CC BY
47
УДК 539.37:537.221
ВЗАИМОСВЯЗЬ ДИНАМИЧЕСКОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ ЛЬДА С ЭВОЛЮЦИЕЙ ДИСЛОКАЦИОННЫХ СКОПЛЕНИЙ И ТРЕЩИН
© А.А. Шибков, Р.Ю. Кольцов, М.А. Желтов, В.В. Скворцов, А.В. Шуклинов
Shibkov A.A., Koltsov R.Y., Zheltov M.A., Skvortsov V.V., Shuklinov A.V. The relationship between the dynamical polarization of an ice crystal and the evolution of dislocation pile-ups and cracks. The nature of the electrical activity of dislocation pile-ups and cracks in ice I* is considered. The correlation was found between the shapes of electromagnetic emission signals caused by dislocation dynamic polarization and the evolution of slip bands.
ВВЕДЕНИЕ
В [1-13] показано, что собственное электромагнитное излучение в полосе частот ~ 102 - 106 Гц кристалла с преимущественно ионным типом связи, подвергнутого механическому и/или тепловому воздействию, характеризует его неравновесность в данных условиях испытания и является признаком происходящих в кристалле процессов структурной релаксации (пластической деформации и разрушения). Обнаружено, что динамика дислокационных полос скольжения и трещин в соединениях А^7 [2-10] и А2В6 [12] сопровождается характерными сигналами электромагнитной эмиссии (ЭМЭ), позволяющими идентифицировать in situ эти события в более сложном процессе структурной релаксации (например, в условиях множественного скольжения [2], при индентировании [9], лазерном уколе поверхности [10] и т. д.), устанавливать корреляционные связи между ними, проводить статистический и муль-тифрактальный анализ [11], оценивать скорости роста головной группы дислокаций, заметенной скоплением площади, объема полости трещины [7] и т. д. Во льде, также как и в соединениях А^В8-1, дислокации переносят электрический заряд, а берега быстрой трещины электрически активны, поэтому нестационарное движение дислокационных скоплений, микро- и макротрещин должно вызывать генерирование электромагнитного излучения.
Цель настоящей работы заключалась в аналитическом исследовании природы собственного электромагнитного излучения при пластической деформации мо-но- и поликристаллического льда.
ПОЛЯРИЗАЦИЯ ЛЬДА АКТИВНЫМ СКОПЛЕНИЕМ ДИСЛОКАЦИЙ И ТРЕЩИНОЙ
Гексагональная фаза льда I (лед I*), существующая при атмосферном давлении, имеет решетку вюрцита, в узлах которой находятся атомы кислорода, а протонная подсистема не является кристаллической, что соответствует случайным пространственным ориентациям молекул H2O. Положения протонов в «идеальном» кристалле льда определяются правилами Бернала - Фаулера: 1) около каждого атома кислорода находятся два протона (как в молекуле воды); 2) на каждой связи,
соединяющей два атома кислорода, находится один протон [14].
Заряженные точечные дефекты локализованы на связях, в которых эти правила нарушены. Они образуют две пары протонных носителей заряда во льду: молекулярные ионы ОН- и Н^+, в которых атомы кислорода соседствуют с одним и тремя протонами соответственно, и ориентационные дефекты Бьерума с дефицитом протона (отрицательный Ь-дефект) и двумя протонами на связи (положительный Б-дефект) [15]. Ионы ОН- и Н^+ перемещаются за счет смещения протонов вдоль связей, а дефекты Бьерума - за счет поворота молекул Н20. Все протонные носители заряда являются тепловыми с энергией активации 0,96 эВ для пары ионов и 0,68 для пары дефектов Бьерума. Кроме того, при легировании льда немногими растворимыми в нем кислотами и щелочами, образующими твердый раствор замещения, в структуре льда появляется избыточное количество носителей заряда: при легировании плавиковой кислотой появляются дополнительные ионы H3O+ и Ь-дефекты, а при легировании аммиаком - дополнительные ионы ОН- и Б-дефекты [16].
