Теоретико-игровой анализ позиционных аукционов по схеме Викри-Кларка-Гроувза с двухэтапным ранжированием Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 519.833:812.4

H. Г.Блинов1

ТЕОРЕТИКО-ИГРОВОЙ АНАЛИЗ ПОЗИЦИОННЫХ АУКЦИОНОВ ПО СХЕМЕ ВИКРИ-КЛАРКА-ГРОУВЗА С ДВУХЭТАПНЫМ РАНЖИРОВАНИЕМ

В работе исследуются различные виды позиционных аукционов. Позиционный аукцион — это механизм распределения рекламных позиций в ответе поисковой системы на заданный пользователем запрос. Рекламодатели делают ставку, которую они готовы заплатить поисковой системе за один переход на их сайт. На основе ставок всех претендентов поисковая система определяет, чьи рекламные объявления попадут на страницу и на какую позицию. В работе рассматриваются различные виды таких аукционов на примере поисковой системы Яндекс, где в качестве базовой используется схема Викри-Кларка-Гроувза. Основной результат работы — формализация понятия аукциона с двухэтапным ранжированием и исследование его на равновесие.

Ключевые слова: контекстная реклама, CTR, позиционные аукционы, GSP, VCG, равновесие Нэша, ценность клика.

I. Введение. Когда пользователь сети Интернет вводит в поисковую систему определенный запрос, вместе с объективно наиболее релевантными его запросу ссылками он получает так называемые спонсированные ссылки, т. е. оплаченные объявления. Они визуально отличаются от остальной выдачи поисковика, но также соответствуют запросу пользователя. Рекламодатели хотят, чтобы по запросам пользователей, которые свидетельствуют об их интересе к области деятельности данной компании, в выдаче поисковика присутствовало рекламное сообщение данной компании. Для этого рекламодатели таргетируют свои объявления на основе слов, которые должны содержаться в запросе пользователя, а именно, указывают, при вводе каких комбинаций слов должны показываться их объявления. Такой вид рекламы называется контекстной [1].

Определение 1. Контекстная реклама — размещение интернет-рекламы, основанное на соответствии содержания рекламного материала контексту (содержанию) интернет-страницы, на которой размещается рекламный блок. Носителем рекламы может быть тексто-графическое объявление либо рекламный баннер.

Когда пользователь кликает на рекламную ссылку, он попадает на страницу рекламодателя, который соответственно платит за это поисковику. Существует несколько систем оплаты данной услуги. Основными из них являются:

• система с платой за показ — рекламодатель оплачивает каждый показ своего рекламного

сообщения;

• система с платой за клик — рекламодатель оплачивает каждый переход на свой сайт по объявлению с сайта поисковика.

Определение 2. Показатель кликабельности (CTR) [1] — отношение числа кликов на баннер (объявление) к числу его показов, измеряется в процентах или долях (от англ. click-through rate).

Первая система имеет весьма значительный недостаток: при прочих равных условиях при одинаковом числе показов на сайты разных рекламодателей переходит абсолютно разное число человек. Для измерения этого показателя используется CTR. Сильный разброс данного показателя для разных сайтов делает число показов недостаточным критерием для оплаты рекламы, и в связи с этим появилась вторая система, более подходящая рекламодателям.

Итак, при вводе запроса поисковику пользователю демонстрируются в том числе рекламные объявления, каждый клик на которые приносит поисковику некоторую прибыль. Разумеется, количество рекламных объявлений, показанных поисковиком за одну выдачу, ограничено. Также нельзя не учитывать, что разные позиции в выдаче имеют разную привлекательность для рекламодателя:

1 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: nikita.blinovQgmail.com

объявления, размещаемые выше, в среднем кликаются значительно чаще (их CTR выше). Таким образом, поисковая машина должна иметь некий алгоритм распределения рекламных мест между рекламодателями — во всех крупных поисковиках в качестве такого алгоритма используется аукцион, который получил название позиционного.

Аппарат теории игр широко применяется для определения оптимального поведения сторон в различных видах данного аукциона. Наиболее часто используемой схемой проведения позиционных аукционов является схема аукциона второй цены (далее GSP — General Second Price Auction). В простейшем варианте аукциона по этой схеме рекламодатель на позиции г платит за клик столько, сколько поставил рекламодатель на позиции (i + 1) плюс некую минимальную сумму. Обычно эта сумма равна одному центу — в дальнейшем мы не будем ее учитывать, так как этот фактор не имеет существенного влияния.

