CC BY
41
Литература
1. Делимарский Ю.К. Химия ионных расплавов / Делимарский Ю.К. - К. : Наукова думка, 1980. - 328 с.
2. Массоперенос при электролизе ионных расплавов / С.А. Воденников, В.А. Скачков, В.И. Иванов [и др.] // Теория и практика
металлургии. - 2007. - № 2-3 (57-58). - С. 135-138.
3. О влиянии распределения ионов в объёме расплава электролита на структуру и свойства покрытий пористых материалов /
С.А. Воденников, Г.И. Слынько, В.А. Скачков [и др.] // Новi матер1али i технологи в металургй та машинобудуванш. - 2008. - № 1. - С. 128-131.
Запропоновано споЫб побудови реконструкции високого порядку точностi на неструктурованих Ытках. Створено явну рiзницеву схему для чисельного ттегру-вання диференщальних рiвнянь у частко-вих похидних гiперболiчного типу. Виконано апробацю для ряду модельних задач
Ключовi слова: неструктурована ытка, метод контрольного об'ему, реконструкция, явна схема
Предложен способ построения реконструкции высокого порядка точности на неструктурированных сетках. Создана явная разностная схема для численного интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа. Выполнена апробация для ряда модельных задач
Ключевые слова: неструктурированная сетка, метод контрольного объёма, реконструкция, явная схема
A high-order reconstruction method on unstructured grids is presented. The explicit finite volume scheme for hyperbolic conservation laws is constructed. The numerical approbation is executed for several model tasks
Key words: unstructured grid, finite volume method, reconstruction, explicit scheme
УДК 519.63
ЯВНАЯ СХЕМА ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА НА НЕСТРУКТУРИРОВАННЫХ СЕТКАХ
А.В. Русанов
Доктор технических наук, заведующий отделом Отдел гидроаэромеханики энергетических машин Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного
НАН Украины
ул. Дм. Пожарского, 2/10, г. Харьков, Украина, 61046 Контактный тел.: (057) 752-33-88 Е-mail: [email protected]а
Д.Ю. Косьянов
Аспирант
Национальный технический университет «Харьковский
политехнический институт» ул. Фрунзе, 21, г. Харьков, Украина, 6100 Контактный тел.: (0572) 95-95-21 Е-mail: [email protected]
1. Введение
При моделировании различных физических процессов с помощью численного интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) гиперболического типа в областях сложной геометрической формы наиболее удобно выполнять отображение физической области на расчётную с помощью неструктурированной сетки. Такие сет-
ки допускают автоматизацию процесса построения и адаптации к решению (например, области больших градиентов и разрывных решений) [1, 2].
В большей части используемых вычислительных методов для неструктурированных сеток применяется линейная реконструкция, что обеспечивает порядок точности не выше второго [3, 4]. Однако, как показывает опыт, повышение порядка точности разностных схем может увеличить общую эффектив-
ность вычислительного процесса, в том числе и для неструктурированных сеток [5]. Кроме того, схемы низкого порядка аппроксимации требуют существенного измельчения сетки в областях нестационарных процессов (вихревых течений), но при этом все же не обеспечивают необходимой точности решений. Таким образом, повышение порядка точности является актуальной задачей [6].
Основные принципы построения вычислительных методов для неструктурированных сеток изложены в работах A. Harten & S. R. Chakravarthy [7], T.J. Barth & P.O. Fredrickson [3], C. Ollivier-Gooch [8], C.-W. Shu [5, 6], Z.J. Wang [9, 10] и других. Наиболее популярными являются схемы, опирающиеся на метод контрольного объёма, т.к. его применение обеспечивает локальное выполнение свойства консервативности для каждой ячейки.
В статье предложен подход к построению реконструкции произвольного порядка точности на неструктурированной сетке, на основе которого с применением метода контрольного объёма построена явная разностная схема высокого порядка аппроксимации по пространству. Выполнена численная оценка порядка аппроксимации реконструкции и порядка сходимости разностной схемы для ряда модельных задач.
2. Численный метод интегрирования модельных уравнений газогидродинамики
Рассматривается численное решение двухмерных дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа (модельные уравнения газовой динамики):
Эй + 9f(u) + ag(u) = h (u), (x,y)eQ,t > 0,
at Эх Эу 1 м у'
(1)
где s = [f,g], M = [A, B] =
df(u) 9g(u)
чается номер временного слоя. Для случая стационарного решения справедливо допущение 8и" = 8й" = й"+1 - й1.
