Статистический анализ взаимодействий информационно-аналитической подсистемы производственно-экономической системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-50

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ ИНФОРМАЦИОННО-АНАЛИТИЧЕСКОЙ ПОДСИСТЕМЫ ПРОИЗВОДСТВЕННО-ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ Д.В. Сысоев, О.В. Курипта, И.В. Зубарев

Рассматриваются возможности использования методов многомерной статистики с целью изучения динамики поведения информационно-аналитической подсистемы в условиях формирования коалиций конфликта, согласия и безразличия

Ключевые слова: система, конфликт, взаимодействие систем

Рассмотрим функционирование на

промежутке времени 1е Т некоторой

информационно-аналитической подсистемы

(ИАП) 8 = (8! 82 , ... , 8^, состоящей из N членов по достижению общей цели Ш. Будем считать, что у каждого элемента 81 ИАП 8 своя локальная цель Ш1, достижение которой оценивается

эффективностью Х1 (1) е Бь 1 = 1, N .

Каждый элемент ИАП определенным образом оказывает влияние на другие элементы. Ситуация взаимовлияний в ИАП характеризует системные свойства, определяющие

эффективность стратегий по достижению общей цели. Понятно, что наличие общей цели ни в коей мере не является признаком того, что элементы ИАП не могут конфликтовать по поводу своих полезностей.

Из выше изложенного, естественно предположить, что действия каждого элемента направлены таким образом, чтобы

максимизировать свою полезность (Х1(1) ®тах) в рамках требований (ограничений), определяемых рамками системы 8. Тогда рассматривая с этих позиций в каждый момент времени

взаимодействия в соответствии с введенными в [2,4] определениями, можно говорить:

• 81>18_| (81 конфликтует с 8_|) на если

влияние 81 на SJ таково, что с возрастанием функции Х1(1) функция Х^) убывает

(положИтельное, с точки зрения своей функции полезности, действие 81снижает полезность 8^;

• 81 > 1с 8_1(81 содействует 8_|) на если

влияние 81 на SJ таково, что с возрастанием функции Х1 (1) функция Х^) также возрастает (положительное, с точки зрения своей функции полезности, действие 81повышает полезность 8_|);

• 81 > 1 н 8_|(отношение безразличия или независимости) на Б^Б^ если влияние 81 на SJ

Сысоев Дмитрий Валериевич - ВГАСУ, канд. техн. наук, доцент, тел. (473) 220-56-50

Курипта Оксана Валериевна - ВГАСУ, канд. техн. наук, тел. (473) 220-56-50

Зубарев Игорь Валентинович - ВГТУ, канд. техн. наук, доцент, тел. (473) 243-77-20

таково, что с возрастанием функции Х1 (1) функция Х^) не изменяется (положительное, с точки зрения своей функции полезности, действие 81 не меняетполезность 8_|);

Будем считать, что функции Х1(1) являются вещественными и могут быть измерены в каждый момент времени 1, причем функционирование ИАП 8 осуществляется в условиях действия на нее случайного поля. Иными словами система 8 стохастична.

Такие предположения вполне адекватно описывают реальные условия функционирования ИАП. Это приводит к тому, что в интервале времени 1е Т необходимо рассматривать вектор случайных функций Х8(1:) = (Х1(1), Х2 (1),., Х^)), каждая из которых в определенный момент времени 1 = ^образует так называемое сечение х11(1к), х12(1к),..., х1п(1к). Это приводит к тому, что действие системы в целом характеризуется матрицей наблюдений,

Х8 = [ху(1к)]^п , (1)

которая позволяет проводить статистический анализ взаимодействий элементов ИАП с точки

зрения отношений >1, > 1с , > 1 н .

Исходя из введенных предположений, так же как и в [3], в первом приближении можно в качестве критерия наличия рассматриваемых отношений использовать выборочный

коэффициент корреляции Гх х .Если Х1,Х;сХ8 и Гх х <0, то 81>1 8_| на Б1хБ1 , Гх х >0, то 81 > 1с 8_| на Б1хБ1 , Гхх, >0, то 81 > 1с 81 на Б^Б^ Гхх, =0,

то 81 > 1 н 81 на Б^Б^

Использование коэффициентов корреляции при анализе стохастической системы 8 позволяет применениемметода корреляционных плеяд определить из 8 ИАП (назовем их ядрами) в соответствии с исследуемыми отношениями, а именно:

1) корреляционные плеяды, в которых связи между элементами ИАП характеризуются отрицательными коэффициентами корреляции;

2) корреляционные плеяды, в которых связи

между элементами ИАП характеризуются

положительными коэффициентами корреляции;

3) элементы ИАП, в которой наблюдается независимость случайных величин Xt.

