Взаимодействия подсистем в структурно - параметрическом представлении Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-50

ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПОДСИСТЕМ В СТРУКТУРНО - ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ

ПРЕДСТАВЛЕНИИ

Д.В. Сысоев, О.В. Курипта, Н.В. Акамсина

В [4] вводится определение действия системы, понятия оценки, полезности, алгебры действий, приводятся схемы выбора в некотором смысле лучших действий. Здесь же рассматриваются вопросы формирования пространств действий в условиях многоместных отношений подсистем

Ключевые слова: система, полезность, бинарные отношения

1. Топологическое пространство на 8 [1].

Рассмотрим отношения S¡ Д SJ, S¡ Д SJ, S¡ А SJ,

S¡ /А Б}, Д Б}, /А Б} на всем множестве 8х 8=82,

способы их построения и ряд свойств.

Построение выше введенных отношений связано с формированием так называемых матриц достижимости Б+(в)=^ + ]МхМ и

контрадостижимости Б (в) = [d ~у ]МхМ [2].

Элементы матриц определяются следующим образом:

,+ І1, если 8, Д 8,, , І1, если 8, Д 8,,

а+= г ■^’; а- = Г (1)

І0, если 8, Д 8,. І0, если 8, Д 8,.

Из соотношений (1) следует, что Б =(Б+)‘Г, где (0+)‘Г - транспонированная матрица достижимостей Б+.

Для удобства изложения V 1=1, N в

соответствии с матрицами Б+ и Б рассмотрим сечения по отношений Д Д , которые

представим в виде >1 + (Si)={Sj е8: d + =1} и >1 -(8!)= ^ е8: d “ =1}. Здесь >1 + (81) - множество

достижимых по действию Д1 подсистем (V Sj6 >1 + (81)^ Д ), а >1 - (81) - множество

контрадостижимых по действиям Д подсистем (V Sj е >1 - (81) ^ Б1 Д SJ), причем не исключается 1=_|. Эти множества позволяют построить и сечение >1 д (80=>1 + (81) п >1 - №)={8| е8: d+=^- =1} -

множество взаимно достижимых по действиям подсистем, таких, что каждое 81 может действовать на любое 8_| и наооборот, каждое 8_| может действовать на любое 81, причем при 1=|, d + =d- =1 и 81 может оказывать действие само на себя

Сысоев Дмитрий Валериевич - ВИВТ, канд. техн. наук, доцент, тел. (473) 220-56-50

Курипта Оксана Валериевна - ВИВТ, канд. техн. наук, тел. (473) 220-56-50

Акамсина Надежда Валериевна - ВИВТ, канд. техн. наук, тел. (473) 220-56-50

(существует обратная связь).

Аналогично: >1 + (81)={8| е8: d + =0, |^1} -

множество не достижимых по действию Д1 подсистем, т.е. такие 8_| е8, на которые не может оказывать действие подсистема 81 ; >1 - (81)={8| е 8: d“ =0, ^}; множество не достижимых по действию Д| подсистем, т.е. такие 8| е8, которые не могут оказывать действие на подсистему 81; >1д (81)=

>1 + (81) п >1 -(81) ={8| е8: d + =0 А d- =0, |*1}-множество взаимно не достижимых по действиям подсистем, т. е. таких 81, 8_| е 8, что Д Sj и Б1 Д Sj .

(1)

Построенные сечения позволяют определить на множестве 82 множества бинарных отношений

>1 + = и {81 х>1 + (81)}; >1 - = и {^Т- (81)};

>1 + = и {8іХ>І + (8і)};

і

>1 - = и {81Х>1 - (81)}; >1Н = и {81 х>1 Н (81)}.

Эти отношения в совокупности с самим множеством 82 и пустым множеством 0 образуют так называемую топологию 2={ст}={>1 +, >1 -, >1 +, >1-, >1 д, >1 д, 82, 0} на множестве 82 И, следовательно, задают топологическое пространство Т(82) = (82, 2) [3].

