CC BY
139
С.И. Дяченко, Е.Г. Аджамова, А.С. Швыдко
ВЗАИМОСВЯЗЬ АРИФМЕТИЧЕСКОГО И АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ СЮЖЕТНЫХ ЗАДАЧ КАК ДИДАКТИЧЕСКОЕ СРЕДСТВО ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ
ПОИСКОВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
Аннотация. В статье раскрывается понятие взаимосвязи арифметического и алгебраического методов решения сюжетных задач в разных направлениях ее проявления. Взаимосвязь методов как дидактическое средство помогает в осуществлении поисковой деятельности при решении сюжетных задач и при формировании методов их решения.
Ключевые слова: сюжетная задача, арифметический метод, алгебраический метод, взаимосвязь методов, деятельностные компоненты, внешняя и внутренняя структура деятельности по поиску решения задачи, обобщение арифметического метода, конкретизация алгебраического метода.
S.I. Dyachenko, E.G. Ajamovа, A.S. Shvydko
THE RELATIONSHIP OF ARITHMETIC AND ALGEBRAIC METHODS OF SOLVING STORY PROBLEMS AS DIDACTIC TOOL FOR SEARCH ACTIVITY
Abstract. The article deals with the concept of the relationship of arithmetic and algebraic methods of solving story problems in different directions of its manifestations. Interconnection techniques as didactic tool helps in implementing search activities when solving tasks and storylines in the formation of methods of their solution.
Key words: story problem, arithmetic method, algebraic method, correlation methods, activity-related components, the external and internal structure of the efforts to find solution to the problem, a generalization of the arithmetic method, specification of the algebraic method.
Решение задач является важнейшим средством развития учащихся. Среди многочисленных школьных математических задач особо выделяют сюжетные. Обучение решению сюжетных задач связано с формированием у учащихся различных методов их решения. Выделяют два основных метода решения сюжетных задач - арифметический и алгебраический. В школьном курсе математике наметилась тенденция более широкого использования арифметических способов при решении сюжетных задач, появились учебники математики для 5-6 классов и методические пособия (Г.В.Дорофеев, И.Ф.Шарыгин, В.К.Совайленко, В.П.Радченко, В.Е.Ярмолюк), в которых реализуется арифметический метод решения сюжетных задач в полном объеме. Учителя математики, имея представления о значимости арифметического метода в развитии мышления учащихся 5-6 классов, не используют его в полной мере в школьном курсе математики, т.к. не владеют необходимыми для этого знаниями и умениями: не знают разнообразные арифметические приемы решения; не умеют найти и объяснить более короткий и "красивый" путь решения, чем алгебраический; не знают подходов к возможным типологиям арифметических задач; не могут выделить содержание арифметического метода; не могут установить связь арифметического метода с алгебраическим. Это определило актуальность статьи. Умения по раскрытию содержания этих методов и установлению взаимосвязи между ними являются важными для учителя, т.к. помогают осознанно применять эти два метода и отбирать содержание учебного и задачного материала для подготовки учащихся к переходу «арифметический метод - алгебраический метод». Раскрытие разных направлений взаимосвязи арифметического и алгебраического методов решения сюжетных задач представляется очень интересным, охватывает разные подходы к этим понятиям и помогает в осуществлении поисковой деятельности при решении сюжетных задач.
Вопрос о взаимосвязи арифметического и алгебраического методов решения сюжетных задач возникал в учебной и научно-методической литературе часто, хотя и не всегда явно выделялся. Так еще в конце XIX века С.И.Шохор-Троцкий предлагал использовать переход от алгебраического решения к арифметическому в курсе алгебры, когда решаются задачи с помощью уравнений первой степени. «Тогда учащиеся в состоянии вполне сознательно усвоить себе сущность неалгебраических способов, понять их недостатки и преимущества, оценить их тонкость и остроумие, а равно убедиться в изобретательности неалгебраических способов, понять их недостатки и преимущества, оценить их тонкость и остроумие, а равно убедиться в изобретательности неалгебраических способов, с одной стороны, и в удобстве алгебраического способа, его общности и удо-применимости в гораздо большем числе случаев, с другой» [4]. Е.А.Ченакал указывал на возможность учителя показать учащимся, «как иногда естественно из арифметического способа вытекает алгебраический. Это объяснение сходства обоих способов решения задач является большим шагом на пути к сознательному уяснению смысла уравнений»[3]. Е.С.Березанская, классифицируя задачи
«алгебраического характера», установила соотношение между некоторыми алгебраическими моделями решения сюжетных задач и арифметическими приемами их решения. К.С.Барыбин предлагал в некоторых случаях использовать алгебраический метод как средство поиска учителем арифметического способа решения.
Итак, в методической литературе констатируются следующие факты:
1) арифметический метод является пропедевтической основой алгебраического метода, а алгебраический метод рассматривается как более общая, абстрактная форма решения сюжетных задач в сравнении с арифметическим методом (З.Г. Борчугова, В.А. Далингер, О.О. Еремеева, М.И. Моро, В.П. Радченко);
2) математическая связь методов рассматривается как связь между некоторыми алгебраическими и арифметическими моделями задачи (И.И. Александров, Е.С. Березанская, К.С. Барыбин);
3) Целесообразно альтернативное решение сюжетных задач разными способами в рамках разных методов (Н.П. Кострикина, Е.В.Радченко).
