CC BY
49
7. Complexity results for scheduling problems [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://
www.mathematik.uni-osnabrueck.de/research/OR/class/. Загл. с экрана.
8. A simulation-based finite capacity scheduling system [Электронный ресурс] / D. Cormier, A. J. Weintraub, A. Zozom. Режим доступа: http://www.informs-cs.org/ wsc97papers/0838.PDF. Загл. с экрана.
P. V Simakov
ABOUT JOB SHOP SCHEDULING OPTIMIZATION WITH SIMULATION IN MAKE-TO-ORDER DISCRETE ENVIRONMENT
A job shop scheduling optimization problem with simulation in make-to-order discrete environment is covered. Several optimization criteria are used for that purpose. Simulation model is used for evaluation of the optimization criteria and constraints. Genetic algorithm is used for optimal simulation model parameters selection. The results of genetic algorithm usage for solving job shop scheduling optimization problem in make-to-order discrete environment are shown.
Keywords: scheduling theory, finite capacity scheduling, simulation.
УДК681.3.06
М. Г. Доррер
ВЗВЕШЕННАЯ ВЕРОЯТНОСТНАЯ ОЦЕНКА БИЗНЕС-ПРОЦЕССА НА ОСНОВЕ ФОРМАЛИЗМОВ ЦЕПЕЙ МАРКОВА
Предлагается подход к оценке стоимостных и временных показателей бизнес-процесса на основании его формальной модели в виде конечной цепи Маркова и собранных статистических данных о его функционировании. Предлагаются два подхода к построению взвешенных оценок бизнес процесса: на основе накопленных по времени вероятностей пребывания процесса в заданных состояниях и на основе оценки среднего числа пребываний процесса в данных состояниях. Полученные оценки могут применяться для сравнения различных вариантов выполнения бизнес-процесса, при выполнении процедуры бенчмакинга и при оценке последствий улучшения бизнес-процессов.
Ключевые слова: бизнес-процесс, цепь Маркова, взвешенные оценки.
Введение. При управлении и модернизации бизнес-процессов актуальной является задача получения обобщенных характеристик, оценивающих эффективность их функционирования [1; 2]. Единого, сложившегося подхода крешению этой задачи не выработано. В данной работе предлагается подход, основанный на совместном использовании методологии АПК ЕРС и формализмов цепей Маркова. Метод дополняет и отчасти заменяет процедуры имитационного моделирования бизнес-процессов, предоставляя четкий и однозначный ответ о стоимости и времени выполнения бизнес-процесса на основе его статистических характеристик, а также позволяет оценить изменения временных и стоимостных характеристик процесса в результате совершенствования бизнес-процесса.
Данная работа начинается изложением основных положений формализма конечных цепей Маркова применительно к описанию бизнес-процессов. Затем на примере условного бизнес-процесса излагается методика оценки временных и стоимостных характеристик процесса путем взвешивания вероятностей пребывания в заданных состояниях процесса. И наконец эта же задача решается на основе оценки среднего числа пребываний про-
цесса в заданных состояниях. Показано, что эти два метода дают близкие результаты.
Формальная модель бизнес-процессов. Представляет собой динамическую систему, находящуюся в каждый из моментов / в одном из п состояний множества & = {5'1,...,5'и}, 1к еТ, гдеТ - множество моментов времени, в которые рассматривается система [3; 4; 5]. Переменная / представляет собой шаг выполнения процесса и не обязательно связана с календарным временем.
Состояния изменяются со временем случайным образом. Это изменение определяется матрицей переходных вероятностей
Р{Ч) = \р,{1к)\. (1)
Каждый элемент матрицы/ = 1,п показывает вероятность того, что если система в момент находилась в состоянии \ , то в момент 1/: она окажется
в состоянии sj: Ру (/*) = Рг {£ (/м) = 5} | £ (/*) = }.
Каядая строчка матрицы Р соответствует состоянию, в котором процесс находится на данном шаге, а каждый столбец - состоянию, в которое переходит процесс на следующем шаге. Переходы во все возможные состоя-
Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева
ния (в том числе в себя) образуют полную группу собы-
п
тий, поэтому ^ Р и (О = 1 для всех / = 1..п . 1к е Т.
