Взвешенные риск-нейтральные оценки опционов Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

банков не готовы одновременно кредитовать малый бизнес и выступать организаторами программ кредитования для сторонних бан-ков-провайдеров.

Изложенное позволяет выделить следующие экономические особенности рыночного оборота земли в Российской Федерации: высокая доля и абсолютная величина операционных расходов в процессе осуществления сделок купли-продажи земли; ограниченность правовых (и экономически оправданных) механизмов снижения инвестиционных рисков на всех этапах рыночного оборота земли.

Кроме того, как отмечалось выше, государство нередко выступает участником хозяйственной деятельности на земельном рынке, таким образом, еще одной специфической характеристикой национального рынка оборота земли можно считать высокую степень участия государства как в процессах регулирования экономических отношений, так и в самих экономических отношениях, возникающих на указанном рынке.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что конкуренция на рынке земли России характеризуется как недостаточная, со значительными диспропорциями по секторам потребления.

Подводя итог, можно сказать, что земельный рынок России не завершил стадию формирования (хотя и находится уже и не на первой ступени), при этом он динамично развивается и расширяется. Сегодня очеви-

ден экономический интерес в освоении территорий регионов ЦФО и ЮФО, чему способствует инвестиционная привлекательность земли за счет характеристик их дифференцированной ренты. А постоянное совершенствование земельного законодательства в целом и приведение регионального законодательства в соответствие с федеральными нормами только расширяют возможности данного сегмента рынка ресурсов.

1. Официальный сайт Федерального агентства кадастра объектов недвижимости (Роснедви-жимость). URL: www.goscomzem.ru. Загл. с экрана.

2. Журавлева Г.П. Экономика. М., 2001. С. 247260.

3. Горемыкин В.А. Современный земельный рынок России. М., 2005. С. 345.

4. Комов Н.В. Социально-экономические и правовые аспекты становления земельных отношений в России // Земельный вестник России. 2004. № 1. С. 5.

Поступила в редакцию 11.09.2009 г.

Gritsienko G.V. Some features of Russian market turnover of the land. This article analyzes trends and factors shaping the national specificities of the market turnover of land in Russia. As a result of the analysis its key features and proposed conclusions about the prognosis for further development prospects are marked.

Key words: land market; market turnover of the land; economic interests; property relations.

УДК 336.6(075.8)

ВЗВЕШЕННЫЕ РИСК-НЕЙТРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ОПЦИОНОВ © В.В. Давнис, С.Ю. Богданова

Рассматривается проблема определения риск-нейтральной цены опциона на неполных финансовых рынках. Предлагается эконометрическая модель многовариантного представления динамики цен на базисный актив, позволяющая сформировать множество возможных вариантов риск-нейтральных оценок с вероятностью их реальности. Модифицирована формула Кокса-Росса-Рубинштейна, с помощью которой по данным сформированного множества рассчитывается «справедливая» цена опциона на неполном рынке.

Ключевые слова: опцион; неполный финансовый рынок; риск-нейтральная цена опциона; формула Кокса-Росса-Рубинштейна.

Риск-нейтральную оценку стоимости оп- ным результатом финансовой теории. В не-

циона, получившую название «справедли- котором смысле справедливую цену можно

вой» цены, принято считать фундаменталь- рассматривать как аналог равновесной цены,

но в отличие от равновесной, которую не рассчитывают, справедливая цена имеет практическое применение. Для ее расчета в зависимости от ситуации можно использовать либо модель Блэка-Шоулза [1, 2], либо биномиальную модель Кокса-Росса-Рубинштейна [3], которую принято называть СЯЯ-моделью.

СЯЯ-модель является дискретной. Ее можно применять для оценки как европейских, так и американских опционов. Механизм изменения цены финансового актива, описываемый с помощью СЯЯ-модели, более прозрачен для понимания, чем закономерности, описываемые дифференциальным уравнением Блэка-Шоулза. Эта прозрачность позволяет вместе с достоинствами этой модели рассмотреть и ее недостатки, возможности устранения которых обсуждаются в этой статье. Чтобы понять смысл предлагаемого подхода, рассмотрим расчет риск-нейтральной цены на основе биномиальной модели.