Согласно [17], краевая дислокация во льду имеет на краю экстра-плоскости оборванные водородные связи, и если количество оборванных связей с протонами и без протонов не равны между собой, то дислокация будет электрически заряжена. Ядро дислокации может приобрести локальные заряды за счет поворотов молекул Н20, т. е. захвата дефектов Бьерума и/или за счет захвата ионов ОН- и Н^+. Последние, однако, не могут перемещаться вместе с дислокацией и являются, таким образом, мелкими заряженными стопорами, поэтому заряд статической дислокации отличается от заряда подвижной дислокации. Величина погонного заряда д двигающейся краевой дислокации, как предполагается, определяется избытком дефектов Бьерума определенного типа, который создается легированием льда примесью замещения (например, НЕ или №Н3), что качественно аналогично природе заряжения краевой компоненты дислокации в ионных кристаллах [18, 19].
В равновесии заряд дислокации заэкранирован облаком протонных точечных дефектов противоположного знака, но в ходе пластической деформации дислокация может отделиться от этого облака. Экспериментально информация о величине погонного заряда дви-
жущейся дислокации извлекалась из измерений дислокационных токов, возникающих при растяжении предварительно изогнутых кристаллов льда [20], а также из измерений подвижности дислокации во внешнем электрическом поле [21]. В этих экспериментах знак заряда дислокации был определен положительным, а его величина - в пределах от 0,001 до 0,01 е/а , где е - элементарный заряд, а - параметр решетки.
В условиях измерения сигнала ЭМЭ, из-за отсутствия гальванического контакта с образцом, последний остается электрически нейтральным за время измерения, поэтому отрыв дислокаций от компенсирующего облака противоположного заряда должен вызвать электрическую поляризацию кристалла. Для исследования ее связи с величиной пластического сдвига рассмотрим эволюцию плоского скопления прямолинейных базисных краевых дислокаций одного механического знака («одностороннее» скопление) с линейной плотностью Р(г) = dN / dz, где г - координата дислокации в скоплении, а dN - количество дислокаций в интервале от г до г + dz. Изменение дипольного момента образца при распространении одностороннего скопления определяется выражением
Lp (t)
AP(t) = ql J P(z)zdz = q&Sp b/b,
(1)
где I - длина дислокации, Ьр - длина скопления, АУ -
площадь, заметаемая скоплением, Ь - вектор Бюргер-са. Учитывая очевидную связь между заметаемой площадью и деформацией образца Ак = (Ь, п) х хАУр /У0 (где п - единичный вектор, направленный вдоль оси сжатия, а 50 - поперечное сечение образца), получим соотношение между амплитудой скачка деформации Ак и вызванного им изменением дипольного момента кристалла:
bAP (b, n) bK cos а ЛИ = ^---------------= —------ф„
|q|S о |q|S o
(2)
где а - угол между векторами Ь и п, а К = = АР/ф т = 5-10-10 Кл-м/В - калибровочный коэффициент, который определялся с помощью эталонного диполя, помещенного вместо образца. Принимая для оценки а = 45°, д ж 10~3е/а = 3-10-13 Кл-м [20], а = = 45 нм, Ь = а/3 [22], 5о « 2-10-4 м2, получим что сигнал ЭМЭ I типа с амплитудой ф т = 1 мВ вызван скачком пластической деформации Ак ж 2 мкм. Это значение хорошо согласуется с данными исследования скачков деформации в работе [54] и соответствует эволюции скопления из N ~ 104 дислокаций со средней
плотностью Р ж 5-103 см-1 и средним расстоянием
между дислокациями d ж 2 мкм.