Для данной модели основополагающей является работа [2], в которой авторы адаптировали классический аукцион второй цены [3, 4] к аукционам по продаже поисковой рекламы. Вводится само понятие GSP, понятие равновесия без зависти или 1е£-равновесия (locally envy-free), а также доказывается утверждение, связывающее эти понятия с аукционом по схеме Викри Кларка Гроунча (далее VCG) [3-6].

Отметим, что большинство последующих работ основаны именно на исследовании [2]. Приведем краткий обзор наиболее заметных из них. В [7] рассмотрен случай, в котором рекламодатель указывает не только ставку, но и желаемую позицию объявления на странице. В работе [8] рассмотрена зависимость выручки поисковой системы при аукционе GSP от числа рекламных позиций и числа претендентов. Также эта тема была частично продолжена в эксперименте с резервной ценой в работе [9]. Авторы работы [10] исследовали зависимость параметров аукциона от видов конкуренции между рекламодателями. Большой интерес представляет работа [11], в которой рекламодатели таргетируют свои объявления не только по запросам пользователя, но и по некоторому набору данных, которые имеет о пользователе поисковая система, например, его предыдущие запросы. Отметим еще одну из недавних работ [12], в которой изучается вопрос влияния резервной цены на эффективность аукциона.

Несмотря на то, что схема GSP используется практически всеми заметными поисковыми системами в мире, она имеет ряд недостатков. Основной заключается в том, что для рекламодателей, которые оценивают эффективность рекламы по окупаемости трафика, размещение на первых позициях в блоке зачастую оказывается не таким выгодным, как размещение на нижних. По этим причинам российская поисковая система Яндекс в июле 2015 г. одной из первых в мире перешла на схему VCG.

В пресс-релизе, посвященном этому событию [13], компания описывает преимущество от этого перехода следующим образом: в отличие от действующего аукциона, где рост цены клика связан с ростом позиции, в новом аукционе VCG цена клика растет непосредственно с ростом трафика, т. е. формируется исходя из того, что рекламодатель на более высокой позиции условно платит больше только за дополнительные клики на ней. Таким образом, рекламодатели смогут получать на любой позиции максимум кликов по оптимальной цене. Исследование, описываемое в данной работе, проводилось автором во время, предшествующее принятию в Яндексе решения о смене схемы, и касается двухэтапного ранжирования рекламодателей.

2. Определение игры в нормальной форме. Классическая одноэтапная схема, в которой рекламодатели ранжируются по убыванию величины ставки, не учитывает качества самого рекламного сообщения, предполагая, что кликабельность зависит только от позиции и не зависит от рекламодателя. В целом, опираясь на статистику, это можно считать эмпирическим фактом, однако часто возникают ситуации выбросов, в которых в выдачу попадает нерелевантное запросу объявление. Поэтому мы рассмотрим двухэтапную схему, в которой на первом этапе поисковая система стремится себя обезопасить от некачественных объявлений, а максимизирует прибыль уже на втором.

Сначала определим базовые величины:

К — множество претендентов (игроков);

К — количество игроков;

Bfc = [0, +оо) — множество стратегий каждого игрока;

вк € [0, +оо) — полезность клика для игрока к (средняя прибыль компании-рекламодателя

от одного перешедшего по ее объявлению клиента);

Ьк € В*; — ставка игрока к (его стратегия);

Ь = (Ь\,... ,Ьк) — упорядоченный набор ставок игроков (исход игры);

е = (б1,..., ек) — упорядоченный набор коэффициентов качества объявления.

Коэффициент качества рекламного объявления каждого игрока к положителен. Этот коэффициент определяется специальной программой поисковой машины в целях предотвращения попадания объявлений с нерелевантной пользовательскому запросу формулировкой, но высокой ставкой на высокие позиции.

Предполагая, что на экране имеется N < К рекламных позиций, зададим позиции игроков. Пусть i,j, т, п, ж", 7Г", , ж" € {1,..., К} для а = 1, 2. Обозначим через тт1(е) = (тг{(е),..., 7г^-(е)) упорядоченный набор позиций игроков после первого этапа ранжирования, такой, что

бг > е^ => тгЦе) < 7г](е) Уг,^, ето = еп => тг^(е) < тг^(е), т < п.

