* из (6) в оплате лота участвовать не собираются. Да только в случае ¿1 = 1, не зная Ук с к > 1, они не могут определить величину к* даже при цепе лота У1, известной заранее (а не просто по факту покупки, как в п. 3). Если бы Ц-игрок к понимал, что перед ним по порядку номеров есть т Ц-игроков и У1 < тЬо, то мог бы себе позволить сохранить фрирайдеретво. Однако в общих предположениях такой возможности у Ц-игроков с
максимальными номерами нет, и если они хотят рассчитывать на .лот, то придется присоединиться к договоренности наряду с другими Ц-игроками. Следовательно, ориентируемся на формулу (5) с
К = и и полагаем, что все УТ-игроки настроены бороться за лот против Ь-игроков, т.е. стремятся
и ко
- см. в п. 3). Еще раз подчеркнем, что в условиях неизвестной полезности У1 = У11 при цепе в заявке Ь < и не все шансы на победу и-пгроков в аукционе будут использованы, а при Ь > и может оказаться (если У^ > и), что выиграв лот, они останутся с отрицательным результатом.
¿1 = п
К сожалению, классический вариант механизма Кларка Гровса для поставленной задачи не подходит, так как при выборе решения о покупке лота выигрыш участника зависит от его доли
К=и
а уо
ук
пропорционального распределения платы за лот, с тем чтобы применить рассмотренную в учебнике [5] (на примере принятия решения о приобретении телевизора) модель совместной покупки
р
аукционе спектра Ц-игроки заранее не знают, потому учтем, что по факту она станет известной (при их победе па аукционе р = У1), и трактуем р как параметр. Пусть доли игроков в ее оплате установлены априори безотносительно к поведению партнеров. В примере из [5] игроки договариваются делить оплату поровну. В нашей задаче в таком случае получаем, что заявляемый
к ук — р/|и |
каждого выигрыш 0. Покупка лота на аукционе происходит при подаче ими заявки с суммарной ценой уо > р. В силу ук ^ Ук аукцион не может быть ими выигран при У1 ^ и. Для упрощения дальнейших вычислений считаем Ьо = 0. Тогда стратегии УТ-игроков в задаче сговора суть их сообщения (в качестве полезности лота) величин ук, образующих вектор у ^ 0.
Покупать лот или нет, определяется по механизму Кларка Гровса путем максимизации суму ( ук — р/|и |) > 0 кеи
(т.е. при уо > р) лот покупается, иначе — нет, как и положено по правилам аукциона спектра. Но
у
ривает для договаривающихся участников правило отчисления специальных платежей (налогов) Кларка, чтобы подкрепить договоренность. Согласно [5,10], платеж Кларка tj(у) для участника ] равен разности между суммарными выигрышами остальных участников от принятия решения, максимизирующего сумму выигрышей либо всех УТ-игроков, либо только игроков из и \ {]}• Для построенной модели выводим У] € и
I] (ук — р/\и\) — тах
0, £ (ук — р/\и\)
— тах
0, £ (ук — р/\и\)
. кеи\^}
при уо > р,
(9)
.
Эта величина неположительна, и ее модуль имеет смысл дополнительного платежа со стороны игрока ] € и. По сути механизма платежи Кларка уходят вовне (никому не поступают).
к€и
вора на одинаковую плату за лот с помощью механизма Кларка Гровса выражается функцией
Ы (у) = / Ук — р/\и\ + tk(у) при уо > р,
( ) \ tk(у), иначе.
Получили на базе Г с механизмом Кларка-Гровса игру Гас = (и, Ук = [0, Ук],Ык) с \и\ игроками, точнее, семейство таких игр, параметризованное значением р > 0. Для расчета (9) обозначим через к*(у) максимальный (по убыванию ук) номер УТ-игрока, для которого выполнено ук > р/\и\.
Очевидно, при k* (y) = n лот покупается, и все платежи Кларка пулевые. Далее, когда пет таких номеров k * (y), U-игроки не выигрывают лот, причем tj (y) = 0 Vj € U. Промежуточная ситуация
для вектора y: ki(y) = min{k| k € Arg max y^} ^ k * (y) < n. Поскольку значение p U-игрокам
fceu
k
механизма Кларка Гровса. Посмотрим, как работает механизм.
