CC BY
15
УДК 330:333.3+ 101.542
А. Е. Бахтин
Сибирский университет потребительской кооперации пр. К. Маркса, 26, Новосибирск, 630087, Россия
ВЗАИМОВЫГОДНЫЙ ОБМЕН РЕСУРСАМИ ПРИ ОПТИМИЗАЦИИ СВОИХ ПРОИЗВОДСТВ ФИРМАМИ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ *
В учебной литературе описание процесса обмена товарами, ресурсами или услугами между субъектами наглядно демонстрируется с помощью ящика Эджуорта, причем численное определение положения равновесия в обмене обычно производится на примерах, где участники обмена осуществляют свой выбор на основе хорошо изученных классических функций полезности, обладающих свойствами, для которых в аналитической форме найдены простые однозначные функции спроса и предложения в зависимости от цен и доходов.
В данной статье исследована проблема численного определения равновесия при производстве и обмене ресурсами в ситуации, когда однозначного спроса на них нет, но эта трудность может быть преодолена благодаря специфической особенности исследуемой задачи, упрощающей ее решение. В рассматриваемой ситуации участниками обмена являются фирмы, производящие различные продукты с помощью линейных технологий, которые с целью повышения прибыли заинтересованы в обмене имеющимися у них ресурсами на взаимовыгодных условиях. Предполагается, что полезность деятельности фирмы оценивается величиной получаемой ею прибыли, включающей и ту дополнительную прибыль, которая может быть получена от перераспределения ресурсов в результате обмена.
Предложены два способа построения этой функции. Для такой функции полезности на плоскости ресурсов (факторов) соответствует зигзагообразная ломаная линия «норма обмена - объемы спроса на ресурсы», находящаяся в переговорном множестве. В случае двух участников обмена положение равновесия и равновесная норма обмена ресурсов определяются точкой пересечения соответствующих зигзагообразных ломаных линий на контрактной линии. Зависимость спроса или предложения одного ресурса от нормы обмена выражается кусочной дробно-линейной функцией, а ее график представляет собой своеобразную лесенку, составленную из чередующихся горизонтальных прямых ступенек с вертикальными криволинейными ступеньками, являющимися участками ветвей некоторых гипербол.
Равновесие можно найти и как точку пересечения таких ступенчатых кривых линий спроса и предложения.
Поясним идею метода на примере.
Пусть фирма характеризуется технологической матрицей а = |11238 | и вектором удель-
^32310)
ных прибылей Р = (14, 10,19,11,8). Тогда с помощью предлагаемых прямого или двойственного подходов аналитически определяется функция максимальной прибыли п(Ь), где Ь -двумерный вектор объемов ресурсов.
Изокванта п(Ь)- четырехзвенная ломаная линия. Обозначим е12 норму обмена, которая показывает, сколько единиц второго ресурса приравнивается при обмене одной единицы первого ресурса. Пусть Ь0 = (Ь10 Ь2° ) - начальные объемы ресурсов, тогда Ь2 - Ь20 = -е12(Ь1 - Ь10) - линия обмена ресурсов. Обозначим Б(Ь°, е12) = {Ь > 0 \Ье (1)}
множество наборов ресурсов, на которые можно обменять набор Ь0 по норме е12.
Задача фирмы состоит в следующем:
п(Ь) ^ тах,
Ь е Б(Ь0, е12).
* Представленная публикация является учебным материалом.
1818-7862. Вестник НГУ. Серия: Социально-экономические науки. 2007. Том 7, выпуск 1 © А. Е. Бахтин, 2007
Обозначим B(b0, e12)- оптимальный вектор валового спроса и предложения, который определяется точкой касания линии обмена некоторой изокванты функции п(Ь).
При изменении нормы обмена e12 множество точек спроса образует зигзагообразную ломаную линию, количество звеньев в которой определяется количеством звеньев изокванты функции п(Ь).
Как только норма обмена e12 становится равной норме замещения MRES12 ресурсов в производстве (по прибыли), линия обмена касается целого звена изокванты и спрос становится неоднозначным. В рассматриваемом примере это случится три раза - при MRES12 = 1/8, 2/5, 5/3.
Точно так же строится линия «спрос - норма обмена» другим участником обмена. Для субъектов равновесие можно найти графически, поместив в ящик Эджуорта обе «линии спроса - норма обмена», развернув одну из них на 180 °. Точки пересечения зигзагообразных линий спроса и предложения определяют равновесие. Проведен анализ возможных случаев при определении равновесия.
