CC BY
103
УДК 621.391.244
В.А. Кологривов, C.B. Мелихов
Взаимосвязь интерполяции, аппроксимации и преобразования Фурье
В работе алгоритм дискретного преобразования Фурье интерпретируется как алгоритм гармонической интерполяции либо гармонической аппроксимации. Установлена взаимосвязь алгоритмов интерполяции, аппроксимации и дискретного преобразования Фурье
При проектировании систем цифровой радиосвязи всегда жестко ставятся задачи минимизации используемого спектра частот и снижения уровня внеполосного излучения [1]. Эти параметры, в свою очередь, определяются используемой формой символьного импульса, модуляцией и алгоритмами обработки сигнала. Среди используемых алгоритмов обработки цифрового сигнала центральное место занимают дискретное преобразование Фурье (ДПФ) и его разновидность — быстрое преобразование Фурье (БПФ) [2]. Известно множество вариантов ДПФ и БПФ, реализуемых как программно, так и аппаратно, однако при традиционном изложении вариантов ДПФ и БПФ они являются достаточно трудными для понимания.
В статье предлагается интерпретация алгоритма ДПФ как варианта алгоритма гармонической интерполяции либо аппроксимации, которая, на наш взгляд, позволяет детальнее понять суть алгоритма ДПФ и его возможные варианты.
Одномерная степенная интерполяция. Для понимания сути интерполяции целесообразно обратиться вначале к одномерной полиномиальной интерполяции степенным полиномом [3]. Пусть сложная аналитическая зависимость либо экспериментальные данные заданы в дискретной табличной форме Y(xt) = [¡/¡] и X = [д:£] в (л+1) точке, i - 0,1,2,...,«, интервала интерполяции, называемых узлами интерполяции, с равномерным шагом h = xi+1 - xl. Требуется определить коэффициенты степенного полинома n-го порядка
Р(х)= •** , i=0
который в узлах интерполяции давал бы значения, совпадающие с табличными. Записывая значения полинома в узлах интерполяции
а^ + х0 • at + xl - а2 + ■■■ + х% ■ ап = у0, Oq + • О! + х? ■ а2 + ■■■ + х? ■ ап = уи
Oq + х2 • Oi + х\ ■ а? + ••• + xl ■ ап = у2, .....................>
а0 + хп а1 + хп'а2 + ••• + хп'ап = Уп>
получаем определяющую систему линейных алгебраических уравнений (и+1)-го порядка. В векторно-матричной форме определяющая система уравнений имеет вид
где = — матрица Вандермонда, построенная из табличных значений аргумента; А - [а; ] — вектор неизвестных (вектор коэффициентов определяемого полинома); У = [¡/г ] — вектор свободных членов, построенный из табличных значений функции. Коэффициенты
х0 • хоп~ % Уо
Х1 Уг
х2 г2 2 ■ 4 а2 — У2 , или W-A = Y,
хп X2 . .У п.
интерполирующего полинома могут быть определены из решения определяющей системы уравнений
А = IV-1 • У .
Подставляя коэффициенты в исходный полином либо в определяющую систему уравнений, получаем интерполируемые значения дискретно-заданной функции. Отметим, что в данном случае порядок полинома определяется числом узлов интерполяции.
Одномерная степенная аппроксимация. Задача аппроксимации формулируется следующим образом [3]. Исходные экспериментальные данные У(х1) = [¡/¡] и X = [дс;] зашумлены, то есть определены с погрешностью, поэтому с целью снижения влияния ошибок измерений размерность таблицы т. задается больше порядка аппроксимирующего степенного полинома л. Требуется определить коэффициенты аг степенного полинома л-го порядка
Р(х)=2агх\ г=о
который давал бы минимальную сумму квадратов отклонений относительно экспериментальных данных
А2 = ш
т 9
£ (у (*г)-р(х2»2
1=0
где /га > л. При этом предполагается, что избыточность исходных данных может быть использована для нивелирования погрешностей исходных данных.
Исходная система уравнений имеет общий вид
W■A = Y,
где ТУ = J — матрица коэффициентов системы, построенная из табличных значений аргумента размерности т. х (л + 1); А = [а£] — вектор коэффициентов аппроксимации размерности
(п + 1) х 1; У = [¡/¡] — вектор свободных членов, построенный из табличных значений функции размерностью тх 1.
В данном случае исходная система уравнений переопределена (число строк матрицы коэффициентов больше числа столбцов) и не может быть решена обычным образом. Решение ищется на основе метода наименьших квадратов отклонений значений аппроксимирующего полинома от табличных значений [3]. В векторно-матричной форме сумма квадратов отклонений записывается в виде
= А* Ж' ТУ- А -А* -ТУ* У - У' Ж- А + У' У .