Пусть для простоты k * (y) = ki(y) = ki. При этом в ситуации покупки лота игрок ki является ключевым (его неучастие меняет принятое решение) [5], и (y) = yo — p + p/|U| — из (9). A если для исхода y лот не приобретается, то его не купят и U-игроки j > ki (без участия ki), так что tk1 (y) = 0. Выигрыш игрока ki
w (y) Г Vki — yki + yo — P при yo > p, 1 (y) \ 0, иначе,
и достигает максимума на ук1 = Ук15 так как с ростом ук1 не уменьшаются шансы на уо > р —
к1
доминирующей в игре Гас Для остальных 11-игроков ] > к1 по предположению yj ^ р/\и\. Тогда из (9) платеж Кларка ?(у) = 0 при покупке лота, а когда лот не выигрывается, то платеж ?(у) = 0 — тах{0, уо — у? — р+р/\и\}. Результат -ш?(у) игрока ] € и\{к1}, если 11-игроки победили па аукционе, будет равен У? — р/\и\, а если нет, то -ш?(у) = — тах{0, уо — yj — р + р/\и\}.
Заметим, что для ] € и \ {к1} при уо — р < 0 (проигрыш лота), если уо — р + р/\и\ — Уj > 0, то игрок ] — ключевой, -ш?(у) = yj — р/\и\ — уо + р < 0 и не зависит от у?. На свойство И-игрока ] = к1 быть ключевым те влияет в ыбор им у? ^ р/\и \, ток а уо < р, поэтому при снижении у? этот игрок остается ключевым. Более того, рассмотрим неравенство уо — у? + У? > р, означающее, что, увеличив у? до У?, игрок ] приводит к покупке лота. Из него следует
У? — р/\и\ > У? — р/\и\ — (уо — у? + У?) + р = у? — р/\и\ — уо + р.
В итоге: даже при У? < р/\и\ ключевому УТ-пгроку ] > к1 выгодней покупка лота, если она достижима при выборе им у? = У?, т.е. выгодней честное сообщение. Неключевым УТ-игрокам ] = к1 (тем, для кого уо — р + р/\и\ — у? ^ 0) покупка лота па условиях равной оплаты при У? < р/\и\ не выгодна. Чтобы избавиться от такой ситуации, предусмотрим распределение на всех ] = к1 платежа Кларка от игрока к1, что обеспечит им неотрицательный результат при выигрыше лота (см. ниже). Однако повторим, что игроки заранее не знают, окажутся ли они ключевыми. В частности, для р, близких к и, и уо, близких к р, если уо < р < и (т.е. покупка лота возможна, но в ситуации выбора у не осуществляется), все УТ-игроки ] > к1 могут оказаться ключевыми. Из общих свойств механизма Кларка Гровса [10] вытекает
Утверждение 3. Для и > р, если при выборе искренних стратегий — сообщений о полезности лота — выполнено к * (Уи) = к1, то вектор искренних стратегий Уи образует равновесие
Гас ,
сговора .между ни.ии на условиях равных платежей в аукционе спектра по правилу Викри.
Доказательство. Для любого УТ-игрока к = к1 из предположений утверждения 3 вытекает к > к1 = к*(Уи) и Ук ^ р/\и\, так что Ук — р/\и\ ^ 0 < и — р. Значит,
Р~\Ш1< £ V, Укеи\{кг}. (10)
\и \ \{к}
Пусть при выборе вектора стратегий у- = (Ук1 ,ук, Уи\{к1 ,к}) с ук < Ук лот не покупается. Тогда
из (10) игрок к становится ключевым (по формуле у- = и — Ук + ук > р — р/\и\ + ук)- Следова-
у-
выигрывают лот, то результат игрока к не меняется по сравнению с ситуацией УЦ-, т.е. отклонение от Ук не увеличивает его выигрыш- В силу произвольности к = к1 отклонение не выгодно ни для одного УТ-игрока к = кь Для игрока к1 то же установлено ранее. Утверждение 3 доказано.