Указанные факты порождают следующие вопросы: Можно ли на основе исторически сложившейся в методике обучения математике констатации последовательности «арифметический метод - алгебраический метод» заключать о внутренней и необходимой связи между ними? Не может ли оказаться, что данная последовательность лишь результат сложившегося обучения, что не свидетельствует о наличии необходимых внутренних связей между методами? Если же связи между методами действительно существуют, тогда необходимо выяснить, какова природа этих связей. Какие моменты усвоения алгебраического метода и почему требуют связи с арифметическим методом? Каким образом связь методов помогает осуществить поиск способа решения сюжетной задачи? Эти вопросы поставлены и решаются в работах С.И. Дяченко [1], [2]. Прежде чем ответить на эти вопросы, необходимо определить, что будем понимать под взаимосвязью методов.
При установлении взаимосвязи между методами решения сюжетных задач выделены следующие направления:
1. «взаимосвязь через содержания арифметического и алгебраического методов;
2. взаимосвязь через соотношение разрешающих моделей задачи в рамках разных методов;
3. взаимосвязь через методические средства обучения решению сюжетных задач и формирования методов.» [2, 22]
Учитывая указанные направления, под взаимосвязью арифметического и алгебраического методов решения сюжетных задач будем понимать методико-математические соотношения между ними, которые позволяют:
- выявить в арифметической модели и алгебраической модели задачи их сходство и различие;
- учитывать сходство или различие разрешающих моделей задачи в рамках разных методов в
дидактических целях при осуществлении поисковой деятельности;
- учитывать сходство и различие содержательных компонентов методов в построении последовательности их развертывания и формирования.
Проявляется взаимосвязь при переходах от одного метода к другому. В школьном курсе математики используется переход «арифметический метод - алгебраический метод». Поэтому необходимо проанализировать средства, облегчающие переход от арифметического метода к алгебраическому.
Осуществим сравнение деятельностных компонентов методов. Деятельность по применению арифметического или алгебраического метода связана с процессом решения сюжетной задачи. Для процесса решения сюжетной задачи выделяют внешнюю и внутреннюю структуры этого процесса (Ю.М.Колягин). Поэтому деятельностные компоненты методов решения необходимо рассматривать через их внешнюю и внутреннюю структуру. Внешняя структура деятельности по применению метода связана с содержанием этой деятельности.
Сравнение деятельностных компонентов арифметического и алгебраического методов позволяет выделить общее по внешней структуре действие - анализ связей и зависимостей величин и их значений, входящих в условие задачи. Это действие заключается в выделении величин и их значений (известных и неизвестных); в выявлении связей между величинами и зависимостей между значениями величины, выраженных как в прямом, так и косвенном виде. Общность указанного деятельностного компонента очевидна, т.к. она связана с необходимым этапом процесса решения задачи - анализ текста задачи.
Рассмотрим другой деятельностный компонент алгебраического метода - выражение вспомогательных неизвестных через основные неизвестные и известные с учетом связей и зависимостей между ними. По внешней структуре этот компонент алгебраического метода можно соотнести со следующими деятельностными компонентами арифметического метода - расчленение составной задачи на простые и установление математических операций, соответствующим отноше-
ниям, выделенным в простых задачах. Это легко проиллюстрировать на примере сравнения решения задачи 1 алгебраическим методом и задачи 2 арифметическим методом.
Задача 1. Из сплава меди сделали двадцатиграммовые жетоны. При этом остались неизрасходованными 40 г меди. Если бы сделали столько же жетонов по 25 г, то не хватило бы 110 г меди. Какова масса слитка?
Алгебраическая модель задачи: 20х + 40 = 25х — 110, где х - количество жетонов.
Задача 2. Из сплава меди сделали 30 штук двадцатиграммовых жетонов. При этом осталось неизрасходованными 40 г меди. Какова масса слитка?
Арифметическая модель задачи: 20 • 30 + 40.
При составлении алгебраической модели задачи 1 выражали массу жетонов через количество жетонов (х) и массу одного жетона (20 г или 25 г), т.е. выделяли соответствующие простые задачи и «математизировали» их содержание. Точно такие же по внешней структуре действия надо выполнить, чтобы выразить массу всего слитка через массу, затраченную на жетоны (20х или 25х), и массу, оставшуюся (40 г) или не хватившую для изготовления жетонов (110 г). Итак, по внешней структуре деятельностные компоненты арифметического метода входят в качестве некоторых составляющих в деятельностью компоненты алгебраического метода. Но при составлении алгебраической модели приходится выполнять действия, которые не присущи арифметическому методу. К ним относятся действия по выбору неизвестного, которое обозначают буквой; действия по выделению величины, значения которой уравниваются при составлении уравнения или сравниваются при составлении неравенства. Т.е. деятельностные компоненты алгебраического метода по внешней структуре более разнообразны, чем у арифметического метода.