Согласно представлениям, развитым в [23], поверхность растущей трещины заряжается за счет псев-допьезоэлектрического эффекта - восходящей диффузии протонных носителей заряда в неоднородном упру-
гом поле вершины трещины. В результате ее берега приобретают противоположные заряды, а кристалл с растущей трещиной - дипольный момент
(3)
где асг - средняя плотность поверхностного заряда, ёсг -среднее раскрытие трещины, А^. - объем полости тре-
щины, nc
единичный вектор, направленный от отрица-
тельной поверхности трещины к положительной.
Таким образом, наиболее значимые события на мезоскопическом уровне пластической деформации и разрушения льда приводят к его поляризации. Как видно из формул (1) и (3), значение дипольного момента, приобретенного в результате зарождения и перемещения скопления заряженных дислокаций и образовании микротрещины, определяется произведением электрической характеристики носителей процессов структурной релаксации (погонного заряда дислокации и поверхностной плотности заряда трещины) и количественной меры их необратимости (заметаемой дислокациями площади и объема трещины). Возможность бесконтактного измерения поляризации кристалла льда определяется тем, что дипольный момент, как известно, является источником дальнодействующего электрического поля (выходящего за пределы электрически нейтрального образца). Следует иметь в виду, что это поле искажается вследствие проводимости льда, причем степень искажения зависит от соотношения между продолжительностью процесса At (например, временем развития трещины или дислокационного скопления) и временем диэлектрической релаксации т d . Если
At << т d, то потенциал электрического поля вне системы ф(/) - сигнал ЭМЭ -, непосредственно несет информацию о мгновенном значении дипольного момента мезодефекта и, следовательно, о кинетике соответствующего процесса структурной релаксации (скачке пластической деформации и/или разрушения), при обратном соотношении характерных времен At >> т d такую информацию несет первообразная электрического сигнала.
ИДЕНТИФИКАЦИЯ МЕЗО- И МАКРОПРОЦЕССОВ СТРУКТУРНОЙ РЕЛАКСАЦИИ ВО ЛЬДЕ ПО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМУ СИГНАЛУ
В работе [54] показано, что наиболее важным параметром сигнала ЭМЭ является длительность переднего фронта tfr. Гистограмма фронтов импульсов позволяет классифицировать их на сигналы I типа, вызванные скачками пластической деформации, и сигналы II типа, обусловленные развитием трещин в образце. Объективность такой классификации подтверждена комплексом экспериментальных in situ исследований динамики полос скольжения и трещины, использующих методы динамической фотоупругости и высокочувствительные методы измерения скачков пластической деформации [54]. Другой важной характеристикой сигнала является форма переднего фронта, которая отражает кинетику соответствующих процессов структурной релаксации: форма фронта импульса I типа
ЛР = ^ AScr ncr = °cr AVcr ncr
0
отражает кинетику скачка пластической деформации Ah(t) , реализуемого эволюцией дислокационного скопления с избытком дислокаций одного механического знака, а форма фронта импульса II типа - кинетику зарождения и развития трещины или скачка существующей в кристалле трещины. Среди одиночных импульсов ЭМЭ I типа наблюдаются по крайней мере две основные формы: а) сигналы, имеющие вид степенной функции ip(t)~ t1n с n = 2,1...2,5 (рис. 1а); они наблюдаются при больших степенях деформации и соответственно высоких напряжениях; б) сигналы сигмовидной формы (рис. 2а), которые наблюдаются на всех стадиях пластической деформации моно- и поликри-сталлического льда, причем основная их доля приходится на начальную стадию 0,5 % < е < 2 %. Как показано ниже, первые сигналы вызваны динамикой консервативных дислокационных скоплений (с постоянным количеством дислокаций N = const), а сигмовидные сигналы связаны с динамикой неконсервативных скоплений с dNjdt > 0 .
