CC BY
70
УДК: 616.314+616.314.17-008.1+616.314.2)-073.178 ЯКІСНА КАРТИНА НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНОГО СТАНУ СИСТЕМИ «ЗУБ-ПЕРІОДОНТ-ЩЕЛЕПА» В УМОВАХ ФУНКЦІОНАЛЬНОГО НАВАНТАЖЕННЯ В.Ф.Макєєв, Л.С. Лещук1, В.Д. Вовк2 Львівський національний медичний університет ім. Данила Галицького Львівський національний університет ім. Івана Франка
Резюме
В данной работе с использованием высокоточных законченноэлементных моделей трехмерной задачи теории упругости оценено влияние уровня жесткости слоя периодонта на качественную картину напряженно-деформированного состояния системы «зуб-челюсть» в условиях функциональной нагрузки. Кроме подтверждения полной несостоятельности моделирования живого зуба без учета геометрических и физико-механических параметров периодонта констатирована
оптимальность определенных природой показателей его жесткости относительно деформирующих свойств пародонтальных тканей.
Ключевые слова: биомеханика в стоматологии, 3D- метод
законченных элементов, многослойные структуры зуба.
Summary
The impact of periodontal layer roughness on qualitative picture of the tension-deformed condition of tooth-jaw system under functional loading has been evaluated in the research, using high precision finite element models of three-dimensional problem of elasticity theory. Complete failure of vital tooth modeling without the consideration of geometric and physical and mechanical parameters of the periodontium has been confirmed.
Key words: biomechanics in dentistry, 3D FEM, multilayed tooth structures.
Література
1. Vandana K. L. Finite Element Method - Perio-Endo Concept / K. L. Vandana, M.Kartik // Endodontology. - 2004. - Vol.16(2). - P. 38-41.
2. Zienkiewicz O.C. The Finite Element Method/ O.C. Zienkiewicz,
R.L.Taylor// Butterworth-Heinemann, Oxford. - 2000.- Vol. 3: The Basis, fifth edition.
3. Лещук С.Є. Тестування нової технології зубного протезування методами комп’ютерного моделювання / С.Є . Лещук, В.Д. Вовк // Вісник Львівського університетуту. Сер. прикл. математика та інформатика.- 2005.-№ 6.- C. 166-177.
4. Мандзюк Т.С. Огляд проблем комп’ютерного моделювання біомеханічних систем у стоматології / Т.С. Мандзюк, В.Д. Вовк // Вісник Львівського університетуту. Сер. прикл. математика та інформатика. - 2008.- №14.- С.105-122.
5. Матвійчук О.Я. Некаріозні пришийкові ураження як наслідок функціональних зубо-щелепових патологій: автореф. дис. на здобуття наук. ступеня канд. мед. наук: спец. 14.01.22. «Стоматологія»/О.Я. Матвійчук.- Львів, 1997. - С.7-13.
6. Чуйко А.Н. О возможностях конечно-элементного моделирования в ортопедической стоматологи /А.Н. Чуйко// Стоматолог. - 2000.-№3.-С.36-37.
7. Чуйко А.Н. О роли и возможностях биомеханического анализа в имплантологии /А.Н. Чуйко, В.Е. Вовк // Стоматолог. - 2004.-№ 6.- С. 32-37; № 7.- С. 32-34.
Складна неканонічна геометрія біологічних конструкцій дозволяє встановлювати лише локальні залежності модулів пружності від просторових координат. Це потребує використання числових методів, які
дають можливість досить точно відтворювати внутрішню шарувату будову об’єкта.
Практично важливим напрямком складних задач біомеханіки є сфера стоматології. Висока твердість функціональних компонент зубощелепної системи людини дає підстави розраховувати на ефективне застосування вже добре розвиненого апарату механіки твердого тіла [7]. Утім, перші ж спроби залучення до аналізу цих задач співвідношень теорії опору матеріалів і теорії пружності вказали на критичну залежність отримуваних розв’язків від точності моделювання геометрії досліджуваних об’єктів. Через це серед сіткових підходів найпопулярнішими стали скінчено-елементні моделі, які добре відтворюють нерегулярні форми людського зуба [6]. Значні труднощі тут викликають лише їхні надзвичайна громіздкість і працезатратність, які необхідно узгоджувати з наявними потужностями обчислювальної техніки.