Понятно, что такие построения по

определению приводят к упрощению рассматриваемой модели, а именно к

симметричности рассматриваемых отношений.

Исследование динамики отношений >I, > 1с

, > 1н представляет собой один из этапов анализа функционирования системы S, который заключается в сравнении состояний этих

отношений для различных серий реализаций функционирования S. Для этих целей на множестве случайных параметров (величин) Х^ а следовательно и S, " t еТ введем: 0 (t) =

0 (> 1, t) - ядро конфликта; 0 G(t) = 0С (> 1с, t) -

ядро согласия; 0 K(t) = 0 н (> 1н, t)- ядро

безразличия; | 0 (t)|, | 0 0(t)|, | 0 n(t)| - мощности ядер соответственно конфликта, согласия и безразличия (число ребер exy(t) , ( x, y eXs) плеяд, для которых в момент времени t соответственно

rxy(t)< 0, > 0, = 0).

Эти обозначения позволяют провести некоторую условную классификацию

рассматриваемых отношений. Не теряя общности, приведем ее для отношения конфликта >I , первоначально предполагая существование на Xs одного ядра 0 (t).

Будем считать, что для tj и t2 , (t2 > tb tb t2e T) конфликт является:

• усиливающимся, если конфликт образуют те же самые ребра плеяды, | 0 (t)| = const и o(t2) = £|%(t2)|>Z |%(tl)| = o(tj) по всем exy(t), для которых rxy(t)< 0;

• ослабевающим, если конфликт образуют те же самые ребра плеяды, | 0 (t)| = const и o(t2)

=Srxy(t2)| <Z| rxy(tj)| = o(tj) по всем exy(t), для которых rxy(t)< 0;

• не изменяющимся, если конфликт образуют те же самые ребра плеяды, | 0 (t)| = const ИO(t2) =&xy(t2)| =Z| rxy(tj)| = O(tj) по всем e^t), для которых rxy(t)< 0;

• более мощным, если | 0 (t2)|> | 0 (t1)|;

• менее мощным, если 10 (t2)|< 10 (ti)|;

• исчезающим, если 0 = | 0 (t2)| < 10 (ti)|;

• возникающим, если | 0 (t2)| > | 0 (ti)| = 0.

Предположим теперь, что на X существуют

несколько ядер конфликта 0 1(t), 0 2(t),..., 0k(t), причем, если 01(t)n0 2(t)n...n0k(t) = 0 , то имеем не связный конфликт, если 01(t)n0 2(t)n...n0 k(t) ^0, то имеем связный конфликт и, если 0 1(t)n0 2(t)nn0 k(t)= 0 (t) - совпадающий конфликт.

Рассмотрим первые два случая. В целом для t1 и t2 , (t2 > t1, t1, t2e T) будем говорить:

• о затухающем конфликте, если для него

к к к

0 2)< X ° <■ (0 и (или) X I 0. (2)<

к

10 . ^1). Для этого класса характерно:

.

уменьшение количества связей в ядрах между конфликтующими элементами от одной серии реализации функционирования системы к другой; уменьшение количества ядер конфликта;

ослабление связей между конфликтующими параметрами;

• о возрастающем конфликте, если для него к к к

(12 ) > X °. (^1) и (или) X 1 0. (2 ) >

. . .

к

10 . ^1) . Для этого класса характерно:

.

увеличение количества связей в ядрах между конфликтующими параметрами от одной серии реализаций процесса к другой; увеличение

количества ядер конфликта; усиление связей между конфликтующими параметрами.

Понятно, что в процессе функционирования системы, рассматриваемые классы отношений могут присутствовать одновременно для каждого отдельного ядра. Сравнивая ядра конфликта в сечениях 1 = 1к и 1 = 1 можно говорить об их эвивалентности или неэквивалентности в широком и узком смыслах. Поскольку ядра определяют статистические ряды (выборки), то их сравнение можно провести статистическими методами также как это предлагается в.