СРАВНЕНИЕ ФОРМ СИГНАЛОВ ЭМЭ С МОДЕЛЯМИ ЭВОЛЮЦИИ ДИСЛОКАЦИОННЫХ СКОПЛЕНИЙ
1. Сравнение с моделью динамики консервативного скопления. Подробный анализ динамического поведения консервативного скопления дан в работах [24-32]. При свободном расширении скопления дислокаций, сконцентрированных в точке в момент времени t0 = 0, временная зависимость сдвига e(t) дается степенной функцией [28]:
є^)~ t1/( m+1),
(4)
где т - показатель степени в законе ~ т для индивидуальных дислокаций. Динамику скопления можно охарактеризовать фазовым портретом на плоскости « х — х ». Для (4), очевидно, имеем
dx
dt
(5)
где х = е(/) , х = dx| dt (рис. 1г). Анализ форм передних фронтов сигналов ЭМЭ I типа показал, что сигналы, форма которых совпадает с зависимостью (4), т. е.
ф(^ ~ ^/(от+1), возникают на стадии развитой деформации, когда уровень приложенных напряжений достигает ст ~ 1 МПа в исследованных поликристаллах и ст ~ 3^4 МПа в монокристалле. Эти сигналы характеризуются наиболее короткими фронтами t^ ~ 3-5 мс и
вызваны поэтому самыми быстрыми скачками пластической деформации. Учитывая хорошее согласие зависимости ф^) с моделью свободного расширения скопления, сигналы ЭМЭ такой формы могут быть вызваны прорывом скопления, предварительно прижатого к стопору, в результате, например, разрушения стопора
или превышения уровня внутреннего напряжения критического значения, обеспечивающего надбарьерное движение дислокационного скопления (прорыв заблокированного скопления через малоугловую границу, закрепленную сегрегированными примесями (рис. 1б)). В условиях надбарьерного, т. е. вязкого движения, а также при движении в рельефе Пайерлса, подвижность дислокации, как известно, определяется линейным законом и d ~ т , т. е. т = 1, но характеризуется разными значениями эффективной вязкости. Анализ форм сигналов дает т = п - 1 = 1,3 ± 0,2, поэтому можно предположить, что в областях концентрации напряжений, в которых их уровень по крайней мере на порядок превышает действующее напряжение, т. е. тг- >10-30 МПа, дислокации в скоплении движутся над рельефом Пайерлса, но «вынуждены» термофлуктуационно преодолевать сетку локальных барьеров, связанных с примесными центрами и молекулярными ионами ОН- и Н3О+, которые не могут перемещаться с дислокацией (область предвязкого движения дислокаций). Из данных измерений ЭМЭ можно приближенно оценить средние скорости лидирующей группы дислокаций в консервативных скоплениях Ud ~ Ьр /1р.. Принимая
Ьр соизмеримым с размером зерна 1 ~ 1-10 мм, получим иd ~ 1-5 м/с, что для большинства материалов
соответствует области перегиба кривой и d (т) , наиболее трудной для моделирования подвижности дислокаций в ансамблях. Данные о подвижности дислокаций во льду в этой области скоростей в литературе отсутствуют.
2. Сравнение с моделями динамики неконсервативных ансамблей дислокаций. В моделях эволюции дислокационного ансамбля обычно рассматриваются процессы зарождения дислокаций от неподвижных источников в объеме и на поверхности кристалла, размножение дислокаций механизмом двойного поперечного скольжения, иммобилизации и аннигиляции дислокации. С учетом этих процессов уравнение эволюции дислокационного ансамбля записывают в виде [33]:
p^P= к + rp + fp32 — cp2 + DV2p ,
9є
(6)
где р - объемная плотность подвижных дислокаций (длина дислокационной линии в единице объема кристалла), к - коэффициент, зависящий от плотности неподвижных источников дислокаций, г и с - коэффициенты размножения и иммобилизации дислокаций, р - коэффициент размножения на дислокациях леса,
Б - коэффициент диффузии дислокаций. Уравнение (6) анализируют обычно для исследования стадийности кривой нагружения [33-36]. Начальные стадии деформирования льда характеризуются, как правило, низкой плотностью источников дислокаций, а также дислокаций леса. При зарождении и распространении скопления базисных дислокаций, которые не совершают двойное поперечное скольжение [22], можно пренебречь также и диффузионным членом в (6), а следовательно, неоднородностью распределения дислокаций в скоплении.
m
x
ф.