Окрему проблему в моделюванні зубощелепної системи складає прошарок періодонту, за допомогою якого корінь зуба утримується в альвеолярній лунці. У живому зубі його матеріал є доволі м’яким, що захищає пористий матеріал кістки від руйнування значно твердішим коренем. Попри відносну тонкість шару періодонту його вплив на загальний розподіл внутрішніх напружень у системі загальновизнаний. Величина цього впливу з використанням різноманітних підходів оцінюється в багатьох працях [1,2,4]. Істотні розходження у висновках указують на значну залежність розв’язків від вибору тієї чи іншої математичної моделі. Отож адекватних оцінок слід очікувати лише в разі досягнення моделлю деякого, на сьогодні ще остаточно не встановленого критичного рівня складності.
Наше дослідження є одним із кроків на цьому шляху. В умовах тривимірної моделі теорії пружності досить детально відтворено геометрію внутрішньої багатошарової структури зуба. На відміну від
багатьох сучасних праць на цю тематику, що застосовують готові універсальні програмні комплекси, наше дослідження здійснене на власному програмному забезпеченні, що дозволило спеціалізувати якісні параметри скінчено-елементної моделі системи «зуб-щелепа» в напрямі використання високоточних апроксимацій методу скінченних елементів (МСЕ) на сітках, які цілеспрямовано згущувались у місцях концентрацій напруженого стану.
Таким чином із достатньою точністю оцінено вплив періодонту саме з позицій внутрішньої взаємодії шарів зуба, що особливо важливо в умовах значної різниці в їхній твердості.
Отримані в роботі результати ставлять під сумнів певні висновки досліджень математичних моделей, що не враховують малу жорсткість прошарку періодонту.
Матеріал і методи дослідження
Фізична модель
За допомогою прямокутного паралелепіпеда виокремимо область, що включає різець і частину верхньої щелепи, що безпосередньо з ним контактує (рис .1).
Рис. 1. Конструкційна схема фізичної моделі різця
Висоту паралелепіпеда підберемо так, щоби він вирізав ділянку кістки щелепи далі кореня на висоту приблизно в третину його довжини. Вестибулярна й оральна частини альвеолярного відростка паралелепіпедом охоплюються повністю, а його боками зубна дуга ділиться по серединах віддалі до сусідніх зубів.
Взаємодію вирізаного сегмента з рештою області моделюємо умовами відсутності переміщень у напрямку осі зубної дуги на бокових гранях паралелепіпеда та жорстким закріпленням його нижньої грані.
Внутрішня структура досліджуваної системи охоплює емаль коронки зуба, дентин коронки та кореня, пульпу, альвеолярну частину кістки щелепи і шар періодонту. Матеріали фізичної моделі приймаються ізотропними з наступними пружними показниками (табл.1).
Таблиця 1
_______Механічні властивості матеріалів зубів_____
Шари зуба Модуль Юнга (MPa) Стала Пуасона
Кістка 2х103 0,3
Емаль 8х104 0,3
Дентин 2х104 0,3
Пульпа 2,03 0,45
Періодонт 5 х100 -2х104 0,45
Абсолютна більшість відомих публікацій із застосування методу скінчених елементів (МСЕ) для розрахунку напруженого стану стоматологічних об’єктів опирається на використання вже готових програмних МСЄ-пакетів, таких як «ANSYS», «SOLIDWorks»,
«COSMOSWorks» та ін. Утім, за доволі широку їх універсальність щодо геометрії досліджуваних об’єктів доводиться платити надмірними затратами на відтворення скінчено-елементними моделями специфічних форм зубощелепної системи. Через це відповідність моделей деталям
реальної геометрії (особливо внутрішних шарів) у багатьох дослідженнях залишає бажати кращого. Частково проблему розв’язують за допомогою технологій 3D- сканування, але значною перепоною на цьому шляху залишається недоступність для нього внутрішніх структур.
Математична модель
Рис.2. Тривимірна система для створення математичної моделі
Нехай досліджувана система займає тривимірну зв’язну область W з кусково-гладкою границею г = гуу ги (рис.2.). Використання співвідношень теорії пружності приводить до наступної крайової задачі:
знайти вектор переміщень и = ( их, иу, uz )є W, та компоненти тензорів
напружень і деформацій а1}, є г] такі, що задовільняють:
г _
= 0
dxf
S = Є
в W в W
s cos(п Хг ) = Fj на rs и = 0 на Ги
рівняння рівноваги закон Гука
умови навантаження умови закріплення
Умови контакту емалі з їжею забезпечують абсолютне переважання нормальних напружень на її поверхні над дотичними, тому вказані умови навантаження на зуб моделюють нормальний до поверхні контакту тиск.