У=1
В данной работе мы предполагаем, что вероятности не зависят от времени, т. е. цепь Маркова однородна, матрица Р является числовой. В отношении бизнес-процес-са с установившейся технологией исполнения это ограничение представляется обоснованным.
Вектор-строка А' (1к) = [х, (1к)...., хы (;/;)] описывает распределение вероятностей нахождения системы в соответствующих состояниях в момент 1/;. то есть х( 1/:) - это вероятность того, что в момент 1к система находится в
п
СОСТОЯНИИ .V, При ЭТОМ ^ Л', (11: ) = I • (/: Е Т • Пересчет
/=1
распределения вероятностей на следующем шаге произ-водится по формуле
Х{Ь+1 ) = Х^)Р. (2)
Должно быть также задано начальное условие: X (/0) = Х0, которое определяет состояние процесса на начальном шаге выполнения бизнес-процесса.
Вычисляя последовательно Х(/), Х(12), ..., Л'(/|:), мы можем полнить вероятностный прогноз развития состояний бизнес-системы в процессе ее функционирования.
Множество состояний Л’ в рассматриваемом случае подразделяется на множество невозвратных состояний Л’1 и множество поглощающих состояний Б1. Состояния, относящиеся к множеству Б1. соответствуют завершению выполнения бизнес-процесса и не влияют на его трудоемкость. Поэтому исключив из матрицы Р строки и столбцы, соответствующие состояниям из Б2, и обозначив оставшуюся матрицу <2, можно вычислить так называемую фундаментальную матрицу цепи Маркова:
ы = {1-0)-\ (3)
где / - единичная матрица размерности т, где т - количество состояний невозвратного множества.
Каждый элемент п матрицы N представляет собой среднее число пребываний процесса в состоянии Б при старте из состояния Б., причем Б., Б вБ1.
Описание бизнес-процессов. В данной работе выбрана методология ARIS ЕРС [6; 7; 8], которая, впрочем, безболезненно может быть заменена на IDEF3 или UML State-Chart Diagram, словом - на любую нотацию, предназначенную для описания сценариев выполнения бизнес-про-цессов.
При этом связи модели ЕРС будут соответствовать переходам меяеду состояниями цепи Маркова. В тех случаях, когда связь безальтернативна, вероятность соответствующего перехода будет единичной. Тогда же, когда процесс предполагает ветвление, вероятность перехода сопоставляется с вероятностями срабатывания соответствующих связей. При этом условие равенства единице суммы переходных вероятностей по строке матрицы переходных вероятностей соблюдается, поскольку в ЕРС на вероятность связей также накладывается условие равенства единице суммы вероятностей связей после ветвления.
Рассмотрим сопоставление на примере условного бизнес-процесса производства и сбыта заказных изделий (см. рисунок).
Определим состав элементов модели бизнес-процес-са, их характеристики и соответствующие элементам состояния цепи Маркова (табл. 1).
В соответствии с приведенной моделью бизнес-процессов можно построить матрицу переходных вероятностей цепи Маркова.
Полученная матрица переходных вероятностей позволяет получить по формуле (2) распределение вероятностей нахождения системы в различных состояниях на каждом следующем шаге.