Сумма квадратов отклонений А2 (А) интерпретируется здесь как функция векторного аргумента.
Экстремум суммы квадратов отклонений как функции от коэффициентов аппроксимирующего полинома определяется из равенства нулю производной по вектору А:
¿(А2 (А)) / £М = 2-Ж(ЖА-2ТУ'У = 0.
В результате приходим к определяющей системе линейных алгебраических уравнений размерности л + 1:
УГ* = - У .
Как видим, исходная переопределенная система уравнений умножается справа на транспонированную матрицу коэффициентов . Результирующая матрица коэффициентов ■ имеет размерность (л 4- 1) х (л + 1), а вектор свободных членов Т¥* У — (л + 1) х 1. Из решения полученной определяющей системы определяем вектор коэффициентов аппроксимирующего полинома А размерности (п + 1) х 1:
А = [V' • Ж]"1 • ЦТ' ■ У .
Подставляя коэффициенты в исходный полином, получаем аппроксимируемые значения дискретно-заданной функции. При этом значения аппроксимирующего полинома порядка п дадут минимальную сумму квадратов отклонений от табличных значений.
Для того чтобы убедится, что решение соответствует минимуму суммы квадратов отклонений, найдем вторую векторную производную суммы квадрата отклонения по вектору А:
¿2(Д2(Л)) /{¿А)2 = 2 ■ У?' - XV > О .
Поскольку вторая производная является в данном случае положительно определенной квадратичной формой, следовательно, решение определяющей системы уравнений соответствует минимуму суммы квадратов отклонений значений аппроксимирующего полинома от табличных значений.
Аналогичным образом ставятся и решаются задачи интерполяции и аппроксимации на плоскости с использованием полиномов от двух переменных, а также в многомерном пространстве с использованием полиномов от нескольких переменных.
Отображение сигналов в спектральную плоскость. Дискретное преобразование Фурье. Для отображения периодических сигналов из временной в частотную область и наоборот необходимо, по крайней мере, одновременное и симметричное присутствие в интерполирующих функциях времени t и частоты со. Кроме того, интерполирующие функции также должны быть периодическими. На роль интерполирующих функций при спектральном отображении сигналов подходят гармонические функции вида згп(ш ■ £), соэ(со • е±; ш' = сов(о) • £) ± ± ] • вш(о) • . Предпочтение следует отдать наиболее общей функции гармонического осцилля-тора е ' = е ' 'с периодом повторения Т, где со = 2 ■к/Т — круговая частота
первой гармоники; * = к ■ М — текущее время; I — номер гармоники частоты; Д£ = Т /N — шаг дискрета по времени (шаг интерполяции); к — номер дискрета по времени; N — число отсчетов на периоде повторения (обычно N = 2", где п — целое положительное число).
Отображение периодических сигналов (как вещественной функции времени) в комплексную плоскость (как функции частоты) предполагает интерполяцию дискретно-заданных временных отсчетов на периоде повторения Т суммой экспонент вида
НЧ) = № ■ до = с, . е'1^ = £2 сг . е'-2 ^1^ (
1=-Ы / 2 ¡=-N/2
N N N N
где к =--,--+ 1, •--, О, •••,--1, —; С; — коэффициент интерполяции (значение соответ-
2 2 2 2
ствующей спектральной составляющей сигнала). Порядок интерполирующего полинома равен N + 1. Задача заключается в определении интерполирующих коэффициентов с1 как спектральных составляющих периодического сигнала.
Так как экспоненты е''2 п Ы — комплексные функции, то в общем случае интерполирующие коэффициенты сигнала с, = • со) = вг, представляемого дискретной вещественной функцией времени, соответствуют дискретной комплексной функции частоты (дискретному спектру).
Функция = е'2г/(ЛГ+1) представляет собой множитель вращения единичного вектора на угол <р = 2 • л • I /(И +1). Используя множители вращения, запишем определяющую систему уравнений гармонической интерполяции в виде
или в векторно-матричной форме
где — матрица коэффициентов системы размерности (/V + 1) х (/V + 1); С; — вектор коэффициентов интерполяции размерности (ЛГ + 1) х 1; Рк — вектор отсчетов сигнала на периоде повторения размерностью (ЛГ + 1) х 1.
В покомпонентной записи определяющая система уравнений с точностью до нормирующего множителя совпадает с записью обратного дискретного преобразования Фурье [2, 4]:
N/2 N/2
¡=-N/2 Ы-Ы/2
Коэффициенты интерполирующего полинома могут быть определены из решения определяющей системы уравнений:
С, = • Л = • К.