Обозначим через ж2(Ь) = {ж 1(Ь),..., ъ2К{Ь)) — упорядоченный набор позиций игроков после второго этапа ранжирования, такой, что

тгг1(е),тг](е) < N + 1 : > Ь,- ж2{Ъ) < ж2{Ъ) я"то(е),жЦе) < N + 1 : Ьт = Ъп => тт2п(Ь) < т < п.

Правило ранжирования игроков определяется следующим образом. Сначала из всего множества игроков отбираются N + 1 по убыванию коэффициента качества, затем отобранные игроки ранжируются по величине ставки и для отображения объявлений выбираются первые N.

Каждая рекламная позиция г характеризуется величиной щ — коэффициентом (ТП1. В рассматриваемой игре этот коэффициент отражает разницу в привлекательности различных позиций для рекламодателей. Действительно, эмпирически доказано, что для одного и того же объявления при одинаковом числе показов процент кликов будет тем выше, чем выше данное объявление будет на странице. Далее будем предполагать, что

«1 > «2 > • • • > а*м > 0, 1 < 7, < N, щ = 0, 7, > N. (1)

Определим функцию ик(тт2(Ь),Ь) = а^я^ — рж2 выигрыша игрока к, где рж2 — ожидаемый платеж игрока к, т. е. произведение СТЫ и платы за клик, которая зависит от типа аукциона. Также введем функцию, определяющую порядковые номера игроков в зависимости от их позиции после второго этапа ранжирования: /3(ж2) = (/^(я"2),...,/Зк(я-2)), где и\{Ь) = 7 => (тг2) = к для любых 7 и к. Из определений тг1(е), тт2(Ь) и /3(Ь) следует условие

Ы < Ьр3 V* > з. (2)

Итак, базовые показатели игры в нормальной форме для случая двухэтапного ранжирования определены. Далее для этой игры будем использовать следующее обозначение: в = {К, В^, щ(ж2(Ь),Ь), к € К}.

3. Аукцион УС С для игры С. Перейдем к заданию структуры аукциона, указывая значения платежа и выигрыша каждого игрока для схемы УСС. Пусть игрок к с позицией ж= 7 получает г-ю сверху позицию и его ставка равна Ь^. Функция выигрыша игрока к определяется следующим образом:

ик(тт2(Ъ),Ъ) = щвк-рь

(,3)

Рг = («г - «г+1)Ы+1 + Рг+Ъ г = 7Тк(Ь), рН = амЪры+1.

Здесь платеж игрока на позиции 7 зависит от ставок игроков, находящихся на позициях ниже. Будем предполагать, что в является игрой с неполной информацией (каждый игрок к знает только свою стратегию ^ и соответственно свою ставку), а отношение игроков к риску нейтральное.

Определение 3. Стратегия игрока к называется честной, если = [14, 15].

Лемма 1. В позиционном аукционе по схеме УСС с двухэтпапным ранжированием при использовании игроком честной стратегии его выигрыш неотрицателен.

Доказательство. Пусть игрок к с позицией после ранжирования тгЦЬ) = г использует честную стратегию. Тогда в силу (1)-(3) будем иметь

N

Рг = («г - «г+1)Ы+1 + Pi+l = ^2(а3 ~ + + ^

3=1

N N

щ = щЬк -Рг = «гЫ - - )Ц+1 = ~ Ьз+1) ^

3=г 3=1

Лемма доказана.

С учетом того, что информация о показателях конкурентов отсутствует, а платежи игроков зависят от большого числа конкурентов, рекламодателю сложно манипулировать своей ставкой с расчетом выиграть от этих манипуляций. Это одна из основных причин привлекательности аукциона УСв в сфере поисковой рекламы — данный механизм побуждает рекламодателя к честной игре, а именно к ставке, равной его полезности клика. Это базовое свойство схемы УСС, рассмотренное в работах [3-6]. Докажем, что переход к двухэтапной схеме ранжирования сохраняет это свойство.

Введем следующее обозначение: Сг = Ь^ для любого I € {1,..., К}. Лемма 2. Для любого ] ^ 1 верно неравенство («г — ^ (а^ — ц.

Доказательство. Из (1) следует, что щ — > 0 для любого у. В силу (2) имеем

Сг_|_1 ^ Сг+2 ^ • • • ^ сг+з-, ГДО г = як(Ь), откуда следует утверждение леммы.