Двойственный подход к определению зависимости
максимальной величины прибыли от объемов двух ресурсов
Так как основной целью процесса обмена ресурсами является увеличение прибыли, то любая используемая технология выпуска продуктов и потребления ресурсов будет представлять здесь интерес лишь с позиции возможного получения прибыли. Поэтому j-ю технологию будем характеризовать коэффициентом pj, показывающим величину прибыли при использовании этой технологии с единичной интенсивностью xj (pj - это разность между стоимостью производимой по j-й технологии продуктов и стоимостью затрачиваемых ресурсов). Кроме результирующего коэффициента pj выделим в j-й технологии нормы расхода тех ресурсов, по которым намечается обмен.
Задачу производителя запишем так:
PX ^ max,
AX < b, (1)
X > 0.
Итак, пусть в задаче (1) компоненты вектора b являются параметрами, тогда максимум ее целевой функции и оптимальные решения будут зависеть от значений этих параметров.
Обозначим через п (b) максимальную прибыль, а X(b) - оптимальное решение, которое при некоторых значениях параметров b может быть неединственным. В любом случае п (b )= PX(b). Рассмотрим для параметрической задачи (1) двойственную задачу, которая также будет зависеть от параметров b:
bU ^ min,
UA > P, (2)
U > 0,
где U = (u1, u2) - вектор двойственных оценок ресурсов.
Пусть U(b) = (u1(b), u2(b)) - вектор-функция оптимальных (может быть, не единственных) двойственных оценок в задаче (2), минимум целевой функции в (2) равен bU(b), который по основной теореме двойственности равен максимуму целевой функции в задаче (1), т. е.
п (b ) = bU(b) = PX(b). (3)
Известно, что п (b) - выпуклая вверх кусочно-линейная функция, а ее изолинии - выпуклые вниз кусочно-линейные ломаные линии.
Покажем на иллюстративном примере, как в явном виде можно строить функцию полезности п (b) .
Пусть вектор Р и матрица А таковы, как это показано в табл. 1.
Таблица 1
Технологическая таблица первой фирмы
Р 14 10 19 11 8
А 1 1 2 3 8
3 2 3 1 0
В данном примере каждый столбец матрицы А содержит только две компоненты, которые выбраны из многокомпонентного вектора норм, затрачиваемых и используемых по }-й технологии ресурсов, и обмен будет происходить только этими двумя выделенными ресурсами. Отметим, что технологии (столбцы матрицы А) в табл. 1 упорядочены в порядке возраста-
Ь - Л 1 2 3 8
ния отношения — норм расхода обмениваемых ресурсов {—< — < — < — <—).
3 2 3 1 0
что всегда
можно сделать путем перестановки столбцов в матрице.
Запишем двойственную задачу для рассматриваемого примера. Имеем
Ь1ы1 + Ь2 и2 ^ шт (х1) и1 + 3и2 > 14, (х4) 3и1 и2 > 11,
(х2) и1 + 2и2 > 10, (х5) 8щ > 8,
(х3) 2и\ + 3и2 > 19, и\ > 0, и2 > 0.
(4)
В скобках возле двойственного неравенства дана соответствующая ему переменная х}.
На рис. 1 показана неограниченная область допустимых решений задачи (4), которая не зависит от параметров Ь1 и Ь2 (значений компонент вектора Ь).
Прямые линии проведены через выбранные на них две точки, являющиеся одновременно точками пересечения двух «двойственных» прямых. Исключением является прямая щ + 2и2 = 10, которая не является граничной для области допустимых решений задачи (4).
Ь
Исследуем зависимость п (Ь) при увеличении отношения —, определяющего наклон ли-
Ь2
Ь
ний уровня минимизируемой функции Ьи в задаче (4). При малой величине — линия уровня
Ь2
целевой функции Ьщ1 + Ь2и2 = Ьи будет иметь небольшой угол наклона. Следовательно, точкой минимума будет точка (14,0), расположенная на пересечении оси щ и граничной
Рис. 1. Графическое изображение задачи
прямой и\ + 3и2 = 14, имеющей наименьший наклон к оси иь а функция п (Ь) в этом случае будет иметь вид п(Ь)=14Ьь Такой вид будет иметь функция п(Ь) до тех пор, пока линия уровня целевой функции Ьи станет параллельной граничной прямой щ + 3и2 = 14, т.е. пока
— 1
выполняется неравенство — < — .