1 " N + 1 V > к
Матрица коэффициентов определяющей системы уравнений ортогональна, следовательно, обратная матрица равна транспонированной и комплексно-сопряженной (эрмитово-сопряжен-ной). Интерполирующие коэффициенты есть спектральные компоненты периодического сигнала во времени.
В покомпонентной записи решение определяющей системы уравнений с точностью до нормирующего множителя совпадает с записью прямого дискретного преобразования Фурье:
1 N/2 ЛГ/2
* + 1 кЛ/2 " * + 1 к^/2
Подставляя коэффициенты в исходную определяющую систему уравнений, получаем интерполируемые значения дискретно-заданного периодического сигнала. Отметим, что в данном случае порядок системы уравнений ЛГ + 1 определяется числом отсчетов сигнала на периоде повторения.
Дискретное преобразование Фурье периодических сигналов широко используется в цифровой радиосвязи для оценки спектральной эффективности используемых сигналов и методов модуляции.
Гармонической интерполяции часто отдается предпочтение при обработке экспериментальных данных, так как в силу ортогональности определяющей системы уравнений она является численно устойчивой.
Гармоническая аппроксимация. Отображение сигналов в спектральную плоскость можно интерпретировать и как задачу гармонической аппроксимации. При этом число отсчетов сигнала за период повторения М > N , где N — порядок аппроксимирующего полинома. Исходная система уравнений имеет вид
где \¥к'1 — матрица коэффициентов системы размерности (М + 1) х (Ы + 1); С/ — вектор коэффициентов аппроксимации размерности (ЛГ + 1) х 1; ^ — вектор отсчетов сигнала на периоде повторения размерностью (М + 1) х 1.
В данном случае исходная система уравнений переопределена (число строк матрицы коэффициентов больше числа столбцов) и не может быть решена обычным образом. Решение ищется на основе метода наименьших квадратов:
(ж*"г)+ • ■ С1 = -Вк\ Сг = • У?"1 j • •
где {уук11 • №'к'1 — матрица коэффициентов определяющей системы уравнений размерности
(ЛГ + 1) х (ЛГ + 1); С, — вектор коэффициентов аппроксимации размерности (# + 1)х1;
к /\+
МУ ' \ ^— вектор свободных членов определяющей системы уравнений размерностью (ЛГ + 1) х 1.
Так как матрица коэффициентов определяющей системы уравнений ортогональна, то обратная матрица равна эрмитово-сопряженной, а коэффициенты гармонической аппроксимации могут быть определены выражением
Результат аппроксимации дискретно-заданного периодического сигнала можно предста-
Гармоническая аппроксимация может быть использована как при обработке зашумлен-ных экспериментальных данных [4], так и при оценке спектральной эффективности сигналов и модуляции цифровых систем радиосвязи в присутствии помех.
Таким образом, в работе установлена взаимосвязь задач интерполяции, аппроксимации и дискретного преобразования Фурье и получены аналитические выражения, необходимые при обработке экспериментальных данных и оценке спектральной эффективности цифровых систем радиосвязи.
Литература
1. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение / Б. Скляр, ; пер. с англ. - 2-е изд. - М. : Вильяме, 2003. - 1104 с.
2. Вычислительные математика и техника в разведочной геофизике : справ, геофизика / под ред. В.И. Дмитриева. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : Недра, 1990. - 498 с.
3. Журкин И.Г. Методы вычислений в геодезии : учеб. пособие / И.Г. Журкин, Ю.М. Нейман. - М. : Недра, 1988. - 304 с.
4. Влах И. Машинные методы анализа и проектирования электронных схем / И. Влах, К. Сингхал ; пер. с англ. - М. : Радио и связь, 1988. - 560 с.
Кологривов Василий Андреевич Доцент каф. средств радиосвязи ТУСУРа Телефон: (3822) 413709 Эл. почта: [email protected]
Мелихов Сергей Всеволодович
Д-р техн. наук, профессор, зав. каф. средств радиосвязи ТУСУРа
Телефон: (3822) 413709
Эл. почта: [email protected]
V.A. Kologrivov, S.V. Melikhov
Interrelation of interpolation, approximation and Fourier transformation
In the paper, algorithm of the discrete Fourier transformation is treated as an algorithm of harmonic interpolation or harmonic approximation. Interrelation of interpolation, approximation and Fourier transformation has been found.
вить в виде
Fh = Wk l ■ С,.