Аппроксимация производной по времени определяется выражением
айр (1 +у)8йр° - у8йр°-1 dt ~ т .
в,у являются коэффициентами схемы.
Уравнение (2) после линеаризации потоков и замены производной по времени на соответствующее аппроксимирующее выражение примет вид
(1 + y)8uP" -y8u
— n-1
P
+ IP f(An ■ Пх+Bn ■ Пу)8updl = RSHp(un),
|P| dP
1
RSHp (un ) = hp - -- |(f" ■ nx+gn ■ ny ) dl.
IPI dP
(3)
(4)
где x,y,t - декартовы координаты на плоскости и время; и = и(х,у^) - искомое решение уравнения (1); f = f(и)^ = g(и) - потоковые функции; Ь = Ь(и) - правая часть уравнения; О - расчётная область с кусочно-линейной границей.
Уравнение (1) решается с применением метода контрольного объёма для неструктурированной сетки, при котором расчётная область О отображается на сетку Т = {Р}РеТ, состоящую из ограниченного числа произвольно расположенных (неупорядоченных между собой) многоугольников (ячеек) Р (треугольников, выпуклых четырёхугольников и т.д.). Рассматривается случай согласованной дискретизации, при котором пересечение двух различных ячеек либо отсутствует, либо является отрезком или точкой.
Дискретизация по времени. На временной оси задаётся сетка узлов вида ^ =т-п, т>0,пеНи{0}, т - шаг временной сетки. Линеаризация потоков выполнена следующим образом:
s = Р- sn+1 +(1 -в) sn = sn + Р-Мп8ип^ е^,^ ], Ре[0,1],
Разностная аппроксимация исходных уравнений в форме (3) - (4) в общем случае соответствует неявной трёхслойной схеме. Правая часть RSHP (ип) определяет явный оператор, а левая - неявный. При у = 0 схема является двухслойной по времени, а при в = 0 - явной схемой. Более подробное описание аппроксимации уравнения (3) и применение трёхслойной полностью неявной схемы с коэффициентами у = 12 и в = 1 описано в [11]. В статье будет рассмотрен случай явной двухслойной схемы первого порядка аппроксимации по времени, соответствующей у = 0 и в = 0.
Дискретизация по пространству. Граница ячейки
пр
РеТ задаётся набором из пр рёбер, т.е. ЭР = ^Г,. Ин-
1=1
теграл в (4) по свойству аддитивности принимает вид
Пр
/(Р ■ Пх + gn ■ Пу)(Ц = £/(Р ■ Пх+gn ■ Пу)(Ц.
ЭР 1=1 г,
Параметризация ребра Г, задаётся линейной функ-
цией
r(1)+ r(2) r(2)- r(1) r (Г ,,s) = ^- + s ■^-i ,r = [x,y],s e[-1,1],
2
2
где г^1),г]Г2) - координаты вершин ребра в порядке, согласованном с ориентацией ребра к внешней нор-
,1 ^(х<2)-х«)2 + (уГ2) - у]))2 - длина
мали. При этом Г,^^/(хГ'-xj-/) +
(2) (1)
* Г уГ У Г)
ребра Г,; nxi = —^ 1
(x^- x?))
Г
Г
- компо-
ненты вектора внешней единичной нормали. После применения параметризации интеграл в (4) определяется как
<|(Г ■ Пх +gn ■ Пу)( =
ЭР
Пр |г I 1
= 1 ^(и (х (Г ,^),у (Г ))■ Пх,, +
1=1 2 -1
, 8un = un+1 -un.
Эи Эи
Введенные сокращения означают, что линеаризация для потока f получается в случае s = f и М = А, а для потока g при s = g и М = В . Верхним индексом обозна-
+g (u (x (Г ,,s),y (Г1,s),tn ))■ ny,, )ds.
Приближенное вычисление искомых интегралов с необходимым порядком точности обеспечивает трёх-точечная квадратурная формула Гаусса [4]
T
j q (u (x (ri,s),y (Г ¡,s),tn ))ds » -i
»t j (u (x (ri,Sj ),У (r ¡,Sj),tn )),q = [f,g],
j=i
8 5 5 ¡3 ¡3
^ = —, = —, = —, S = 0, S, = 4 —, ^ = -J —.