Значения вектора Л'(;о). задающего распределение вероятностей перед началом функционирования системы, можно определить из следующих соображений:
- вероятности состояний, соответствующие стартовым событиям, принимают значения, соответствующие вероятности наступления данного события на старте процесса; по очевидным причинам сумма этих вероятностей должна быть равна единице;
Таблица 1
Состав элементов модели бизнес-процессов и их сопоставление с событиями цепи Маркова
Наименование объекта модели Тип объекта модели ЕРС Среднее время выполнения, ч Средняя стоимость выполнения, руб. Состояние цепи Маркова
Заказ на нестандартное изделие Событие 0,00 0,00 Si
Заказ на стандартное изделие Событие 0,00 0,00 s2
Проектирование изделия Процесс 16,00 10 000,00 S3
Проект выполнен Событие 0,00 0,00 S4
XOR rule 1 Перекресток 0,00 0,00 S5
XOR rule 2 Перекресток 0,00 0,00 S6
Изготовление изделия Процесс 8,00 5 000,00 s7
Изделие некондиционное Событие 0,00 0,00 Ss
XOR rule 3 Перекресток 0,00 0,00 s9
XOR rule 4 Перекресток 0,00 0,00 Sio
Клиент потребовал доставить товар на дом Событие 0,00 0,00 Sn
Доставка клиенту Процесс 4,00 1 000,00 Sl2
Заказ доставлен Событие 0,00 0,00 Sn
Клиент решил забрать товар в магазине Событие 0,00 0,00 S\4
Передача клиенту в магазине Процесс 16,00 500,00 S\5
Заказ получен Событие 0,00 0,00 Si6
- все остальные вероятности состояний должны быть равны нулю - ни в каком состоянии, кроме стартового, система на старте находиться не может.
Заказ на
изделие
стандартное Б1 нестандартноеЭг
Заказ на
изделие
16,00 Ноиг(в)
Проектирование изделия
ю 000,00 [*ив
Проект \ 84
выполнен
<х>
1,00
------
ХОР гиіе 1 1,00
ХОР г и Іе 2 1,00
^______ 8,00 Ноиг(в)
ІІЗГОТОВЛЄНИ'
, Э7
изделия
|1)00 5 000,00 кив
Изделие 58 некондиционное
ХОР гиіе 3 0,95
10,75
(х>«-
Клиент потребовал доставить това|£11 на дом /
ХОР гиіе 4 Клиент решйл
Забрать товар Б14 і магазине'
_1'00 4,00 Ноиг(в)
]_1'00 16,00 НоигИ
Доставка
клиенту
Передача клиенту в магазине
1 000,00 рив
1,00
500,00 РУБ
Полученный расчет позволяет получить взвешенную оценку стоимости и времени выполнения процесса.
Для этого введем значения С и Т, означающие соответственно среднюю стоимость выполнения и среднее время выполнения каждого из состояний (см. табл. 1). Для всех состояний, кроме соответствующих бизнес-про-цессам, они равны нулю. Взвешивание произведем по х~
- суммарным значениям вероятности нахождения системы в каждом состоянии, вычисляющимся по формуле:
(4)
1ле Д/ количество шагов расчета.
Далее рассчитываем взвешенное время выполнения Т и взвешенную стоимость выполнения процесса С:
т=
е=Е#г
(5)
(6)
Модель бизнес-процесса в нотации А/Ж
В приведенном примере примем вероятность поступления заказа на стандартное изделие равной 0,8, а на нестандартное - 0,2.
Количество шагов определяется по стандаргному правилу, когда расчет останавливается после достижения суммой вероятностей нахождения системы в поглощающих состояниях значения 0,95. В приведенном примере это соответствует 11 шагу расчета.
Полученные формулы позволяют оценить воздействие на бизнес-систему, во-первых, внешних условий -в приведенном примере они моделируются соотношением стандартных и нестандартных заказов: во-вторых -изменения внутреннего качества системы - в приведенном примере это задается как прямой стоимостью и временем выполнения входящих в бизнес-процесс функций, так и изменением соотношения кондиционных и некондиционных изделий, что описывается изменением соответствующих переходных вероятностей.
Подобный подход применяется при оценке инвестиционных рисков [6; 9], поэтому применение стоимостной и временной оценки процесса, взвешенной на вероятность обращения к каждой из функций этого процесса представляется обоснованной.
Для иллюстрации проведем несколько численных экспериментов. Исследуем взвешенную стоимость и взвешенное время выполнения процесса, приведенного в примере при варьировании параметров внешней среды - соотношения стандартных и нестандартных заказов как 50/50, 75/25 и 90/10, а также при варьировании качества работы системы - процент брака 10 %, 20 % и 30 %.
Расчет проведем по формулам (2), (4), (5) и (6) (табл. 2).
Оценка бизнес процесса на основе значений фундаментальной матрицы цепи Маркова. Приведем фундаментальную матрицу для рассматриваемого примера, рассчитанную по формуле (3) (табл. 3).
