Прогнозування добової зміни термов’язкопружного стану дорожнього одягу. Частина 1. Постановка задачі Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

106

Вестник ХНАДУ, вып. 70, 2015

ДОРОЖНО-СТРОИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

УДК 625.7/.8

ПРОГНОЗУВАННЯ ДОБОВОЇ ЗМІНИ ТЕРМОВ’ЯЗКОПРУЖНОГО СТАНУ ДОРОЖНЬОГО ОДЯГУ. ЧАСТИНА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ

І.В. Янчевський, проф., д.ф.-м.н.,

Харківський національний автомобільно-дорожній університет

Анотація. Дано математичне формулювання задачі при дослідженні нестаціонарної термов ’язкопружної/термопружної поведінки шарів дорожнього одягу на ґрунтовій основі. Граничні умови враховують метеорологічні та дорожні параметри модельованої ділянки дороги. Розв ’язок задачі може бути використаний при прогнозуванні теплотривкості та механічної міцності/жорсткості шарів дорожнього одягу.

Ключові слова: дорожній одяг, температурне поле, нестаціонарна задача, термов’язко-пружний стан шарів, метеорологічні та дорожні параметри

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СУТОЧНОГО ИЗМЕНЕНИЯ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОГО СОСТОЯНИЯ дороЖНОЙ ОДЕЖДЫ.

Часть 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

И.В. Янчевский, проф., д.ф.-м.н.,

Харьковский национальный автомобильно-дорожный университет

Аннотация. Дана математическая формулировка задачи при исследовании нестационарного термовязкоупругого/термоупругого поведения слоев дорожной одежды на грунтовом основании. Граничные условия учитывают метеорологические и дорожные параметры моделируемого участка дороги. Решение задачи может быть использовано при прогнозировании теплоустойчивости и механической прочности/жесткости слоев дорожной одежды.

Ключевые слова: дорожная одежда, температурное поле, нестационарная задача, термовязкоупругое состояние слоев, метеорологические и дорожные параметры

PREDICTION OF DAILY CHANGE OF THERMOVISCOELASTIC STATE OF THE ROAD PAVEMENT. PART 1. PROBLEM STATEMENT

I. Yanchevskyi, Prof., D. Sc. (Phys.-Math.),

Kharkiv National Automobile and Highway University

Abstract. The mathematical formulation of the problem for investigation of non-stationary thermovis-coelastic/thermoelastic behaviour of road pavement layers on the soil basis is given. Boundary conditions take into account meteorological and road parameters of the modelled road section. The solution of the problem can be used while prediction of the thermal stability and mechanical durability/rigidity of road pavement layers.

Key words: road pavement, temperature field, non-stationary problem, themoviscoelastic state of layers, meteorological and road parameters.

Вступ

Термін служби автомобільної дороги залежить від багатьох факторів, і в першу чергу

від інтенсивності та складу транспортного потоку і погодно-кліматичних умов місцевості. Відомо, що в літній період при комплексному впливі транспортних навантажень і

Вестник ХНАДУ, вып. 70, 2015

107

високих температур на покриттях автомобільних доріг з в’язкопружних матеріалів можливе утворення колій, напливів і хвиль внаслідок втрати теплостійкості покриття. У зимовий період часта зміна низьких температур і нерівномірний її розподіл по глибині дорожнього одягу є основними причинами утворення тріщин. Як у першому, так і в другому випадку, поява дефектів пов’язана з температурним полем, що визначає механічні властивості використовуваних при будівництві доріг матеріалів. Тому дослідження, присвячені вивченню зв’язаних полів теплової й механічної природи в дорожніх одягах, є актуальними і мають важливе прикладне значення, зокрема при виборі матеріалів, технології та організації дорожніх робіт та ін.