Ь2 3
Итак, имеем
п (Ь )= 14Ьь (4.1)
— 1 если — < — .
Ь2 3
При = — точка минимума функции п(Ь) не единственная.
Ь2 3
В этом случае любая точка на отрезке с концами (14,0) и (5,3) определяет оптимальное
решение в задаче (4). Как только —- станет больше —, точкой минимума будет единственная
Ь2 3
точка (5,3), а зависимость п(Ь) будет определяться линейной функцией п(Ь)= 5Ь\ + 3Ь2. Эта формула пригодна для определения максимальной прибыли до тех пор, пока увеличи-
—
вающееся отношение — совпадет с наклоном граничной прямой 2щ + 3и2 = 19, т. е. при ус-Ь2
— 2
ловии, что — < — . Объединяя два условия, получим п (Ь) = 5Ь\ + 3Ь2, если
Ь2 3
2 — 1
— > — > - . (4 2)
3 Ь2 3 ( )
— 2
При — = — оптимальными являются все точки отрезка с концами (5,3) и (2,5). Увеличи-
Ь2 3
вая далее отношение —, получим п (Ь) = 2Ь\ + 5Ь2, если Ь2
о — 2
3 > —1 > Г (43)
При ь- = 3 точкой минимума является любая выпуклая линейная комбинация точек (2,5) и Ь2
(1,8). Если — > 3, то точкой максимума становится точка (1,8). Тогда Ь2
п (Ь ) = —1 + 8Ь2 при —- > 3, (4.4)
Ь2
—
и эта формула остается верной при сколь угодно большом увеличении отношения —.
Ь2
В результате проведенного анализа параметрической задачи (2) на примере (4) найдены
все ее оптимальные решения и(Ь) при изменении —- е (0, да) , что равносильно изменению
Ь2
объемов ресурсов в неотрицательном ортанте, а также построена порождаемая этими решениями кусочно-линейная функция максимальной прибыли п (Ь) = —и(Ь).
Представим функцию п(Ь) в табл. 2.
Зависимость максимальной прибыли от объемов ресурсов
Таблица 2
Ь Ь2 > 3Ь 3 3Ь1 > Ь2> -Ь, 2 1 3, , 1, —Ь > Ь2 > — Ь. 2 2 “ 3 1 3Ь > ь
п (Ь) 14Ьі 5Ь1 + 3Ь2 2Ь1 + 5Ь2 Ь1 + 8Ь2
Выше уже отмечалось, что двойственное ограничение щ + 2и2 > 10, соответствующее переменной х2, является пассивной, т. е. оно выполняется, как строгое неравенство для любого вектора Ь, что влечет за собой равенство х2(Ь) = 0. Это означает, что вторая технология фирмы является неэффективной с точки зрения увеличения прибыли при тех рыночных ценах на продукты и ресурсы, которые использованы при расчете р2, т. е. если какую-то часть ресурсов использовать для получения продуктов по второй технологии, то прибыль снизится.
Графически области определения всех четырех линейных частей кусочно-линейной функции п (Ь) показаны на рис. 2 в неотрицательном ортанте на плоскости 0Ь1Ь2.
Проведем через начало координат прямые с уравнениями Ь2 = 3Ь1, Ь2 = 3/2 Ь1, Ь2 = 1/3 Ь1. Эти прямые соответствуют активным (граничным) двойственным ограничениям. Активному ограничению 8^ > 8 соответствует прямая, проходящая по оси Ь1. Указанные прямые линии вместе с осями координат делят неотрицательный ортант на четыре конуса, которые обозначим К,■.
Эти конусы перенумерованы в порядке возрастания соотношения — для принадлежащих
Ь
им точек Ь, т. е. для точек Ь є Кх соотношение — меньше, чем для точек, принадлежащих
Ь2
К2, и т. д.
В конусе К функция п(Ь)=14Ь1, в конусе К2 функция п (Ь )= 5Ь + 3Ь2, в конусе К3 -п (Ь ) = 2Ь1 + 5Ь2, в конусе К4 - п (Ь )=Ь1 + 8Ь2. В точках, расположенных на образующихся конусах, значение функции п (Ь) можно выразить в зависимости от одного аргумента - либо от объема Ь1, либо от объема Ь2, используя для этого соответствующее уравнение образующей прямой. Выразим значение п (Ь) на указанных прямых в зависимости от Ь1, причем это можно сделать двумя способами - с помощью лево- и правосторонних двойственных оценок.