Для этих целей по множеству Х8 в соответствии с ядрами 0 (1к) и 0 (^) формируется статистика в виде матриц Х( 0 (%)) = Х(1к) = [х^к)] размерностью т1 х п1 и Х( 0 (11)) = Х(11) = [х^)] размерностью т2 х п2 , где тки т1число случайных функций, участвующих в формировании ядра в сечениях 1 = 1к и 1 = 11, а п1 и п2 - объемы соответствующих выборок.В рамках статистического анализа эквивалентности в узком смысле предлагается рассмотреть совокупности оценок математических ожиданийМх(1) = {х1(1), х2(1),..., хт(1)},и оценок корреляционных

матрицК(1) = [ Ку], 1= 1,т ; ]=1,т ,элементами которых в общем случае будут являться взаимные корреляционные функции Ку = К^,^). Очевидно, что К^кДО = К^кДО и при к = 1 К^кДО = К -оценки корреляционных моментов случайных величин Х1 и Х1 в сечении 1 = 1к.

Не теряя общности, здесь и далее предполагается т1 = т2 = т. Это не повлияет на дальнейшие рассуждения, так как, если например т1 > т2 , то соответствующие, не достающие элементы вектора Мх(11) и матрицы К(11) , будут равны нулю, что не отразится на статистических процедурах проверки. С точки зрения установления силы связей между случайными функциями в различных сечениях сведенья дают матрицы оценок коэффициентов корреляции

г = [г^], 1=1,т, ]=1,т ,где в общем виде г^= г^ДО;

Г^кДО = г^ДО и при к = 1 г^кДО = Г11- оценка коэффициента корреляции между случайными функциями Х1 и Хг

Если провести анализ квазиэквивалентность относительно векторов средних при условии, что ковариационные матрицы исследуемых сечений равны, но неизвестны, можно применить Т -критерий Хотеллинга, в котором используются обобщенные оценки структуры связей. Вычисляется статистика

Т2=

тп 2 т + п 2

(Мх(1к) - Мх(11)) 8-1(Мх(1к) - Мх(11))Т, (2)

где 8 =

1

■( Х к Х кТ + Х1Х11)

П1 + п 2 - 2

обобщенная ковариационная матрица; Хк = [х^(1к)

- х(1к)], 1=1, т, ]=1, п1 - матрица наблюдений при 1 = 1;к в форме отклонений размерностью т х п1; Х1 = [х^) - х(^)], 1=1, т, ]=1, п2 - матрица наблюдений при 1 = 11 в форме отклонений размерностью т х п2. Гипотеза о

квазиэвивалентности ядер 0 (1к)и 0 (11)

относительно вектора средних (вектора математических ожиданий) принимается, если

2 (т + П2 - 2)т

Т2<Г( а р------------(3)

П1 + П2 - т -1

где Г( а) находиться по таблице распределения Фишера (Г- распределение) с V1 = т и V 2 = (п1 + п2 - т - 1) степенями свободы и уровнем значимости а .

Критерий Т2 целесообразно использовать в случаях, когда предполагается, что

корреляционные связи в исследуемых сечениях различаются но несущественно (К(1к) @ К(11)). Если же различия корреляционных матриц существенны и п1 = п2= п, то проверку гипотезы о равенстве векторов средних также можно провести по Т2-критерию, но тогда формула (2) будет отличаться сомножителем, т.е. вместо п1п2/(п1+п2) будет п, а число степеней свободы в формуле (3)

V 1 = т, V 2 = п-1.

Если есть основания, о том, что различия корреляционных матриц существенны и п1 Ф п2, то сравнение средних можно провести с помощью критерия Беренса - Фишера.Предположим что для определенности п1< п2. Тогда формула критерия имеет следующий вид

Тб2 = п1 ( Мх(1к)- Мх(11)) 8-1( Мх(^ Мх(11))Т,где

(п1-1)8 = ИкИкТ; И = [иц- и1], 1=1,т, 1=1,п1 -

матрица отклонений размерностью т х п1; и1 = (

X и11)/п1 "1= 1, т ; и11= х^) - Vт / П2 х^),

] =1

1=1, т ; 1=1,п1 .