Аналіз публікацій

Задачі відновлення картини температурного поля в дорожньому одязі присвячені численні публікації. Класичний підхід до її розв’язання передбачає безпосереднє (пряме) вимірювання температур за допомогою спеціальних датчиків. У той же час більш розповсюдженим при прогнозуванні температурних полів є використання різних емпіричних залежностей, які побудовані шляхом статистичної обробки результатів багаторічних експериментальних досліджень [1-4]. Разом з тим цей підхід не можна назвати універсальним, оскільки він не дозволяє враховувати ландшафтні та пришляхові особливості, відмінності матеріальних і конструктивних параметрів тощо. Тому обчислені в такий спосіб температури можуть суттєво відрізнятися від результатів натурних вимірів.

У статтях [5-8] запропоновані альтернативні методи розрахунку температурних полів, що зводяться, по суті, до чисельно-аналітичного розв’язання систем диференціальних рівнянь нестаціонарної теплопровідності при заданих початково-крайових умовах. Потужним інструментом для розв’язання складних прикладних задач є метод скінченних елементів. Деякі конкретні приклади реалізації MCE для вивчення температурних полів і механічних напружень у шарах дорожніх одягів наведені в роботах [9-13]. Однак у цих роботах не порушені питання, що пов’язані з вивченням реакції дорожніх одягів на дію нестаціонарних зовнішніх впливів з урахуванням термов’язкопружної поведінки деяких їх шарів.

Мета і постановка завдання

Мета даного дослідження полягає в узагальненні деяких отриманих до теперішнього часу результатів із вивчення температурних полів у дорожніх одягах і розробці ефективного методу їх розрахунку з можливістю комплексного врахування як тер-

мов’язкопружних властивостей матеріалів деяких шарів, так і погодно-кліматичних і дорожньо-експлуата-ційних параметрів.

Отримані в рамках даного дослідження результати розбиті на частині. У першій частині дане математичне формулювання відповідної задачі, яка належить до класу зв’язаних задач нестаціонарної термов’язко-пружності. її

розв’язок може бути отриманий методом скінченних елементів. Конкретні численні результати моделювання поля температур у дорожньому одязі припускається представити в другій частині дослідження.

У декартовій системі координат Oxy розглядається I -шарова модель дорожнього одягу на підстильному ґрунті. Вісь x суміщена з поверхнею дорожнього одягу, а вісь у є віссю симетрії моделі та спрямована вглиб її (рис. 1).

B . Bs

X

Рис. 1. Розрахункова схема дорожнього одягу

Через симетрію конструкції та припускаємо схему навантаження відносно до осі у на рис. 1 представлена лише права половина розрахункової моделі (x >0). Характеристики кожного шару, товщини яких позначені через H = Уг - Уг-1 (Уо =0; Уг - координата границі поділу і -го та і-1-го шарів, м; і - порядковий номер шару, і = 1, I+1), визначаються як теплофізичними, так і фізико-механічними параметрами. Значення цих параметрів вважаються відомими.

Математична постановка розглянутої задачі має включати систему диференціальних рівнянь, що описують динамічні процеси в ша-

108

Вестник ХНАДУ, вып. 70, 2015

рах розрахункової моделі, і відповідні їм початково-крайові умови.

При певних обмеженнях на виникаючі в шарах напруження задача може бути зарахована до класу нестаціонарних задач зв’язаної тер-мов’язкопружності. І тому згадана система диференціальних рівнянь буде складатися з рівнянь термов ’язкопружного руху та нестаціонарної теплопровідності в шарах (і = 1,1+1), які у векторній формі можуть бути записані в такий спосіб [14]

Li()()+Fi -бЦі«УТ +3«ГУТ =Рі^ ;

8t

AT -С-Т + 8ei>k -_сті^5сі1 = 0 (1’)

i к 8t к 8t kR (0) 8t •K)