Таблица 2
Взвешенные оценки процесса Г и С при варьировании параметров внутренней и внешней среды предприятия
Вероятность брака Показатель Соотношение стандартные/ нестандартные
50/50 75/25 90/10
10% # 23,495 19,653 17,347
С 11 376,875 8 896,563 7 408,375
20 % Ї 24,080 20,360 18,128
С 11 970,000 9 505,000 8 026,000
30% т 24,755 21,123 18,943
с 12 654,375 10200,313 8 727,875
урсигил jri.vxi.vyjj ~х^хх ^/1да
формул нету в файле
Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева
Поскольку каждый элемент п матрицы N представляет собой среднее число пребываний процесса в состоянии Б при старте из состояниято можно использовать значения этих элементов для получения взвешенной оценки времени и стоимости выполнения процесса. Строка к фундаментальной матрицы позволяет оценить время и
стоимость Ск выполнения процесса при запуска из к-то состояния по следующим формулам:
£=!>*?;, (7)
/=1
С*=|>ИС,. (8)
/=1
Тогда взвешенное время Т и стоимость С всего бизнес-процесса может быть рассчитана путем взвешивания и ('к на рк - вероятность запуска процесса с к-то состояния (процесса, события).
Т = Т.Р*Тк, (9)
к=\
С = ЦРкСк- (10)
к=1
В приведенном примере /^соответствует вероятностям стартовых событий («Заказ на стандартное изделие» и «Заказ на нестандартное изделие»). Стартовые вероятности остальных состояний равны нулю.
Фундаментальная матрица цепи
Для иллюстрации проведем несколько численных экспериментов, аналогично тому, как это было сделано для Г и С. Исследуем взвешенную стоимость и взвешенное время выполнения процесса, приведенного в примере при варьировании параметров внешней среды - соотношения стандартных и нестандартных заказов как 50/50, 75/25 и 90/10, атакже при варьировании качества работы системы - процент брака 10 %, 20 % и 30 %.
Расчет проведем по формулам (9), (10) (табл. 4).
Сравнение табл. 4 и 6 показывает, что оба способа оценки взвешенной стоимости и времени процессов дают близкие результаты при одинаковых исходных данных. Оба метода верно отражают тенденцию изменения времени и стоимости процесса при изменении внутренней и внешней среды.
На практике предложенные взвешенные оценки Т и Си Г, С могут быть востребованы для сравнительной оценки аналогичных бизнес-процессов двух предприятий (бенчмакинг), а также для оценки последствий внутренних изменений. Так, в приведенном примере можно оценить в деньгах и затраченном времени эффект от мероприятий по повышению качества продукции.
Мы видим, что предложенная методика позволяет оценить поведение системы, исходя из ее вероятностных
Таблица 3
фкова для приведенного примера
51 52 53 ^4 й ^6 ^7 ^8 59 5ю 5ц >5>12 5м
1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 0,75 0,75 0,25 0,25
0,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00 1,00 0,75 0,75 0,25 0,25
53 0,00 0,00 1,00 1,00 1,00 0,00 1,00 0,75 0,75 0,25 0,25
0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 1,00 0,75 0,75 0,25 0,25
0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 0,75 0,75 0,25 0,25
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,75 0,75 0,25 0,25
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,11 0,00 1,00 0,75 0,75 0,25 0,25
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,11 0,11 0,00 1,11 1,00 0,75 0,75 0,25 0,25
5ю 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,75 0,75 0,25 0,25
5ц 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00
>5>12 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00
5м 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00
Таблица 4
Взвешенные оценки процесса и при варьировании параметров внутренней и внешней среды предприятия
Вероятность брака Показатель Соотношение стандартные/ Нестандартные заказы
50/50 75/25 90/10
10% 23,889 19,889 17,489
1 1430,556 8 930,556 7 430,556
20% 25,000 21,000 18,600
12 125,000 9 625,000 8 125,000
30% 26,429 22,429 20,029
13 017,857 10 517,857 9 017,857
характеристик. Описание системы формируется в виде формальной модели бизнес-процесса, наполненной статистическими характеристиками - временами и стоимостями выполнения функций, вероятностями развития процесса по вариантам. Расчет изменения вероятности пребывания системы в состояниях по шагам, а также среднего числа пребываний в состояниях невозвратного множества позволяет накопить статистику по каждому состоянию, показывающую общее число пребываний процесса в данном состоянии (среднее количество выполнения каждой функции, наступления каждого события). Сумма времен и стоимостей выполнения функций, взвешенная на накопленные таким образом вероятности, позволяет оценить бизнес-процесс. При этом изменение управляемых параметров позволяет оценить изменение стоимости и времени бизнес-процесса при различных состояниях внутренней и внешней среды предприятия. Развитие предложенных методов может состоять в автоматизации процессов построения цепей Маркова и их исследовании по структурным схемам бизнес-процессов.