1 9 2 9 3 9 1 2 V5 3 V5
Тогда явный оператор (4) примет вид
^ (п"ьр -^|(£(и»). ^ + g(и»). Пу4), (5)
где и" = и(х(г¡^),у(г¡^),t") - значение неизвестной функции в точках интегрирования на грани ячейки. Для определения этого значения необходимо построить реконструкцию нужного порядка точности по заданным осредненным величинам { пр }реТ. Исходными данными для определения и" являются два интерполированных в точку (х(г¡^),у(г^)) значения: и"ь из Р и и^ из р (рис. 1). Здесь р - смежная по 1 -му ребру ячейка. Величина и" находится из условия обеспечения «разностей против потока»:
и^при М+пу4В)|ц=к+ц„ ]/2 *0,
И^ПРИ^А + ПУ^В)|и=(и„ +и„ у2
un =
< 0.
Рис. 1. Схема определения значений функции в точках интегрирования
3. Реконструкция
Для создания схем высокого порядка аппроксимации по пространству необходимо построить реконструкцию переменных внутри ячейки [3, 4, 8]. В работах Harten & Chakravarthy [7] и Carl Ollivier-Gooch [8] определены следующие основные свойства, которым должна удовлетворять полиномиальная реконструкция:
• реконструкция является гладкой функцией внутри каждой ячейки и разрывной на гранях со смежными ячейками;
• везде, где исходная функция u(x,y) является гладкой, реконструкция R(x,y) удовлетворяет «свойству аппроксимации»
R (x,y)= u(x,y) + dk,
где k - порядок аппроксимации реконструкции, d - линейный размер ячейки;
• при использовании осредненных по ячейке значений как исходных данных, реконструкция должна удовлетворять свойству консервативности
Rр = иР,Р еТ;
• реконструкция строится по однотипному шаблону;
• реконструкция удовлетворяет принципу ENO (существенного не осциллирования), т.е. не способствует появлению существенных осцилляций вблизи разрывов и локальных экстремумов исходной функции.
По аналогии с [3, 7, 8], в работе применена кусочно-полиномиальная реконструкция, заданная многочленом Тейлора степени (к -1), записанным относительно центра ячейки, где к - порядок точности схемы. Для случая 4-го порядка аппроксимации вид реконструкции следующий:
R (х,у) = йр + Хр (и х )р + Ур (и у )р +
xp - Ixx
(U xx )p +[xpyp - Ixy ](Uxy )p + УР-1уУ (U yy )
x3 -I
p xxx
xpyp Ixyy
(Uxxx )p +
(uxyy )]
xpyp - Ix
2
yp - Iyyy
(Uxxy )p (u yyy )p
л — n+1—m
I = 1 j Ьи^и ^ |p| £ n + 1
^ xp = x - xp,yp = y - Уp,
где хр,ур - координаты центроида ячейки реТ, и¥ - значения аппроксимированных производных, ¥ = [х,у,хх,ху,уу,...
Для удовлетворения «свойства аппроксимации» R(х,у) = и(х,у) + dk необходимо выполнение следующих условий:
(и ¥ )Р = (и¥ )р+0 (d), V=[xxx, xxУ, xyy, ууу],
(u ^ )p=К )p+O (d2 ) ^=[xx, xy, yy ],
V/р
(и¥)р = (иу)р + 0(d3),¥ = [х,у] .
Таким образом, для построения реконструкции нужно определить неизвестные производные с заданным порядком аппроксимации. Как известно [5, 12], по трём точкам на плоскости, образующим треугольник, можно построить линейную реконструкцию, которая позволяет найти значения их и иу с первым порядком точности по пространству. Для текущего контрольного объёма р рассмотрим »р его соседей: р1,_,р . По тройке ячеек р,р,р , центры которых образуют треугольник, с помощью первых разностей определяются значения первых производных с первым порядком точности:
ypjupi - ypuP с xpup(- xp(up
о„^; = —-:-Ч оyup ■ j = -
А
pij
Ad
(6)
Apij = xpiypj - xp ypi ,ups = ups - up,s = [ij].
Общее число таких троек тр для ячейки р зависит от её формы и расположения смежных ячеек. По аналогии с работами [5, 8] для каждой используемой тройки определяются неотрицательные весовые коэффициенты юр^ > 0,7 = [х,у], удовлетворяющие свой-
тр
ству нормировки ХЧ^вдц = 1.