мВ
0.5
0.4
0.3
0.2
0.0-
500
400
300
-1.0
12 3 4
0.0
-«г* -0.8 / / / уЛ
/ / / /
у / / уГ
-0.6 -°-4 / / / /
<—/ 2 / ./
J / и -°-4 -0.8
г /
: -0.2
-1.2
' \ ' і ' і 1 -0.0 [ 1 1 1 1
10
15
I, МС
-5
-4
а)
-з
б)
-2
Рис. 1. Сигналы ЭМЭ I типа вида степенной функции: а - сравнение формы переднего фронта сигнала ЭМЭ (кривая 1) с функцией х ~ ^ п , где п = 2,43 (кривая 2); б - аппроксимация линейными функциями формы четырех сигналов с различными значениями п в двойных логарифмических координатах: 1) п1 = 2,1, коэффициент корреляции к1 = 0,9988; 2) п2 = 2,19, к2 = 0,9989; 3) п3 = 2,43, к3
= 0,9984; 4) п4 = 2,49, к4 = 0,9901; в - фазовый портрет сигнала с п = 2,43 на плоскости «х — х »; г - то же на плоскости X - ^ X », пунктиром отмечена линейная зависимость с коэффициентом наклона, равным -т = -1,43. (Точками обозначены экспериментальные данные, пунктирные линии соответствуют модели свободного расширения консервативного дислокационного скопления.)
Тогда р играет роль полного числа дислокаций в скоплении N. Учитывая эти приближения и уравнение Оро-вана е = р йо , получим, как и в [36, 37]:
dx
dt
(7)
где х = N/Ыт - безразмерная плотность подвижных дислокаций, Nт - максимальное число дислокаций в ансамбле. Его решение
х ^) = (1 + Хе~г )-1
и фазовый портрет х = гх (1 — Хх ),
(8)
(9)
где X = с/г , представлены на рис. 2. Уравнение (9) известно как логистическое уравнение Ферхюльста -
Пирла [38, 39], которое описывает динамику численности изолированной однородной популяции с учетом внутривидовой конкуренции. На начальной стадии эволюции «популяции» подвижных дислокаций, когда основным процессом является размножение дислокаций («свободная популяция»), х(/)~ в* , а при /
— Г
скорость роста асимптотически затухает как е за счет иммобилизационных процессов, и численность «популяции» выходит на насыщение.
Сравнение функции (8) с типичным сигналом ЭМЭ сигмовидной формы показывает, что решение логистического уравнения лишь качественно отражает основные особенности формы сигнала: экспоненциальный рост на начальной стадии и асимптотический выход на насыщение (рис. 2а). Весьма грубая аппроксимация обусловлена, по-видимому, сильным упрощением модели, в частности, допущением, что кинетика скачка деформации определяется только динамикой численности дислокаций, что эквивалентно предположению об их равных скоростях в ансамбле. Более корректное совпадение получено с нестационарными моде-
2
лями роста в теории фазовых переходов первого рода.
а) б)
в)
Рис. 2. Сигналы ЭМЭ I типа сигмовидной формы: а - сравнение формы типичного сигнала (1) с различными моделями роста: 2 - модель Ферхюльста (функция 8), 3 - модель Зельдовича (функция 10), 4 - модель Колмогорова (функция 11); б - то же в координатах, линеаризирующих модельные зависимости (8), (10) и (11); в - сравнение фазового портрета сигнала с фазовым портретами функций (8), (10) и (11) в пространстве « х — х ». (Точками обозначены экспериментальные данные, пунктирные линии соответствуют теоретическим моделям роста, к - коэффициент корреляции между экспериментальными данными и теоретической зависимостью.)