Рассмотрим ряд свойств структуры пространства Т(82), вытекающих из выше представленного построения и свойств бинарных отношений в соответствии с [3]:

>1 + и >1 + =82(>І + п>І + =0, 82 \>І + =>і;

Г + — 02/^Т + л + —ГЛ С2 \-^і + .

1 д ' А н

л 82 \>І + = >І д^ >І + =>І + Л>І д =>І +);

>І д и>І Н =82(>І д п>І Н =0,

8

2

дд \>І - =>І Н л8

2

\>І Н =>І д ^ >І Н = >І д л>І д = >І Н;

■ >І д ,>І д - множества полных ((8,, 8,)є>І + v (8і, 8,)є>І - либо (8і, 8,)є>І + л(8,,

8_,)є>І д), рефлексивных ((8і, 8і)є>Ід - всегда

считается, что сама вершина 8і графа в достижима из себя самой с помощью пути длиной 0, транзитивно полных (из (81, 82)є>Ід л(82, 83) є >Ід л

(8П-Ь 8п)е>1д^(8ь 8П) е >1д, п=1,2,3, ...) отношений,

где >1д = >1 ^>1- ;

■ >1 +, >1 н - множества слабополных (V ^

(81, 8|)е>1 ^(8Ь 8|)е>1- либо (81, 8|)е>1 + А(й,

8|) е >1 н, антирефлексивных ((81, 81)г>1н),

негатранзитивных (из свойства 1 - дополнение отношений >1н транзитивно) отношений, где

>1н=>1 >>1 - ;

■ множество отношений >1 + является обратным к >1 д и наооборот, т.е. (>1 - )-1=>1

и {>1 - №)х81}= и {81х>1 + (81)}; и (>1 + )-1 = >

I д ^и {>1 + (81)х81}= и {81х>1 д (81)}; аналогично:

іі

\-1- ^т + .

(>ІН )-1= >ІН ^и {>ІН (8і) Х 8і}= и {8іХ >ІН (8і)}; и іі

(>Ін )-1 = >Ід ^и {>ІН (8і)х8і}= и {8і х >ІН (8і)} -

іі

следует из Б д =(Б+)‘Г;

^ т ^ т +

■ множество отношений >1 д = >1 д п

(>І + )-1 = >І д п (>І д )-1 =>І + п >І д - является

симметричной частью множеств >1 + и >1 д . И так

как оно рефлексивно, транзитивно и симметрично, то это множество эквивалентных отношений

(эквивалентность);

■ множество отношений >1Н = >1 + п

(>І + )-1 = >1« п (>І н )-1 =>І + п >І н - является

симметричной частью >1 н и >1 н;

■ >І д п > IН =0 (из свойства 1), >1 “ и

^ т ^ о 2

>І Н - является симметричной частью 8 .

X

У

► У2

► У! Уз

► У.

4

У5

Рис.1. Схематичное представление состава и структуры приводимой системы при 8 Н = 8: 8 Н = {81,

82, 83, 84, 85}, #8 = {#8! = 81, #82 = 82, #83 = 83, #84= 84, #85= 85}.

2. Независимость в целом. Особый интерес в смысле изучения взаимодействия имеет множество (класс) подсистем, вступающих в отношения независимости и рассмотрение его влияния на механизм формирования целостных свойств системы. [4,5].

Определение 1. Подсистема 81е8 вступает в отношение независимости по действию к

подсистеме 8_|е8 ((81, 8|) е >1 н или 81 >1 н 8|), если

Б“ Д Бв* (#|) и подсистема 8^ е 8 вступает в

отношение независимости по действию к

подсистеме 81е8 ((8|, 81) е >1 н или 8_| >1 н 81), если

БВхД Б? (И).