На основе утверждения 3 механизм Кларка Гровеа позволяет Ц-игрокам купить лот при и > р, поощряя их сообщить друг другу истинные значения полезности лота. Однако такая покупка с учетом равной платы за лот приводит к отрицательному результату Ц-игроков ] > к1, а потому они вряд ли согласятся этим механизмом воспользоваться для заключения договора, особенно те игроки которые априори ожидают для себя У? < р/|и|. Чтобы исправить механизм,
к1
и-игроков с большими номерами для обеспечения им беспроигрышного участия. Действительно, сумма их отрицательных результатов при выигрыше лота с условием одинаковой оплаты равна
Е (У?' - р/|и|) = и - р - (Ук, - р/|и|) = ¿к!(Уи).
¿еи\{к1}
к* = к1
положить, что его ук, = Ук15 а тогда за счет ук ^ Ук получим к1(у) = кь Так что при к*(Уи) = к1 указанная модификация механизма Кларка Гровеа допустима. Кроме того, она сохраняет равновесность исхода в честных стратегиях. Для доказательства достаточно заметить, что игроку к1 Ук1
аукционе спектра больше не приносит убытка (в отличие от поражения в аукционе). В этом и состоит преимущество модифицированного механизма.
Габота модифицированного механизма Кларка Гровеа, о котором участники типа и должны договориться до проведения аукциона спектра, выглядит следующим образом. Все Ц-игроки сообщают друг другу значения у? в качестве оценок полезности лота для себя. Сумма этих значений уо выставляется на аукцион спектра как цепа в заявке игрока с максимальным у?, пусть его помер к1 € и. На аукционе определяется цена р, и по ней вычисляется номер к*(у). Предположим, что к*(у) = кь Если р < уо, то игрок к1 покупает лот па всех и-игроков, а Ц-игроки с к > к*(у) платят ему каждый величину ук, поскольку разности ук и р/|и| покрываются за счет ¿к,(у)- Если р ^ уо, то и-игрокам лот не достается, но ключевые игроки к' из Ц-игроков с к > к*(у) вносят в виде штрафа (в не связанную с ними организацию) платежи
^ \U\-1
?еи\{к'} |и |
которые со знаком "минус" равны платежам (налогам) Кларка и строго положительны для таких игроков. Неприятность подобной ситуации настолько их пугает, что Ц-игроки предпочитают заранее (не зная р) сообщать свои честные величины полезности лота у? = У?, чтобы максимально увеличить шансы на его приобретение.
Общий случай к* (у) ^ к1 рассматривается аналогично, но несколько сложнее. Однако подробно его исследовать уже не будем. Дело в том, что при любом варианте, кроме к*(Уи) = п, вся прибыль от покупки лота даже для модифицированного механизма Кларка Гровеа достается Ц-игрокам с меньшими номерами к ^ к*(Уи), а остальные Ц-игроки платят за лот все свои честные У? (в отличие от исходного стремления не платить вообще). Хуже другое: если лот купит Ь-игрок (при и ^ У), кто-то го Ц-игроков ] > к*(Уи) вполне может оказаться ключевым с ненулевым (Уи), и с него возьмут налог Кларка в пользу неизвестно кого. Отметим, что возможность успешного применения механизма Кларка Гровеа, демонстрируемая в работе [19], где речь идет о закупке правительством производства тестов во время пандемии, обусловлена необходимостью осуществить закупку покупка обязательно совершается. В нашей же задаче Ц-игроки не застрахованы от варианта не выиграть лот, даже когда они руководствуются своими искренними стратегиями и предлагают истинную цену. Фактически, те Ц-игроки, которым выгодно правило равной оплаты, получают выигрыш от покупки лота и к ней стремятся, а те, которым такое правило не выгодно, не получая дохода от покупки, имеют убытки при несостоявшейся покупке. Если бы их от указанных убытков избавить, то исчез бы и стимул к покупке лота, что способно спровоцировать выбор ими у? = 0. Поэтому построенный механизм слабо соответствует интуитивному представлению о справедливости или об экономической целесообразности.
В итоге мало надежды на его реализацию Ц-игроками с целью выявления предпочтений, чтобы затем организовать ценовой сговор в аукционе спектра.