Умови закріплення включають повну відсутність переміщень точок нижнього зрізу ділянки, що розглядається, та нульові переміщення точок бокових зрізів по нормалі до їх площини.
Для застосування МСЕ з використанням методу Г альоркіна побудовано відповідний варіаційний аналог даної задачі. Апроксимацію переміщень у ньому виконано з використанням ізопараметричних сирендипових апроксимацій другого порядку на криволінійних шестигранниках [3].
Програмне забезпечення
Принциповою задачею, яку вирішували, була розробка
спеціалізованого до складної геометрії стоматологічних об’єктів алгоритму побудови сітки скінчених елементів. Він мав враховувати специфічні для цієї області проблеми:
1. Мінімально достатні скінчено-елементні моделі багатошарових тривимірних конструкцій балансують на грані можливостей доступних на сьогодні обчислювальних установок.
2. Жорсткі обмеження на густину сітки призводять до вимушеного збільшення розмірів деяких скінчених елементів в окремих напрямках, що робить апроксимацію розв’язків на них надто чутливою до форми елементів.
3. Нестійкість просторових апроксимацій унаслідок грубої дискретизації є джерелом появи несправжніх концентрацій напруженого стану. У тривимірних тілах їх пошук і перевірка є украй затратними, найбільше через необхідність рекурентної процедури корекції сітки скінчених елементів.
В основу гнучкості алгоритму просторової дискретизації у розробленому авторами спеціалізованому програмному забезпеченні «DENTA-FEM.3D» покладено властивість ізопараметричності
використаних у ньому сирендипових апроксимацій. Вони забезпечують простий і надійний механізм поділу довільного криволінійного шестигранника (суперелемента) на скінчені елементи. Це дає змогу подати досліджуваний об’єкт у вигляді простого набору суперелементів, а алгоритм їх об’єднання в єдину сітку зробити рекурсивним. У такий спосіб задача спеціалізації вхідних під геометрію стоматологічних об’єктів на рівні інтерфейсу користувача значною мірою автоматизується. Крім того, сирендипові апроксимації за рахунок серединних вузлів дають змогу легко адаптувати сітку елементів до структури напруженого стану, що вкрай важливо в умовах дефіциту обчислювальних ресурсів.
У нашій роботі наведено результати дослідження системи біологічних шарів, яка засобами «DENTA-FEM.3D» описується множиною з 52-х суперелементів (рис. 3а), на основі яких згенеровано сітку з 678 скінченних елементів (1235 вузлів) (рис.3б). Передбачена можливість згущення сітки для уточнення результатів у потрібних областях: максимальні напруження, тонкі стінки твердих шарів, стики різних середовищ тощо.
а
б
Рис. 3. Просторова дискретизація: а) сітка суперелементів; б) сітка скінчених елементів
Експеримент здійснений за двома головними напрямками прикладення зусиль, які репрезентують фізіологічні процеси жування: вертикальним та горизонтальним. Для цього на відповідних ділянках оклюзійної частини емалі (рис. 4) задаватимемо нормальний тиск Р (тиск перпендикулярний до поверхні). Інтенсивність тиску всюди обираємо однакову, оскільки в умовах лінійності моделі результати легко перерахувати на довільну величину.
а) Ь) с)
Рис. 4. Функціональне навантаження: а) оральне; b) вертикальне; с) вестибулярне
Результати дослідження та їх обговорення
Складна фіброволоконна будова періодонту зумовлює нерегулярність його фізико-механічних параметрів: нелінійність величини жорсткості вздовж волокон, добре виражена анізотропія та зміна характеристик з часом (зокрема, відомо, що разом з втратою життєздатності пульпи зуба періодонт ущільнюється). Нижче досліджено залежність напружено-деформованого стану зуба саме від рівня твердості періодонту. Для абстрагування від впливу інших чинників, що можуть маскувати шукану залежність, дослідження проводимо за припущення лінійності та ізотропності параметрів усіх тканин зуба.
В умовах описаної моделі була здійснена низка числових експериментів для різних значень модуля Юнга періодонту в інтервалі від 5 МПа до 2-104 МПа. Найменше значення інтервалу відповідає його пружності в живому
зубі, а найбільше - модулю Юнга дентину, тобто моделі, яка, фактично, вже не враховує наявність прошарку періодонту.