Определение 2. Подсистемы 81е8 и 8|е8 вступают в отношение взаимонезависимости по

действию ((81, 8|)е>1 Н или 81>1 Н 8|), если (81, 8|) е

>1 н л (8,, 8і) є >І н (И).

Заметим, что независимость по действию совпадает с определением независимости подсистем на множестве 8. Если же рассматриваются и системные свойства, т.е. 8 и 8 совместно, то определения 1 и 2 вообще теряют смысл, т. к. всегда

сувх^ с?вх сувхл с?вх _______________ овхл овх

Ь; а 8 и Ь ^ а 8 , следовательно, и Ь; а Ь ^ .

1 J 1 и

Другими словами подсистемы 8і, 8, всегда

взаимодостижимы по действию через систему 8 в целом.

Из определений следует, что >1 + сТ(82) - это множество независимых по действию бинарных отношений типа (8і, 8,)є> І н, >І -сТ(82) -

множество независимых по действию бинарных отношений типа (8,, 8і) є >І н и >І Н = >І + п >І д с

'•и'1-' н н н Н

Т(82) - множество взаимонезависимых по действию бинарных отношений.

Если >1 + , >1 н , >1Н ^0, то эти отношения определяют на 8 сечения:

■ >1 + (8 +) = и >1 + (81), >1 + (8 +) = {8| е 8:

3 81 е 8+ а 81 >1 + 8_|}, где 8++ = {81 е 8: 3 8_| е

>1 + (8 +) А 81 >1 + 8|}. Другими словами >1 + (8 +) -

множество подсистем, с каждой из которых вступает в отношение независимости хотя бы одна

подсистема множества 8 + £8, (8 + - множество

подсистем каждая из которых вступает в отношение независимости хотя бы с одной подсистемой из

>1 + (8 н) £ 8);

■ >1 - (8 -) = и >1 - (81), >1 - (8 -) = {8| е 8:

3 81 е 8- а 81 >1 - 8|}, где 8 - = {81 е 8: 3 8| е >1 -

(8 - )а81 >1 - 8_|}. Другими словами >1 - (8 -) -

множество подсистем, каждая из которых вступает в отношение независимости хотя бы с одной

подсистемой из множества 8 - £8 (8 - - множество подсистем, с каждой из которых вступает в отношение независимости >1 н хотя бы одна подсистема из >1 - (8 -) £ 8);

■ >1Н (8 Н ) = и >1Н (81), >1Н (8 Н ) = {8| е

8: 3 81 е 8 Н а 81 >1" 8|}, где 8 - ={81 е 8: 3 8 е >1"

(8 Н) а 81 >1Н 8|}. Другими словами >1Н (8 Н) -множество подсистем, каждая из которых вступает в отношение взаимонезависимости хотя бы с одной

подсистемой из множества подсистем 8 Н £ 8 (8 Н -множество подсистем, с каждой из которых вступает в отношение взаимонезависимости >1Н хотя бы одна подсистема из >1Н (8 Н ) £ 8).

Тогда: 8н=>1 + (8 + )и8 + =>1 - (8 - )и8 - , 8н £8 -множество подсистем, участвующих в формировании отношения независимости, т.е^ 81 е

8н 3 8_| е 8н, что 81 >1 + 8_| V 81 >1 - 8_^ 81 >1Н 8|, а

8 Н = >1Н (8 Н ) и 8 + , 8 Н £8н - множество подсистем, участвующих в формировании отношения взаимонезависимости, т.е. V 81 е 8 Н 3 8|

е 8 Н , что 81 >1" 8|.

Приведенные системы. Отдельно рассмотрим подмножество 8 Н £ 8, 8° ^ 0, 8° ={81 е 8: VSj е 8, 81 >1Н 8_! , ]=1, N, _^} таких подсистем, каждая из которых вступает в отношение >1Н со всеми оставшимися подсистемами из 8. Если 81 е 8Н, то

>1 + (81)481 = 0 А >1- (81)481 = 0, множество 8 Н х 8 ° задает диагональное единичное отношение I = {(81,

8і): 8і >Ід 8і}.