У цих рівняннях L(ui )=((+p)VV■u^iAui, L(ui) - оператори Ламе; ui (x,t) - вектор переміщень; x =[x;y\ - вектор просторових координат; t - час, c; Ті - поточна температура в матеріалі і -го шару, точніше її перевищення над відліковою температурою Т0, при якій відсутні деформації та напруження, °К; Ft - об’ємні сили; 'кі, ці - пружні постійні Ламе (для ізотермічної деформації) матеріалу і -го шару; рі - об’ємна густина матеріалу і -го шару, кг/м3; кі - коефіцієнт теплопровідності матеріалу і -го шару,

Вт/м°К; Сі - питома теплоємність матеріалу і -го шару при нульовій постійній деформації; Дж/кг°К; а2.= , j - девіатор де-

формацій; sjk =ЮR (t -x)deijk (т); R - ядро

релаксації; V, A=V-V - оператори Гаміль-тона і Лапласа; " •" - знак скалярного добутку.

Відзначимо, що при пружній поведінці матеріалів система (1’) дещо спрощується [15] -

l ()+F -«і УТі =Рі02 Ц

і

8t2

AT- С -«& = 0.

к 8t к 8t

(1’’)

Тут 0^-= (3^4- 2ці )Рі - термомеханічна постійна (Рі - коефіцієнт об’ємного теплового розширення).

Ці рівняння необхідно доповнити механічними та тепловими граничними умовами.

Граничні умови механічної групи припускають задания деформацій або зовнішніх навантажень. У якості основних граничних умов другої групи виступають задания температури, густини теплового потоку через поверхню чи теплообмін із контактуючим середовищем.

Для розглянутої задачі на межах поділу шарів дорожнього одягу приймаються граничні умови, що забезпечують рівність переміщень, механічних напружень а, температур і теплових потоків, які моделюють допущення про достатній механічний і термічний контакт шарів. Математично ці умови можуть бути записані таким чином:

=u

і+1

і 1У=Уі "1 У=Уі

Т\ = Т і • KS

г\у=Уі і+1 у=Уі ’ і 8у

; а.

'У=Уі

=а

і+1

'У=Уі

=к.

У=Уі

8Т+1

' 8у

У=Уі

(2)

На певній глибині, яка позначена через yj+1 (рис. 1), гранична умова записується на підставі припущення, що зсуви точок відсутні, як і відсутні коливання температури на досліджуваному проміжку часу

Ч+1

У=yj+1

= 0; Т

0; T

j+1 = Т = const.

1 +1 y=yj+1 S

(3)

де Т - температура нижнього шару (ґрунт) при у = у1+1. Наближене значення Т3 може бути обчислене на підставі рівності

Т =Т. (Уі+1,и), (4)

у якій функція

Ts (У, n) =Tsm -Т/ e-d cos^r-rmin - j

апроксимує зміну усередненої добової температури ґрунту (°С) ПО глибині У [16]. Тут

n - порядковий номер дня у році; Т.т - середньорічна температура ґрунту, °С; Д.3 -амплітуда річних коливань температури на поверхні, °С; Г=360°п/365; Гтіп = 360°х xnmIn/365, nmin - орієнтовне значення порядкового номера дня, коли спостерігається мінімальна усереднена температура ґрунту; Dh - коефіцієнт термодифузії ґрунту, м2/с;

d=у/365Dh/ % - коефіцієнт, що визначає ін-

Вестник ХНАДУ, вып. 70, 2015

109

тенсивність зменшення амплітуди темпера- линання довгохвильової радіації покриттям

турних коливань у ґрунті, м. (у публікації [3] прийнято sa = se = s ).

На іншій межі розрахункової області (х=B+Bs; рис. 1) задаються умови

u\x=B+Bs =0; Tlx=B+Bs = TB (y,t) , (5)

які визначають рівність нулеві переміщень (у припущенні відсутності зовнішніх механічних навантажень на у =0, х > B) і деякий закон розподілу температури по глибині.