По-видимому, продавцу лота подобный сговор мог бы быть интересен, поскольку он потенциально повышает цену продажи до У11. Тем не менее, Ь-игроки должны пресекать всякие попытки координации действий Ц-игроков со стороны торговой площадки как противоречащие законодательству В США, например, давно обсуждается (но не принимается) предложение их Федеральной комиссии по коммуникациям и связи (БСС) рассматривать на аукционе спектра
уо
цен в их заявках, а в качестве оплаты лота законодательно принять разделение сложившейся
р ук к € и
чавшейся в п. 4. Честные стратегии Ц-игроков для такого правила не образуют равновесия с положительным результатом. Вопрос о модификациях механизма Кларка Гровса для достижения пропорционального распределения оплаты лота при его покупке Ц-игроками пока открыт.
6. Идея применения модели Гермейера-Вателя для достижения договоренности между фрирайдерами в аукционе Викри с их участием. Рассмотрим последний случай предыдущего раздела (\Ь\ = 1, ¿1 = 1) немного с другой стороны (случай произвольного Ь рассматривается аналогично). Воспользуемся методологией исследования операций и попробуем трактовать Ц-игроков как сообщество с согласованным вектором, интересов см. модель IX из §1 [15], называемую также моделью Гермейера Вателя [21]. Представим себе игру между Ц-участниками аукциона спектра, стратегиями игроков в которой являются, как и ранее, сообщения ук ^ Ьо. Считаем, что при уо = ^ ук > У1 Ц-игроки выигрывают лот, а иначе — пет (уо
кеи
определяет цену в заявке от них на аукцион спектра, У1 — цепа, которую они заплатят за лот при его получении по правилу Викри). Но теперь пусть каждый Ц-игрок имеет двухкомпонент-ную функцию выигрыша, первая компонента которой — общая для всех р(у) = 1 при уо > У1
(при выигрыше лота Ц-игроками), а иначе р(у) = 0, и вторая компонента Рк(ук) ту—
Ук — Ьо ук
отнесенный к максимально возможному.
Обозначив Фк(у) = тт{р(у),рк(ук)}, получим вместо игры Г игру Гс = (и, Ук = Хк, Фк),
но сути соответствующую модели Гермейера Вателя. Однако в отличие от классической модели, в Гс компонента общего интереса р функций выигрыша не непрерывна, а ее значения не определены из-за неизвестной заранее величины У1. Если предиоложить, что У1 — случайная величина с заданной плотностью распределения р(р) и разрешить осреднение, то можно перейти вместо р к математическому ожиданию выигрыша лота Ц-игроками
У0
р(у) = / р(р)Ф.
Ьо
С ростом уо значение р(у) приближается к 1.
В такой постановке для игры Гс = (и, Ук = X, Ф к) с Ф к (у) = тт{р(у), рк (ук)} выполнены все условия модели Гермейера-Вателя. Тогда, согласно [15, §11], в игре Гс существует сильное равновесие, которое дает оптимальные сообщения уо, прпчем Ьо < уо < Ук- Кроме нормирующего множителя 1 /(Ук — Ьо) в определении рк можно еще предусмотреть дополнительный коэффици-
к
от формулы его участия в оплате лота. Анализ получающихся равновесных решений является предметом наших дальнейших исследований.