Сравнение деятельностных компонентов арифметического и алгебраического методов и выделение общих по внешней структуре компонентов позволили выделить общие умения при решении задач: умение распознавать величины, входящие в условие задачи; умение устанавливать связи между величинами и зависимости между значениями одной и той же величины; умение переводить связи и зависимости на математический язык. Т.е. результативность обучения решению сюжетных задач данными методами порознь гарантируется достижением одних и тех же общих умений. Но по внешней структуре деятельностные компоненты алгебраического метода более разнообразны, поэтому с методической точки зрения арифметический метод можно рассматривать как пропедевтический по отношению к алгебраическому.
Внутренняя структура деятельности по применению метода решения задачи выражается в скрытой умственной деятельности решающего задачу, составляет внутреннее содержание этой деятельности, которая выражается в мыслительных операциях, обеспечивающих успешность этой деятельности. В состав мыслительной деятельности по применению метода решения входят общие умственные действия (анализ, синтез, установление и использование аналогии, сравнение, конкретизация, абстрагирование, обобщение), специфические умственные действия, характерные для решения конкретного вида задачи, и логико-математические действия, с помощью которых решающий логически преобразует математический материал. Внутренняя структура деятельности по применению арифметического метода более разнообразна, чем у алгебраического метода. З.И.Калмыкова, Н.А. Менчинская, занимаясь психологической стороной процесса обучения решению сюжетных задач арифметическим методом, выделили приемы, которые помогают найти арифметическое решение: прием сужения круга данных, приемы конкретизации и абстрагирования, прием сюжетной переделки, прием варьирования, «пробный синтез». В методической литературе (И.И.Александров, Е.С.Березанская, Н.А. Менчинская, В.Г.Чичигин) выделяют «особые» или специфические приемы, характерные для решения конкретного типа задач арифметическим методом: прием приведения к единице; прием решения с конца или обратности; приемы пропорционального деления, подобия, нахождения частей, произвольного допущения, замены; приемы уравнивания данных или неизвестных; прием исключения неизвестного. Н.А. Менчинская, рассматривая «особые» приемы, подразделила их на три вида:
1) временное преобразование одного из элементов условия задачи (предположение, уравнивание, замена);
2) рассмотрение данного под новым углом зрения (например, переосмысление кратного отношения, как части единого целого);
3) приемы, не требующие преобразования условия или переосмысления данного, но специфические именно для этого типа (например, прием приведения к единице).
Итак, внутренняя структура деятельностных компонентов основных методов решения сюжетных задач не равнозначна. У арифметического метода более сложная внутренняя структура, т.к. требует более широкого набора умственных операций или специфических приемов умственной деятельности при поиске арифметического решения сюжетной задачи, чем при составлении алгебраической модели задачи.
Г.А.Балл выделяет алгоритмический и энтропийный подходы к оценке сложности процесса решения задачи. В соответствии с этим, при сравнении деятельностных компонентов по внешней структуре оценивается алгоритмическая сложность деятельностных компонентов по количеству эффективных операций (действий) в процессе решения задачи тем или иным методом. Алгоритмическая сложность алгебраического метода выше, чем у арифметического, т.к. по внешней структуре деятельностные компоненты алгебраического метода более многообразны и включают в себя деятельностные компоненты арифметического метода.
Сравнивая деятельность в осуществлении арифметического и алгебраического решения сюжетной задачи по внутренней структуре, оценивается энтропийная сложность указанных процессов, т.е. оценка по величине неопределенности, устраняемой в процессе решения задачи. Устраняемая неопределенность в арифметическом или алгебраическом методе выражается в нестандартности, нетривиальности, необычности некоторого умственного действия или приема решения. Энтропийная сложность арифметического метода выше, чем у алгебраического, т.к. требует большей изощренности, нешаблонности, неалгоритмичности мышления.
Сюжетная задача, решаемая в 5-7 классах алгебраическим методом, обладает алгоритмической сложностью, а эта же задача, решаемая в 5-6 классах арифметическим методом, обладает энтропийной сложностью, т.к. требует выбора разнообразных умственных действий или приемов решения. Поэтому решение задач в 5-7 классах преимущественно с помощью линейных уравнений мало способствует развитию таких качеств мышления, как гибкость, оригинальность, независимость, изобретательность. Результативность арифметического метода по качеству умственного развития учащихся 5-6 классов раскрывается в следующем:
1. Арифметический метод предполагает рассуждения не только анализом, но и синтезом, что присуще детям данного возраста (Н.А.Менчинская, Г.А.Берулава).
2. В ходе рассуждений в рамках арифметического метода исходные образы видоизменяются (И.С.Якиманская), а при алгебраическом методе исходные образы заменяются математическими моделями. При арифметическом решении задачи мышление в образах сочетается с логическим мышлением, что более приемлемо для учащихся 5-6 классов, чем строгие логические рассуждения.
3. Использование арифметического метода предполагает умение выбрать тот или иной прием. Данный выбор, как правило, не формален, иногда интуитивен.
Итак, арифметический метод решения сюжетной задачи в 5-6 классах - это та среда, в которой можно развивать умственную деятельность учащихся, обучать поисковой деятельности, а алгебраический метод - это средство реализации метода математического моделирования. Поэтому целесообразность использования арифметического метода в 5-6 классах несомненна.
