YUQORI SINFLARDA TO‘LA KVADRAT TENGLAMANI O‘RGATISH METODIKASI Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

JffiTALQINVA 1

\-/TADQIQOTLAR No4 2022

«Cl

ilmiy-uslubiy JumaH

VI ППШ ST1VFT ARTÏA TO'I i k\A HIÍ AT TF ТЧГПТ . A1VÍ AТОТ П'Т?Г^АТТ«ТТ

YUQORI SINFLARDA TO'LA KVADRAT TENGLAMANI O'RGATISH

#

>

METODIKASI

:¡>ij; \ i>*

Yadgarova Dilsoz Xamidullayevna Toshkent viloyati Chiгchiq shahaг 2 - sonli umumiy o'гta ta'lim maktabi

matematika fani o'qituvchisi Ibatova Nargiza Xomudovna Toshkent viloyati Chirchiq shahar 2 - sonli umumiy o'rta ta'lim maktabi

matematika fani o'qituvchisi Namatova Gulsara Bekchanovna Toshkent viloyati Chirchiq shahaT 21 - sonli umumiy o'rta ta'lim maktabi

matematika fani o'qituvchisi https://doi.org/10.5281/zenodo.7258018 *ф> ; ]>j» "Agaг bizlaг haqiqatan nimanidiг bilsak, bu matematikani bilganimiz tufaylidiï"

Per Gassendi

Щу> ] ; :>

Annotatsiya: Ushbu maqolada umumiy o'rata ta'lim maktabi o'quvchilari

-íw -

uchun kvadrat tenglamalami yechishning biг nechta qulay usullari va kasг sonlai haqida batafsil tushuncha beгilgan.

Tayanch iboralar: Metodika, umumiy metodika, xususiy metodika, umumta'limiy maqsad, taгbiyaviy maqsad, matematik tushuncha, teorcmalami

isbotlash metodlari, taqqoslash metodi, matematik tushunchalami umumlashtirish.

i >

jjfc

Matematika so'zi qadimgi gгekcha - mathema so'zidan olingan bo'lib, uning ma'nosi «fanlami bilish» demakdiг. Matematika fanining o^ganadigan naгsasi (ob'ekti) materiyadagi mavjud naгsalaгning fazoviy foгmalaгi va u^ oгasidagi miqdoгiy munosabatlaгdan iborat. Hoziгgi davгda matematika fani shartli гavishda ikkiga ajгaladi.

1) elementar matematika, 2) oliy matematika.

Elementar matematika fani maktab matematika kuraning asosini tashkil qiladi. J-jt Maktab matematika kuraninng maqsadi o^uvchitoga ulaming psixologik хususiyatlaгini hisobga olgan holda matematik bilim^ sistemasi ma'lum usulda (metodika) o^ali o^uvchitoga etkaziladi. (Metodika so'zi gгekcha so'z bo'lib, «yo4» degan ma'noni beгadi). Matematika metodikasi pedagogika va didaktika fanining asosiy bo'limlaridan biгi bo'lib, jamiyatimiz taraqqiyoti daгajasida ta'lim maqsadlaгiga mos keluvchi matematikani o'qitish, o^ganish qonuniyatlaгini

o^ganadigan mustaqil fandiг. Matematika metodikasi ta'lim jarayoni bilan bog'liq

bo'lgan quyidagi uch savolga javob beradi:

Ы> 3 ]> <}>

---M- ^ >

¡J

JffiTALQINVA 1

\-/TADQIQOTLAR No4 2022

«Cl

ilmiy-uslubiy JumaH

1. Nima uchun matematikani o'rganish kerak?

2. Matematikadan nimalarni o'rganish kerak?

3. Matematikani qanday o'rganish kerak?

O'rta umumta'lim maktablaridamatematika o'qitishning maqsadi

Orta maktablarda matematika o'qitishning maqsadi quyidagi uch omil bilan belgilanadi:

1. Matematika o'qitishning umumta'limiy maqsadi.

2. Matematika o'qitishning tarbiyaviy maqsadi.

3. Matematika o'qitishning amaliy maqsadi.

Matematika o'qitishning umumta'limiy maqsadi oz oldiga quyidagi vazifalarni qo'yadi:

a) Oquvchilarga ma'lum bir dastur asosida matematik bilimlar tizimini berish. Bu bilimlar tizimi matematika fani to'g'risida o'quvchilarga etarli darajada ma'lumot berishi, ularni matematika fanining yuqori bolimlarini o'rganishga tayyorlashi kerak. Bundan tashqari, dastur asosida o'quvchilar o'qish jarayonida olgan bilimlarining ishonchli ekanligini tekshira bilishga o'rganishlari, ya'ni isbotlash va nazorat qilishning asosiy metodlarini egallashlari kerak.

b) Oquvchilarning og'zaki va yozma matematik bilimlarini tarkib toptirish. Matematikani o'rganish o'quvchilarning oz ona tillarida xatosiz so'zlash, oz

fikrini aniq, ravshan va lo'nda qilib bayon eta bilish malakalarini o'zlashtirishlariga yordam berishi kerak. Bu degan so'z o'quvchilarning har bir matematik qoidani oz ona tillarida to'g'ri gapira olishlariga erishish hamda ularni ana shu qoidaning matematik ifodasini formulalar yordamida to'g'ri yoza olish qobiliyatlarini atroflicha shakllantirish demakdir;

v) Oquvchilarni matematik qonuniyatlar asosida real haqiqatlarni bilishga o'rgatish. Bu erda o'quvchilarga real olamda yuz beradigan eng sodda hodisalardan tortib to murakkab hodisalargacha hammasining fazoviy formalari va ular orasidagi miqdoriy munosabatlarni tushunishga imkon beradigan hajmda bilimlar berish kozda tutiladi.

Bunday bilimlar berish orqali esa o'quvchilarning fazoviy tasavvur qilishlari shakllanadi hamda mantiqiy tafakkur qilishlari yanada rivojlanadi.

J-jt

N /т^+^.-л^+.ь^ г, .,,^»-m' ,;•

Matematika o'qitishning tarbiyaviy maqsadi oz oldiga quyidagilarni qo'yadi:

ш

a) Oquvchilarda ilmiy dunyoqarashni shakllantirish. Bu g'oya bilish nazariyasi asosida amalga oshiriladi.

b) Oquvchilarda matematikani o'rganishga bo4gan qiziqishlarni tarbiyalash. Bizga ma'lumki, matematika darslarida o'quvchilar o'qishning dastlabki

kunlaridanoq mustaqil ravishda xulosa chiqarishga o'rganadilar. Ular avvalo kuzatishlar natijasida, so'ngra esa mantiqiy tafakkur qilish natijasida xulosa

lei

m ^ *Л>

S

«

>>

i >j> H )>

H*8>

! J>i>

>j*

I

M

>

! >S>

. vvTALOIN VA mTADQIQOTLAR

ilmiy-uslubry jumaH

№4 2022

chíqaradílar. Ana shu chiqarilgan xulosalar matematik qonuniyatlar bilan tasdiqlanadi.

Matematika o'qituvchisining vazifasi oquvchilarda mustaqil mantiqiy fikrlash qobiliyatlarini shakllantirish bilan birga ularda matematikaning qonuniyatlarini o'rganishga bolgan qiziqishlarini tarbiyalashdan iboratdir.

v) Oquvchilarda matematik tafakkurni va matematik madaniyatni shakllantirish. Matematika darslarida o'rganiladigan har bir matematik xulosa qat'iylikni talab qiladi, bu esa oz navbatida juda ko'p matematik tushuncha va qonuniyatlar bilan ifodalanadi. O quvchilar ana shu qonuniyatlarni bosqichma-bosqich o'rganishlari davomida ularning mantiqiy tafakkur qilishlari rivojlanadi, matematik xulosa chiqarish madaniyatlari shakllanadi. Oquvchilarni biror matematik qonuniyatni ifoda qilmoqchi bolgan fikrlarni simvolik tilda to'g'ri ifodalay olishlari va aksincha simvolik tilda ifoda qilingan matematik qonuniyatni oz ona tillarida ifoda qila olishlariga o'rgatish orqali ularda matematik madaniyat shakllantiriladi.