Ь
2
Ь
Рис. 2. Области определения (конусы) линейных частей функции п ( Ь )
3
На прямой Ь2 = 3Ь1 функция п(Ь) = 14Ь1 = 5Ь1 + 3(3Ь1) = 14Ь1, на прямой Ь2 = ^Ь1 -
3 3 19 1 1
-п (Ь ) = 5Ь1 + 3( — Ь1) = 2Ь1 + 5( — Ь1) = — Ь1, на прямой Ь2 = —Ь1 - п (Ь ) = 2Ь1 + 5(—Ь1) +
2 2 2 3 3
+ Ь1 + 8(3 Ь1) = -3- Ь1, на оси Ь1 - п (Ь) = Ь1, а на оси Ь2 - п (Ь) = 0.
С помощью этих формул легко строить линию уровня (изокванту) функции прибыли п(Ь). Для этого нужно сначала найти точки пересечения интересующей линии уровня с прямыми - образующими конусы, а затем соединить эти точки отрезками.
Прямой подход к построению функции полезности — прибыли п (Ь)
Линейные части («куски») функции п (Ь) и соответствующие им конусы можно определить «напрямую», не прибегая к графическому решению двухпараметрической двойственной задачи (2).
Для этого на плоскости 0Ь1Ь2 проведем лучи из начала координат, соответствующие всем технологиям (столбцам) матрицы А, включая и неэффективные технологии. В рассмотренном примере неэффективной является вторая технология, а соответствующий ей луч показан пунктирной линией на рис. 2.
Рассмотрим пять конусов, на которые разбивается неотрицательный ортант, образованных полуосями и полупрямыми, включая прерывистую.
Направляющими этих линий являются векторы-столбцы матрицы А (см. табл. 1), а для
' 0"
полуоси Ь2 - единичный вектор ^ ^ . Каждая пара таких векторов на соседних линиях образует базис в Е2, и любая точка в конусе между этими линиями может быть представлена в виде неотрицательной линейной комбинации векторов этого базиса. Определим двойственные оценки для каждого из указанных пяти базисов, последовательно перебирая их, например, слева направо.
Берем первый базис уравнений
^0 1Л 1 3
и решаем соответствующую ему двойственную систему
откуда щ = 14, и2 = 0.
Вторая система будет иметь вид
0и1 + и2 = 0, и1 + 3и2 = 14,
иі + 3м2 = 14, и1 + 2м2 = 10,
откуда щ = 2, и2 = 4.
Из системы
щ + 2и2 = 10,
2щ + 3и2 = 19
находим щ = 8, и2 = 1.
Выявим неэффективные технологии с помощью найденных оценок.
Известно, что линии уровня функции п ( Ь ) (изокванты) являются кусочно-линейными выпуклыми вниз ломаными линиями. Если смещаться по такой изокванте сверху вниз, то каждое последующее ее звено имеет убывающий наклон или же предельная норма экономического замещения МКЕ812 уменьшается с увеличением объема первого ресурса Ь1. Проверим, удовлетворяют ли этому свойству найденные решения (14, 0), (2, 4), (8, 1) двойственных систем.
Отношения —— в этих решениях равны 1-4, 2, .1. Последовательность этих трех отношений не является убывающей, так как у > -4, что противоречит закону убывающей нормы
замещения вдоль линии изокванты. Это нарушение закона возникло из-за второй технологии, которая использовалась при решении двойственных систем уравнений. Вторую технологию (второй столбец матрицы А) следует удалить, как неэффективную. В неэффективности второй технологии можно убедиться и таким образом. Отложим на всех прямых, соответствующих столбцам матрицы А точки равной прибыли п (b) = п0 и соединим их ломаной. На такой ломаной будет бугорок (выпуклый верх) с вершиной, находящейся на прерывистой линии, так что неэффективные технологии можно обнаружить по таким бугоркам, проводя ломаную линию произвольно фиксированного уровня полезности указанным способом.
^ втар°й стол6ЄЦ из А и ^ дВ°ЙСТВЄ„„ую для 6^ ( 1 , I] .
u— + 3u2 = 14,
2u— + 3u2 = 19,
откуда u— = 5, u2 = 3.
Для остальных двух конусов двойственные оценки уже найдены и они равны (2,5) и (1,S). Следовательно, норма замещения ресурсов после удаления второго столбца станет на звеньях ломаной убывающей.