Выделяя релевантность арифметического метода, необходимо отметит преимущества алгебраического метода, чтобы избежать одностороннего подхода к этим методам. Отметим следующие преимущества алгебраического метода:
1) более широкая сфера применимости, чем у арифметического метода;
2) более результативен по достижению узкой цели - найти ответ, т.к. носит полуалгоритмический характер;
3) эффективен для развития учащихся старших классов, т.к. способствует развитию логического мышления учащихся и повышению уровня абстрактного мышления, способствует дальнейшему формированию метода математического моделирования.
Итак, сравнительная характеристика основных методов решения сюжетных задач, их особенности и преимущества использования в обучении говорят о том, что эти методы необходимо оптимальным образом сочетать в учебном процессе. Сочетание методов предполагает переход от одного метода к другому. Рассмотрим эти переходы и выделим вытекающие из них разновидности связей методов.
Из общности внешней структуры деятельности и понятийных аппаратов методов следует, что можно осуществить переход от арифметического метода к алгебраическому как от частного к общему, так и обратно. При переходе от арифметического к алгебраическому методу мы абстрагируемся, т.е. мысленно отвлекаемся от конкретного содержания задачи. Абстракция - конструирующий компонент обобщающей мыслительной деятельности, обобщение совершается при помощи абстракции. Переход от арифметического метода к алгебраическому связан с обобщением арифметического как по деятельности, так и по совокупности знаний, определяющих эту деятельность.
Конкретизация - логическая форма, противоположная абстракции. Конкретизация раскрывает содержание научных абстракций путем включения их в систему соответствующих реальных фактов и отношений. Поэтому обратный переход от алгебраического метода к арифметическому связан с конкретизацией алгебраического метода. Взаимосвязь данных методов в указанном ракурсе можно рассматривать как единство их обобщения и конкретизации.
Переход от алгебраического метода к арифметическому назовем конкретизацией алгебраического метода и укажем следующие ее разновидности:
1. Обратимость арифметического способа решения по отношению к алгебраическому.
Задачи, реализующие данное направление, имеют алгебраическую модель следующего вида: ((х * а) * Ь) *... * с = d , где а, Ь, с, ..., d - данные числа, х - неизвестное, * - необходимая
арифметическая операция. Задачи данного вида в рамках арифметического метода называют задачами на решение с конца или «обратным ходом» (Г.В.Дорофеев, И.Ф. Шарыгин), задачами на восстановление числа (Е.С.Березанская), а арифметический способ их решения - способ обратности или решения с конца (И.И.Александров, Е.С.Березанская). Арифметический способ решения предполагает обратимость операций, а, следовательно, обратимость рассуждений, выполненных при составлении алгебраической модели.
Задача 3. Я истратил из своих денег 40 руб., после чего удвоил оставшиеся деньги. Когда я еще истратил 60 руб., осталось 280 руб. Сколько денег у меня было в начале?
Алгебраическая модель задачи: (х - 40) • 2 - 60 = 280.
Чтобы определить неизвестное арифметическим способом, нужно с конечным результатом выполнить обратные операции в обратном порядке:
1) 280 + 60 = 3400 (руб.) было до того, как истратил 60 руб.
2) 340: 2 = 170 (руб.) было до того, как удвоил оставшиеся деньги.
3) 170 + 40 = 210 (руб.) было в начале.
Т.е. арифметическая модель задачи примет вид: (280 + 60): 2 + 40.
2. Арифметический способ решения - есть интерпретация алгебраической модели, т.е. интерпретация тех действий, которые происходят при составлении и решении уравнения (неравенства) или системы уравнений. С логической стороны арифметические рассуждения не отличаются от алгебраических - вместо неизвестного х, буквенных выражений пользуемся словесными формулировками или наглядными образами (например, вместо х говорим 1 часть и т.д.).
Задача 4. В двух пачках 270 тетрадей. Сколько тетрадей в каждой пачке, если известно, что в одной из них в 4 раза больше, чем в другой?
1 способ решения - с помощью уравнения. Пусть в меньшей пачке х тетрадей, тогда в большей пачке 4х тетрадей. Всего тетрадей 270. Получаем уравнение: х+4х=270; 5х=270; х=270:5; х=54; 54 • 4 = 216 (тетрадей) в большей пачке.
2 способ решения - способ пропорционального деления. Если одну пачку тетрадей принять за одну часть, тогда во второй пачке 4 таких части. 1+4=5 (частей) приходится на 270 тетрадей. На одну часть приходится 270:5=54 (тетради), т.е. в меньшей пачке 54 тетради, а в большей пачке 54 • 4 = 216 (тетрадей).
3 способ решения - способ произвольного допущения. Предположим, что в меньшей пачке 1 тетрадь, тогда в большей пачке 4 тетради, а всего в двух пачках 5 тетрадей. Но по условию общее число тетрадей 270, т.е. в 270:5=54 (раза) больше, чем при нашем предположении. Следовательно, надо увеличить число тетрадей в каждой пачке в 54 раза; в меньшей пачке 54 тетради, а в большей пачке 54 • 4 = 216 (тетрадей).
Стоит отметить, что общая алгебраическая модель этой задачи сводит ее к виду на нахождение неизвестных по их частному и сумме (разности).
На примере задачи на нахождение неизвестных по их сумме и разности покажем, как используются визуально-наглядные средства (отрезки) при поиске арифметического решения.