Щодо самих значень уІ+1 (уІ+1 > уІ) і Bs, то тут необхідно врахувати той факт, що для передбачуваної схеми навантаження досліджуваної моделі (рис. 1) амплітуди добових коливань термомеханічних змінних із ростом у зменшуються, а з ростом х - сходяться до певних усталених у часі законів. На підставі цього й обираються габаритні розміри розрахункової області, тобто значення у1+1 і Bs мають бути такими, щоб забезпечити правомірність граничних умов виду (3) та (5).

На осі у прийняті граничні умови відображають симетрію деформованого стану.

Рис. 2. Схема енергетичного балансу на поверхні дороги [4]

Зупинимося більш детально на фігуруючих (6) величинах. Із врахуванням представленої на рис. 1 схеми коефіцієнти £,, к, h і se визначаються рівностями

j(x)=Ji-H(B-x)+jj+1-H(x-B) (j = £,, к, h, se),

де H - одинична функція Хевісайда.

Наближене значення Q може бути обчислене за формулою [17]

Щодо формулювання граничної умови теплової групи на поверхні у =0 моделі, то воно має враховувати як вхідний тепловий потік від сонячної радіації, так і конвективний і радіаційний теплообміни з навколишнім середовищем. Схему даної теплової взаємодії ілюструє рис. 2. У припущенні відсутності зовнішніх механічних впливів умова на межі у =0 на підставі аналізу публікацій [3, 5, 13] у даній роботі представлена у вигляді

=^(Q+q)+h(( -Т\у=0)seTa4 -СТоsa Т\4=0 . (6)

у=о

Тут £, - коефіцієнт поглинання сонячної радіації (коефіцієнт чорності, який дорівнює 1-альбедо); Q - нормальна до досліджуваної поверхні інтенсивність прямого сонячного випромінювання, Вт/м2; q - інтенсивність розсіяного q випромінювання на поверхні, Вт/м2; h - коефіцієнт конвективного теплообміну, Вт/м2оК; Та - розрахункова температура повітря, OR; ст0 «5.67- 10-8 Вт/м2оК4 - постійна Стефана-Больцмана; sa, se -

коефіцієнти емісії повітря та коефіцієнт пог-

дТ -к—

ду

Q=-sinz■*¥ , (7)

R

де І0 «1366 Вт/м2; z - зведений кут падіння сонячних променів на поверхню у =0, град. Кут z визначається часом t, відлічуваного від опівночі, і географічним положенням досліджуваної ділянки дороги - географічною широтою ф, напрямком у (азимутом) і поздовжнім ухилом р [17]

sin z=cosр-(smф-sm5-cosф-cos5-cosco )-sinPx х[еощр-sin 5-cos у+simp-cos5-cos у-cosco +

+cos5-sinу-simo]. (8)

Тут 5« 23.45O-sin(r+280о) - схилення Сонця для північної півкулі; со=360Ot/P, P =86400 с - тривалість доби.

Для горизонтальної ділянки дороги (р =0 і у =0) формула (8) суттєво спрощується -

sin z=sin ф-sin 5-cosф-cos5-cosa>.

110

Вестник ХНАДУ, вып. 70, 2015

На підставі цієї формули та умови sin z > 0 легко встановити як моменти сходу tr і заходу ts Сонця для географічного положення модельованої ділянки дороги -

P

t= 360°arcco^tg9'tg^; ts=P -tr’ (9)

так і орієнтовну тривалість світлого часу доби (від сходу до заходу) -

Ps = ts - tr = P - 2tr. (10)

Параметр траєкторії руху Землі R визначається рівністю [3]

R *[1.00011+0.03425-sin (Г+87.858°)+

+0.00072-sin(2Г+83.887°)] 0'5.

\= 0.00058-А'

0.15

Ті..0)

.1.15 і

-V

1.15

!, =0.826

frU)

12>6f\+T4’V "5ТІ-т

|0.5

де V - швидкість вітру, м/с; А - шорсткість покриття, мм; А,а = 0.02346+7.86-10-5 -Ta -теплопровідність повітря, Вт/(м°К);

va =(13.44+0.088-Ta )-10-6 - кінематична

в’язкість повітря, м2/с.