+
+
2
+
+
6
+
+
2
6
k=1
Весовые разности записываются как:
тр тр
5хир = ЕшРХ,)(к)о(к)5хир,1(к)^(к), 5уир = ХшРУ.)(к),л(к)5уиР,1(к):(к). (7) к=1 к=1
Для вычисления производных с заданным порядком точности необходимо сохранить коэффициенты разложения (7) для производных до третьего порядка включительно.
Вторые разности, построенные по р,р.,р,, имеют вид
8ххир,.,; =
8*уир,и=Т х
Ур8хир -Ур8хир
д.
Р1л
Ур8уиР. - Ур. 8уир д
"(1 -У ху ^
хр8хир,- хр8хир
(8)
8 ууир,., =
хр8уир - хр, 8уир.
где уху - коэффициент интерполяции между двумя способами вычисления второй смешанной производной. По аналогии с первыми разностями определяются неотрицательные весовые коэффициенты юр^ >0,7 = [хх,ху,уу]. Вторые весовые разности и их
разложения имеют вид
тр
Дххир = Еюрх^ххи^, Дхуир = Хюрху]8хуир,.;,
8 и" Д и
хх хх
8 и = А-1 Д и
ху ху
8 и Д и
_ уу . р _ уу _
д ууир = Ею(рУу)8 ууир,.,, к=1
В (9) А-1 определяется из выражения + O(d),
(9)
Д и и
хх хх
Д и =А и
ху ху
Д и и
_ уу _ р _ уу _
полученного при разложении вторых весовых разностей в ряд Тейлора относительно точки р с учётом коэффициентов разложения первых разностей. Число уху может быть использовано для обеспечения существования А-1. Как и ранее коэффициенты разложения (9) хранятся и используются в дальнейших вычислениях.
Процедура построения разностей более высокого порядка аналогична ранее изложенной и содержит шаг построения вспомогательных выражений 8¥ир.,, шаг весового осреднения с определением Д¥ ир и шаг коррекции, в результате которого рассчитываются
8¥ ир.
После определения 8¥ир всех порядков (первых, вторых, третьих и т.д.) вычисляются производные с нужным порядком точности методом рекурсии, начиная с производных более высоких порядков. Так, для производных до третьего порядка эта процедура имеет вид
Г8 и 1
ххх
8 и
хху
8 и
хУУ
8 и
_ ууу _
ихх 8ххи
иху = 8хуи
иуу _ 8ууи
- в
8хи
8уи
- С
-O(d3)
где В, С - матрицы коэффициентов разложения. Описанный подход применим как для случая значений, заданных в центрах ячеек, так и для осредненных по контрольному объёму.
Минимизация производных. Для обеспечения нелинейной устойчивости явной схемы (уменьшения возможных осцилляций решения) предлагается использовать минимизацию производных:
(и ¥)р = ттт°^(и¥)р,(и ¥)р,^,(и ¥)рп
¥ = [х, у, хх, ху, уу, ххх, хху, хуу, ууу] где
0, аЬ < 0, minmod(а,Ь) = < а, |а| < |Ь|, аЬ > 0, Ь,|Ь| < |а|,аЬ > 0, тш mod (а, Ь,с) = тш mod (тш mod (а,Ь) ,с),
(и ) - значение соответствующей интерполиро-
V ¥' р.
ванной производной из соседней . - й ячейки:
(и¥ )р = (и¥ )р , ¥ = [ххх,ххУ,хУУ,УУУ];
(и¥ )р = (и¥ )р + (хр - хр )(и¥х )р + (Ур - Ур ) (и¥У )р ,
¥ = [хх,ху,уу];
(и¥ )р = (и¥ )р + (хр - хр )(и¥х )р + (Ур - Ур ) (и¥У )р +
\2
(хр - хр. )
(и¥хх ^ + (хр - хр. )(ур - Ур.)(и¥ху ^ +
2 ^ ' /р 2
(ур- Ур.) г \ г 1
+ "-(и ¥УУ ) , ¥ = [х,у].
Таким образом, при минимизации из предложенного набора аппроксимаций выбирается значение наименьшее по модулю.