1. Kvadrat tenglama tushuncqhasiga ta'rif berilaylik.

■y

T a ' r i f . ax +bx+c=0 ko'rinishidagi tenglamalar tola kvadrat tenglama deyiladi. Bu erda x - o'zgaruvchi, a, b, c- ixtiyoriy o'zgarmas sonlar, a > 1.

2) Kvadrat tenglamaning xususiy hollari ko'rib chiqiladi. Buni jadval tarzida bunday ifodalash mumkin.

To'la kvadrat tenglama

jW^ y

q m*

!>3*:

»

* i ]>

j >j>

m

»

j

oR*

>

p>M

*s> ! >> pi j>

i >4>¡

M >

i >p

♦s > ûèt-

ax + bx + c = 0

Keltirilgan kvadrat Chala kvadrat tenglama

tenglama

x + px + q = 0 (b=0)V(c=0)V(b=0 A c=0)

ax2 + c = 0 ax +bx ax =0 =0

162

vH

i

»V>

ié* HM>

J>3*

)J jW >

?

1+4 >

3. Hosil qilingan keltirilgan va chala kvadrat tenglamalarga aniq misollar keltiriladi. Masalan,

2.x2 - 3x - 4 = 0, x2 - 5x - 6 = 0, 3x2 + 5x = 0, 2x2 + 7x = 0, 5x2 = 0, ...

4. Kvadrat tenglama tadbiqiga doir hayotiy misollar keltirish kerak. Masalan,

gt2 j s = — formula fizika kursidan bizga ma'lum, bu tenglamani echish gt -2s=0

ko'rinishidagi chala kvadrat tenglama holiga keltirib, so'ngra echiladi.

5. Kvadrat tenglamaning ildizlarini hisoblash formulasini keltirib chiqarish.

■y

1 - u s u l. ax + bx + c = 0 tenglama ildizlari topilsin. Buning uchun quyidagi ayniy almashtirishlarni bajaramiz:

m>

3*1 >

y

q

3 J>>r

y

q q

TALQIN VA TADQIQOTLAR

ilmiy-uslubiy JumaH

№4 2Q22

ax2 + bx + c = а

Г 2 b x 2 ч— x + c

— =a

a a

2 b c

x +2--x + —

2a a

=a

2 „ b b x + 2--x +

2a

4a2 4a2

=a

=a

2 „ b b

x + 2--x +

c

ч--

a

2

v

r

v

2a

4a

2

b — 4ac

2b

x ч--

2a

b

x + — 2a

b 2 — 4 ac

4a

b — 4ac

4a 2

= 0; a Ф О

4a2

b Vb2 — 4ac — 4ac

=--±-=--

2a 2a 2a

x1 = —

— b Wb2 — 4ac

2a

x 2 = —

— b — л! b2 — 4ac

2a

2- u s u l

ах + bx + c = 0 ax + bx = —c I * 4a, 4a2x2 + 4abx = -4ac | + b2, 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac, (2ax + b)2 = b2 - 4ac;

2axl2 + b = ±V b2 — 4ac — b ±Vb2 — 4ac

x1,2 =

x1 =

x2 =

2a

— b Wb2 — 4ac

2a

— b — V b2 — 4ac 2a

jW^ У

q ж**

!>3*:

>-*

л л

Аgаг ах +bx+c=0 da a=1 bo'lsa, x +bx+c=0 ko'гinishdagi kvadrat tenglama hosil bo'lib, uning echimlari quyidagicha bo'ladi:

— b ±v b2 — 4c _ — b = 2

x1,2 = '

■±

2

4

—c

Аgaг b=p; c=q desak, x+px+q=0 bo'ladi, uning echimlari

p

x1 =

+ .

2 1 bo'ladi. 3 - u s u l .