В ряде теоретических работ [41-47] отмечалась аналогия между кинетикой фазовых переходов первого рода и кинетикой скачков пластической деформации и разрушения на различных масштабных уровнях этих процессов, в частности, аналогия между критическим зародышем при кристаллизации [40] и критической (по Гриффитсу) длиной трещины [41], критическим размером дислокационного сегмента [32, 42-44], полосы скольжения [45], полосы Людерса [46], образования ротационной структуры [47]. В чистом от примесей кристалле должен существовать критический размер дислокационной петли Яс и, соответственно, энергети-
ческий барьер ДЕс, связанный с конкуренцией между глубиной релаксации свободной энергии деформируемого кристалла, пропорциональной Я2, и работой образования дислокационной линии ~ %Я, где х - линейное натяжение дислокации.
Отметим, что основным источником дислокаций на начальных стадиях деформирования кристаллов с ГЦК решеткой, в частности, льда 1ь являются источники Франка - Рида (Ф-Р), в качестве которых выступают слабо закрепленные примесями сегменты сетки Франка из ростовых дислокаций [22]. Отрыв сегмента от примесной атмосферы и последующая деформация его в
петлю, т. е. начальная фаза работы источника, может запуститься либо атермически (при «мгновенном приложении» к сегменту напряжения выше некоторой критической величины хс), либо термофлуктуационно при х < хс спустя время ожидания Аг ~ ехр[(АЕ-- ух)/Лв7], где АЕ - величина энергетического барьера при х = 0, связанная с примесной атмосферой, у -активационный объем. Источник Ф-Р может произвести плоское скопление из нескольких десятков дислокаций и блокируется обратным напряжением [48, 49]. Поэтому для объяснения типичного скачка пластической деформации льда амплитудой Ак ~ 1 мкм [54], в котором должны участвовать около ~104 дислокаций, необходимо допустить участие большого числа источников Ф-Р. На начальной стадии роста, когда среднее расстояние между источниками значительно превышает размер расширяющихся петель, т. е. ds >> К , источники срабатывают независимо друг от друга в случайные моменты времени. Кинетика такого процесса аналогична кинетике нестационарного зародышеоб-разования при кристаллизации. В соответствии с теорией Я.Б. Зельдовича [50], доля кристаллической фазы X на этой стадии растет по закону
х(г )~ехр(-т0/ г),
(10)
где х0 - характерное время выхода на стационарный режим. С течением времени размер растущих структурно-кинетических элементов (кристаллов или скоплений, генерируемых источниками Ф-Р) станет соизмерим со средним расстоянием между ними ~ К) , и в модели роста необходимо учитывать взаимодействие их силовых полей (теплового или упругого). Соответствующая статистическая модель популяции, применительно к массовой кристаллизации на случайных центрах, развитая в работах Колмогорова, Аврами и Вей-була [51-53], дает для временной зависимости X выражение вида:
X (t) = 1 - exp
- (t / То)
(11)
где dp - размерность задачи, которая может быть
дробной (меньшей размерности пространства, в котором происходит морфогенез), что соответствует росту фрактальной структуры.
Анализ сигмовидных форм сигналов ЭМЭ показывает, что наилучшую аппроксимацию формы переднего фронта сигнала дает функция Колмогорова (11), а начальной стадии роста сигнала - функция Зельдовича (10) (рис. 2). Установленная корреляция означает, что сигмовидные сигналы ЭМЭ вызваны эволюцией неконсервативного дислокационного ансамбля, формирующегося преимущественно за счет термоактивационного срабатывания большого количества локальных источников типа Ф-Р. Типичные значения dp находятся в
интервале 1,6-2,3, что соответствует зарождению и развитию квазиплоских скоплений дислокаций с фрактальной структурой.