Назовем 8 Н множеством изолированных подсистем. Понятно, что 8 Н £ 8 Н с 8н с 8 и Хі пХ, = 0, Уі п У, = 0 для любых 8і, 8, є 8 он.

Утверждение 1. Всегда существует такое конечное семейство подсистем #8 ={#8к} 1=1 = {#8к

с 8 о : #8к = {#8к, #вк, #Як}}, где и #8к = 8, #Як сЯ,

к=1

#вк=(#8к, #Ек) таких, что Рг(8) = {#8, #в, #Я}= #8, #в=(#8, #Е) - гиперграф и #Я -аддитивная операция типа сложения (+), например #Я = Я +Я2+ ... + Яп.

В утверждении Рг - некоторый оператор преобразования системы, знаком (#) обозначено наличие системных целостных свойств -представление системных компонент на множествах 8, Я и графа в в виде подсистем.

Заметим, что утверждение 1 не исключает наличия изолированных элементов в множествах #8. Единственным требованием является лишь

принадлежность подсистемы #8к множеству 8 О .

Утверждение вытекает из того, что оно справедливо хотя бы для Рг(8)=8, т.е. при #8={8: 8 = {8, в, Я}}. Другими словами достаточно считать множество #8 состоящим из одного элемента -самой системы 8.

Если система 8 может быть сформирована таким образом что Рг(8)=#8={#8, #в, #Я}), то следуя [6] будем называть ее приводимой. Тогда, систему #8 можно назвать приведенной и оператор преобразования Рг - оператором приведения. Приведенная система #8 состоит только из независимых изолированных подсистем #8к, входной и выходной объекты системы определяются в виде X = #Х1 х #Х2 х ...х #Хп и У=#У1 х #У2 х ...х #Уп. Структурным оформлением такого представления следует считать параллельное соединение подсистем в систему.

Приводимость является важным в практическом отношении свойством в задачах анализа, синтеза и эквивалентных преобразований систем и она в каждом случае не однозначна в зависимости от принципов формирования изолированных подсистем (объектных,

функциональных, информационных и др.), т.е. Ргє{Рг}.

Если 8 О =8, то и #8 = 8 , т.е. изучаемая система 8 изначально является приведенной и пространством действия является Х=Х1 х Х2х . х Хп (рис.1).

3. Пространства действий в многоместных отношениях.

Один ко многим. Покажем теперь, как можно сформировать пространство действия произвольной подсистемы 8іє8 на всю систему 8 в целом. Это равносильно построению множества достижимости системы по действию Ді.

Рассмотрим множество подсистем >1 + (81) £ 8 (V 8к е >1 + (81) ^ Б Д Бк , к= 1, п1 ), достижимых по действию Д1 подсистемы 81. Тогда 3 X (1), X °к (1) Ф

0 V к и Х°* (1) = { иX°к (1)}, что V 8ке >1 + (81) 3

к

X% (1) Ф 0}.

Введем в рассмотрение (1+п1) - местное отношение ВiсX (1) х {хXk(1)} П=1 и его сечения

Вi(X°к (1)) V к=1,ni , X°к (1) с X01s (1). Эти сечения ни что иное, как X % (1), а их декартово произведение формирует множество достижимости X% (1)=^% (1)} Пи, т.е. В^ (1)) =^% (1)} Пи.

Другими словами система 8 достижима по входу из 81, и отношение (81 Д 8) характеризует пространство действия в виде сюръекции: X (1) ^ {хX% (1)}П= (X(1) ^ X% (1)) и композиции:

X % (1) ^ У (рис.2.)

Многие к одному. Возьмем произвольную подсистему 8_^е8 и рассмотрим процесс формирования пространства действия на нее всей системы 8 в целом. Это равносильно построению множеств достижимости подсистем по их действиям.