Построение биномиальной модели осуществляется в предположении, что финансовые операции на рынке осуществляются с банковским счетом В = (Вг )>0 и одной акцией, цену которой принято обозначать 8 = (8 )>0. Такой рынок называют биномиальным и обозначают как (В, 8) -рынок. Эволюцию цен на (В, 8) -рынке описывают с помощью уравнений

В = (1 + Г) В_1: 8 = (1+А)$

(1)

(2)

В биномиальной модели (В, 8) -рынка («СЯЯ-модель») предполагается, что банковская ставка г не измена, а доходность акции

р = (рг>1 является бернуллиевской последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин р1, р2,.. ., принимающих два значения га и ги (га < ги) с вероятностями р = Р(рг = ги) и q = Р(рг = тй). Несмотря на низкую адекватность этой модели, ее применяют для установления величины риск-нейтральной цены опциона.

Риск-нейтральная цена опциона определяется стратегией минимального хеджирова-

ния, смысл которой в следующем. Для текущего момента времени можно сформировать портфель (п, В) из соответствующей акции и заемных средств, выплаты по которому аналогичны выплатам по опциону. Стоимость такого портфеля в данный момент времени равна цене опциона

(3)

где с0 - стоимость опциона в момент заключения контракта; п - количество акций, включенных в портфель; - цена акции в

момент заключения опционного контракта; В - сумма кредита.

В следующем периоде в зависимости от ситуации стоимость портфеля будет определяться в соответствии с одним из уравнений системы

п81ри- ЯВ = си;

п8рй - кв = сй,

(4)

(5)

где си - стоимость опциона (и одновременно стоимость портфеля) в случае роста цены акции; с, - стоимость опциона (и одновременно стоимость портфеля) в случае падения цены акции; ри = 1 + ги - множитель роста цены акции; ра = 1 + тй - множитель падения цены акции; Я - множитель наращения по безрисковой процентной ставке.

Чтобы сформировать портфель, стоимость которого равна цене опциона, необходимо знать п и В. Эти величины определяются как решение системы (4), (5)

п =

(Ри -Р, )8

Я =

_ РЛ

РЛ

(Ри -Р, )Я

(6)

Полученное решение (портфель) позволяет записать первоначальную стоимость опциона следующим образом:

с0 =

^ я р Л к-ра

Ри -р

си +

и

а)

Ри -р

и

/ Я. (7)

с — сА

и,

с

а

Таким образом, формула (7) позволяет сделать вывод, что цена опциона в момент заключения опционного контракта равна дисконтированной стоимости средневзвешенных выплат, которые ожидаются в конце периода. В самой формуле нет ни одной переменной, которая учитывала бы отношение инвестора к риску. Поэтому расчет по этой формуле позволяет определить стоимость опциона, понимаемую как стоимость в экономике, в которой действуют инвесторы, нейтральные к риску. Весовые коэффициенты этой формулы в сумме равны единице, что с учетом нейтральности к риску инвесторов позволяет их интерпретировать как риск-нейтральные вероятности.

Процедура риск-нейтрального оценивания стоимости опциона реализуется с помощью т. н. биномиального дерева. Построение этого дерева позволяет увидеть весь перспективный горизонт возможных вариантов эволюции цен базисного актива и рассчитать стоимость опциона с учетом всех учтенных в дереве вариантов. По сути, риск-нейтральная цена опциона - это математическое ожидание случайной величины, распределенной по биномиальному закону с риск-нейтральными вероятностями, т. е.:

п!

1!(п - 1')!

р1 (1 - р)п

-X)

/Я . (8)

Несмотря на практическое использование данной формулы, она получена в идеальных условиях полного рынка, гарантирующего единственность риск-нейтральной вероятности. На наш взгляд, понятие полного рынка является абстракцией. Оно необходимо для понимания механизма определения справедливой цены, но его практическое использование приводит к результатам, которые зачастую не адекватно отражают реальные цены.

Естественно, дальнейшие шаги по совершенствованию теории оценивания опционов предусматривали ослабление требований к свойствам, которым должен удовлетворять рынок. Отказ от предположения полноты рынка означает, что в СЯЯ-модели доходность, а следовательно, и цена базисного актива может принимать более двух значений. В подобных случаях риск-нейт-ральных вероятностей несколько, а следова-

тельно, и несколько риск-неигральных оценок стоимости опциона. Возникает ситуация выбора, но окончательного ответа на вопрос о риск-нейтральной цене, которую целесообразно использовать в практических целях, нет.