Теорема. Честная стратегия является равновесной по Нэшу [16-19] в игре в. Доказательство. Для доказательства теоремы необходимо показать, что ни для одного игрока нет выгоды в индивидуальном отклонении от честной стратегии. Допустим, что все игроки выбрали стратегии, равные их полезности клика, и распределились по местам. Пусть игрок к попал на место жк = г ^ N и = а^—Зафиксируем исход Ь* = ... ,Ь*К) и докажем, что для игрока к нет выгоды в отклонении от его ставки Ь*к = ,зк.

Пусть игрок к решил изменить свою ставку с на В таком случае исход игры Ь* = = ..., Ъ*к_г, Ц1, ..., Ь*К) поменяется на V = ..., Ъ*к_1,Ъ'к, Ъ*к+1,..., Ь*К). Рассмотрим все возможные случаи изменения наборов позиций игроков: набор и1 не зависит от ставки, поэтому измениться может только ж2. Положим тп = и— жк{Ъ*).

1. Пусть т = 0, тогда ик {ж2(Ь), Ь') = ик(тг (Ь*),Ь*) по определению функции выигрыша. Следовательно, утверждение верно.

2. Пусть т > 0, тгк(Ь') ^ N ъi = тг|(Ь*). Из (2) следует, что сж ^ сж1(ь*) и игрок к спустился на т позиций. Тогда ттк{Ь') = г + т и и^ (тт2(Ь'), Ь') = ^+гп8к — где

г+то

Рг+т =Рг - ^ ("Л"1 ~ аз)С3-j=i+l

Так как в силу (2) = ^ сж2(ь*)+1 и щ > щ+т при т > 0 в силу (1), то с учетом леммы 2

будем иметь

г+то

ик{к2(Ь*),Ь*) - ик(тт2(Ь'),Ь') = (щ - щ+тп)8к - ("./ 1 - "./)''./ >

j=i+l г+то

^ («г - «г+то)^ - ^ (а3~ 1 ~ аз)сг+1 = (аг ~ «г+то)0/г ~ Сг+1) ^ 0. j=i+l

Таким образом, игроку к невыгодно понижать ставку до Ь'к, так как иЦЬ') ^ N.

3. Пусть теперь т < 0. В соответствии с (2) и определением с это означает, что Ъ'к ^ Ъ*к и игрок к поднялся на т позиций вверх. Пусть п = —т > 0, ък{Ъ*) = г. Тогда ттк(Ь') = г — п и ик(тг2(Ъ'),Ъ') = щ-п8к - р] „. где

г-1 N — 1 г-1

Рг-п = ^ (а3 ~ а3 + 1)с3 + ^2(а3 ~ + =Рг + ^ (а3 ~ аЗ + ^)СГ

3=1—п 3=1 з=г—п

Отметим, что структура выплат меняется, так как ставки на позициях от (i — п + 1)-й до г-ш из-за перемещения игрока, бывшего на г-ш позиции, сместились на одну вниз (индексы ставок фиксированы в честной стратегии Ь*). Так как в силу условия (2) ^ = sk, г = ик{Ь*)

и при п > 0 имеем Щ-п > щ в силу (1), то с учетом леммы 2 получим

г-1

ик{к2(Ь*),Ь*) - uk(ir2(b'),b') = (щ - ai-n)sk + ^ ("./ - "./ • i)'j >

j=i-n г-1

(ttj - (Xi-n)sk + (а3 - a3 + l)ci-l = (ai-n ~ «г)(Сг-1 - Sk) ^ 0.

j=i-n

Следовательно, повышать ставку игроку к невыгодно. Теорема доказана.

Итак, установлено, что в случае бескоалиционной игры с неполной информацией рекламодателям невыгодно отклоняться от честных стратегий и предпочтительней ставить сумму, равную их полезности клика, не только в классическом случае с одноэтапным ранжированием, но и в случае двухэтапного ранжирования. Такая ситуация является характерной для аукционов по популярным запросам, в которых принимают участие одновременно тысячи рекламодателей, а значит, как коалиции, так и попытки предсказать ставки конкурентов крайне затруднительны.

4. Оптимизация выручки поисковой системы. Полученный результат позволяет использовать в соответствующих случаях двухэтапную схему, которая более ориентирована на допуск наиболее качественных объявлений для показа. Однако, такая схема делает актуальным следующий вопрос: сколько рекламодателей нужно допустить до второго этапа ранжирования, чтобы максимизировать выручку поисковика?