Задача 5. На трех полках 548 книг; на верхней на 19 книг меньше, чем на средней, а на средней на 129 книг меньше, чем на нижней. Сколько книг на каждой полке?
Решение: Составим линейную диаграмму:
> 548
Добавим на среднюю полку 129 книг, а на верхнюю 19+129=148 (книг). Тогда на трех полках станет 548+129+148=825 (книг). Тогда на нижней полке 825:3=275 (книг), на средней полке 275-129=146 (книг), на верхней полке 146-19=127 (книг). Задача решена.
Итак, геометрическая схема, с одной стороны, иллюстрирует алгебраическую модель задачи и ее решение, а с другой стороны, позволяет найти арифметический способ решения.
19
129
Алгебраическая модель задачи:
3. Арифметический способ решения - есть интерпретация тех действий, которые осуществляются при решении составленного уравнения или системы уравнений.
{0.x + Ьу — с' + _ ! (*) ТИХ I _ и.
Решая систему уравнений(*), уравниваем коэффициенты при одном из неизвестных и избавляемся от него путем вычитания уравнений. В арифметическом способе решения поступаем также.
Задача 6. 5 автобусов и 2 троллейбуса могут за один рейс перевезти 225 человек, а 2 автобуса и 3 троллейбуса могут перевезти 200 человек. Сколько пассажиров вмещается в один троллейбус?
(5х+2у_ 225;
Алгебраическая модель задачи: + 3у _ 200
Первое уравнение умножаем на 2, а второе на 5, тем самым уравниваем коэффициенты при х, затем путем вычитания уравнений избавляемся от неизвестного х и находим у.
Арифметический способ решения: Уравняем количество автобусов. Тогда 10 автобусов и 4 троллейбуса могут перевезти 225- 2 = 450 (человек), а 10 автобусов и 15 троллейбусов могут перевезти 200- 5 = 1000 (человек). Тогда 15-4=11 (троллейбусов) могут перевезти 1000-450=550 (человек), а один троллейбус перевозит 550:11=50 (человек). Задача решена.
Арифметический способ заключается в использовании приемов уравнивания данных и исключения неизвестного путем вычитания. Итак, арифметическое решение с использованием данных приемов можно рассматривать как интерпретацию процесса решения системы уравнений(*). Но процесс решения частного вида системы уравнений(*) (где а=1 и е=1) может продиктовать использование другого арифметического приема решения; это определяется конкретным содержанием задачи.
Задача 7. Из 560 листов бумаги сделали 60 тетрадей двух сортов (по 8 листов на тетрадь и по 12 листов). Сколько сделали тетрадей каждого сорта отдельно?
х + у _ 60' (8х + 12у _ 560.
Стоит обратить внимание на конкретное содержание, вложенное в каждое из уравнений. В первом уравнении уравнивается количество тетрадей, а во втором - количество листов в этих тетрадях. Поэтому когда умножаем первое уравнение на 8, то тем самым с точки зрения содержания задачи (8 - это количество листов в тетради) предполагаем, что все тетради по 8 листов. Т.е. при арифметическом решении используется прием предположения с заменой одного неизвестного другим.
Иногда для образности предлагаемого решения, чтобы его сделать наглядным и «красивым», предлагают эти решения в рамках необычной ситуации. Например, Д.Пойа предлагает следующую задачу и ее решение.
Задача 8. У фермера имеются куры и кролики. Всего у этих кур и кроликов 50 голов и 140 ног. Сколько кур и сколько кроликов имеет фермер?
Решение. Фермер застал своих животных в весьма странной позе: каждая курица стояла на одной ноге, а каждый кролик на задних лапах. В этом представлении участвовало половина всех ног: 70. Число 70 можно рассматривать и как такое, которое получается, если считать лишь головы, причем голова курицы учитывается один раз, тогда как голова кролика считается дважды. 70-50=20 - число кроликов, 30 - число кур.
В учебнике «Математика» для 5 класса под ред. Г.В.Дорофеева, И.Ф. Шарыгина предлагают «проявить фантазию, видоизменить условие задачи» при решении аналогичной задачи.
Задача 9. Старинная задача (Китай). В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Узнайте число фазанов и число кроликов.
Решение. Представим, что на верх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянутся до морковки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле? 35- 2 = 70 (ног). Но в условии даны 94 ноги, где же остальные? Остальные не посчитаны - это передние лапы кроликов. Сколько их? 94-70=24 (лапы). Сколько же кроликов? 24:2=12 (кроликов). А сколько фазанов? 35-12=23 (фазана).
Ответ: 23 фазана, 12 кроликов.
Итак, мы выделили следующие направления конкретизации алгебраического метода:
1. Обратимость арифметического способа решения по отношению к алгебраической модели
задачи.
2. Использование в арифметическом решении вербальных и невербальных (наглядно-
схематических) средств, интерпретирующих составление алгебраической модели задачи.
3. Использование вербальных и визуально-наглядных, образных средств, интерпретирующих
решение составленного уравнения или системы уравнений.