В подобных случаях риск-нейтральная цена определяется в виде интервала с заданием ее нижнего и верхнего уровней [1]. Сохраняя свойство риск-нейтральности, она теряет свойство справедливой цены, т. к. появляется элемент торга. Предлагаемый подход позволяет решить эту проблему путем введения понятия ожидаемой риск-нейтраль-ной цены.

Риск-нейтральная цена, являясь в соответствии с (8) математическим ожиданием, представляет собой число, а не случайную величину, что делает определение ожидаемой риск-нейтральной цены некорректным. Поэтому основная идея в реализации предлагаемого подхода заключается в том, чтобы в рамках предположений неполного рынка сформировать множество из вариантов риск-нейтральной цены, которые являются случайными и для них можно определять ожидаемую величину цены опциона.

Эконометрическая модель, лежащая в основе формирования множества вариантов риск-нейтральной цены, в некотором смысле является аналогом уравнения, описывающего в дискретном случае механизм формирования доходности акции

АЛ . г-—

— = и,А^ + оеV Аt, 8

(9)

где р - средний уровень доходности; Аt -небольшой отрезок времени, на котором эта модель имеет смысл; а - риск, измеренный среднеквадратическим отклонением; е -случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение.

Первое слагаемое этого уравнения представляет собой ожидаемый уровень доходности акции, а второе слагаемое - величину риска, который в каждом конкретном случае изменяет уровень ожидаемой доходности в зависимости от знака и значения случайной величины е . Эконометрический аналог этой модели записывается в виде:

Г = а0 + ад-1 + +5t,

(10)

тах(0;рира Л

с

где г - доходность базисной акции в момент времени Р; а0, а1 - оцениваемые параметры

той части модели, которая отвечает за тренд уровня доходности базисной акции; , - оцениваемый параметр стохастической составляющей, характеризующий средний уровень возможного отклонения фактически наблюдаемой доходности от тренда и интерпретируемый как величина риска; х( - ненаблюдаемая дискретная переменная, принимающая случайным образом два значения: 1 или -1; 5t - ненаблюдаемая случайная величина,

характеризующая ту часть вариации моделируемой переменной, которая не объясняется включенными в модель регрессорами.

Построение модели (10) осуществляется в три этапа с использованием метода наименьших квадратов и метода максимального правдоподобия. В процессе построения модели идентифицируют ненаблюдаемую переменную хг и переоценивают модель с учетом этой переменной. Введение переменной х( позволяет отказаться от фиксированных

уровней дискретного изменения доходности, как это принято в СЯЯ-модели, а определять эти уровни в соответствии с теми колебаниями цен, которые имеют место на рынке ценных бумаг, предполагая, что стоимость акции в каждый момент времени находится на высоком или низком уровне. Понимание того, какой уровень следует считать высоким, а какой низким, приходит после построения модели первого этапа

Г = а0 + «Л-1:

(11)

которая представляет собой трендовую составляющую модели (10).

Принимая расчетные значения этой модели за условно средние значения Г = Е(г | гм), используем их для определения индикатора в виде разности Аг{ = т{ — г(, по которой и будем определять х(.

На втором этапе, используя значения переменной х(, оцениваются все параметры уравнения (10). В результате получается модель

Г = а0 + ахг(1 + ё х(, (12)

с помощью которой воспроизводится и непрерывная, и дискретная составляющие динамики доходности базисного актива на историческом периоде. Если точность этого воспроизведения достаточно высока, то данную модель можно использовать для получения прогнозных оценок. В этом случае надо учитывать, что для упреждающего периода эта модель позволяет рассчитать только варианты ожидаемых значений без уточнения их возможной реальности. В качестве меры этой возможности удобно использовать вероятность, для расчета которой целесообразно применить модель бинарного выбора [4].

Эта модель позволяет в зависимости от одного или нескольких факторов оценить вероятность того, что уровень доходности, например, будет высоким. Ее построение осуществляется на третьем этапе

р( х =11) =

(13)

(14)

где zt - вектор-строка факторов логит-модели; Ь - оценки вектора параметров логит-модели.

Использование в модели логистического распределения аргументировано тем, что оно удобно при проведении всевозможных расчетов и, кроме того, обладает более толстыми хвостами по сравнению с нормальным распределением.