Разом із тим, у монографії [20] вказується, що для асфальтобетонного покриття коефіцієнт теплообміну залежить виключно від швидкості вітру -

h1=2.91+4.92-V066 +3.78-e~128V , Вт/(м2°К). (13)

До формули (7) входить також коефіцієнт , який враховує розсіювання й поглинання сонячної радіації атмосферою -

^=ф1/яі1 z (^>0), (11)

де ф =0.6...0.9 - коефіцієнт прозорості атмосфери, що залежить від вологості повітря, змісту пилу, аерозолів, озону інше.

Слід зазначити, формула (11) виписана з публікації [18], однак у літературі можна знайти й інші формули для обчислення Ч* (див., зокрема, [11]).

При цьому в [20] вважається, що V визначає значення швидкості вітру на висоті 1,0 м над поверхнею дорожнього покриття, що відрізняється від прийнятої метеослужбами за основу відліку швидкості вітру на висоті 14 м над земною поверхнею V' за допомогою масштабного коефіцієнта 0.55 -

V = 0.55-V'.

Велика кількість розрахункових виразів для h може ґрунту розрахунковий вираз для h+j прийнято за рекомендаціями монографії [21]

h1+1 =11.63+A/Й , Вт/(м2°К). (14)

Для розрахунку густини потоку розсіяної сонячної радіації q (див. (6)) використовується наведена в роботі [19] емпірична залежність

14.82

q = 137.1---—, q > 0. (12)

sin z

Для обчислення коефіцієнта емісії атмосфери sa (див. гранична умова (6)) може бути використана наведена в [22, 23] формула

T

sa = 0.711+0.56——+0.73 a 100

T*_

100

(15)

Найбільшу складність при формуванні граничної умови (6) склав вибір з наявних у літературі формули для обчислення значення коефіцієнта конвективного теплообміну між поверхнею першого шару (який, зокрема, моделював шар асфальтобетонної суміші) і навколишнім середовищем. Складність полягала в тім, що обчислені за запропонованими різними авторами формулами значення коефіцієнта h суттєво відрізнялися між собою. Так, у публікаціях [3, 5, 7, 13] наведені наступні емпіричні залежності для h -

де Tdp - свідчити лише про те, що фактичне

значення коефіцієнта конвективного теплообміну має визначатися експериментально під конкретну асфальтобетонну суміш.

Стосовно шару точка роси (°С), яка для ясного дня визначається рівністю

Tdp = 071-Tair - 0.79, а для хмарного -Tdp = 0.82-Tair - 0.81, де Tair - температура навколишнього середовища, °С.

Вестник ХНАДУ, вып. 70, 2015

Слід зазначити, що в літературі є й інші розрахункові вирази для sa. Зокрема, в публікації [24] наведений модифікований вираз Бру-тсарта (Brutsaert)

в

:(l.22+0.06-sin(«+75°)>

f

aV7

T +273

(1+0.25X),

де pa - тиск насиченої пари на поверхні,

мбар (ра *6.108-e17-2694Ta/(Ta+238 3)); X =0..Л -коефіцієнт хмарності (X =0 для ясного неба, X =1 - для хмарного).

Розрахунок температури навколишнього середовища Ta (див. (6)), як і коефіцієнт sa, залежить від Tair [12, 22] -

Ta =Tair ‘К + 0.013-COSO)]0'25 . (16)

Очевидно, що сама функція Tair може бути взята з метеорологічних даних, однак у рамках даного дослідження більший інтерес представляє її прогнозування на основі розроблених до теперішнього часу апроксимацій добової її зміни. Однієї з найбільш розповсюджених є апроксимація Партона-Логана [25], яка використовує ділянку синусоїди для опису денного росту температури та експоненти для вечірнього зниження

п-< __т-rmin .(rpmax T^mmA

T air ' t * = T air +(T air ~1avr )

X<

Sin| ——^1 te(tr,0.5P+a];

-b-

Ps + 2a .

t-0.5P-a

2tr

(17)

t e(0.5P+a, P+tr ].