Додатково для порівняння, крім крайніх випадків досліджуваного інтервалу, з числа його проміжних значень розглядатимемо величину модуля Юнга в 2-10 МПа, яка відповідає жорсткості періодонту в «мертвому» зубі.
При всіх варіантах напружено-деформований стан системи, що досліджувалась, ілюструється розподілом головних нормальних
напружень у поперечному (до зубного ряду) осьовому перерізі зуба. Червоним кольором відображено розтягувальні головні напруження, а синім - стисні. Насиченість кольору в масштабі шкали справа позначає рівень напруженого стану.
Результати математичного аналізу засвідчили, що в умовах орального навантаження (рис.4, а) за трьох вищевказаних значень модуля Юнга періодонту отримано відповідні розподіли головних нормальних напружень (рис.5).
Рис. 5. Розподіл головних нормальних напружень при лінгвальному навантаженні за різних значень модуля Юнга періодонту: а) модель без періодонту; б) «мертвий» зуб; в) «живий» зуб
Як і очікувалось, зменшення твердості періодонту приводить до розвантаження притттийкових ділянок зуба за рахунок перенесення частини внутрішніх зусиль на глибші приповерхневі шари дентину кореня, що контактують із періодонтом.
Показовим виглядає той факт, що зміна напрямку навантаження з горизонтального на здебільшого вертикальне (рис.4б) істотних змін у якісну картину головних нормальних напружень не вносить. Стисні та розтягувальні напруження чітко розподіляються по обидва боки дентину зуба, біфуркаційно швидко міняючись місцями при переході напрямку навантаження через вертикальну його вісь. Для порівняння розподілу навантажень на рис. 6 представлена картина тих же напружень у випадку нормального тиску на вказану фронтальну ділянку зуба.
Рис. 6. Розподіл головних нормальних напружень при оральному навантаженні за різних значень модуля Юнга періодонту: а) модель без періодонту; б) «мертвий» зуб; в) «живий» зуб
Утім, у всіх випадках навантаження характеристики для моделі з «живим» періодонтом забезпечують доволі близький до рівномірного розподіл максимальних напружень уздовж поверхні кореня. Цікаво, що ці характеристики підібрані природно саме таким чином, який не допускає значні концентрації напружено-деформованого стану в ділянці верхівки
кореня, утримуючи основні напруження в масивніших ділянках дентину. Таким чином, ставиться під сумнів поширена думка, що верхівка кореня в «живому» зубі є однією з областей концентрації напружено-деформованого стану [2,7].
Отримані результати також дають змогу окремо зробити висновки щодо природи клиноподібного дефекту, який у багатьох роботах [5] пов’язується з локалізацією напружень у пришийкових ділянках. Слабким місцем цієї гіпотези є практично однакові концентрації напружень як на внутрішньому, так і на зовнішньому боці «живого» зуба, тоді як у реальних умовах клиноподібний дефект спостерігається лише з вестибулярного боку.
Порівняння результатів (рис.5 та рис.6) показує, що незалежно від напрямку навантаження саме за рахунок малої жорсткості періодонт більшою мірою розвантажує внутрішні пришийкові ділянки, залишаючи практично незмінними концентрації в справжніх місцях появи клиноподібного дефекту.
Висновки
• Модель «живого» зуба без урахування м’яких властивостей прошарку періодонту призводить до якісно неправильної картини розподілу НДС.
• Напруження від пришийкових ділянок періодонт рівномірно розподіляє по приповерхневих ділянках дентину кореня.
• За всієї своєї малості жорсткість пародонтальних тканин «живого» зуба все ж залишається достатньою для недопущення концентрацій внутрішніх зусиль у ділянці верхівки кореня.
• Значно ефективніше періодонт розвантажує пришийкові ділянки з внутрішнього боку зуба, залишаючи їх достатньо концентрованими з вестибулярного боку, що може підтверджувати силову гіпотезу походження клиноподібного дефекту.
• Достатньо високий ступінь концентрації напружень у пришийковій ділянці зуба може слугувати підставою для висунення гіпотези щодо їх впливу на порушення крайового прилягання пломбувальних матеріалів саме в пришийковій ділянці пломб за II класом за Блеком з апроксимального боку коронки зуба.