Графоаналитическое построение линии
«норма обмена - объемы спроса на ресурсы»
Определим те объемы ресурсов, которые фирма желает получить в зависимости от их нормы обмена и найдем графоаналитическим способом ту линию, которую образует геометрическое место двумерных точек валового спроса.
Норма обмена обычно определяется с помощью соотношения учетных цен на ресурсы либо в случае простого бартерного обмена с помощью коэффициента обмена, что теоретически равнозначно. Обозначим норму (коэффициент) обмена через e12, который показывает, сколько единиц второго ресурса приравнивается при их обмене одной единице первого ресурса. Обратная величина 1/е12 = е21 показывает необходимое количество первого ресурса для обмена его на единицу второго ресурса.
Сравнивая норму технологического или же экономического (по прибыли) замещения ресурсов в своем производстве с нормой обмена ресурсов, фирма может определить свое поведение в процессе обмена. Обозначим b0 - вектор имеющихся начальных запасов ресурсов. Тогда если норма экономического замещения (по прибыли) MRES12 (b0) < е12, то фирме выгоден обмен первого ресурса на второй. Если же MRES12 > e12, то ей выгоден противоположный обмен.
При равенстве обеих норм обмен ресурсов не приведет к получению дополнительной прибыли.
Зафиксируем норму е12 на определенном уровне и рассмотрим прямую линию, проходящую через точку b0 с наклоном -е12 к оси Ь—. Ее уравнение будет иметь вид
—2 - —0 = Єц (bl - -10). (5)
Обозначим B(b0, е12) = {— > 0 j b є (5)} - множество наборов ресурсов, на которые можно обменять набор b0 по норме е12 ( аналог бюджетного множества ). Тогда задача фирмы при обмене ресурсов по норме е12 состоит в следующем:
п (b)
^ max, (б)
b є B (b0, є—2). ( )
Оптимальные решения b (b0, е12) в задаче (б) определяются точкой (точками) касания не-
которой изокванты функции прибыли п (b) линии обмена (5).
Покажем на нашем примере, как на плоскости b1b2 выглядит геометрическое место точек валового спроса b(b0, е12) при фиксированном b0 и изменяющейся норме обмена е12.
Пусть начальные объемы ресурсов фирмы равны b0 = (200, 30). Эта точка находится в конусе K4 (см. рис. 2), в котором максимальная прибыль определяется с помощью линейной функции п (b) = Ь— + Sb2, следовательно, п(Ь0) = 200 + S • 30 = 440. Это означает, что, используя собственные ресурсы в производстве, фирма может рассчитывать максимум на 440 ед. прибыли. На рис. 3 проведена изокванта п (b )= 440, проходящая через точку b0, которая
представляет собой четырехзвенную выпуклую вниз ломаную линию (по числу линейных частей функции п (Ь)). Каждое ее звено имеет наклон, равный предельной норме экономического замещения ресурсов МКЕ812. Отметим, что в любой внутренней точке какого-либо конуса эта норма замещения постоянна.
Показатель МКБ812 для функции полезности п (Ь) в рассматриваемом примере может принимать одно из трех значений: 1/8, 2/5, 5/3. Все звенья семейства ломаных изоквант функции п (Ь), лежащие в одном конусе, параллельны друг другу и отличаются лишь их
длиной и высотой. Чем выше (дальше от начала координат) звено в конусе, тем больше его длина.
Так как в точке Ь0 = (200, 30) норма замещения ресурсов МКЕ812 имеет значение, равное 1/8, то фирма может принять участие в обмене первого ресурса на второй, только если £12 > 1/8.
Теоретически возможный обмен второго ресурса на первый при е12 < 1/8 мы исключим, предполагая, что спроса на второй ресурс на рынке обмена при такой норме обмена не будет.
Рис. 3. Четырехзвенная выпуклая вниз ломаная изокванта функции п(Ь), проходящая через Ь0, и зигзагообразная жирная шестизвенная ломаная линия точек валового спроса в зависимости от нормы обмена в интервале 1/8 < е12 < 5/3
Поэтому множество допустимых норм обмена е12 для рассматриваемой фирмы будем считать ограниченным снизу величиной 1/8, т. е. е12 > 1/8.