т T^mm т-rmax

Іут Tair , Tair - мінімальна та максимальна добова температури повітря; a *5760 с - наближене значення зміщення від полудня моменту добового максимуму температури; b =2.1 - коефіцієнт зменшення нічної температури [25]. Значення tr і Ps визначаються рівностями (9) і (10).

Початкові умови до розглянутої задачі припускають рівність нулеві швидкостей точок середовища (и\ = 0), а також деякий поча-

тковий розподіл температурного поля по розрахунковій області TQ(х, у), який, як і функція TB (y,t), підлягає визначенню.

Співвідношення (1)-(17) представляють математичне формулювання розглянутої задачі нестаціонарної термов’язкопружності зі

змінними в процесі її розв’язання деякими граничними умовами.

Висновки

У роботі наведено математичне формулювання задачі з дослідження нестаціонарного термов ’ язкопружного/термопружного стану дорожнього одягу на підстильному ґрунті. Сформульовані граничні умови враховують не тільки геометричні характеристики шарів, фізико-механічні та теплофізичні властивості матеріалів, але й метеорологічні та дорожні параметри. До метеорологічних параметрів належать сонячна радіація, температура повітря, хмарність, швидкість вітру; до дорожніх - географічні координати розташування ділянки автомобільної дороги, поздовжній ухил і азимут ділянки, альбедо покриття, транспортні навантаження, інше.

Розв’язання даної задачі, наприклад, методом скінченних елементів, дозволяє обчислювати напружено-деформований стан і температурне поле в шарах досліджуваної моделі, у т.ч. з метою прогнозування механічної міцнос-ті/жорсткості та теплотривкості дорожнього одягу, а також удосконалення методик її розрахунку. Деякі результати скінченно-елементного аналізу передбачається представити в другій частині даного дослідження.

Література

1. Гамеляк І.П. Аналіз існуючих моделей прогнозування температури покриття не-жорстких дорожніх одягів / І.П. Гамеляк, Д.В. Волощук // Вісник Нац. трансп. унту : Наук.-техн. зб. - 2012. - № 26 (1). -С. 52-57.

2. Леонович И.И. Методика и результаты оценки экстремальных температур дорожных покрытий в различных регионах республики Беларусь / И.И. Леонович, И. С. Мельникова // Автомобильные дороги и мосты : Научн.-техн. журнал. - 2012. - № 1 (9). - С. 39-47.

3. Arangi S.R. Review paper on pavement temperature prediction model for Indian climatic condition / S.R. Arangi, R.K. Jain // Int. J. of Innovative Research in Adv. Engineering. - 2015. - Vol. 2, Iss. 8. -P. 1-9.

112

Вестник ХНАДУ, вып. 70, 2015

4. MatiC B. A model for the pavement temperature prediction at specified depth / Matic B., Matic D., Cosic D. [et al.] // Metalurgija. -2013. - Vol. 52 (4). - P. 505-508.

5. Самодурова T.B., Бакланов Ю.В. Влияние солнечной радиации на температурный режим дорожного покрытия / Т.В. Самодурова, Ю.В. Бакланов // Известия КГАСУ. - 2013. - № 2 (24). -С. 308-314.

6. Пшембаев М.К. Расчет полей температур и их градиентов в дорожных бетонных покрытиях / М.К. Пшембаев, Я.Н. Ковалев, В.Д. Акельев // ЭНЕРГЕТИКА. Известия ВУЗов и энергетических объединений СНГ : Междунар. научн.-техн. журнал. - 2015. - № 4. -С. 54-63.