Рассмотрим теперь множество подсистем >1 - (81) £ 8 (V 8к е >1 - (81) ^ Д Бк , к = 1П), достижимых по действиям Дк. Тогда V 8ке >1 - (81) 3

х° (г) * 0 и Xа/ (г) = {{хХ°° (г)}^ что V 8кє

>1 - (81)3 X , (1)Ф0}.

Как и ранее, рассмотрим (п|+1) - местное отношение А_| с {хX°к (1)} П=1 х Xj и его сечения

Аj(X °к] (1)) V к=1,п, . Понятно, что эти сечения ни

что иное, как X / (г), т.е. А,(Х к (г)) = X / (г) V

к=1,пг- , а их объединение { и А,(Х ° (г))}

к

формирует множество X / (і)^ и X / (г)}.

1 к 1

Другими словами подсистема 8, достижима по

входу из 8, и отношение (8 Д 8,) характеризует пространство действий в виде сюръекции:

{хХ° (1)} 1=1 ^ {и X/ (1)} ({X° (1) ^ Xа/ (1)) и

к

-°і 1!

композиции: {хХк] (і)}/ ^ У, (рис.3).

Рас. 3. Формирование пространства действий в условиях

отношения «многие к одному»

Многие ко многим. Это отношение рассматривает пространство действий одной системы 81 на другую Sj и в силу системных свойств ни чем не будет отличаться по построению от пространства действия подсистемы 81 на подсистему 8_! одной системы 8, приведенного ранее. Действительно, рассматривая 81 и 8_^ в соответствии с системной формализацией, можно говорить о многоместном отношении М с Х1(1) х Х|(1) = (х {Xl(t)}Nl) х (х да)}! где Х(1) = х {Xi(1)}Ni -

входной объект системы 81 = {Si}Ni; Х|(1) = х {Xj(1)}Nj - входной объект системы 8_^ = {8_^} эд.

Если 81 Д ^, 3 X % (1) £ Х1(1) и X * (1) £ Х|(1) (X % (1),

X% (1) Ф 0) такие, что X * (1) = х {X * (1)} ^ (к1 < N1),

X% (1) = х {X% (1)} к, (kj < Nj). Тогда сюръекция:

X а (і)) и

композиция: х {Xа (і)} к, ^ Уj будут

характеристиками пространства действия 8і на 8,, а множества Xа (і) и Xа (і) формировать это пространство.

Литература

1. Сысоев В.В. Пространства бинарных действий

подсистем в структурно - параметрическом представлении систем /В.В. Сысоев, Д.В. Сысоев//

Вестник Воронежского государственного технического университета. Серия «САПР и системы автоматизации производства». -Воронеж: ВГТУ. 2005. -Том 1. - №11. -С.60-64.

2. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход.- М.: Мир, 1978. - 432с.

3. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл. Х. Математический анализ.- М.: Наука,1979. - 720с.

4. Сысоев В.В. Действие и взаимодействие систем:

Воронежский институт высоких технологий

структурно-параметрическое представление / В.В.

Сысоев, Д.В. Сысоев // Воронеж: АО Центральночерноземное книжное издательство, 2004. - 70с.

5. Сысоев В.В. Конфликт. Сотрудничество. Независимость. Системное взаимодействие в структурно - параметрическом представлении. - М.: МАЭП, 1999. -151с.

6. Эшби У.Р. Введение в кибернетику.- М.: Ин. лит., 1959. - 432с.

INTERACTION OF THE SUBSYSTEMS IN STRUCTURED-PARAMETRIC

PRESENTATION

D.V. Sysoev, O.V.Kuripta, N.V. Akamsina

In [4] is entered determination of the action of the system, notions of the estimation, usefulness, algebras action, happen to the schemes of the choice in a sense best action. Here questions of the shaping space action are considered in condition muchlocal relations of the subsystems

Key words: system, usefulness, binary relations