и
и
и
и
и
+
и
у
у
д
т
к=1
к=1
т
р
р
4. Численные результаты
Численное тестирование предложенного подхода выполнялось для гладких функций. Оценивались порядки аппроксимации реконструкции и сходимости решений.
Оценка порядка аппроксимации реконструкции. Рассмотрены реконструкции двух функций:
• f (x,y) = x3 + 5x2y + xy2 -3y3 + 3x + y +1;
• f2 (x,y) = sin(2n(x + y))sin(2n(x - y)),
в расчётной области Q = {(x,y):xe[0,1],y e[0,1]} . Для дискретизации выбраны три типа разностной сетки: структурированная Q1 (рис. 2, а), регулярная неструктурированная Q2 (рис. 2, б) и нерегулярная неструктурированная Q3 (рис. 2, в). Оценка порядка аппроксимации реконструкции выполнялась в следующей последовательности:
• по заданной аналитической функции вычисляются точные значения в центрах масс ячеек или осреднённые значения функции для сеток разных размерностей;
• по полученным точным значениям строится реконструкция в каждой ячейке;
• вычисляются отклонения значений реконструкции от точных значений в пробных точках (рис. 2, г);
• вычисляются сеточные нормы L1,L2,Cmax и оценивается численный порядок аппроксимации.
a)
б)
в) г)
Рис. 2. Разностные сетки и схематическое расположение пробных точек: а) ; б) 02; в) ; г) пробные точки (в выделенной области)
Проверка выполнена для трёх уровней (размерностей) сетки. При увеличении номера уровня сетки число ячеек увеличивается в 4 раза, а диаметр - уменьшается в 2 раза. Параметры сеток для первого уровня приведены в табл. 1.
Таблица 1
Параметры сеток первого уровня
Тип сетки Число ячеек Диаметр сетки
Q1 1024 3,125e-02
q2 1024 6,250e-02
Q3 768 6,386e-02
Для рассматриваемых функций построены реконструкции 3-го и 4-го порядков аппроксимации по пространству, использующие осреднённые значения по ячейке. На границе расчётной области задано точное значение функции.
Порядок аппроксимации реконструкции при переходе с уровня на уровень (уменьшении диаметра сетки) оценивался по трём стандартным сеточным нормам Ь1,Ь2 и Стах
' N к1+1 = ч '
ln
1"(2) '
где N - значение сеточной нормы на 1 -м уровне сетки. В табл. 2-5 представлены результаты численного исследования.
Таблица 2
Порядок аппроксимации для ^ . Реконструкция 4-го порядка
Уровень сетки
s и 2 S 1 2 3
ет с п E^ р о я п £ Значение нормы Значение порядка Значение нормы Значение порядка Значение нормы Значение порядка
Ц 3,58e-15 - 6,94e-15 - 1,43e-14 -
Q1 L? 5,82e-15 - 1,14e-14 - 2,36e-14 -
C 3,73e-14 - 1,05e-13 - 2,31e-13 -
4 4,62e-14 - 6,72e-14 - 7,16e-14 -
Q, L? 1,57e-13 - 1,72e-13 - 1,45e-13 -
C 5,35e-12 - 1,12e-11 - 1,14e-11 -
L1 2,90e-14 - 6,02e-14 - 1,19e-13 -
Q3 L? 5,03e-14 - 1,03e-13 - 1,96e-13 -
c 6,18e-13 - 1,10e-12 - 3,84e-12 -
Таблица 3
Порядок аппроксимации для f . Реконструкция 3-го порядка
Уровень сетки
s a ы S 1 2 3
ет с п р о н п £ Значение нормы Значение порядка Значение нормы Значение порядка Значение нормы Значение порядка
1,37e-04 - 1,73e-05 2,98 2,18e-06 2,99
q4 1,56e-04 - 1,97e-05 2,99 2,47e-06 2,99
C 2,94e-04 - 3,68e-05 3,00 4,60e-06 3,00
L1 1,30e-04 - 1,63e-05 2,99 2,05e-06 2,99
q2 L? 1,61e-04 - 2,02e-05 2,99 2,53e-06 2,99