P — P ---q va x7 = -s-

4 2 2

т—q

2

x + px + q = 0

(1)

b = q; 2ab = p desak,

163

q

Ы >

ц

q > >

wi >

Ы:>

q

Ы >

>

q

>

И**

>

q

>

q > >

q щъ q

*4>

2

2

b

2

x

1.2

Шг

5*1 ]> 1 Ч>

TALQIN VA TADQIQOTLAR

ilmiy-uslubiy JumaH

№4 2Q22

>>

^ >3> 1

>3»

Ы >

ЩУ

Ы )> Ы*

Ы>

! >5>

i >>>

Ы )>

] >4>

\ й:> Щ

ш>

J:

kiír *ф>

pi j> ! Ш

Ы > i >j>

ЪЦ*

ûàï

b = ±yjq. a = ±

2jq

bularni (1) ga qo'ysak, u quyidagi ko'rinishni oladi.

0 (2)

jW^ У

q ж*

x2 + 2abx + b2

22

(2) ga а2х2 ni qo'shsak va ayiгsak x2+2abx+b2+a2x2-a2x2=0 bo'ladi,

\2 2 2 , 2

11 1 а x +2abx+b -

b = ±4q,

a = ±

a2x2+x2=0 yoki p edi, shuning uchun

щ>

?*íí >

(ax+b)2-a2x2+x2=0 belgilashga ko'гa

J" J,-

2jq

px 2^q

+

4ч

22

— J^x2 + x2 = О; 4q

шз>

d

(px + 2q)2 — p2 x2 + 4qx2 = О;

px + 2q = ± x^ p2 — 4q ;

2q = x(—p p2 — 4q ); 2q

x1,2 =

— p ±V p 2 — 4q

1 - m i s o l.

p

x

3x - 4 = 0; p = -3; q = -4

2 J

x1=4; x2=-1

2q

p 3 9 3 5

^--q =-± - + 4 = -±-;

4 2 V4 2 2

x1.2 =

2 • (—4)

—s

p ±д/ p2 — 4q 3 ±V 9 +16 3 ± 5'

x — — 4; — — 1; 1 — 2 2 8

2 - m i s o l.

p = -5; q ■■

2

x

в

x1.2 ='

2q

5x - в = 0;

2 • (—6)

12

p ±Vp2 — 4q 5 ±V25 + 24 5 ± 1:

—12 a

x1 =--= —1; x2 =-= 6;

1 12 2 — 2

j*<b> q > >

wi >

Ы:> и*-

q

Ш >

Ш >

q

>

^й >

»Ф>

и*-

*Ф> *

>

Kasr son tushunchasini kiritish va uni o'rgatish metodikasi

Butun sonlaг to'plamida har doim qo'shish, ayiгish, ko'paytiгish amallarini bajaгish o'гinlidiг, lekin bo'lish amali har doim bajaгilaveгmaydi. Chunki Ыг butun sonni ikkinchi butun songa bo'lganda har doim bo'linmada butun son hosil bo'lavermayda.

Masalan, 7:2 = 3.5, 9:4 = 2

1

\ Jäftr-

, Bu erda hosil qilingan bo'linmadagi 3,5; 2 ~, 44

sonlari butun sonlar to'plamida mavjud emas. Umuman olganda m x=n, m?0

q

m >

Ыъ

164

JffiTALQINVA 1

\-#TADOIOOTLAR Nod 2022

^imuvivuilhk N04 2022

^^ ¡ImlyuHuOiy jumali i»--r

' 1 J E" I -

ko'rinishdagi tenglamaning yechimi butun sonlar to'plamida har doim mavjud emas, bu tenglama har doim x = — ko'rinishdagi yechimga ega bo'lishi uchun kasr

m

tushunchasini kiritish orqali butun sonlar to'plamini kengaytirib, unga barcha manfiy

Г p p]

va musbat kasr sonlarni qo'shish kerak. Bu degan so'z {-—,0,—\ ko'rinishdagi

,1 iiJ

L 9 9.

ratsional sonlar to'plamini hosil qilish kerak deganidir. Shundagina mx=n ko'rinishdagi tenglamalar har doim yechimga ega bo'ladi. Bu erda r va q lar natural

sonlardir. Yuqoridagi mulohazalarga ko'ra ratsional songa quyidagicha ta'rif berish

p

mumkin: — ko'rinishdagi qisqarmas kasrga ratsional son deyiladi.

q

Endi kasr tushunchasini kiritish uchun foydalaniladigan misollarni ko'rib o'taylik.