Случайная величина Тб2 определена Г-распределением (Фишера) состепенями свободы V

1=т и V 2=п-1. Гипотеза о равенстве векторов

2 (п1 - 1)т

средних используется, если Тб < Г( а)-----------.

П1 - т

Для последнего случая, Кульбаком предлагается также критерий

Ш = ( Мх(1к) - Мх(11))((К(1к) / п1) +

+(К(11) / п2))-1( Мх(1к) - Мх(11))Т,(4) где К(1к) и К(11) - оценки ковариационных матриц.

Гипотеза о равенстве векторов средних используется, если величина Ш меньше табличного значения %2 (хи-квадрат) с числом степеней свободы V =т и уровнем значимости а .

Если два ядра конфликта признаются квазиэквивалентными по вектору средних, то это является признаком того, что центр ядра не сместился, в противном случае, наблюдается смещение центра - ядро конфликта перемещается во времени. С целью проверки

квазиэквивалентности ядер 0 (1к)и 0 (11)

предлагается использовать информационный критерий Кульбакаотносительно ковариационных матриц I = (п1-1) ^( |8| / |К(1к)|) + (п2-1) ^( |8| / |К(^)|),где |8| - определитель обобщенной

ковариационной матрицы (формула

(2)). Предлагается провести оценку значимого

2

расхождения с применением распределения % с числом степеней свободы V = т(т+1)/2 и уровнем значимости а .

Гипотеза оравенстве ковариационных матриц имеет место, если I <%2таб а, V ).Как известно ковариация является с одной стороны мерой рассеяния значений случайных величин, с другой

- мерой силы связи. С этой точки зрения, при отсутствии квазиэквивалентности, по - видимому, можно говорить с одной стороны о некоторой размытости ядра конфликта, а с другой - о качественных изменениях в ядре и в количественном отношении (изменение силы связей). Рассмотрим дополнительно критерий одновременной проверки гипотезы о равенстве векторов средних двух выборок и ковариационных матриц, предложенный Т. Андерсоном. Для чего будем использовать случайную величину V (5), где А1=[ХкХкТ], А2=[Х1Х1Т].При значительных объемах выборок п1 и п2 величина (-2 р 1пШ)

2

аппроксимируетсяраспределением % с числом степеней свободы V =т(т+3)/2, где

.т(т+П2-2)/2

(т + П2 - 2)

(П1 - 1)т(П1-1)/2 (п2- 1)т(п2-1)/2

1

V и

11 р = 1 - [-+-+

т -1 П2 -1 т + П2 - 2

] х

х-

2т + 3т -1

т

6(т + 3) (т + П2 - 2)(т + 3)

Тогда, если (- 2 р 1пШ) <%2таб( а, V), то гипотеза принимается, ядра конфликта

признаются квазиэквивалентными одновременно относительно векторов средних и ковариационных матриц.

Иначе следует предполагать отсутствие расхождения относительно средних можно ввести,

эквивалентности ядер и в качестве меры где (0] - нормирующий множитель.

(п 1-1)/2|. |(п2-1)/2

2

V=_______________________________Г^!___________Г^!___________________________:_________ . (5)

|л 1 + Л2 + (пт2 /(п1 + п2))(М^((к) - М^((/))(М^((к) - М*((/))

Т .(п1+п2-2)/2

г~т

5М * = 1X а, [ X,- ((к) - X;' ((/)]2 .

В общем случае в качестве меры расхождения двух ядер предлагается применить расстояние Махаланобиса [2,4] ё2 = (Мх(1к) - Мх(^))

8-1( Мх(1к) - Мх(11))Т.

Процесс выявления и установки существенного различия двух средних (оценок математических ожиданий) может быть определено при помощи 1-критерия (критерия Стьюдента).

Если дисперсии в сечениях равны, то будет вычисляться статистикас числом степеней свободы V = п1+п2-2.