Cmax 4,79e-04 - 5,99e-05 3,00 7,49e-06 3,00
L1 1,62e-04 - 2,07e-05 2,97 2,61e-06 2,99
Q3 l9 1,99e-04 - 2,54e-05 2,98 3,20e-06 2,99
Cmax 6,56e-04 - 8,25e-05 2,99 1,03e-05 3,00
Математика и кибернетика - фундаментальные и прикладные аспекты
Таблица 4
Порядок аппроксимации для f2. Реконструкция 4-го порядка
Тип сетки Тип нормы Уровень сетки
1 2 3
Значение нормы Значение порядка Значение нормы Значение порядка Значение нормы Значение порядка
Qj L, 1,35e-03 - 5,63e-05 4,58 2,64e-06 4,42
L2 1,73e-03 - 8,18e-05 4,40 3,94e-06 4,38
с 5,46e-03 - 3,61e-04 3,92 2,29e-05 3,98
Q2 L, 9,21e-04 - 4,81e-05 4,26 2,71e-06 4,15
L2 1,39e-03 - 7,44e-05 4,22 4,06e-06 4,20
с max 4,89e-03 - 3,24e-04 3,92 2,05e-05 3,98
Q3 Lj 1,10e-03 - 5,48e-05 4,33 2,80e-06 4,2
L2 1,52e-03 - 8,17e-05 4,22 4,10e-06 4,32
с max 7,19e-03 - 5,55e-04 3,70 3,83e-05 3,86
Таблица 5 Порядок аппроксимации для f2. Реконструкция 3-го порядка
Тип сетки Тип нормы Уровень сетки
1 2 3
Значение нормы Значение порядка Значение нормы Значение порядка Значение нормы Значение порядка
Qj Lj 4,07e-03 - 4,86e-04 3,07 6,02e-05 3,01
L2 4,84e-03 - 5,80e-04 3,06 7,23e-05 3,01
с 1,03e-02 - 1,34e-03 2,94 1,73e-04 2,96
q2 Lj 3,82e-03 - 4,98e-04 2,94 6,32e-05 2,98
L2 4,83e-03 - 6,32e-04 2,94 8,03e-05 2,98
с 1,20e-02 - 1,65e-03 2,86 2,11e-04 2,96
Q3 Lj 4,32e-03 - 5,41e-04 3,00 6,77e-05 3,00
L2 5,47e-03 - 6,93e-04 2,98 8,74e-05 2,99
с max 1,73e-02 - 2,44e-03 2,82 3,12e-04 2,97
Рассмотрены два варианта задачи с H, для которых существует стационарное решение:
• Testf H(x,y) = 2Пsin(2n(x + ^ •
u (t,x,y) = sin (2n ■ x) ■ sin (2n ■ y)
• Test2. H(x,y) = 0, u (t,x,y) = sin (2n(x - y)). Расчеты выполнены для пяти уровней сетки. Порядок сходимости численного решения к точному при переходе с уровня на уровень оценивался по сеточным
нормам Li, L2 и Cmax
' NV
ln
k'+1 = -
Ь (2)
Расчёты выполнены по явным схемам с числом Куранта у = 0,25. Итерации по времени проводились до получения стационарного решения. На рис. 3 и 4 приведены графики сходимости в логарифмической шкале для первого и второго тестовых расчётов соответственно. Расчёты с применением процедуры минимизации производных изображены пунктирной линией, а без неё - сплошной.
а)
б)
в)
Из табл. 2 видно, что реконструкция 4-го порядка является точной для функции ^ . В целом, порядок аппроксимации, полученный численно, хорошо согласуется с теоретическим и является однородным (существенно не зависит от типа сетки), а значение норм увеличивается с ростом степени нерегулярности сетки.
При проверке численного порядка аппроксимации для других граничных условий и порядков реконструкции численные результаты также хорошо согласуются с теоретическими.
Оценка порядка сходимости схемы. Тестирование схемы выполнялось на модельной двухмерной (по пространству) задаче для линейного уравнения переноса и + их + иу = Н, (х,у)бО, где и = и(^х,у) - искомое решение задачи. Начальные условия определяются выражением и(0,х,у) = ф(х,у),(х,у)ей. На участках границы АВ и ВС расчётной области заданы граничные условия в виде значений точного решения задачи (см. рис. 2, а).