Agar bir metr uzunlikdagi yog'ochni o'zaro teng ikki bo'lakga bo'linsa, u holda

bo'laklarning har birining uzunligi ana shu yog'och uzunligining yarmiga teng -

bo'ladi va uni - kabi yoziladi. Agar ana shu bir metr uzunlikdagi yog'ochni o'zaro 2

teng uch bo'lakka bo'linsa, u holda bo'laklardan har birining uzunlngi shu yog'och

uzunligining uchdan biriga teng bo'ladi va uni - kabi yoziladi. Xuddi shuningdek, - - - 3

4, 5, 6 ...

4 - 6

Agar bir metr uzunlikdagi yog'ochni teng uch bo'lakka bo'lib, undan ikki

2

qismini oladigan bo'lsak, olingan uzunligini - kabi yoziladi.

Agar ana shu yog'ochni to'rt bo'lakga bo'lib, undan uch qismini olsak, olingan

3

qism uzunligini - kabi ifodalanadi. Yuqorida qilingan mulohazalarga asoslanib kasr

4

tushunchasining ta'rifmi quyidagicha berish mumkin. Kasrlar uch хil bo'ladi:

1. To'g'ri kasrlar. 2. Noto'g'ri kasrlar. 3. O'nli kasrlar.

1. Agar kasrning surati uning maxrajidan kichik bo'lsa, bunday kasrlarni to'g'ri kasrlar deyiladi.

l 3 1 Masalan: 1, 3, 1 ....

*4> 2 4 6 jH*

2. Agar kasrning surati uning maxrajidan katta bo'lsa, bunday kasrlarni

5 7 17

noto'g'ri kasrlar deyiladi. Masalan, -, -, — ... .

2 4 5

3. Agar kasrning maxraji bir va nol sonlaridan iborat bo'lsa, bunday kasrlarni

o'nli kasrlar deyiladi. Masalan, — =0,1; — =0,01; ... . ^ y , 10 , ; 100 , ;

+H > q )> *

_____

M *4j>

TALQIN VA TADQIQOTLAR

ilmiy-uslubry jumali

№4 2022

Xulosa qilib shuni aytishimiz o'quvchilarni matematikada o'qitishda o'quvchilarga misollarni yechishda nazariy va amaliy bilimlarni birgalikda mujassamlashtirilgan holda o'quvchilarga tushunchlar berish.

Foydalanilgan adabiyotlar:

1. Algebra: 7-sinf uchun darslik (Sh.O.Alimov, Yu.M.Kolyagin, Yu.V.Sidorov, M.I.Shabunin) T., «O'qituvchi», 1996 yil.

2. Algebra: 8-sinf uchun darslik (Sh.O.Alimov, Yu.M.Kolyagin, Yu.V.Sidorov, M.I.Shabunin) T., «O'qituvchi», 1996 yil.

3. Algebra va analiz asoslari: o'rta maktablarning 10-11 sinflari uchun darslik (Sh.O.Alimov, Yu.M.Kolyagin, Yu.V.Sidorov, M.I.Shabunin) T., «O'qituvchi», 1996 yil.

4. Alixonov S. «Matematika darslarida umumlashtirish» T., «O'qituvchi», 1989 yil.

jW^ У

q ж**

ЩУ>

ü> <:>

L*

»4 > i>

Щ:

< >s#

Ы )> Ы*

Ы>

! >5> teil*

JH >

ъц Щ

! >1 l3>-

m>

Ы p

] Я>

Ы >

i >j>

+H >

л w> -

>> Ы*

166

q > > >

Ы:>

q

Ы >

q

Щ >

ж*'

Ш >

щз>

ж*

m > *

>

q

Ц >р

q > >

q

q >3*