Действительно, среди базовых параметров системы заданы общее число игроков К и число позиций на экране N. Оптимизация их значений не является уникальной задачей для двухэтапного аукциона — задачу выбора числа рекламодателей и числа рекламных мест решают для всех типов позиционных аукционов (наиболее заметные результаты описаны в [8, 9]).

В случае двухэтапного ранжирования в систему вводится новый параметр L, обозначающий число игроков, допущенных до второго этапа. Для максимизации выручки поисковой системы интерес представляет задача нахождения оптимального значения /,,. которая формулируется следующим образом:

N

L* = arg max V] (о^ - ai+i)b^ (ьь} + ... + aNbpN ,bL) , Le[N,K] +K

где bL — упорядоченный набор ставок игроков, содержащий первые L ставок из набора Ь, упорядоченного по убыванию коэффициента е.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Википедия — свободная энциклопедия. Электронный ресурс. URL: http://ru.wikipedia.org

2. Edelman В., Ostrovsky М., Schwarz М. Internet advertising and the generalized second price auction: selling billions of dollars worth of keywords // American Economic Review, American Economic Association. 2007. 97. N 1. P. 242-259.

3. Vickrey W. Counterspeculation, auctions, and competitive sealed tenders // J. Finance. 1961. 16. N 1. P. 8-37.

4. Vickrey W. Auction and bidding games // Recent Advances in Game Theory, The Princeton University Conference. Princenton, New Jersey: Princeton University Press, 1962. P. 15-27.

5. Clarke E. Multipart pricing of public goods // Public Choice. 1971. 11. N 1. P. 17-33.

6. Groves T. Incentives in teams // Econometrica. 1973. 41. N 4. P. 617-631.

7. Aggarwal G., Feldman J., Muthukrishnan S. Bidding to the top: VCG and equilibria of position-based auctions // Approximation and Online Algorithms, 4th International Workshop. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 4368. Berlin: Springer, 2006. P. 15-28.

8. Xiao В., Yang W., Li J. Optimal reserve price for the general second price auction in sponsored search advertising //J. Electronic Commerce Research. 2009. 10. N 3. P. 114-129.

9. Ostrovsky M., Schwarz M. Reserve prices in internet advertising auctions: a field experiment. Stanford University Graduate School of Business Research. Paper N 2054. 2009.

10. Thompson D., Leyton-Brown K. Computational analysis of perfect-information position auctions // Proceedings of the 10th ACM Conference on Electronic Commerce. New York: ACM, 2009. P. 51-60.

11. Yao S., Mela C. A dynamic model of sponsored search advertising // Marketing Science. 2011. 30. N 3. P. 447-468.

12. Топинский В. А. Эффективность резервной цены и давление конкуренции в аукционах // Управление большими системами: сборник трудов. № 50. М.: ИПУ РАН, 2014. С. 110-142.

13. Максимум кликов по оптимальной цене: перестройка аукциона в Директе. Электронный ресурс. URL: http://adv. ya.ru/replies. xml?item_no=2360

14. My лен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. М.: Мир, 1985.

15. Васин A.A., Морозов В.В. Теория игр и модели математической экономики. М.: МАКС Пресс, 2005.

16. Nash J. Non-cooperative games // Annals of Mathematics. 1951. 54. N 2. P. 286-295.

17. Nash J. The bargaining problem // Econometrica. 1950. 18. N 2. P. 155-162.

18. Nash J. Equilibrium points in n-person games // Proceedings of the National Academy of Sciences. 1950. 36. N 1. P. 48-49.

19. Nash J. Two-person cooperative games // Econometrica. 1953. 21. N 1. P. 128-140.

Поступила в редакцию 14.01.16

GAME-THEORETICAL ANALYSIS OF THE POSITION VICKREY-CLARKE-GROVES AUCTIONS WITH TWO-STAGE RANKING

Blinov N. G.

This paper is devoted to analysis of different types of the position auctions. The position auction — is a mechanism of managing advertising slots in search engine page for various users request. Each of the advertisers declares amount of money that he is committed to pay to search engine for a single redirection to his website — the bid. Search system manages advertisers' adds and decides what position each add will get on website. The paper considers various types of auctions which are based on Vickrey-Clarke-Groves scheme — the one that was implemented in Yandex in July of 2015. Description of the position auction with two-stage ranking and its equlibrium research are considered as the main results of the work.

Keywords: contextual advertising, CTR, position auctions, GSP, VCG, Nash equilibrium, value per click.