д)
е)
ж) з) и)
Рис. 3. Графики сходимости для Test 1 а, г, ж) - в норме L4; б, д, з) - в норме L2 ; в, е, и) - в норме Cmax ; а, б, в) - Q4; г, д, е) - Q2; ж, з, и) - Q3
г)
Е
Восточно-Европейский журнал передовых технологий 5/4 ( 47 ) 2010
а)
б)
в)
Д)
е)
ж) з) и)
Рис. 4. Графики сходимости для Test 2 а, г, ж) - в норме L1; б, д, з) - в норме L2 ; в, е, и) - в норме Cmax ; а, б, в) - Q1; г, д, е) - Q2; ж, з, и) - Q3
Из представленных результатов видно, что значения порядков сходимости (наклон графика кривой) существенно не зависит от типа сетки, а значение численных норм увеличивается с увеличением степени нерегулярности сетки. Порядок сходимости схем, использующих минимизацию пространственных производных, в целом на единицу меньше порядка сходимости схем без минимизации и близок к значению степени полинома реконструкции.
5. Выводы
В статье предложен подход к построению реконструкции произвольного порядка точности на неструктурированной сетке. Расчёт значений производных выполняется пошагово, благодаря чему размерности матриц, обращаемых при их определении, уменьшаются. Численная оценка порядка аппроксимации реконструкции для гладких функций хорошо согласуется с теоретическим порядком и является однородной
(существенно не зависит от типа сетки), а значение сеточных норм увеличивается с ростом степени нерегулярности сетки. На основе реконструкции и с применением метода контрольного объёма построена явная разностная схема высокого порядка аппроксимации по пространству. Использование минимизации производных для предотвращения появления существенных осцилляций решений приводит к понижению порядка сходимости до степени полинома реконструкции. В дальнейшей работе предполагается проверка численной схемы при моделировании разрывных решений, для чего планируется повышение её порядка аппроксимации по времени и применение весовых коэффициентов как анализаторов гладкости.
Литература
1. Venkatakrishnan V. A perspective on unstructured grid flow
solvers // AIAA, Aerospace Sci. Meeting № 33 - 1996. - v. 34. - P. 533 - 547.
2. Болдарев А. С. К решению гиперболических уравнений
на неструктурированных сетках / А.С. Болдарев, В.А. Гасилов, О.Г. Ольховская // Математическое моделирование - 1996. - № 3 (8). - С. 51 - 78.
3. Barth T.J. High-Order Solution of the Euler Equations on
Unstructured grids Using Quadratic Reconstruction / T.J. Barth, P.O. Fredrickson // AIAA, Aerospace Sci. Meeting № 31 - 1993. - 15 p.
4. Aboiyar T. High-order WENO finite scheme using polyharm-
onic spline reconstruction / T. Aboiyar, E. H. Georgoulis, A. Iske// Proc. of the intern. conf. NAAT - 2006. - P. 1 - 14.
5. Shu C.-W. Weighted Essentially Non-oscillatore Schemes
on Triangular meshes / C. Hu, C.-W. Shu // J. of Comp. Phys - 1999. - v. 150. - P. 97 - 127.
6. Shu C.-W. High order finite difference and finite volume
WENO schemes and discontinuous Galerkin methods for CFD // Intern. J. of Comp. Fluid Dynam. - 2003. - v. 17. - P. 107 - 118.
7. Harten A. Multi-dimensional ENO schemes for general
geometries / A. Harten, S. R. Chakravarthy // ICASE Report - 1991. - №. 91-76. - 68 p.
8. Ollivier-Gooch C. Quasi-ENO Schemes for Unstructured
meshes based on unlimited data-depend least squares reconstruction // J. of Comp. Phys - 1997. - v. 133. - P. 6 - 17.
9. Wang Z.J. A high-order spectral (Finite) volume method for
conservation laws on unstructured grids / Z.J. Wang, Yen Liu // AIAA Paper - 2002. - P. 1 - 13.
10. Wang Z.J. Multi-dimensional Spectral Difference method for unstructured grids /Y. Liu, M. Vinokur, Z.J. Wang // AIAA, Aerospace Sci. Meeting № 43 - 2005. - P. 1 - 12.
11. Русанов А. В. Неявная схема для численного интегрирования уравнений гиперболического типа на неструктурированных сетках / А.В. Русанов, Д.Ю. Косьянов // Пробл. машиностроения - 2010. - № 3. - С. 30 - 37.
12. Елизарова Т.Г. Аппроксимация уравнений квазигазодинамики на треугольных сетках / Т.Г. Елизарова, В.В. Серёгин // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. - 2005. - №4. - С. 15 - 18.
г)