Для интервала возможных изменений нормы обмена реально существует и верхняя граница, которая определяется сравнительной эффективностью использования ресурсов у других участников рынка обмена. Участник обмена не станет менять второй ресурс на первый, если е12 будет больше значения МКЕ812 в его производстве. Некоторая оценка для этой верхней границы может быть выяснена фирмой в процессе торгов, предшествующих обмену.
Итак, начнем исследование точек спроса фирмы с точки Ь0 = (200, 30) в направлении увеличения объема второго ресурса и уменьшения объема первого по прямой обмена (5) при
1
1
е12 = —, т. е. вдоль прямой Ь2 - 30 = — (Ь1 - 200) или Ь1 + 8Ь2 = 440. Так как линейная ломаная
8
8
изокванта п (Ь) = л(Ь0) = 440 касается этой прямой всем своим нижним звеном в конусе К4,
то интересующие нас точки максимума в задаче обмена (6) при е12 = 1 - это точки отрезка,
8
соединяющего точку Ь0 = (200, 30) с точкой (120, 40) (см. рис. 3), являющейся точкой пересечения прямой обмена с линией Ь2 = 1/3Ь1. Этот отрезок является первым звеном зигзагообразной жирной ломаной линии на рис. 3, представляющей множество точек спроса Ь(Ь0, е12) фирмы при возможных значениях нормы обмена е12.
При увеличении нормы обмена е12 (е12 > 1) линия обмена (5) будет поворачиваться впра-
8
во вокруг точки Ь0. При этом она будет касаться ломаных изоквант функции п (Ь) более высокого уровня в их вершинах, расположенных на прямой Ь2 = 1/3Ь1. Точки спроса Ь(Ь0, е12) будут находиться на прямой Ь2 = 1/3Ь1 при увеличении е12 до тех пор, пока норма обмена е12 станет равной второму по величине значению нормы экономического замещения ресурсов, т. е. вплоть до е12 = МКЕ812 = 2/5. Множество всех точек спроса Ь(Ь0, е12) при 1/8 < е12 < 2/5 на линии Ь2 = 1/3 Ь1 образует отрезок с концами (120, 40), (150, 50), являющийся вторым звеном зигзагообразной ломаной линии «норма обмена - валовой спрос». Отметим, что при движении точки по второму звену прибыль фирмы растет, в отличие от перемещения ее по первому звену, где она остается постоянной.
При е12 = 2/5 уравнение прямой обмена равно Ь2 - 30 = -2/5(Ь1 - 200) или 2Ь1 + 5Ь2 = 550. Такой прямой обмена изокванта п (Ь ) = 550 касается всем своим звеном в конусе К3. На прямой обмена - это отрезок с концами (150, 50) и (58, 87), являющийся третьим звеном ломаной линии точек спроса. Аналогично определяются последующие зигзаги искомой линии точек валового спроса на ресурсы при увеличении нормы обмена е12.
Четвертое звено ее расположено на верхней образующей конуса К3 (или нижней образующей конуса К2). Пятое звено совпадает с звеном изокванты функции п (Ь) в конусе К2,
имеющей уравнение 5Ь1 + 3Ь2 = 5 • 200 + 3 • 30 = 1090. Последнее, шестое звено линии точек спроса будет находиться на верхней образующей конуса К2 с началом в точке (78,234).
Рассмотрим второго участника - фирму-производителя некоторой своей продукции, имеющей желание обмениваться теми же ресурсами, что и первая фирма.
В табл. 3 показаны технологические способы производства второй фирмы.
Таблица 3
Технологическая таблица второй фирмы
Р 6 9 7 10 14 10
0 1 1 2 4 2
А 6 2 1 1 1 1
Возьмем начальные запасы обмениваемых ресурсов Ь = (50, 170) и выполним такое же построение для получения функции полезности (максимум прибыли) п' (Ь') на основе табл. 3. Функция п' (Ь') построена нами прямым способом и ее линейные части можно увидеть на рис. 4. Проведем графически для функции п' (Ь1) изокванту, проходящую через точку начальных объемов (50, 170), которая будет иметь уровень 520. Затем построим соответствующую функции полезности п' (Ь') зигзагообразную (не полностью) линию «норма обмена - точки
спроса» и представим полученные расчеты и графические построения на рис. 4. Под рисунком выписаны координаты всех вершин двух ломаных линий, начиная с начальной точки Ь 0 при движении сверху вниз.