^ [хО)]-х(й)'](т + п2- 2)1/2

1=---------------------;--------------;----7 (6)

(1/п+1/п2)[(п1 - 1)о *((к) + (п2 - 1)о *(()]

В случае не равенства дисперсий можно использовать статистику

х((к) - х(()

1=—2^---------------------------ТТГ. (7)

(а х(Хк) / п1 + а х(Хг) / пг)

Число степеней свободы V -это наибольшее число, не превосходящее

(п1 - 1)(п2 - 1)[(а2 *((к) / п1 + а2 *(() / п2)]2 (п1 - 1)а2 *((к) / п1 + (п2 - 1)а2 *(() / п2

Если в этих двух случаях |1 <1кр= 1таб( а , V ) ( а - уровень значимости), то различие оценок будет считаться статистически незначимым, а ядро конфликта - квазиэквивалентным относительно среднего. Если различия оценок средних значимы, то за меру степени неэквивалентности будет приниматся величина 8 х=|[х(1к)- х (11)]/тах{х(1к), х(11)}|.Для проведения сравнения оценок дисперсий предлагается применять Г-критерий (Фишера): Г = а 2х(1к)/а 2х(11) с у1 =п1-1 и V2 =п2-1

степенями свободы. Дисперсии считаются равными и ядро 0 (1) признается квазиэквивалентным относительно дисперсии в случае когда Г <Гкр = Гтаб( а , У1, V2 ).Так же как и для среднего, в качестве меры отклонения в этом случае можно использовать величину 8а2 * = |[ а 2х(1к) - ^2х(11)]/ тах{^2х(1к), ^2х(11)}|.

Статистически значимое различие двух оценок нормированной корреляционной функции или нормированной взаимной корреляционной функции (коэффициентов Гх( Т ) и Гху(Т )) при заданном Т наиболее эффективно проверяется с применением ъ - преобразования Фишера. Для этого вычисляется статистика

Т=(Ъ1-Ъ2 )/д, (8)

где Ъ1 ={ 1п(1+Гху(1к, 1к+Т ))/(1- Г^кДк+Т )))}/ 2,Ъ2 = {1п(1+Гху(11,11+Т )) / (1-Гху(11,11+Т )))}/ 2, д 2 = (п1 -

3)-1 + (п2 - 3)-1, к, 1 ( к Ф 1) - номера сеченийпри 1=1к и 1 = %

В случае |Т|<ТКр = Ттаб( а), где Ттаб( а) ищется по таблице стандартного нормального распределения в зависимости от уровня

значимости а , различие оценок коэффициентов корреляции считается незначимым. В противоположном случае гху(1:кДк+ Т ) Ф гху(11,11+ Т ), и мерой расхождения относительно

нормированной взаимной корреляционной

функции можно применить величину 8 Гху = |%(1кДк+Т ) - Гху(1к,1к+Т )|.В общем случае,

наиболее эффективными для диагностического анализа ядер рассматриваемых отношений

являются: для проверки и оценки равенства

нескольких средних применение однофакторного дисперсионного анализа; для выявления и

установки факта значимого различия оценок

нескольких дисперсий использование

критерияБартлетта по выборкам различных объемов и критерияКохрена по выборкам одинакового объема; для проверки равенства нескольких коэффициентов корреляции

применение ъ- преобразования Фишера с

2

критериальной статистикой % .

Литература

1. Акофф Р., Эмери Ф. О целеустремленных системах.- М.: Сов. радио, 1974.- 272 с.

2. Сысоев В.В. Системный подход к описанию механизма конфликта // Вестник ВГТА.- Воронеж: Воронеж. гос. технол. акад. - 1999.-Вып 3.- С.

3. Глущенко С.В., Десятов Д.Б., Сысоев В.В. Определение конфликта случайных событий

и случайных величин // Теоретические основы

проектирования технологических систем и

оборудования автоматизированных производств. -

Воронеж: Воронеж. госуд. технол. академ., 1996. - Вып.

2.- С.149-157.

4. Сысоев, Д. В. Взаимодействие подсистем в струкурно-параметрическом представлении [Текст] / Д. В. Сысоев, О. В. Курипта, Н. В. Акамсина // Вестник Воронежского государственного технического

университета. - Т. 7. - № 5. - 2011. - С. 117 - 121.

Воронежский государственный архитектурно-строительный университет Воронежский государственный технический универсистет

STATISTICAL ANALYSIS INTERACTION INFORMATION-ANALYTICAL SUBSYSTEM OF THE PRODUCTION ECONOMIC SYSTEM D.V. Sysoev, O.V. Kuripta, I.V. Zubarev

The possibility of the use the methods of the multivariate statistics are considered for the reason studies speakersbehaviours information-analytical subsystem in condition of the shaping coalition conflict, consents and indifferences

Key wo^s: system, conflict, interaction of the systems