7. Alavi M. Prediction of asphalt pavement temperature profile using the Finite Control Volume Method (FCVM) / M. Alavi, M. Pouranian, E.Y. Hajj // Режим доступу: docs.trb.org/prp/14-3111.pdf

8. Hu Yu. The use of screening effects in modelling route-based daytime road surface temperature / Yu. Hu, E. Almkvist [et al.] // Theor. Appl. Climatol. - 2015. DOI 10.1007/s00704-015-1508-9

9. Богомолов В.А. О стационарном температурном поле многослойной дорожной одежды / В.А. Богомолов, Ф.И. Абрамчук, И.Л. Разницын, А.Н. Кабанов, С.А. Чугуенко // Вестник ХНАДУ : Сб. научи. тр. - 2014. - Вып. 67. - С. 94-97.

10. Мельникова И.С. Моделирование воздействия температуры и транспортных нагрузок на возникновение и развитие трещин в асфальтобетонных дорожных покрытиях / И.С. Мельникова // Наука и техника : Междунар. научн.-техн. журнал. - 2012. - № 4. - С. 44-52.

11. Feng T. A numerical model for predicting road surface temperature in the highway / T. Feng, S. Feng // Procedia Engineering. -2012. - Vol. 37. - P. 137-142.

12. Shibib K.S. Temperature distribution through asphalt pavement in tropical zone / K.S. Shibib, Q.A. Jawad, H.I. Gattea // Anbar J. for Engineering Sciences. - 2012. - Vol. 5, No. 2. - P. 188-197.

13. Minhoto M.J. Asphalt pavement temperature prediction / M.J. Minhoto, J.C. Pais, P.A.A. Pereira // Road Materials and Pavements Design. - Режим доступу: civil. uminho.pt/.../ 2006_(AR2006)_Minhoto_Pais_Pereira_A.pdf

14. Ильюшин А.А. Основы математической теории термовязкоупругости / А.А. Ильюшин, Б.Е. Победря. - М.: Наука, 1970.

- 280 с.

15. Коваленко Е.Д. Основы термоупругости / Е.Д. Коваленко. - К.: Наукова думка, 1970. - 308 с.

16. Hillel D. Introduction to soil physics /

D. Hillel. - San Diego, CA: Academic Press. - 1982. - 392 p.

17. Duffie J.A. Solar engineering of thermal processes / J.A. Duffie, W.A. Beckman. -New York: Willey, 2006. - 936 p.

18. Колесник В.Є. Метеорологія і кліматологія: Консп. лекцій / В.Є. Колесник. -Дніпропетровськ: Вид-во ДВНЗ «Нац. гірничий університет», 2015. - 69 с.

19. Бринкворт Б. Солнечная энергия для человека / Б. Бринкворт. - М.: Мир, 1976. - 291 с.

20. Алиев А.М. Строительство автомобильных дорог и аэродромов : монография в 4 т. Т. 1 / А.М. Алиев. - М.: Интранс-дорнаука, 2013. - 360 с.

21. Справочная книга по добыче нефти. Под ред. Ш.К. Гиматудинова. - М.: Недра, 1974. - 704 с.

22. Garnier C. Thermal model for performance prediction of integrated collector storage systems / C. Garnier, T. Muneer, J. Currie // J. of Renewable and Sustainable Energy.

- 2011. - Vol. 3, Iss. 1. - P. 013104-1013104-17.

23. Tang R. Estimates of clear night sky emis-sivity in the Negev Highlands / R. Tang, Y. Etzion, I.A. Meir // Energy Conversion and Management. - 2004. - Vol. 45. -P.1831-1843.

24. Herrero J. Parameterization of atmospheric longwave emissivity in a mountainous site for all sky conditions / J. Herrero, M.J. Polo // Hydrol. Earth Syst. Sci. - 2012. -Vol. 16. - P. 3139-3147.

25. Parton W.J. A model for diurnal variation in soil and air temperature / W.J. Parton,

J.A. Logan // Agric For Meteorol. - 1981.

- No. 23. - P. 205-216.

Рецензент: В.О. Карпенко, професор, д.т.н., ХНАДУ.

Стаття надійшла до редакції 23 липня 2015 р.