7. Заключение. Задача совместного принятия решения непроста сама по себе тем трудней договориться в условиях неизвестных интересов партнеров. Но именно такая задача возникает на аукционе спектра, если учесть наличие среди покупателей потенциальных фрирайдеров (участников типа Ц). Мало того, стоимость лота тоже априори неизвестна она определяется ценами в заявках участников аукциона, имеющих другой тип (Ь). Им нужна покупка лота вместе с лицензией на исключительное пользование, что несовместимо с фрирайдерством. II на
аукционе L-учаетникам нерационально делиться информацией с участниками тина U. Поэтому U-учаетники должны заранее договариваться, как им поделить оплату лота в варианте его покупки на случай любой возможной цены. (При слишком высокой цене для них лот покупается не ими, а достается L-учаетнику) Если удается договориться, U-учаетники получают конкурентное преимущество на аукционе, соединив свои ресурсы. Проведенное исследование показало, что реальных путей самоорганизации и осуществления дсговоренности у них не видно. Предлагаемый в научной литературе механизм Кларка Гровеа для данной ситуации оказался неработоспособным, что является наиболее важным результатом настоящей статьи. Также она служит объяснению практической нестабильности поведения участников на аукционах спектра, отмечаемой разными авторами (см. например в [13]), и ставит новую интересную задачу для специалистов но теории игр. Дело в том, что торговой площадке (продавцу лота) тоже выгодно, чтобы U-учаетники сговорились на суммарную цену в заявке, поскольку, во-первых, повышается стоимость продажи лота, и во-вторых, игра, в которой U-учаетники действуют как один игрок, уже обладает всеми хорошими свойствами предсказуемости аукциона Викри. Однако механизм их внешних) поощрения к объединению на данный момент отсутствует. Соответствующая иерархическая игра еще
ждет своего решения. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. К а п л а н B.C.. Новикова Н.М.. Поспелова И.И. Теоретико-игровая специфика некоторых аукционов размещения частотного спектра /'/' Изв. РАН. ТиСУ. 2023. № 6. С. 124 136.
2. В у к о w s к у М.М.. Olson М.. S h а г к е у W.W. Efficiency gains from using a market approach to spectrum management // Information Economics and Policy. 2010. 22. P. 73 90.
3. Sharkey W.W.. Belt ran F.. Bykowsky M.M. Comparing the ability of different auction mechanisms to efficiently designate spectrum between licensed and unlicensed use // SSRN Electronic Journal. 2013. URL: http://ssrn.com/abstract 2214022
4. К а п л а н B.C. Специфика и теоретико-игровой анализ аукциона размещения частот // Тихоновские чтения. Научная конференция: тез. докл. М.: МАКС Пресс. 2022. С. 85.
5. Varian Н. Intermediate Microeconomics: A Modern Approach. New York: Norton. 2014.
6. V i с k г e у W. Connterspecnlation. auctions, and competitive sealed tenders // J. Finance. 1961. 16. N 1. P. 8 37.
7. E d e 1 m a n В.. Ostrovsk у M.. Schwarz M. Internet advertising and the generalized second-price auction: selling billions of dollars worth of keywords // American Economic Review. 2007. 97. N 1. P. 242 259.
8. Varia n H.. Harris C. The VCG auction in theory and practice // American Economic Review. 2014. 104. N 5. P. 442 445.
9. URL: https://yandox.ru/snpport/diroct/technologios-and-servicos/vcg-anction.html
10. Мул он Э. Теория игр с примерами из математической экономики. М.: Мир. 1985.
11. Вас и н А.А. Математические модели рынков и аукционов. М.: МАКС Пресс. 2023.
12. С о и и и К.И. Основы теории аукционов (Нобелевская премия по экономике 2020 года) /'/' Вопросы экономики. 2021. № 1. С. 5 32.
13. Handbook of Spectrum Auction Design / Eds by M. Bichler. J. Goeree. Cambridge: Cambridge University Press. 2017.
14. Dang Y.. L i Z. The analysis and discussion of spectrum auctions based on case study /'/' J. Education. Humanities and Social Sciences. 2022. 2. P. 181 185.
15. Гер м о й о p Ю.Б. Игры с нспротивоположными интеросами. М.: Наука. 1976.
16. N a s h J.F. Non cooperative games // Annals of Math. 1951. 54. N 2. P. 286 295.
17. Clarke E. Multipart pricing of public goods // Public Choice. 1971. 11. N 1. P. 17 33.
18. Groves T. Incentives in teams // Economotrica. The Econometric Society. 1973. 41. N4. P. 617 631.
19. M a s k i n E. Mechanism design for pandemics // Review of Economic Design. 2022. 26. N 3. P. 255 259.
20. URL: https://arstechnica.cc)ni/4.och-pc)licy/2011/07/repiiblican-spoctriini-bill-reins-in-wiroless-froe-ridors-like-google/
21. Fop mo fiop Ю.Б.. Вате ль И. А. Игры с иерархическим вектором интересов // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1974. № 3. С. 54 69.
Поступила в редакцию 02.10.23 Одобрена после рецензирования 20.10.23 Принята к публикации 20.10.23