Поместим теперь обе линии точек спроса в ящик Эджуорта размером 250 х 200, развернув вторую линию на 180 (рис. 5). Эти линии пересекаются в точке В , являющейся точкой равновесия. Ее координаты найдем из равенства спроса и предложения при обмене.
I
Обозначим спрос на первый ресурс Ь1 и Ь для первой и второй фирм соответственно, »
аналогично Ь2 и Ь 2 - спрос фирм на второй ресурс. Предложения ресурсов - это начальные
1 0 и’0 т0 0
запасы ресурсов, т. е. Ь1 , Ь1 , Ь 2 , Ь 2 .
Кроме этого, необходимо записать, что прямая линия обмена касается обеих функций полезности в точке равновесия. Это условие выполняется, так как В находится на пересечении
Рис. 4. Изокванта второй фирмы п'(Ь') = 520, имеющей уровень 520, проходящая через точку начальных объемов ресурсов (50, 170).
Жирная зигзагообразная линия - линия спроса на ресурсы с учетом обмена, порожденная технологической таблицей. Координаты вершин изокванты п'(Ь') = 520: (50, 170), (58, 115), (74, 74), (104, 52), (149, 37); координаты вершин ломаной линии точек спроса в зависимости от нормы обмена (50, 170), (58, 115), (66, 131), (84, 84), (118, 118), (166, 83)
образующих Ь2 = 3/26] и Ь2 = 1/2 где расположены звенья зигзагообразных линий «спрос -норма обмена». Имеем систему уравнений для определения равновесия:
Ь]+ Ь = 250 (= Ь? + Ь]0),
Ь2+ Ь2 = 200 (= Ь 2 + Ь 20),
3 *
— Ь] + Ь 2 = 0,
2 2
1 ' '
— Ь]+Ь2 = 0.
2 1 2
Решая ее, получаем Ь = (75; 112,5), Ь '= (175; 87,5).
Вычитая из начальных объемов ресурсов, получим равновесный чистый спрос на ресурсы обоих участников обмена.
25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Рис. 5. Линии точек спроса пересекаются в точке равновесия В при равновесной норме е1 2 = 0,66:
-----линии точек спроса на ресурсы при обмене первой фирмы;
----- линия точек спроса при обмене второй фирмы
По первому ресурсу чистое предложение фирмой 1 равно 200 - 75 = 125, а чистый спрос на второй ресурс равен 112,5 - 30 = 82,5. Естественно, для второй фирмы имеет место обратная ситуация: чистый спрос по первому ресурсу равен 175 - 50 = 125, а чистое предложение второго ресурса равно 170 - 87,5 = 82,5. В положении равновесия чистый спрос на ресурс одной фирмы равен чистому предложению этого же ресурса второй фирмы.
Обмен ресурсов для получения равновесия положения должен происходить по коэффициенту обмена е1, 2 = 82,5/125 = 0,66.
Итак, равновесие достигается, если за единицу первого ресурса предлагается 0,66 единиц второго ресурса. Подсчитаем теперь, какую выгоду получили фирмы-производители при производстве продуктов с обменом ресурсов.
До обмена на собственных запасах первая фирма имела прибыль 440 ед., а вторая -520 ед. В результате взаимовыгодного обмена фирмы увеличат свою прибыль.
Новые прибыли станут равными:
• для первой фирмы
п(~) = п (75; 112,5) = 5-75 + 3-112,5 = 712,5 (так как Ь е К3 (см. рис. 2), то п(Ь) рассчитывается по соответствующей этому конусу линейной функции), —=-----------— = 162 %;
п(Ь0) 440
для второй фирмы п '(Ь') = п '(175; 87,5) = 2-175 + 6-87,5 = 875,
= 168 %.
п'(~) = 875
п' (Ь '0) 520
Как видно, производство с обменом значительно эффективнее производства без всякого взаимодействия между фирмами. Следует отметить, что здесь мы рассматриваем самую простую форму взаимодействия. Ранее нами исследована [1] другая форма взаимодействия -использование части ресурсов в производстве другого субъекта или же сдача в аренду на определенный срок оборудования на взаимовыгодных условиях, например путем дележа дополнительно получаемой прибыли.
Список литературы
1. Бахтин А. Е. Анализ модели взаимодействия фирм при оптимизации производства продукции с помощью собственных и заемных денег // Совершенствование институциональных механизмов в промышленности: Сб. тр. Новосибирск, 2005. С. 136-156.
Материал поступил в редколлегию 20.11.2006