Конкретизацию алгебраического метода возможно использовать как средство поиска арифметического способа решения задачи при переходе от алгебраической модели задачи к ее арифметической модели через интерпретацию формальных операций алгебраического метода с помощью вербальных и наглядно-образных средств. При поиске арифметического способа решения можно сначала составить алгебраическую модель задачи, введя х и составив уравнение. Решая уравнение, действия над данными и искомыми только обозначать, но не выполнять, тогда найденное числовое выражение для х будет арифметической моделью задачи. Решающему останется подобрать конкретные обоснования каждому арифметическому действию при нахождении значения числового выражения в соответствии с содержание задачи.
Задача 10. На 2520 руб. куплено 10 метров материи двух сортов по 270 руб. и по 210 руб. за метр. Сколько метров куплено каждого сорта?
Алгебраическая модель данной задачи: 270х + 210 • (10 - х) = 2520, где х - количество купленной материи по цене 270 руб. Решая уравнение, получаем числовое выражение для х, которое
2520 — 910 10
и будет арифметической моделью задачи: х = __.
270 — 210
Конкретизируя полученную арифметическую модель, получаем арифметический способ решения:
1) 210-10 = 2100 (руб.) - допустим, что куплено 10 м по 210 руб. за метр, тогда мы нашли стоимость этой покупки.
2) 2520-2100=420 (руб.) осталось.
3) 270-210=60 (руб.), на 60 руб. дороже цена одного сорта, чем другого.
4) 420:60=7 (м) материи куплено по цене 270 руб.
Итак, получили арифметический способ решения задачи при переходе от алгебраической модели задачи к арифметической.
Направление конкретизации алгебраического метода позволяет осознать алгебраическое решение задачи, увидеть в составленном уравнении конкретное содержание задачи. Поясним это на примере.
Задача 11. 12 кг яблок стоят 624 руб. Сколько можно купить яблок на 364 руб.?
Задача может быть решена различными способами в рамках арифметического метода с использованием различных приемов:
1) прием приведения к единице. Н а 1 руб. можно купить 12:624=^ (кг) яблок, тогда на
52
346 руб. можно купить — • 364 = 7 (кг) яблок. 52
2) прием обратного приведения к единице. 1 кг яблок стоит 624:12=52 (руб.), тогда на 364 руб. можно купить 364:52=7 (кг) яблок.
3) прием отношений. Поскольку в данной задаче стоимость яблок и их количество прямо пропорциональные величины, то во сколько раз больше стоимость яблок - во столько
12
раз больше их количество. 624 руб. больше 364 руб. в раза, тогда 12 кг надо умень-
7
12 п 12 ,
шить в раза, т.е. 12: — = 7 (кг).
7 7
Применение алгебраического метода решения задачи приводит к составлению следующих пропорций: (1) _12_ = ; (2) 624 = 364; (3) 624 = 12; (4) 364 = х_.
624 364 12 х 364 х 624 12
С точки зрения алгебры эти пропорции отличаются только местом расположения крайних и средних членов. С точки зрения содержания задачи в уравнении (1) уравнивается количество яблок, которое можно купить на 1 руб., в уравнении (2) - цена яблок, в уравнениях (3) и (4) используется прямая пропорциональность стоимости яблок их количеству при постоянной цене. Т.е. с учетом ранее перечисленных арифметических способов можно сказать, что в уравнении (1) отражается прием приведения к единице, в уравнении (2) - прием обратного приведения к единице, в уравнениях (3) и (4) - способ отношений. Поэтому осознанное составление этих уравнений возможно в том случае, если знать и понимать арифметические способы решения задачи, т.е. здесь важен переход от арифметического к алгебраическому методу, который чаще всего и используется в школьном курсе математики в процессе обучения учащихся решению сюжетных задач. Прочное усвоение методов решения «чисто арифметических» задач позволяет подготовить учащихся к осознанному решению задач методом составления уравнений. Поэтому рассмотрим направление связи методов при переходе от арифметического метода к алгебраическому. Это направление назовем обобщением арифметического метода.
Алгебраический метод более общий, абстрактный, чем арифметический, поэтому в методическом плане арифметический метод выступает не только как средство развития умственной деятельности учащихся, но и как пропедевтическая основа для обучения решению задач с помощью уравнений. При переходе от арифметического метода к алгебраическому выстраивается цепочка: числовые выражения - буквенные выражения - формулы - уравнения. Эта цепочка определяется увеличением уровня абстрактности и увеличением количества умственных действий и приемов их осуществления, необходимых при работе с каждым из элементов этой цепочки. Для реализации такой цепочки в школьном курсе математики важно формирование следующих умений при решении сюжетных задач:
1) запись арифметического решения задачи не только по действиям, но и с помощью числового выражения;
2) решение сюжетных задач с буквенными данными.
Другим средством, доступным любому учителю и необходимым учащимся для облегчения их перехода от арифметического метода к усвоению алгебраического метода, является обратная задача. Роль обратной задачи в психологическом плане связана с ролью обратимости суждений и определяется постоянным возрастанием роли обратимости суждений по мере развития интеллекта человека. «Чтобы учить математике плохо, достаточно учить без обратной задачи» (Ж.Пиаже). Ценны для развития мышления не прямые и обратные задачи как таковые сами по себе, а важный познавательный элемент заключается в процессе преобразования одной задачи в другую. «Обращение любого задания позволяет извлечь дополнительную информацию, а именно информацию связи». Процесс преобразования прямой задачи в обратную выражается в следующих особенностях решения взаимно обратных сюжетных задач:
- выявляются и используются взаимно обратные связи между величинами задачи (S = V • t, где V - скорость, t - время, S - расстояние; v = S/t);
- при решении обратной задачи происходит перестройка суждений и умозаключений, используемых при решении прямой задачи.