Таким образом, сигналы электромагнитной эмиссии, обусловленные скачками пластической деформации по форме фронта разбиваются на две основные группы: сигналы со степенным законом
q)(t)~ t1/(m+1), связанные с динамикой консервативных скоплений дислокаций (прорыв скопления через барьер, сваливания в сток и т. д.), и сигналы сигмовидной формы вида 9(t)~1- exp[-(t/x0)d/ J, обусловленные термоактивационным зарождением и развитием большого количества дислокационных скоплений от источников типа Франка - Рида. Полученные в настоящей работе результаты позволяют ставить и решать обратные задачи нелинейной динамики в физике прочности и пластичности: как по интегральной функции отклика сложной нелинейной системы (форме скачка деформации, сигнала электромагнитной эмиссии и т. д.) восстановить информацию об индивидуальных свойствах ее взаимодействующих элементов (о подвижности дислокаций в ансамбле и природе дислокационных источников и т. д.).
ЛИТЕРАТУРА
1. Беляев Л.М., Набатов В.В., Мартышев Ю.П. // Кристаллография. 1962. Т. 7. № 4. С. 576-580.
2. Головин Ю.И., Шибков А.А. // Физ. тверд. тела. 1986. Т. 28. № 11. С. 3492-3499.
3. Головин Ю.И., Шибков А.А. // Кристаллография. 1990. Т. 35. № 2. С. 440-445.
4. Головин Ю.И., Дьячек Т.П., Долгова В.М. // Физ. тверд. тела. 1986. Т. 28. № 8. С. 2502-2505.
5. Головин Ю.И., Шибков А.А. // Кристаллография. 1987. Т. 32. С. 1206-1210.
6. Golovin Yu.I., Dyachek Т.Р. // Phys. Stat. Sol. A. 1985. V. 92. № 1. P. 61-64.
7. Шибков А.А. Исследование динамики дислокационных коллективов в ионных кристаллах оптическими и электромагнитными методами: Дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.04.07. Воронеж, 1989. 143 с.
8. Мальшков Ю.И., Гордеев В.Ф., Дмитриев В.П. и др. // Ж. техн.
физ. 1984. Т. 54. № 2. С. 336-341.
9. Головин Ю.И., Шибков А.А., Тюрин А.И. и др. // Физ. тверд. тела.
1988. Т. 30. № 11. C. 3491-3493.
10. Головин Ю.И., Горбунов А.В., Шибков А.А. // Физ. тверд. тела. 1988. Т. 30. № 7. C. 1931-1937.
11. Golovin Yu.I., Lebyodkin M.A., Shibkov A.A., Zheltov M.A., Skvortsov V.V., KoltsovR.Yu. // «Single crystal growth and heat & mass transfer» ICSC-01. Proceedings of the Fourth International Conference. Obninsk, 2001. V. 2. P. 543-552.
12. Головин Ю.И., Шибков А.А. // Кристаллография. 1987. Т. 32. № 2. С. 413-416.
13. Чаркина О.В., Чишко К.А. // Физ. тверд. тела. 2001. Т. 43. № 10. С. 1821-1827.
14. Bernal J.D., Fowler R.H. J. // Chem. Phys. 1933. V. 1. № 8. P. 515548.
15. Jaccard C. // Helv. Phys. Acta. 1959. V. 32. № 2. P. 89-128.
16. Jaccard C. // Phys. Condens. Matter. 1964. V. 3. № 2. P. 99-118.
17. GlenJ.W. // Phys. Condens. Matter. 1968. V. 7. P. 43-51.
18. WhitworthR.W. // Adv. Phys. 1975. V. 24. № 2. P. 203-302.
19. Урусовская А.А. // Успехи физ. наук. 1986. Т. 96. № 1. С. 39-60.