Модель (13)-(14), по сути, является эконометрическим вариантом биномиальной модели. С ее помощью, как и с помощью биномиальной модели, можно получить только два варианта расчетных значений. Естественно, альтернативность будущего значительно богаче, однако многие расчеты, проводимые с помощью СЯЯ-модели, ориентированы именно на двухуровневое представление цены, обеспечивающее существование единственной риск-нейтральной оценки стоимости опциона. Поэтому, преследуя цель моделирования ситуаций неполного рынка, введем в стохастическую составляющую модели (13)-(14) дополнительные элементы, обеспечивающие получение более двух прогнозных вариантов возможного уровня доходности. Модель, обеспечивающая расчет

более двух прогнозных вариантов, записывается следующим образом:

rt = а0 + axrt_x + d;

e

P(x t ^ j I zt) =—i

z,t> j

1 + 2 e -

j=0

j = 0,1,..., k -1;

P(xt ^ k 1 zt) =----------------k1—>

1 + 2 eZtb

j=0

(15)

(16)

(17)

где х t - вектор-строка ненаблюдаемых дискретных переменных; с! - вектор-столбец из оценок коэффициентов стохастической составляющей модели; к +1 - количество вариантов, которые могут быть сгенерированы стохастической составляющей модели.

Соотношения (16) и (17) представляют собой мультиномиальную логит-модель [4], с помощью которой рассчитываются вероятностные оценки реальности прогнозных вариантов. Число генерируемых моделью прогнозных вариантов определяется числом дискретных переменных стохастической со-

^ г\Ш

ставляющей и равно 2 , где т - число дискретных переменных (2 < т < 4 ).

Полученные с помощью модели (15)-(17) прогнозные варианты делятся на два класса. В первый класс относятся варианты с прогнозной оценкой доходности выше безрисковой ставки, а во второй - ниже безрисковой ставки. Если в первый класс отнесено к1 , а во второй - к2 = к +1 - к1 прогнозных вариантов, то можно сформировать множество из N = к1 хк2 всевозможных пар (ры, р1и),

( р2^ , Р2и ) , . . ., (РN4 , РN ), каждая из которых характеризует один из возможных случаев роста и падения цены базисного актива. Для каждой пары легко определяется вероятность Рг ее реальности по вероятностям прогнозных вариантов, рассчитываемых с помощью (16)-(17). Для этого нужно соответ-

ствующим образом нормировать вероятности вариантов каждого класса.

Каждая пара позволяет определить риск-нейтральную стоимость опциона по формуле (8). Таким образом, будет получено N возможных вариантов риск-нейтральных оценок с соответствующим распределением их вероятностей. Это позволяет записать формулу для расчета взвешенной риск-нейтральной цены опциона:

= 2 P

j!(n - j)!

Pj(l- Р, )"-J max^pip";^ - X) /R . (18)

Взвешенная риск-нейтральная цена опциона является единственной усредненной характеристикой неполного рынка. Это позволяет избавиться от элемента торга на неполном рынке, который имеет место при определении интервала риск-нейтральных цен, и взвешенную оценку называть справедливой ценой в случае, когда не выполняются условия полноты рынка.

1. Мельников А.В., Попова Н.В., Скорнякова В. С. Математические методы финансового анализа. М., 2006.

2. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. М., 1998.

3. Cox J.C., Ross R.A., Rubinstein M. Option pricing: a simplified approach // Journal of Financial Economics. 1979. V. 7. № 3. P. 229-263.

4. Давнис В.В., Тинякова В.И. Прогнозные модели экспертных предпочтений: монография. Воронеж, 2005.

Поступила в редакцию 11.09.2009 г.

Davnis V.V., Bogdanova S.Yu. Deliberated risk-neutral estimations of options. The problem of definition of the risk-neutral price of an option in the incomplete financial markets is considered. Econometric model of multiple representation of dynamics of the basic active prices, allowing to generate set of possible variants of risk-neutral estimations with probability of its reality is offered. The formula of Cox-Ross-Rubinstein is modified by means of which according to the generated set the “fair” price of an option in the incomplete market is calculated.

Key words: option; incomplete financial market; risk-neutral the price of an option; formula of Cox-Ross-Rubinstein.

t“j

n

c