Составление и решений задачи, обратной данной, имеет немаловажное значение при подготовке учащихся к решению задач составлением уравнения. При алгебраическом решении обратной задачи приходится делать умозаключения, сходные с теми, которые возникали при решении прямой задачи арифметически, и обратные по отношению к умозаключениям при алгебраическом решении прямой задачи.
Задача 12. Из двух городов навстречу друг другу выехали одновременно два мотоциклиста и встретились через три часа. Скорость одного из них 65 км/ч, а другого - 73 км/ч. Найти расстояние между городами.
Арифметическое решение задачи запишем числовым выражением. В зависимости от хода рассуждений могут появиться числовые выражения двух видов:
1) (65 + 73) • 3 = 414, 2) 65 • 3 + 73 • 3 = 413.
Сформулируем одну из обратных задач.
Задача 13. Из двух городов, расстояние между которыми 414 км, выехали навстречу друг другу одновременно два мотоциклиста и встретились через 3 часа. Скорость одного из них 65 км/ч. Найти скорость второго.
При решении обратной задачи арифметическим методом перестраиваются суждения и умозаключения, используемые при арифметическом решении прямой задачи, в результате получается арифметическая модель другой структуры: 1) 414:3 - 65 = 73, 2) (414 - 65 • 3): 3 = 73.
При решении обратной задачи с помощью уравнения повторяется ход рассуждений решения прямой задачи, который приводит к соответствующему уравнению:
1) (65 + х) • 3 = 414, 2) 65 • 3 + х • 3 = 414.
Итак, структура алгебраической модели обратной задачи аналогична структуре арифметической модели прямой задачи, т.е. умственная деятельность учащегося, решающего прямую и обратную задачи разными методами, сходна. Это определяет значимость использования обратных задач в качестве одного из средства пропедевтики алгебраического метода.
Выводы.
При установлении взаимосвязи между арифметическим и алгебраическим методами решения сюжетных задач выделяют следующие направления:
-взаимосвязь через сравнение гносеологических и деятельностных компонентов методов;
-взаимосвязь через установление соотношения разрешающей алгебраической модели задачи и арифметического приема ее решения;
-взаимосвязь через дидактические средства обучения поисковой деятельности при решении сюжетных задач и формирования методов.
Взаимосвязь методов через их содержание связана с общностью их целей, гносеологических и деятельностных компонентов, сферы применимости. Общность содержания методов находит свое отражение в том, что методы решения сюжетных задач как объекты умственной деятельности имеют связь соподчинения во внешней структуре их деятельностных компонентов и взаимосвязь вида «обобщение - конкретизация» во внутренней структуре деятельности и в понятийных аппаратах методов. Данные виды взаимосвязей проявляются при выполнении сравнительной характеристики содержания основных методов решения сюжетных задач, особенностей их формирования и использования при поиске решения задачи.
Рассмотрение взаимосвязи методов через соотношение арифметической и алгебраической моделей задачи позволяет использовать ее в качестве средства поисковой деятельности, опираясь:
- на обратимость арифметической разрешающей модели по отношению к алгебраической модели;
- на интерпретацию формальных операций, выполняемых при составлении и решении алгебраической модели задачи, с помощью вербальных и наглядно-образных средств реализации арифметического метода решения сюжетной задачи.
Установление соотношений разрешающих (арифметической и алгебраической) моделей задачи позволило выделить конкретные соответствия между алгебраической моделью задачи и арифметическим приемом ее решения. Соответствия между алгебраической моделью и арифметическим приемом можно представить в виде таблицы 1 [1, 12]:
Таблица 1.
Алгебраическая модель и арифметический прием задачи
Алгебраическая модель задачи Арифметический прием решения задачи
[х + у = а, [х - у = Ь. Прием уравнивания неизвестных
■ х ± у = а, х = к. у Прием введения условной единицы или пропорционального деления
[а • х + Ь • у = с, [ х ± у = d. [а • х + Ь • у = с, [ у = k • х. Прием исключения одного неизвестного заменой его другим
[а • х + Ь • у = с, [т • х ± р • у = d. Прием исключения одного неизвестного уравниванием данных
(((х * а) * Ь) *...) * с = d Прием обратности или решения с конца
Основные методы решения сюжетных задач как объекты содержания учебного материала школьного курса математики позволяют рассмотреть взаимосвязь методов через дидактические средства обучения поисковой деятельности при решении сюжетных задач, используемые в профессиональной деятельности учителя. К числу средств обучения относятся средства обобщения арифметического метода на этапе перехода от арифметического метода к алгебраическому: обратные задачи; использование числовых и буквенных выражений, формул. Анализ сюжетных задач и возможностей реализации арифметического метода в учебниках математики для 5 и 6 классов под ред. Г.В.Дорофеева и И.Ф.Шарыгина позволил сделать вывод о пропедевтической подготовке учащихся к усвоению основных приемов решения линейных уравнений и их систем при использовании арифметических приемов решения сюжетных задач, где алгебраический метод выступает в качестве обобщения арифметического.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Дяченко, С.И. Методика обучения будущих учителей математики арифметическому и алгебраическому методам решения сюжетных задач на основе их взаимосвязи. Автореферат диссертации ... кандидата пед. наук. - СПб, 1997.- 19 с.