20. Petrenko V.F., Whitworth R.W. // J. Phys. Chem. 1983. V. 83. № 21. P. 4022-4024.
21. Itagaki K. // Adv. X-ray Anal. 1970. V. 13. P. 526-529.
22. Petrenko V.F., Whitworth R.W. Physics of Ice. Oxford: Oxford University Press, 1999. 373 p.
23. Petrenko V.F. // Phil. Mag. B. 1993. V. 67. № 3. P. 301-315.
24. ArsenaultR.J. // Phil. Mag. A. 1971. V. 24. № 2. P. 259-271.
25. RosenfieldA.R., KanninenM.F. // Phil. Mag. 1970. V. 22. № 4. P. 142154.
26. Kanninen M.F., Rosenfield A.R. // Phil. Mag. 1969. V. 21. № 2. P. 569587.
27. RosenfieldA.R., Hahn G.T. // Acta Met. 1968. V. 16. № 3. P. 755-759.
28. HeadA.K. // Phil. Mag. 1972. V. 26. № 1. Р. 43-53.
29. Head A.K. // Phil. Mag. 1972. V. 26. № 1. P. 65-71.
30. Head A.K // Phil. Mag. 1972. V. 26. № 1. P. 65-72.
31. Бойко B.C. // Динамика дислокаций. Киев: Наукова думка, 1975. C. 1б1-1б8.
32. Косевич A.M. Дислокации в теории упругости. Киев: Наукова думка, 1978. 219 с.
33. Малыгин Г.Л. // Физ. тверд. тела. 1995. Т. 37. № 1. С. 3-42.
34. Малыгин Г.Л. // Усп. физ. паук. 1999. Т. 169. № 9. С. 979-1010.
35. Иванова B.C., Баланкин Л.С., Бунин И.Ж., Оксогоев Л.Л. Синергетика и фракталы в материаловедении. М.: Наука, 1994. 383 с.
36. Ханнанов Ш.Х. // Физ. мет. и металл. 1992. Т.72. № 4. С.14-23.
37. Орлов Л.Н. Введение в теорию дефектов в кристаллах. М.: Высш. шк., 1983. 144 с.
38. Базыкин Л.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. М. - Ижевск, 2003. 368 с.
39. Пайтген Х.О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. М.: Мир, 1993. С. 39-42.
40. Чернов Л.Л., Гиваргизов Е.И., Багдасаров Х.С., Кузнецов В.Л., Демьянец Л.Н., Лобачев Л.Н. Современная кристаллография. Т. 3. Образование кристаллов. М.: Наука, 1980. 408 с.
41. GriffithA.A. // Phil. Trans. Roy. Soc. 1920. A221. P. 1б3-198.
42. Казанцев П.Л., Покровский В.Л. // ЖЭТФ. 1968. Т. 58. С. 677.
43. Винокур В.М., Иоффе Л.Б., Сагдеев И.Р. // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1987. Т. 51. № 4. С. 763-7б7.
44. Токий В.В. // ДАН СССР. 1981. Т. 258. № 4. С. 861-8б4.
45. Поздняков В.Л. // Материаловедение. 2002. № 11. С. 39-47.
46. КришталММ. // Физ. мет. и металл. 2001. Т. 92. № 3. С. 96-112.
47. Владимиров В.И., Романов Л.Е. Дисклипации в кристаллах. Л.: Наука, 1986. 224 с.
48. FrankF.C., Read W.T. // Phys. Rev. 1950. V. 79. P. 722-729.
49. Фридель Ж. Дислокации. М.: Мир, 1967. 643 с.
50. Зельдович Я.Б. // ЖЭТФ. 1942. Т. 12. № 11-12. С. 525-538.
51. Колмогоров Л.Н. // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1937. № 3. С. 355-359.
52. Avrami M. // J. Chem. Phys. 1939. V. 7. № 12. P. 1103-1112.
53. Christian J.W. / Cahn R.W. (Ed.). Physical Metallurgy North-Holland. Amsterdam, 19б5.
54. Шибков Л.Л, Кольцов Р.Ю., Желтов М.Л. и др. // Вестп. Тамб. уп-та. Сер. Естеств. и техп. пауки. Тамбов, 2004. Т. 9. Вып. 2. С. 230-240.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена нри поддержке РФФИ (грант № 04-02-16143) и Минобразования РФ (проект № Е02-3.4-113).
Поступила в редакцию 29 апреля 2004 г.