Библиографический список
1. Conventions for process-oriented modeling of a risk management system with ARIS [Электронный ресурс] // IDS Sheer AG. Режим доступа: www.ids-scheer.de. Загл. с экрана.
2. Доррер, Г. А. Моделирование учебного процесса на основе теории цепей Маркова / Г. А. Доррер, А. Г. Доррер, Г. М. Рудакова // Информ. технологии. 2005. № 11. С. 63-69.
3. Доррер, М. Г. Восстановление структуры модели бизнес-процессов организации на основании параметров цепи Маркова, рассчитанных исходя из данных электронного документооборота/М. Г. Доррер, А. А. Некрасова//Вестник СибГАУ 2006. Вып. 5(12). С. 87-90.
4. Каменнова, М. Моделирование бизнеса. Методология АЕЖ. Практическое руководство / М. Каменнова, А. Громов, М. Ферапонтов, А. Шматалюк. М. : Весть-Метатехнология, 2001.
5. Кемени, Дж. Конечные цепи Маркова / Дж. Кеме-ни, Дж Снелл. М.: Наука, 1970.
6. Маршлин, А. М. Экономическая оценка инвестиционных проектов / А. М. Марголин. М.: Экономика, 2007.
7. Харрингтон, Дж. Оптимизация бизнес-процессов документирование, анализ, управление, оптимизация / Дж. Харрингтон, К. С.Эсселинг, X. Ван Нимвеген. М. : Азбука, 2002.
8. Шеер, А. В. Бизнес-процессы. Основные понятия. Теория. Методы: пер. с англ. / А. В. Шеер. 2-е изд., испр. и доп. М.: Просветитель, 1999.
9. Шеер, А. В. Моделирование бизнес-процессов: пер. с англ. / А. В. Шеер. 2-е изд., испр. и доп. М.: Серебряные нити, 2000.
M. G. Dorrer
WEIGHED PROBABILITY ESTIMATION OF THE BUSINESS PROCESS BASED ON THE FORMAL DESCRIPTION OF MARKOV CHAINS
The approach to the estimation of cost and time parameters on the basis of the business - process formal model and the collected statistics is offered. Two approaches for weighed estimation of the business process are offered: on the basis of the total time probabilities of the process period in the prescribed state and on the basis of the average number of the process periods in these conditions state. The received estimations can be applied for comparison of business process performance at procedure implementation and at consequences of business - process improvement estimation.
Key words: business process, Markov chains, weighed estimation
УДК519.2
Н. В. Степанова, А. Ф. Терпугов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ОБЪЕМА ПАРТИИ ТОВАРА СКОРОПОРТЯЩЕЙСЯ ПРОДУКЦИИ
Находится оптимальный объем партии скоропортящегося товара, обеспечивающий получение максимальной прибыли.
Ключевые слова: скоропортящийся товар, прибыль, объем партии.
Постановка проблемы. Пусть имеется некоторая данный товар снимается с реализации и подлежит ути-скоропортящаяся продукция (например, молоко, сме- лизации.
тана, свежая рыба и т. д.), которая должна быть прода- Продавец покупает (или получает от поставщика)
на в течение торговой сессии (например, дня). Непро- партию товара объема <2 по оптовой цене <Л (это может