2. Дяченко, С.И. Основные методы решения сюжетных задач и их взаимосвязь в школьном курсе математики. Учеб-метод. пособие для студентов 3-5 курсов физико-мат. фак. по специальности 032100 «Математика» по курсу «Теория и методика обучения математике» / Под. ред. А.А.Илюхина. - Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та, 2004. - 72 с.
3. Ченакал, Е.А. Типизация задач в систематическом курсе арифметики средней школы. Автореферат дис. . канд. пед. наук. - Киев, 1955 .- 13 с.
4. Шохор-Троцкий, С.И. Опыт методики арифметики для преподавателей математики в средних учебных заведениях, с приложением решений типических арифметических задач алгебраического характера. - М., 1898. - 208 с.
С.И. Дяченко, М.В. Кулабухова, А.А. Сафарян
212
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК ОСНОВА ФОРМИРОВАНИЯ УНИВЕРСАЛЬНЫХ УЧЕБНЫХ ДЕЙСТВИЙ ПРИ РЕШЕНИИ СЮЖЕТНЫХ ЗАДАЧ
Аннотация. В статье раскрываются основы формирования универсальных учебных действий при решении сюжетных задач с использованием разных видов моделей. Математическое моделирование выступает в качестве основного средства решения сюжетных задач.
Ключевые слова: сюжетная задача, математическое моделирование, универсальное учебное действие.
S. I. Dyachenko, M.V. Kulabukhova, A. A. Safaryan
MATHEMATICAL MODELING AS A BASIS OF FORMATION OF UNIVERSAL EDUCATIONAL ACTIONS IN THE SOLUTION OF THE STORY TASK
Abstract. The article reveals the basis of formation of universal educational actions in solving story problems using different types of models. Mathematical modeling acts as a primary means of solving story problems.
Key words. story problem, mathematical modeling, universal educational action.
Реализация системно-деятельностного подхода, положенного в основу ФГОС основного общего образования, требует в рамках метапредметных результатов освоения обучающимися основной образовательной программы формирование универсальных учебных действий (регулятивных, познавательных, коммуникативных). Формирование универсальных учебных действий обеспечивает обучающимся умение учиться, способность к саморазвитию и самосовершенствованию, «умение создавать, применять и преобразовывать знаки и символы, модели и схемы для решения учебных и познавательных задач» [2]. «В результате изучения предметной области «Математика и информатика» обучающиеся развивают логическое и математическое мышление, получают представление о математических моделях; овладевают математическими рассуждениями; учатся применять математические знания при решении различных задач и оценивать полученные результаты; овладевают умениями решения учебных задач; развивают математическую интуицию; получают представление об основных информационных процессах в реальных ситуациях» [2, 11]. Познавательные универсальные учебные действия включают: общеучебные и логические учебные действия; постановку и решение проблемы. Одно из важнейших познавательных универсальных действий - умение решать проблемы или задачи в разных сферах человеческой деятельности. В силу сложного системного характера общего подхода к решению задач данное универсальное учебное действие может рассматриваться как модельное для системы познавательных действий. Моделирование относится в особую группу общеучебных универсальных действий - знаково-символические действия.
Решение сюжетной задачи, которую можно рассматривать как текстовую модель некоторого процесса, события или явления реальной действительности, обладающую качественными и количественными характеристиками, формирует у учащихся все основные виды универсальных учебных действий. Сюжетная задача - математическая задача, в которой описан жизненный сюжет, а именно, количественная сторона реальных процессов, явлений и ситуаций; она содержит требование найти искомое значение величины по данным в задаче значениям величин и связям между ними. Эти задачи имеют и иные наименования: текстовые, практические, аналитические (задачи на составление уравнений или систем уравнений), арифметические и т.д.
До 19-ого века цели решения данных задач были чисто практические: обучить решать задачи, которые встречаются в жизненной практике; далее эти цели значительно расширились и, не исключая практических целей, решение сюжетных задач начинают применяться как важное общеобразовательное и методическое средство. «В курсе арифметики первостепенное внимание уделялось решению арифметических задач. Задача была целью обучения, а под умением решать задачи понимали способность ученика решать составные задачи вполне определенных типов, так называемые типовые задачи; способность ученика привести задачу к определенному типу считалась важнейшим показателем высокоразвитого мышления. Для того чтобы развить эту способность, ученика вооружали четко ограниченным множеством специальных правил (приемов), каждое из которых соответствовало задачам определенного типа. Перечень этих правил был весьма велик -простое тройное правило и сложное; правила процентов, учета векселей, нахождения средних процентных такс, вычисления сроков платежей; цепное правило; правила ложного положения и двух ложных положений; правила пропорционального деления, нахождения неизвестного по двум разностям, вычисления пробы, смешения первого и второго рода, сплавов, замены данных, урав-
